Геометрични фигури, които не са многоъгълници. Видове полигони“ в рамките на технологията „Развитие на критично мислене чрез четене и писане

Тема: "Полигони. Видове многоъгълници"

9 клас

SL №20

Учител: Харитонович Т.И.Целта на урока: изучаване на видовете многоъгълници.

Учебна задача:актуализират, разширяват и обобщават знанията на учениците за многоъгълници; формират представа за съставни части„многоъгълник; провеждане на изследване на броя на съставните елементи на правилните многоъгълници (от триъгълник до n-ъгълник);

Задача за развитие:развиват способността да анализират, сравняват, правят заключения, развиват изчислителни умения, устна и писмена математическа реч, памет, както и самостоятелност в мисленето и учебни дейностиспособност за работа по двойки и групи; развиват изследвания и когнитивна дейност;

Образователна задача:да възпитава самостоятелност, активност, отговорност към възложената задача, постоянство в постигането на целта.

Оборудване: интерактивна дъска (презентация)

По време на занятията

Показване на презентация: "Полигони"

"Природата говори езика на математиката, буквите на този език... математически фигури." Г. Галилей

В началото на урока класът е разделен на работни групи (в нашия случай разделяне на 3 групи)

1. Етап на обаждане-

а) актуализиране на знанията на учениците по темата;

б) пробуждането на интереса към изучаваната тема, мотивацията на всеки ученик за учебна дейност.

Прием: Играта „Вярваш ли, че...“, организация на работа с текст.

Форми на работа: фронтална, групова.

„Вярваш ли, че…”

1. ... думата "многоъгълник" показва, че всички фигури от това семейство имат "много ъгли"?

2. ... триъгълникът принадлежи към голямо семейство от многоъгълници, разграничени сред множество различни геометрични фигурина повърхността?

3. ... правилен осмоъгълник ли е квадратът (четири страни + четири ъгъла)?

Днес в урока ще говорим за многоъгълници. Научаваме, че тази фигура е ограничена от затворена прекъсната линия, която от своя страна може да бъде проста, затворена. Нека поговорим за факта, че многоъгълниците са плоски, правилни, изпъкнали. Един от плоските многоъгълници е триъгълник, с който сте запознати от дълго време (можете да покажете на учениците плакати, изобразяващи многоъгълници, прекъсната линия, да ги покажете различни видове, можете също да използвате TSO).

2. Етап на разбиране

Цел: получаване на нова информация, нейното разбиране, подбор.

Прием: зигзаг.

Форми на работа: индивидуална->двойка->групова.

Всяка група получава текст по темата на урока, като текстът е проектиран по такъв начин, че да включва както вече позната на учениците информация, така и напълно нова информация. Заедно с текста учениците получават въпроси, отговорите на които трябва да бъдат намерени в този текст.

многоъгълници. Видове полигони.

Кой не е чувал за мистериозния Бермудски триъгълник, където корабите и самолетите изчезват безследно? Но триъгълникът, познат ни от детството, е изпълнен с много интересни и мистериозни неща.

В допълнение към вече познатите ни видове триъгълници, разделени на страни (скаленов, равнобедрен, равностранен) и ъгли (остър ъгъл, тъп ъгъл, правоъгълен), триъгълникът принадлежи към голямо семейство многоъгълници, отличаващи се от много различни геометрични фигури на равнината.

Думата "многоъгълник" показва, че всички фигури от това семейство имат "много ъгли". Но това не е достатъчно, за да се характеризира фигурата.

Прекъсната линия A1A2…An е фигура, която се състои от точки A1,A2,…An и отсечки A1A2, A2A3,…, които ги свързват. Точките се наричат върхове на полилинията, а сегментите се наричат връзки на полилинията. (ФИГ. 1)

Прекъсната линия се нарича проста, ако няма самопресечни точки (фиг. 2,3).

Прекъсната линия се нарича затворена, ако краищата й съвпадат. Дължината на прекъсната линия е сумата от дължините на нейните връзки (фиг. 4)

Проста затворена прекъсната линия се нарича многоъгълник, ако съседните й връзки не лежат на една и съща права линия (фиг. 5).

Заменете в думата “многоъгълник” вместо частта “много” определено число, например 3. Ще получите триъгълник. Или 5. След това - петоъгълник. Имайте предвид, че има толкова ъгли, колкото има страни, така че тези фигури могат да се нарекат многостранни.

Върховете на полилинията се наричат върхове на многоъгълника, а връзките на полилинията се наричат страни на многоъгълника.

Многоъгълникът разделя равнината на две области: вътрешна и външна (фиг. 6).

Равнин многоъгълник или многоъгълна област е крайна част от равнина, ограничена от многоъгълник.

Два върха на многоъгълник, които са краища на една и съща страна, се наричат съседи. Върховете, които не са краища на едната страна, не са съседни.

Многоъгълник с n върха и следователно n страни се нарича n-ъгълник.

Макар че най-малкото числострани на многоъгълник - 3. Но триъгълниците, свързвайки се един с друг, могат да образуват други фигури, които от своя страна също са многоъгълници.

Сегменти, свързващи несъседни върхове на многоъгълник, се наричат диагонали.

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако лежи в една полуравнина по отношение на всяка права, съдържаща неговата страна. В този случай се счита, че самата линия принадлежи на ПОЛУРАВНИНАТА

Ъгълът на изпъкнал многоъгълник в даден връх е ъгълът, образуван от неговите страни, сближаващи се в този връх.

Нека докажем теоремата (за сбора от ъгли на изпъкнал n-ъгълник): Сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е равна на 1800*(n - 2).

Доказателство. В случай n=3 теоремата е вярна. Нека А1А2…А n е даден изпъкнал многоъгълник и n>3. Да начертаем диагонали в него (от един връх). Тъй като многоъгълникът е изпъкнал, тези диагонали го разделят на n - 2 триъгълника. Сумата от ъглите на многоъгълника е същата като сумата от ъглите на всички тези триъгълници. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е 1800, а броят на тези триъгълници е n - 2. Следователно, сумата от ъглите на изпъкнал n - ъгъл A1A2 ... A n е 1800 * (n - 2). Теоремата е доказана.

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник в даден връх е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на многоъгълника в този връх.

Изпъкнал многоъгълник се нарича правилен, ако всички страни са равни и всички ъгли са равни.

Така че квадратът може да се нарече различно - правилен четириъгълник. Равностранните триъгълници също са правилни. Такива фигури отдавна представляват интерес за майсторите, които украсяват сградите. Те направиха красиви шарки, например, върху паркета. Но не всички правилни многоъгълници могат да се използват за оформяне на паркет. Паркетът не може да бъде оформен от правилни осмоъгълници. Факт е, че всеки ъгъл при тях е равен на 1350. И ако някоя точка е върхът на два такива осмоъгълника, тогава те ще имат 2700, а третият осмоъгълник няма къде да се побере: 3600 - 2700 \u003d 900. Но това е достатъчен за квадрат. Следователно е възможно паркетът да се сгъне от правилни осмоъгълници и квадрати.

Звездите са правилни. Нашата петолъчна звезда е обикновена петоъгълна звезда. И ако завъртите квадрата около центъра с 450, ще получите обикновена осмоъгълна звезда.

Какво е прекъсната линия? Обяснете какви са върховете и връзките на полилинията.

Коя прекъсната линия се нарича проста?

Коя прекъсната линия се нарича затворена?

Какво е многоъгълник? Как се наричат върховете на многоъгълник? Какви са страните на многоъгълник?

Какво е плосък многоъгълник? Дайте примери за многоъгълници.

Какво е n-gon?

Обяснете кои върхове на многоъгълника са съседни и кои не.

Какъв е диагоналът на многоъгълника?

Какво е изпъкнал многоъгълник?

Обяснете кои ъгли на многоъгълника са външни и кои вътрешни?

Какво е правилен многоъгълник? Дайте примери за правилни многоъгълници.

Каква е сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник? Докажи го.

Учениците работят с текста, търсят отговори на поставените въпроси, след което се формират експертни групи, в които се работи по едни и същи въпроси: учениците подчертават основното, изготвят поддържащо резюме, представят информация в един от графични форми. В края на работата учениците се връщат в работните си групи.

3. Етап на размисъл -

а) оценка на техните знания, предизвикателство към следващата стъпка на познанието;

б) разбиране и присвояване на получената информация.

Прием: изследователска работа.

Форми на работа: индивидуална->двойка->групова.

Работните групи са експерти в отговорите на всеки един от разделите на предложените въпроси.

Връщайки се към работната група, експертът запознава останалите членове на групата с отговорите на техните въпроси. В групата се осъществява обмен на информация на всички членове на работната група. Така във всяка работна група, благодарение на работата на експертите се формира обща представа по изследваната тема.

Изследваниястуденти- попълване на таблицата.

Правилни многоъгълници Чертеж Брой страни Брой върхове Сума от всички вътрешни ъгли Степен мярка на вътрешните. ъгъл Градусна мярка на външен ъгъл Брой диагонали

А) триъгълник

Б) четириъгълник

Б) с пет дупки

Г) шестоъгълник

E) n-ъгълник

Решение интересни задачипо темата на урока.

1) Колко страни има правилен многоъгълник, всяка от тях вътрешни ъгликоето е равно на 1350?

2) В определен многоъгълник всички вътрешни ъгли са равни един на друг. Може ли сумата от вътрешните ъгли на този многоъгълник да бъде: 3600, 3800?

3) Възможно ли е да се построи петоъгълник с ъгли от 100,103,110,110,116 градуса?

Обобщаване на урока.

Записване домашна работа: STR 66-72 №15,17 И ЗАДАЧА: В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК НАЧЕРТАТЕ ДИРЕКТНА ТАКА ДА ГО РАЗДЕЛИ НА ТРИ ТРИЪГЪЛНИКА.

Рефлексия под формата на тестове (на интерактивна дъска)

Частта от равнината, ограничена от затворена прекъсната линия, се нарича многоъгълник.

Сегментите от тази прекъсната линия се наричат партиимногоъгълник. AB, BC, CD, DE, EA (фиг. 1) - страни на многоъгълника ABCDE. Сборът от всички страни на многоъгълник се нарича негов периметър.

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако се намира от едната страна на която и да е от неговите страни, разширено неограничено отвъд двата върха.

Многоъгълникът MNPKO (фиг. 1) няма да е изпъкнал, тъй като се намира от повече от едната страна на правата KP.

Ще разгледаме само изпъкнали многоъгълници.

Ъглите, образувани от две съседни страни на многоъгълник, се наричат негови вътрешниъгли и техните върхове - върхове на многоъгълници.

Отсечка, свързваща два несъседни върха на многоъгълник, се нарича диагонал на многоъгълника.

AC, AD - диагонали на многоъгълника (фиг. 2).

Ъглите, съседни на вътрешните ъгли на многоъгълника, се наричат външни ъгли на многоъгълника (фиг. 3).

В зависимост от броя на ъглите (страните) многоъгълникът се нарича триъгълник, четириъгълник, петоъгълник и др.

Два полигона се наричат равни, ако могат да се наслагват.

Вписани и описани многоъгълници

Ако всички върхове на многоъгълник лежат върху окръжност, тогава многоъгълникът се нарича вписанав кръг и кръгът описаноблизо до многоъгълника (фиг.).

Ако всички страни на многоъгълник са допирателни към окръжност, тогава многоъгълникът се нарича описанооколо кръга и кръгът се нарича вписанав многоъгълник (фиг.).

Сходство на полигоните

Два едноименни многоъгълника се наричат подобни, ако ъглите на единия от тях са съответно равни на ъглите на другия, а сходните страни на многоъгълниците са пропорционални.

Извикват се многоъгълници със същото име същия номерстрани (ъгли).

Страните на подобни многоъгълници се наричат подобни, ако свързват върховете на съответно равни ъгли (фиг.).

Така например, за да бъде многоъгълникът ABCDE подобен на многоъгълника A'B'C'D'E', е необходимо: E = ∠E' и, в допълнение, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Съотношение на периметъра на подобни многоъгълници

Първо, разгледайте свойството на серия от равни съотношения. Да имаме, например, отношения: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Нека намерим сумата на предишните членове на тези отношения, след това - сбора на техните последващи членове и намерим съотношението на получените суми, получаваме:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Получаваме същото, ако вземем редица други отношения, например: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 и след това намерим съотношението на тези суми, получаваме:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

И в двата случая сумата от предишните членове на поредица от равни отношения е свързана със сумата от следващите членове на същата серия, тъй като предишният член на което и да е от тези отношения е свързан със следващия му.

Ние изведохме това свойство, като разгледахме редица числени примери. Може да се изведе строго и в общ вид.

Сега помислете за съотношението на периметрите на подобни многоъгълници.

Нека многоъгълникът ABCDE е подобен на многоъгълника A'B'C'D'E' (фиг.).

От сходството на тези многоъгълници следва, че

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Въз основа на свойството на серия от равни отношения, които сме извели, можем да запишем:

Сборът от предишните членове на отношенията, които сме взели, е периметърът на първия многоъгълник (P), а сумата от следващите членове на тези отношения е периметърът на втория многоъгълник (P '), така че P / P ' = AB / A'B '.

следователно, периметрите на подобни многоъгълници са свързани като съответните им страни.

Съотношение на площите на подобни многоъгълници

Нека ABCDE и A'B'C'D'E' са подобни многоъгълници (фиг.).

Известно е, че ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' и ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Освен това,

;

Тъй като вторите съотношения на тези пропорции са равни, което следва от сходството на многоъгълниците, тогава

Използвайки свойството на серия от равни съотношения, получаваме:

Или

където S и S' са площите на тези подобни многоъгълници.

следователно, площите на подобни многоъгълници са свързани като квадратите на подобни страни.

Получената формула може да се преобразува в тази форма: S / S '= (AB / A'B ') 2

Площ на произволен многоъгълник

Нека се изисква да се изчисли площта на произволен четириъгълник ABDC (фиг.).

Да начертаем диагонал в него, например AD. Получаваме два триъгълника ABD и ACD, чиито площи можем да изчислим. След това намираме сбора от площите на тези триъгълници. Получената сума ще изрази площта на дадения четириъгълник.

Ако трябва да изчислите площта на петоъгълник, тогава продължаваме по същия начин: чертаем диагонали от един от върховете. Получаваме три триъгълника, чиито площи можем да изчислим. Така че можем да намерим площта на този петоъгълник. Правим същото, когато изчисляваме площта на всеки многоъгълник.

Площ на проекция на полигон

Припомнете си, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между дадена права и нейната проекция върху равнината (фиг.).

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълника върху равнината е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и проекционната равнина.

Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници, чиято сума от площите е равна на площта на многоъгълника. Следователно е достатъчно да се докаже теоремата за триъгълник.

Нека ΔABC се проектира върху равнината Р. Помислете за два случая:

а) едната от страните ΔABS е успоредна на равнината Р;

б) нито една от страните ΔABC не е успоредна Р.

Обмисли първи случай: нека [AB] || Р.

Начертайте през равнината (AB). Р 1 || Ри проектирайте ортогонално ΔABC върху Р 1 и нататък Р(ориз.); получаваме ΔABC 1 и ΔA’B’C’.

По свойството на проекция имаме ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’ и следователно

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Да начертаем ⊥ и отсечката D 1 C 1 . Тогава ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ е ъгълът между равнината ΔABC и равнината Редин . Така

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

и следователно S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Да преминем към разглеждането втори случай. Начертайте самолет Р 1 || Рпрез този връх ΔАВС, разстоянието от което до равнината Рнай-малкият (нека е връх A).

Нека проектираме ΔABC на равнината Р 1 и Р(ориз.); нека неговите проекции са съответно ΔAB 1 C 1 и ΔA’B’C’.

Нека (BC) ∩ стр 1 = D. Тогава

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Други материали

Свойства на полигоните

Многоъгълникът е геометрична фигура, обикновено дефинирана като затворена полилиния без самопресечни точки (прост многоъгълник (фиг. 1а)), но понякога са разрешени самопресичания (тогава многоъгълникът не е прост).

Върховете на полилинията се наричат върхове на многоъгълника, а отсечките се наричат страни на многоъгълника. Върховете на многоъгълник се наричат съседи, ако са краищата на една от неговите страни. Отсечките, свързващи несъседни върхове на многоъгълник, се наричат диагонали.

Ъгъл (или вътрешен ъгъл) на изпъкнал многоъгълник в даден връх е ъгълът, образуван от неговите страни, сближаващи се в този връх, и ъгълът се разглежда от страната на многоъгълника. По-специално, ъгълът може да надвишава 180°, ако многоъгълникът не е изпъкнал.

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник в даден връх е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на многоъгълника в този връх. Като цяло външният ъгъл е разликата между 180° и вътрешния ъгъл. От всеки връх на -ъгъла за > 3 излизат - 3 диагонала, следователно общ бройдиагоналите на -ъгълник са равни.

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

Многоъгълник с нвърхове се нарича н-квадрат.

Плосък многоъгълник е фигура, която се състои от многоъгълник и ограничената от него крайна част от площта.

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните (еквивалентни) условия:

1. лежи от едната страна на всяка права линия, свързваща съседните му върхове. (т.е. разширенията на страните на многоъгълник не пресичат другите му страни);
2. това е пресечната точка (т.е. обща част) на няколко полуравнини;
3. всеки сегмент с краища в точки, принадлежащи на многоъгълника, принадлежи изцяло на него.

Изпъкнал многоъгълник се нарича правилен, ако всички страни са равни и всички ъгли са равни, например равностранен триъгълник, квадрат и петоъгълник.

За изпъкнал многоъгълник се казва, че е вписан в окръжност, ако всичките му страни са допирателни към някаква окръжност

Правилният многоъгълник е многоъгълник, в който всички ъгли и всички страни са равни.

Свойства на многоъгълника:

1 Всеки диагонал на изпъкнал -ъгъл, където >3, го разлага на два изпъкнали многоъгълника.

2 Сумата от всички ъгли на изпъкнал ъгъл е равна на.

D-in: Нека докажем теоремата по метода на математическата индукция. За = 3 е очевидно. Да приемем, че теоремата е вярна за -gon, където <, и го докажи за -gon.

Нека е даден многоъгълник. Начертайте диагонал на този многоъгълник. По теорема 3 многоъгълникът се разлага на триъгълник и изпъкнал -ъгълник (фиг. 5). По хипотезата за индукция. От друга страна, . Събирайки тези равенства и вземайки предвид това (- вътрешен ъгъл на лъча ) и (- вътрешен ъгъл на лъча ), получаваме Когато получим: .

3 За всеки правилен многоъгълник е възможно да се опише кръг и освен това само един.

D-in: Нека правилен многоъгълник и и са ъглите на ъглите и (фиг. 150). Тъй като, следователно, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ОНека докажем това О = ОА 2 = О =… = ОА П . триъгълник Оследователно равнобедрен О= О. Следователно според втория критерий за равенство на триъгълниците О = О. По същия начин е доказано, че О = Ои т.н. Така че точката Она еднакво разстояние от всички върхове на многоъгълника, така че кръгът с центъра Орадиус Ое описано около многоъгълник.

Нека сега докажем, че има само една описана окръжност. Помислете за три върха на многоъгълник, например, НО 2 , . Тъй като само една окръжност минава през тези точки, тогава около многоъгълника … Не можете да опишете повече от един кръг.

4 Във всеки правилен многоъгълник можете да впишете кръг и освен това само един.
5 Кръг, вписан в правилен многоъгълник, докосва страните на многоъгълника в техните средни точки.
6 Центърът на окръжност, описваща правилен многоъгълник, съвпада с центъра на окръжност, вписана в същия многоъгълник.
7 Симетрия:

Фигурата се нарича симетрична (симетрична), ако има такова движение (не идентично), което превръща тази фигура в себе си.

7.1. Общият триъгълник няма оси или центрове на симетрия, той не е симетричен. Равнобедрен (но не и равностранен) триъгълник има една ос на симетрия: перпендикулярната ъглополовяща на основата.
7.2. Равностранният триъгълник има три оси на симетрия (перпендикулярни на страните) и ротационна симетрия около центъра с ъгъл на въртене 120°.

7.3 Всеки правилен n-ъгълник има n оси на симетрия, всички от които минават през центъра му. Освен това има ротационна симетрия спрямо центъра с ъгъл на завъртане.

Дори ннякои оси на симетрия минават през противоположни върхове, други през средните точки на противоположните страни.

За странно нвсяка ос минава през върха и средата на противоположната страна.

Центърът на правилен многоъгълник с четен брой страни е неговият център на симетрия. Правилният многоъгълник с нечетен брой страни няма център на симетрия.

8 Прилика:

С подобие и -gon преминава в -ъгълник, полуравнина - в полуравнина, следователно изпъкнала н-gon става изпъкнал н-гон.

Теорема: Ако страните и ъглите на изпъкнали многоъгълници и отговарят на равенствата:

където е коефициентът на подиума

тогава тези многоъгълници са подобни.

8.1 Съотношението на периметрите на два подобни многоъгълника е равно на коефициента на подобие.
8.2. Съотношението на площите на два изпъкнали подобни многоъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобие.

теорема за периметъра на многоъгълник триъгълник

Многоъгълници по тема - 8 клас:

Нарича се линия от съседни сегменти, които не лежат на една и съща права линия прекъсната линия.

Краищата на сегментите са върхове.

Всеки разрез- връзка.

И всички суми от дължините на отсечките съставляват общата сума дължинапрекъсната линия. Например AM + ME + EK + KO = дължина на полилинията

Ако сегментите са затворени, тогава многоъгълник(виж по-горе) .

Връзките в един многоъгълник се наричат партии.

Сборът от дължините на страните - периметърмногоъгълник.

Върховете от една и съща страна са съседен.

Извиква се отсечка, свързваща несъседни върхове диагонал.

многоъгълници Наречен по брой страни: петоъгълник, шестоъгълник и др.

Всичко вътре в многоъгълника е вътрешна част на равнинатаи всичко отвън - външната част на самолета.

Забележка! Снимката по-долу- това НЕ е многоъгълник, тъй като има допълнителни общи точки на една и съща права линия за несъседни сегменти.

Изпъкнал многоъгълниклежи от едната страна на всяка линия. За да го определим мислено (или чертежно), продължаваме всяка страна.

В многоъгълник толкова ъгли, колкото има страни.

В изпъкнал многоъгълник сума от всички вътрешни ъглие равно на (n-2)*180°. n е броят на ъглите.

Многоъгълникът се нарича правилноако всичките му страни и ъгли са равни. Така че изчисляването на вътрешните му ъгли се извършва по формулата (където n е броят на ъглите): 180° * (n-2) / n

По-долу са многоъгълниците, сумата от техните ъгли и на какво е равен един ъгъл.

Външните ъгли на изпъкналите многоъгълници се изчисляват, както следва:

Предмет, възраст на учениците: геометрия, 9 клас

Целта на урока: изучаване на видовете многоъгълници.

Учебна задача: да актуализира, разшири и обобщи знанията на учениците за многоъгълници; формират представа за „компонентите“ на многоъгълника; провеждане на изследване на броя на съставните елементи на правилните многоъгълници (от триъгълник до n-ъгълник);

Развиваща задача: да развива умението за анализиране, сравняване, правене на изводи, развиване на изчислителни умения, устна и писмена математическа реч, памет, както и самостоятелност в мисловните и учебните дейности, способност за работа по двойки и групи; развиват научноизследователска и образователна дейност;

Възпитателна задача: да възпитава самостоятелност, активност, отговорност към възложената задача, постоянство при постигане на целта.

По време на часовете:на черната дъска е изписан цитат

"Природата говори езика на математиката, буквите на този език... математически фигури."Г. Галилей

В началото на урока класът е разделен на работни групи (в нашия случай, разделянето на групи от по 4 души всяка - броят на членовете на групата е равен на броя на групите с въпроси).

1. Етап на обаждане-

цели:

а) актуализиране на знанията на учениците по темата;

б) пробуждането на интереса към изучаваната тема, мотивацията на всеки ученик за учебна дейност.

Прием: Играта „Вярваш ли, че...“, организация на работа с текст.

Форми на работа: фронтална, групова.

„Вярваш ли, че…”

1. ... думата "многоъгълник" показва, че всички фигури от това семейство имат "много ъгли"?

2. … триъгълникът принадлежи ли към голямо семейство от многоъгълници, които се открояват сред много различни геометрични фигури в равнина?

3. ... правилен осмоъгълник ли е квадратът (четири страни + четири ъгъла)?

Днес в урока ще говорим за многоъгълници. Научаваме, че тази фигура е ограничена от затворена прекъсната линия, която от своя страна може да бъде проста, затворена. Нека поговорим за факта, че многоъгълниците са плоски, правилни, изпъкнали. Един от плоските полигони е триъгълник, с който сте запознати от дълго време (можете да покажете на учениците плакати, изобразяващи многоъгълници, прекъсната линия, да покажете различните им видове, можете също да използвате TCO).

2. Етап на разбиране

Цел: получаване на нова информация, нейното разбиране, подбор.

Прием: зигзаг.

Форми на работа: индивидуална->двойка->групова.

многоъгълници. Видове полигони.

Прекъсната линия A 1 A 2 ... A n е фигура, която се състои от точки A 1, A 2, ... A n и отсечки A 1 A 2, A 2 A 3, ... свързващи ги. Точките се наричат върхове на полилинията, а сегментите се наричат връзки на полилинията. (Фиг. 1)

Прекъсната линия се нарича проста, ако няма самопресечни точки (фиг. 2,3).

Прекъсната линия се нарича затворена, ако краищата й съвпадат. Дължината на прекъсната линия е сумата от дължините на нейните връзки (фиг. 4).

Многоъгълникът разделя равнината на две области: вътрешна и външна (фиг. 6).

Равнин многоъгълник или многоъгълна област е крайна част от равнина, ограничена от многоъгълник.

Многоъгълник с n върха и следователно n страни се нарича n-ъгълник.

Въпреки че най-малкият брой страни на многоъгълника е 3. Но триъгълниците, свързващи се един с друг, могат да образуват други форми, които от своя страна също са многоъгълници.

Сегменти, свързващи несъседни върхове на многоъгълник, се наричат диагонали.

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако лежи в една полуравнина по отношение на всяка права, съдържаща неговата страна. В този случай се счита, че самата права линия принадлежи на полуравнината.

Доказателство. В случай n=3 теоремата е вярна. Нека А 1 А 2 …А n е даден изпъкнал многоъгълник и n>3. Да начертаем диагонали в него (от един връх). Тъй като многоъгълникът е изпъкнал, тези диагонали го разделят на n - 2 триъгълника. Сумата от ъглите на многоъгълника е същата като сумата от ъглите на всички тези триъгълници. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180 0, а броят на тези триъгълници е n - 2. Следователно, сумата от ъглите на изпъкнал n - ъгъл A 1 A 2 ... A n е 180 0 * ( n - 2). Теоремата е доказана.

Изпъкнал многоъгълник се нарича правилен, ако всички страни са равни и всички ъгли са равни.

Така че квадратът може да се нарече различно - правилен четириъгълник. Равностранните триъгълници също са правилни. Такива фигури отдавна представляват интерес за майсторите, които украсяват сградите. Те направиха красиви шарки, например, върху паркета. Но не всички правилни многоъгълници могат да се използват за оформяне на паркет. Паркетът не може да бъде оформен от правилни осмоъгълници. Факт е, че всеки ъгъл при тях е равен на 135 0. И ако някоя точка е върхът на два такива осмоъгълника, тогава те ще имат 270 0 и няма къде да се побере третият осмоъгълник: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Но достатъчно за квадрат. Следователно е възможно паркетът да се сгъне от правилни осмоъгълници и квадрати.

Звездите са правилни. Нашата петолъчна звезда е обикновена петоъгълна звезда. И ако завъртите квадрата около центъра с 45 0, ще получите правилна осмоъгълна звезда.

1 група

Какво е прекъсната линия? Обяснете какви са върховете и връзките на полилинията.

Коя прекъсната линия се нарича проста?

Коя прекъсната линия се нарича затворена?

Какво е многоъгълник? Как се наричат върховете на многоъгълник? Какви са страните на многоъгълник?

2 група

Какво е плосък многоъгълник? Дайте примери за многоъгълници.

Какво е n-gon?

Обяснете кои върхове на многоъгълника са съседни и кои не.

Какъв е диагоналът на многоъгълника?

3 група

Какво е изпъкнал многоъгълник?

Обяснете кои ъгли на многоъгълника са външни и кои вътрешни?

Какво е правилен многоъгълник? Дайте примери за правилни многоъгълници.

4 група

Каква е сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник? Докажи го.

3. Етап на размисъл -

а) оценка на техните знания, предизвикателство към следващата стъпка на познанието;

б) разбиране и присвояване на получената информация.

Прием: изследователска работа.

Форми на работа: индивидуална->двойка->групова.

Работните групи са експерти в отговорите на всеки един от разделите на предложените въпроси.

Връщайки се към работната група, експертът запознава останалите членове на групата с отговорите на техните въпроси. В групата се осъществява обмен на информация на всички членове на работната група. Така във всяка работна група, благодарение на работата на експерти, се формира обща представа по изследваната тема.

Научноизследователска работа на учениците – попълване на таблицата.

Правилни многоъгълници	Рисуване	Брой на страните	Брой върхове	Сума от всички вътрешни ъгли	Степен мярка вн. ъгъл	Градусна мярка на външен ъгъл	Брой диагонали
А) триъгълник
Б) четириъгълник
Б) петстенни
Г) шестоъгълник
E) n-ъгълник

Решаване на интересни задачи по темата на урока.

В четириъгълника начертайте линия, така че да я раздели на три триъгълника.
Колко страни има правилен многоъгълник, всеки от чиито вътрешни ъгли е равен на 135 0?
В определен многоъгълник всички вътрешни ъгли са равни един на друг. Може ли сумата от вътрешните ъгли на този многоъгълник да бъде: 360 0 , 380 0 ?

Обобщаване на урока. Записване на домашна работа.