Как да решаваме правилно рационалните уравнения. Рационални уравнения

Самите уравнения с дроби не са трудни и много интересни. Помислете за видовете дробни уравненияи начини за решаването им.

Как се решават уравнения с дроби - x в числителя

Ако е дадено дробно уравнение, където неизвестното е в числителя, решението не изисква допълнителни условия и се решава без допълнителни проблеми. Обща форматакова уравнение е x/a + b = c, където x е неизвестно, a, b и c са обикновени числа.

Намерете x: x/5 + 10 = 70.

За да решите уравнението, трябва да се отървете от дробите. Умножете всеки член от уравнението по 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се намаляват, 10 и 70 се умножават по 5 и получаваме: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Намерете x: x/5 + x/10 = 90.

Този пример е малко по-сложна версия на първия. Тук има две решения.

• Вариант 1: Отървете се от дробите, като умножите всички членове на уравнението по по-голям знаменател, тоест по 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300
• Вариант 2: Добавете лявата страна на уравнението. x/5 + x/10 = 90. Общият знаменател е 10. Разделете 10 на 5, умножете по x, получаваме 2x. 10 разделено на 10, умножено по x, получаваме x: 2x+x/10 = 90. Следователно 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Често има дробни уравнения, в които x са от противоположните страни на знака за равенство. В такава ситуация е необходимо да прехвърлите всички дроби с x в една посока, а числата в друга.

• Намерете x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Преместете 2x/5 надясно с противоположен знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Намаляваме 5x/5 и получаваме: x = 130.

Как да решим уравнение с дроби - x в знаменателя

Този тип дробни уравнения изисква записване на допълнителни условия. Посочването на тези условия е задължителна и неразделна част правилно решение. Като не ги приписвате, рискувате, тъй като отговорът (дори и да е верен) може просто да не се брои.

Общата форма на дробни уравнения, където x е в знаменателя, е: a/x + b = c, където x е неизвестно, a, b, c са обикновени числа. Имайте предвид, че x може да не е никакво число. Например, x не може да бъде нула, тъй като не можете да разделите на 0. Това е, което е допълнително условие, което трябва да уточним. Това се нарича диапазон от допустими стойности, съкратено - ODZ.

Намерете x: 15/x + 18 = 21.

Веднага записваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега, когато ODZ е посочено, решаваме уравнението, използвайки стандартна схемада се отървем от дроби. Умножаваме всички членове на уравнението по x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Често има уравнения, в които знаменателят съдържа не само x, но и някаква друга операция с него, като събиране или изваждане.

Намерете x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Вече знаем, че знаменателят не може да бъде равен на нула, което означава x-3 ≠ 0. Прехвърляме -3 в дясната страна, като променяме знака “-” на “+” и получаваме, че x ≠ 3. ODZ е посочено.

Решете уравнението, умножете всичко по x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Преместете x надясно, числата наляво: 24 = 3x => x = 8.

Цели на урока:

Урок:

• формиране на понятието за дробни рационални уравнения;
• да разгледа различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
• разгледа алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включващ условието дробта да е равна на нула;
• да преподава решаването на дробни рационални уравнения по алгоритъма;
• проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тестова работа.

Разработване:

• развитие на способността да се оперира правилно с придобитите знания, да се мисли логично;
• развитие на интелектуални умения и мисловни операции – анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие на инициатива, способност да се вземат решения, да не се спира дотук;
• развитие критично мислене;
• развитие на изследователски умения.

Подхранване:

• възпитание познавателен интерескъм предмета;
• възпитание на самостоятелност при решаване на образователни проблеми;
• възпитание на воля и постоянство за постигане на крайните резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на занятията

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! Уравненията са написани на черната дъска, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната част са дробни рационални изрази, се наричат ​​дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще изучаваме днес в урока? Формулирайте темата на урока. И така, отваряме тетрадки и записваме темата на урока „Решение на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализация на знанията. Фронтална анкета, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който трябва да изучим нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
2. Как се нарича уравнение №1? ( Линеен.) Метод на решение линейни уравнения. (Преместете всичко с неизвестното в лявата част на уравнението, всички числа вдясно. Донесете подобни условия. Намерете неизвестния множител).
3. Как се нарича уравнение 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Избор на пълния квадрат по формули, като се използва теоремата на Виета и нейните последици.)
4. Какво е пропорция? ( Равенство на две отношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е вярна, тогава произведението на неговите крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
5. Какви свойства се използват за решаване на уравнения? ( 1. Ако в уравнението прехвърлим члена от една част в друга, променяйки знака му, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула, тогава ще се получи уравнение, което е еквивалентно на даденото.)
6. Кога една дроб е равна на нула? ( Дробът е нула, когато числителят нула, а знаменателят не е равен на нула.)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадки и на дъската.

Отговор: 10.

Който дробно рационално уравнениеможете ли да опитате да решите, като използвате основното свойство пропорция? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Решете уравнение No 4 в тетрадки и на дъската.

Отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение №7 по един от начините.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

Обяснете защо се случи това? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са срещали концепцията за външен корен, наистина им е много трудно да разберат защо се е случило това. Ако никой в ​​класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

• Как се различават уравнения № 2 и 4 от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения No 2 и 4 в знаменателя на числото, No 5-7 - изрази с променлива.)
• Какъв е коренът на уравнението? ( Стойността на променливата, при която уравнението се превръща в истинско равенство.)
• Как да разберем дали числото е коренът на уравнение? ( Направете проверка.)

Когато правят тест, някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корени. дадено уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който елиминира тази грешка? Да, този метод се основава на условието, че фракцията е равна на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, така че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

1. Преместете всичко наляво.
2. Доведете дробите до общ знаменател.
3. Съставете система: дроб е нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула.
4. Решете уравнението.
5. Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
6. Запишете отговора.

Дискусия: как да формализираме решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и умножението на двете страни на уравнението по общ знаменател. (Допълнете решението: изключете от корените му тези, които обръщат общия знаменател на нула).

4. Първично разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците избират как да решат уравнението сами, в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника "Алгебра 8", Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600 (б, в, и); № 601 (а, д, ж). Учителят контролира изпълнението на задачата, отговаря на възникналите въпроси и оказва помощ на слабо представящите се ученици. Самотест: Отговорите се записват на дъската.

б) 2 е външен корен. Отговор: 3.

в) 2 е външен корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12.5.

ж) Отговор: 1; 1.5.

5. Изложение на домашната работа.

1. Прочетете т. 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
2. Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.
3. Решава се в тетрадки No 600 (а, г, д); № 601 (g, h).
4. Опитайте се да решите #696(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролната задача по изучаваната тема.

Работата се извършва на листове.

Пример за работа:

А) Кое от уравненията е дробно рационално?

Б) Дробът е нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 е коренът на уравнение #6?

Г) Решете уравнение No7.

Критерии за оценка на задачите:

• „5“ се дава, ако ученикът е изпълнил правилно повече от 90% от задачата.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" се дава на ученик, изпълнил по-малко от 50% от задачата.
• Оценка 2 не се вписва в дневника, 3 е по избор.

7. Отражение.

На листовките със самостоятелна работа поставете:

• 1 - ако урокът е бил интересен и разбираем за вас;
• 2 - интересно, но неясно;
• 3 - не е интересно, но разбираемо;
• 4 - не е интересно, не е ясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения различни начини, провериха знанията си с помощта на обучение самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната работа ще научите в следващия урок, у дома ще имате възможност да затвърдите получените знания.

Какъв метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен, по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво не трябва да се забравя? Каква е "хитростта" на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът свърши.

Вече се научихме как да решаваме квадратни уравнения. Нека сега разширим изследваните методи до рационални уравнения.

Какво стана рационално изразяване? Вече сме се сблъсквали с тази концепция. Рационални изразинаричани изрази, съставени от числа, променливи, техните степени и знаци на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Преди това разглеждахме само онези рационални уравнения, които се свеждат до линейни. Сега нека разгледаме онези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до квадратни.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Дробът е 0, ако и само ако нейният числител е 0, а знаменателят не е 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, разделяме всичките му коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена: ; .

Тъй като 2 никога не е равно на 0, трябва да бъдат изпълнени две условия: . Тъй като нито един от корените на уравнението, получено по-горе, не съответства на невалидните стойности на променливата, получени при решаването на второто неравенство, и двете са решения на това уравнение.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички термини от лявата страна, така че от дясната страна да се получи 0.

2. Преобразувайте и опростете лявата страна, доведете всички дроби до общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, съгласно следния алгоритъм: .

4. Запишете онези корени, които са получени в първото уравнение и отговарят на второто неравенство.

Нека разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало прехвърляме всички условия на лява странатака че 0 остава вдясно. Получаваме:

Сега привеждаме лявата страна на уравнението до общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициентите на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0, ако и само ако нито един от факторите не е равен на 0.

Трябва да са изпълнени две условия: . Получаваме, че от двата корена на първото уравнение е подходящ само един - 3.

Отговор:.

В този урок си припомнихме какво е рационален израз и също така се научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации, а също и проблемите с движението.

Библиография

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 клас. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 клас. Урок за образователни институции. - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал на педагогическите идеи" Публичен урок" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Домашна работа

Досега сме решавали само цели уравнения по отношение на неизвестното, тоест уравнения, в които знаменателите (ако има такива) не съдържат неизвестното.

Често трябва да решавате уравнения, които съдържат неизвестното в знаменателите: такива уравнения се наричат ​​дробни.

За да решим това уравнение, умножаваме двете му страни по полином, съдържащ неизвестното. Ще бъде ли новото уравнение еквивалентно на даденото? За да отговорим на въпроса, нека решим това уравнение.

Умножавайки двете му страни по , получаваме:

Решавайки това уравнение от първа степен, намираме:

Така че, уравнение (2) има един корен

Замествайки го в уравнение (1), получаваме:

Следователно, е и коренът на уравнение (1).

Уравнение (1) няма други корени. В нашия пример това може да се види например от факта, че в уравнение (1)

Как неизвестният делител трябва да е равен на делимото 1, разделено на частното 2, т.е.

Така че уравненията (1) и (2) имат един корен и следователно са еквивалентни.

2. Сега решаваме следното уравнение:

Най-простият общ знаменател: ; умножете всички членове на уравнението по него:

След намаляване получаваме:

Нека разширим скобите:

Предоставяйки подобни условия, имаме:

Решавайки това уравнение, намираме:

Замествайки в уравнение (1), получаваме:

От лявата страна получихме изрази, които нямат смисъл.

Следователно, коренът на уравнение (1) не е. Това означава, че уравнения (1) и не са еквивалентни.

В този случай казваме, че уравнение (1) е придобило външен корен.

Нека сравним решението на уравнение (1) с решението на уравненията, които разгледахме по-рано (виж § 51). При решаването на това уравнение трябваше да извършим две такива операции, които не са били виждани преди: първо, умножихме двете страни на уравнението по израз, съдържащ неизвестното (общ знаменател), и второ, намалихме алгебричните дроби с фактори, съдържащи неизвестното.

Сравнявайки уравнение (1) с уравнение (2), виждаме, че не всички стойности на x, валидни за уравнение (2), са валидни за уравнение (1).

Именно числата 1 и 3 не са допустими стойности на неизвестното за уравнение (1) и в резултат на трансформацията те станаха допустими за уравнение (2). Едно от тези числа се оказа решение на уравнение (2), но, разбира се, не може да бъде решение на уравнение (1). Уравнение (1) няма решения.

Този пример показва, че когато двете страни на уравнението се умножат по коефициент, съдържащ неизвестното и когато алгебрични дробиможе да се получи уравнение, което не е еквивалентно на това, а именно: могат да се появят външни корени.

Оттук правим следния извод. При решаване на уравнение, съдържащо неизвестно в знаменателя, получените корени трябва да бъдат проверени чрез заместване в оригиналното уравнение. Странните корени трябва да се изхвърлят.

Най-просто казано, това са уравнения, в които има поне едно с променлива в знаменателя.

Например:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Пример недробни рационални уравнения:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Как се решават дробни рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения, е, че трябва да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно.

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

Изпишете и "решете" ОДЗ.

Умножете всеки член в уравнението по общ знаменател и намалете получените дроби. Знаменателите ще изчезнат.

Напишете уравнението, без да отваряте скоби.

Решете полученото уравнение.

Проверете намерените корени с ODZ.

Запишете в отговор корените, преминали теста в стъпка 7.

Не запомнете алгоритъма, 3-5 решени уравнения - и той ще бъде запомнен сам.

Пример . Решаване на дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

Отговор: \(3\).

Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Записваме и "решаваме" ОДЗ. Разширете \(x^2+7x+10\) във формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). За щастие \(x_1\) и \(x_2\) вече намерихме.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Очевидно общият знаменател на дробите: \((x+2)(x+5)\). Умножаваме цялото уравнение по него.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Намаляваме дробите
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Отваряне на скобите
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Ние даваме подобни условия
\(2x^2+9x-5=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Един от корените не се вписва под ODZ, така че в отговор записваме само втория корен.

Отговор: \(\frac(1)(2)\).