Примери за решаване на дробни рационални уравнения. Видео урок „Рационални уравнения

\(\bullet\) Рационалното уравнение е уравнение, изразено като \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\], където \(P(x), \ Q(x)\) - полиноми (сумата от “xes” в различни степени, умножена по различни числа).
Изразът от лявата страна на уравнението се нарича рационален израз.
ODZ (диапазон от приемливи стойности) на рационално уравнение са всички стойности \(x\), за които знаменателят НЕ изчезва, т.е. \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Например, уравнения \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]са рационални уравнения.
В първото уравнение ODZ е всички \(x\) такива, че \(x\ne 3\) (те пишат \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); във второто уравнение всички те са \(x\) , така че \(x\ne -1; x\ne 1\) (запишете \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); и в третото уравнение няма ограничения за ODZ, тоест ODZ е всичко \(x\) (те пишат \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Теореми:
1) Произведението на два фактора е равно на нула, ако и само ако един от тях нула, докато другото не губи значението си, следователно, уравнението \(f(x)\cdot g(x)=0\) е еквивалентно на системата \[\begin(случаи) \left[ \begin(събран)\begin(подравнен) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(подравнен) \end(събран) \вдясно.\\ \ текст(ODV уравнения) \край(случаи)\] 2) Дробът е равна на нула, ако и само ако числителят е равен на нула и знаменателят не е равен на нула, следователно уравнението \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) е еквивалентна на системата от уравнения \[\ начало(случаи) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(случаи)\]\(\bullet\) Нека да разгледаме някои примери.

1) Решете уравнението \(x+1=\dfrac 2x\) . Да намерим ОДЗ дадено уравнениее \(x\ne 0\) (защото \(x\) е в знаменателя).
И така, ODZ може да се запише по следния начин: .
Нека прехвърлим всички термини в една част и ги сведем до общ знаменател: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( случаи) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(case)\]Решението на първото уравнение на системата ще бъде \(x=-2, x=1\) . Виждаме, че и двата корена са различни от нула. Следователно отговорът е: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Решете уравнението \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Нека намерим ODZ на това уравнение. Виждаме, че единствената стойност \(x\), за която лявата страна няма смисъл, е \(x=0\) . Така че OD може да се запише по следния начин: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Следователно това уравнение е еквивалентно на системата:

\[\begin(случаи) \left[ \begin(събран)\begin(подравнен) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(подравнен) \end(събран) \вдясно. \\ x\ne 0 \end(случаи) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(събран)\begin(подравнен) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(подравнен) \end(събран) \вдясно\\ x\ne 0 \end(случаи) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(събран)\begin(подравнен) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(подравнен) \end(събран) \вдясно.\\ x\ne 0 \end(случаи) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(събран) \начало(подравнено) &x=2\\ &x=1 \край(подравнено) \край(събрано) \вдясно\]Всъщност, въпреки факта, че \(x=0\) е коренът на втория фактор, ако замените \(x=0\) в оригиналното уравнение, тогава няма да има смисъл, т.к. изразът \(\dfrac 40\) не е дефиниран.
Така че решението на това уравнение е \(x\in \(1;2\)\) .

3) Решете уравнението \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]В нашето уравнение \(4x^2-1\ne 0\) , откъдето \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , т.е. \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Прехвърляме всички членове в лявата страна и свеждаме до общ знаменател:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(случаи) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(случаи) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(събран) \begin( подравнен) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(подравнен)\end(събран) \вдясно.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Стрелка наляво надясно \quad x=-3\)

Отговор: \(x\in \(-3\)\) .

Коментирайте. Ако отговорът се състои от краен набор от числа, тогава те могат да бъдат записани разделени с точка и запетая в къдрави скоби, както е показано в предишните примери.

Задачи за решаване рационални уравнения, в Единния държавен изпит по математика се срещат всяка година, следователно, при подготовката за преминаване на сертификационния тест, завършилите определено трябва сами да повторят теорията по тази тема. За да могат да се справят с подобни задачи, завършилите, които издържат както основното, така и профилното ниво на изпита, задължително трябва. След като усвои теорията и се справи с нея практически упражненияпо темата "Рационални уравнения", студентите ще могат да решават задачи с произволен брой действия и да очакват да получат състезателни точки въз основа на резултатите от полагането на изпита.

Как да се подготвим за изпита с образователния портал "Школково"?

Понякога е доста трудно да се намери източник, в който основната теория за решаване на математически проблеми е представена изцяло. Учебникът може просто да не е под ръка. И понякога е доста трудно да се намерят необходимите формули дори в интернет.

Образователният портал "Школково" ще ви избави от необходимостта да търсите правилния материали ще ви помогне да се подготвите добре за преминаване на теста за сертифициране.

Цялата необходима теория по темата "Рационални уравнения" е изготвена от нашите специалисти и представена в най-достъпната форма. Изучавайки представената информация, учениците ще могат да запълнят пропуските в знанията.

За успешна подготовказа изпита, завършилите трябва не само да освежават основното теоретичен материална тема "Рационални уравнения", но да се упражняват да изпълняват задачи по конкретни примери. Голям изборзадачи са представени в раздел "Каталог".

За всяко упражнение на сайта нашите експерти са предписали алгоритъм за решение и са посочили верния отговор. Студентите могат да практикуват решаване на задачи с различна трудност в зависимост от нивото на обучение. Списъкът със задачи в съответния раздел постоянно се допълва и актуализира.

Проучете теоретичния материал и усъвършенствайте уменията за решаване на задачи по темата "Рационални уравнения", подобни на тези, включени в USE тестове, можете онлайн. Ако е необходимо, някоя от представените задачи може да бъде добавена към секцията "Любими". След като за пореден път повтори основната теория на тема "Рационални уравнения", гимназистът ще може да се върне към проблема в бъдеще, за да обсъди напредъка на неговото решение с учителя в урока по алгебра.

Цели на урока:

Урок:

формиране на понятието за дробни рационални уравнения;
да разгледа различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
разгледа алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включващ условието дробта да е равна на нула;
да преподава решаването на дробни рационални уравнения по алгоритъма;
проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тестова работа.

Разработване:

развитие на способността да се оперира правилно с придобитите знания, да се мисли логично;
развитие на интелектуални умения и мисловни операции – анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие на инициатива, способност да се вземат решения, да не се спира дотук;
развитие критично мислене;
развитие на изследователски умения.

Подхранване:

възпитание познавателен интерескъм предмета;
възпитание на самостоятелност при решаване на образователни проблеми;
възпитание на воля и постоянство за постигане на крайните резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на занятията

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! Уравненията са написани на черната дъска, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната част са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще изучаваме днес в урока? Формулирайте темата на урока. И така, отваряме тетрадки и записваме темата на урока „Решение на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализация на знанията. Фронтална анкета, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който трябва да изучим нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
Как се нарича уравнение №1? ( Линеен.) Метод на решение линейни уравнения. (Преместете всичко с неизвестното в лявата част на уравнението, всички числа вдясно. Донесете подобни условия. Намерете неизвестния множител).
Как се нарича уравнение 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Избор на пълния квадрат по формули, като се използва теоремата на Виета и нейните последици.)
Какво е пропорция? ( Равенство на две отношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е вярна, тогава произведението на неговите крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
Какви свойства се използват за решаване на уравнения? ( 1. Ако в уравнението прехвърлим члена от една част в друга, променяйки знака му, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула, тогава ще се получи уравнение, което е еквивалентно на даденото.)
Кога една дроб е равна на нула? ( Дробът е нула, когато числителят е нула, а знаменателят е различен от нула.)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадки и на дъската.

Отговор: 10.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, използвайки основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Решете уравнение No 4 в тетрадки и на дъската.

Отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение №7 по един от начините.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

Обяснете защо се случи това? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са срещали концепцията за външен корен, наистина им е много трудно да разберат защо се е случило това. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

Как се различават уравнения № 2 и 4 от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения No 2 и 4 в знаменателя на числото, No 5-7 - изрази с променлива.)
Какъв е коренът на уравнението? ( Стойността на променливата, при която уравнението се превръща в истинско равенство.)
Как да разберем дали числото е коренът на уравнение? ( Направете проверка.)

Когато правят тест, някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който елиминира тази грешка? Да, този метод се основава на условието, че фракцията е равна на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, така че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

Преместете всичко наляво.
Доведете дробите до общ знаменател.
Съставете система: дроб е нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула.
Решете уравнението.
Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
Запишете отговора.

Дискусия: как да формализираме решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и умножението на двете страни на уравнението по общ знаменател. (Допълнете решението: изключете от корените му тези, които обръщат общия знаменател на нула).

4. Първично разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците избират как да решат уравнението сами, в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника "Алгебра 8", Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600 (б, в, и); № 601 (а, д, ж). Учителят контролира изпълнението на задачата, отговаря на възникналите въпроси и оказва помощ на слабо представящите се ученици. Самотест: Отговорите се записват на дъската.

б) 2 е външен корен. Отговор: 3.

в) 2 е външен корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12.5.

ж) Отговор: 1; 1.5.

5. Изложение на домашната работа.

Прочетете т. 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.
Решава се в тетрадки No 600 (а, г, д); № 601 (g, h).
Опитайте се да решите #696(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролната задача по изучаваната тема.

Работата се извършва на листове.

Пример за работа:

А) Кое от уравненията е дробно рационално?

Б) Дробът е нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 е коренът на уравнение #6?

Г) Решете уравнение No7.

Критерии за оценка на задачите:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил правилно повече от 90% от задачата.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" се дава на ученик, изпълнил по-малко от 50% от задачата.
Оценка 2 не се вписва в дневника, 3 е по избор.

7. Отражение.

На листовките със самостоятелна работа поставете:

1 - ако урокът е бил интересен и разбираем за вас;
2 - интересно, но неясно;
3 - не е интересно, но разбираемо;
4 - не е интересно, не е ясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения различни начини, провериха знанията си с помощта на обучение самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната работа ще научите в следващия урок, у дома ще имате възможност да затвърдите получените знания.

Какъв метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен, по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво не трябва да се забравя? Каква е "хитростта" на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът свърши.

Решение дробни рационални уравнения

Помощно ръководство

Рационалните уравнения са уравнения, в които и лявата, и дясната част са рационални изрази.

(Припомнете си, че рационалните изрази са цели числа и дробни изразибез радикали, включително операции събиране, изваждане, умножение или деление - например: 6x; (m – n)2; x/3y и др.)

Дробно-рационалните уравнения, като правило, се свеждат до вида:

Където П(х) и В(х) са полиноми.

За да решите такива уравнения, умножете двете страни на уравнението по Q(x), което може да доведе до появата на външни корени. Следователно при решаване на дробни рационални уравнения е необходимо да се проверят намерените корени.

Рационалното уравнение се нарича цяло число или алгебрично, ако няма деление с израз, съдържащ променлива.

Примери за цяло рационално уравнение:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Ако в рационално уравнение има деление с израз, съдържащ променливата (x), тогава уравнението се нарича дробно рационално.

Пример за дробно рационално уравнение:

15
x + - = 5x - 17
х

Дробните рационални уравнения обикновено се решават, както следва:

1) намерете общ знаменател на дроби и умножете двете части на уравнението по него;

2) решаване на полученото цяло уравнение;

3) изключва от корените си тези, които превръщат общия знаменател на дробите на нула.

Примери за решаване на целочислени и дробни рационални уравнения.

Пример 1. Решете цялото уравнение

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

решение:

Намиране на най-малкия общ знаменател. Това е 6. Разделете 6 на знаменателя и умножете резултата по числителя на всяка дроб. Получаваме уравнение, еквивалентно на това:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

От лявата и дясната страна същият знаменател, може да се пропусне. Тогава имаме по-просто уравнение:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Решаваме го, като отваряме скоби и намаляваме подобни термини:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Примерът е решен.

Пример 2. Решете дробно рационално уравнение

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Намираме общ знаменател. Това е x(x - 5). Така:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Сега отново се отърваваме от знаменателя, тъй като той е един и същ за всички изрази. Ние намаляваме подобни членове, приравняваме уравнението на нула и получаваме квадратно уравнение:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

След като решим квадратното уравнение, намираме неговите корени: -2 и 5.

Нека проверим дали тези числа са корените на оригиналното уравнение.

За x = –2 общият знаменател x(x – 5) не изчезва. Така че -2 е коренът на оригиналното уравнение.

При x = 5 общият знаменател изчезва и два от трите израза губят значението си. Така че числото 5 не е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор: x = -2

Още примери

Пример 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Отговор: -2,2; 6.

Пример 2

Решаване на уравнения с дробинека да разгледаме примери. Примерите са прости и илюстративни. С тяхна помощ можете да разберете по най-разбираемия начин.
Например, трябва да решите просто уравнение x/b + c = d.

Уравнение от този тип се нарича линейно, т.к знаменателят съдържа само числа.

Решението се извършва чрез умножаване на двете страни на уравнението по b, след което уравнението приема формата x = b*(d – c), т.е. знаменателят на дроб от лявата страна се намалява.

Например как да се реши дробно уравнение:
х/5+4=9
Умножаваме и двете части по 5. Получаваме:
х+20=45
х=45-20=25

Друг пример, където неизвестното е в знаменателя:

Уравненията от този тип се наричат дробно рационални или просто дробни.

Дробно уравнение бихме решили, като се отървем от дроби, след което това уравнение най-често се превръща в линейно или квадратно уравнение, което се решава по обичайния начин. Трябва да вземете предвид само следните точки:

стойността на променлива, която превръща знаменателя в 0, не може да бъде корен;
не можете да разделите или умножите уравнението по израза =0.

Тук влиза в сила такова понятие като площта на допустимите стойности(ODZ) - това са стойностите на корените на уравнението, за които уравнението има смисъл.

По този начин, решавайки уравнението, е необходимо да намерите корените и след това да ги проверите за съответствие с ODZ. Тези корени, които не отговарят на нашия DHS, са изключени от отговора.

Например, трябва да решите дробно уравнение:

Въз основа на горното правило x не може да бъде = 0, т.е. ODZ в този случай: x - всяка стойност, различна от нула.

Отърваваме се от знаменателя, като умножаваме всички членове на уравнението по x

И решете обичайното уравнение

5x - 2x = 1
3x=1
х = 1/3

Отговор: x = 1/3

Нека решим уравнението по-сложно:

ODZ също присъства тук: x -2.

Решавайки това уравнение, няма да прехвърлим всичко в една посока и да доведем дроби до общ знаменател. Веднага умножаваме двете страни на уравнението по израз, който ще намали всички знаменатели наведнъж.

За да намалите знаменателите, трябва да умножите лявата страна по x + 2, а дясната страна по 2. И така, двете страни на уравнението трябва да се умножат по 2 (x + 2):

Това е най-често срещаното умножение на дроби, което вече обсъдихме по-горе.

Пишем същото уравнение, но по малко по-различен начин.

Лявата страна се намалява с (x + 2), а дясната с 2. След намаляването получаваме обичайното линейно уравнение:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, което съответства на нашия ODZ

Отговор: x = 2.

Решаване на уравнения с дробине е толкова трудно, колкото може да изглежда. В тази статия показахме това с примери. Ако имате някакви затруднения с как се решават уравнения с дроби, след което се отпишете в коментарите.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкривате личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.