Какво показва експоненциалната функция. Урок „Експоненциална функция, нейните свойства и графика

Хипермаркет на знания >>Математика >>Математика 10 клас >>

Експоненциална функция, неговите свойства и графика

Помислете за израза 2x и намерете неговите стойности за различни рационални стойности на променливата x, например за x=2;

Като цяло, независимо каква рационална стойност даваме на променливата x, винаги можем да изчислим съответната числова стойност на израза 2x. По този начин може да се говори за експоненциал функции y=2 x дефинирано върху множеството Q рационални числа:

Нека разгледаме някои свойства на тази функция.

Свойство 1.е нарастваща функция. Извършваме доказателството на два етапа.
Първи етап.Нека докажем, че ако r е положително рационално число, то 2 r >1.
Възможни са два случая: 1) r - естествено число, r = n; 2) обикновени несводими фракция,

От лявата страна на последното неравенство имаме , а от дясната страна 1. Следователно, последното неравенство може да се пренапише като

Така във всеки случай неравенството 2 r > 1 важи, както се изисква.

Втора фаза.Нека x 1 и x 2 са числа, а x 1 и x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(означихме разликата x 2 -x 1 с буквата r).

Тъй като r е положително рационално число, то според това, което беше доказано на първия етап, 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Числото 2x" също е положително, което означава, че произведението 2 x-1 (2 Г -1) също е положително. Така доказахме, че неравенство 2 Xr -2x "\u003e 0.

И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Свойство 2.ограничено отдолу и не ограничено отгоре.
Ограничеността на функцията отдолу следва от неравенството 2 x > 0, което е валидно за всякакви стойности на x от областта на функцията. В същото време, независимо какво положително число се вземе M, винаги може да се избере такъв индикатор x, че да се изпълни неравенството 2 x > M - което характеризира неограничеността на функцията отгоре. Нека да дадем няколко примера.

Свойство 3.няма нито минимална, нито максимална стойност.

Какво няма тази функция най-голямата стойност, очевидно, тъй като, както току-що видяхме, тя не е ограничена отгоре. Но отдолу е ограничено, защо го няма най-малката стойност?

Да предположим, че 2r е най-малката стойност на функцията (r е някакъв рационален показател). Вземете рационално число q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Всичко това е добре, казвате вие, но защо разглеждаме функцията y-2 x само върху множеството от рационални числа, защо не я разглеждаме, както други известни функции, на цялата числова права или на някакъв непрекъснат интервал от числовата права? Какво ни спира? Нека помислим за ситуацията.

Числената права съдържа не само рационални, но и ирационални числа. За изучаваните по-рано функции това не ни притесняваше. Например, ние намерихме стойностите на функцията y = x 2 еднакво лесно както за рационални, така и за ирационални стойности на x: беше достатъчно да квадратурираме дадената стойност на x.

Но с функцията y \u003d 2 x ситуацията е по-сложна. Ако на аргумента x се даде рационална стойност, тогава по принцип x може да се изчисли (връщане в началото на параграфа, където направихме точно това). И ако на аргумента x се даде ирационална стойност? Как да изчислим например? Все още не знаем това.
Математиците са намерили изход; така си говореха.

Известно е, че Помислете за последователност от рационални числа - десетични приближения на число чрез дефицит:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Ясно е, че 1,732 = 1,7320 и 1,732050 = 1,73205. За да избегнем подобни повторения, изхвърляме онези членове на поредицата, които завършват с числото 0.

Тогава получаваме нарастваща последователност:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Съответно, последователността също се увеличава.

Всички членове на тази последователност са положителни числа по-малки от 22, т.е. тази последователност е ограничена. Съгласно теоремата на Вайерщрас (виж § 30), ако една последователност е нарастваща и ограничена, тогава тя се сближава. Освен това от § 30 знаем, че ако една последователност се сближава, то само до една граница. Беше договорено тази единствена граница да се счита за стойност на числов израз. И няма значение, че е много трудно да се намери дори приблизителна стойност на числовия израз 2; важно е това да е конкретно число (в края на краищата не се страхуваме да кажем, че например е коренът на рационално уравнение, корена на тригонометричното уравнение, без наистина да се замисля какви точно са тези числа:
И така, разбрахме какво значение имат математиците в символа 2 ^. По подобен начин може да се определи какво е и изобщо какво е a a, където a е ирационално число и a > 1.
Но какво да кажем, когато 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Сега можем да говорим не само за степени с произволни рационални показатели, но и за степени с произволни реални показатели. Доказано е, че степени с всякакви реални експоненти имат всички обичайни свойства на степени: при умножаване на степени със същите основи експонентите се събират, когато се разделят, се изваждат, при повишаване на степен в степен се умножават и т.н. . Но най-важното е, че сега можем да говорим за функцията y-ax, дефинирана върху множеството от всички реални числа.
Нека се върнем към функцията y \u003d 2 x, да изградим нейната графика. За да направим това, ще съставим таблица със стойности на функциите по \u003d 2 x:

Нека отбележим точките в координатната равнина (фиг. 194), те очертават определена линия, начертават я (фиг. 195).

Свойства на функцията y - 2 x:
1)
2) не е нито четно, нито нечетно; 248
3) увеличава;

5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност;
6) непрекъснат;
7)
8) изпъкнал надолу.

В курса са дадени строги доказателства за изброените свойства на функцията y-2 x висша математика. Някои от тези свойства, които обсъждахме по-рано в една или друга степен, някои от тях са ясно демонстрирани от построената графика (виж фиг. 195). Например, липсата на четност или нечетност на функция е геометрично свързана с липсата на симетрия на графиката, съответно, около оста y или около началото.

Всяка функция от вида y=a x, където a >1, има подобни свойства. На фиг. 196 в една координатна система са построени графики на функции y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Сега нека разгледаме функцията, нека направим таблица със стойности за нея:

Нека маркираме точките на координатната равнина (фиг. 197), те очертават определена линия, начертават я (фиг. 198).

Свойства на функцията

1)
2) не е нито четно, нито нечетно;
3) намалява;
4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност;
6) непрекъснат;
7)
8) изпъкнал надолу.
Всяка функция от вида y \u003d a x, където O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Моля, обърнете внимание: функционални графики тези. y \u003d 2 x, симетрично спрямо оста y (фиг. 201). Това е следствие от общото твърдение (виж § 13): графиките на функциите y = f(x) и y = f(-x) са симетрични спрямо оста y. По същия начин графиките на функциите y \u003d 3 x и

Обобщавайки казаното, ще дадем определение на експоненциалната функция и ще подчертаем най-важните й свойства.

Определение.Функцията за преглед се нарича експоненциална функция.
Основните свойства на експоненциалната функция y \u003d a x

Графиката на функцията y \u003d a x за a> 1 е показана на фиг. 201 и за 0<а < 1 - на рис. 202.

Кривата, показана на фиг. 201 или 202 се нарича експонента. Всъщност математиците обикновено наричат ​​самата експоненциална функция y = a x. Така че терминът "експонента" се използва в два значения: както за името на експоненциалната функция, така и за името на графиката на експоненциалната функция. Обикновено е ясно по смисъл дали говорим за експоненциална функция или за нейната графика.

Обърнете внимание на геометричната характеристика на графиката на експоненциалната функция y \u003d ax: оста x е хоризонталната асимптота на графиката. Вярно е, че това твърдение обикновено се прецизира по следния начин.
Оста x е хоризонталната асимптота на графиката на функцията

С други думи

Първа важна забележка. Учениците често бъркат термините: степенна функция, експоненциална функция. Сравнете:

Това са примери за силови функции;

са примери за експоненциални функции.

Като цяло, y = x r, където r е конкретно число, е степенна функция (аргументът x се съдържа в основата на степента);
y \u003d a", където a е конкретно число (положително и различно от 1), е експоненциална функция (аргументът x се съдържа в експонента).

Атакуваща „екзотична“ функция като y = x“ не се счита нито за експоненциална, нито за степенна (понякога се нарича функция с експоненциална степен).

Втора важна забележка. Обикновено не се разглежда експоненциална функция с основа a = 1 или с база a, удовлетворяваща неравенството a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 и a Факт е, че ако a = 1, тогава за всяка стойност x равенството Ix = 1 е вярно. По този начин експоненциалната функция y \u003d a "за a \u003d 1" се изражда "в постоянна функция y \ u003d 1 - това не е интересно. Ако a = 0, тогава 0x = 0 за всяка положителна стойност на x, т.е. получаваме функцията y = 0, дефинирана за x\u003e 0 - това също не е интересно.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Преди да преминем към решаване на примери, отбелязваме, че експоненциалната функция е значително различна от всички функции, които сте изучавали досега. За да проучите задълбочено нов обект, трябва да го разгледате от различни ъгли, в различни ситуации, така че ще има много примери.
Пример 1

Решение, а) След като начертахме графиките на функциите y = 2 x и y = 1 в една координатна система, забелязваме (фиг. 203), че те имат една обща точка (0; 1). Така че уравнението 2x = 1 има един корен x = 0.

И така, от уравнението 2x = 2° получаваме x = 0.

б) След като построихме графиките на функциите y = 2 x и y = 4 в една координатна система, забелязваме (фиг. 203), че те имат една обща точка (2; 4). Така че уравнението 2x = 4 има един корен x = 2.

И така, от уравнението 2 x \u003d 2 2 получаваме x = 2.

в) и г) Въз основа на същите съображения заключаваме, че уравнението 2 x \u003d 8 има един корен и за да го намерим, може да не се изграждат графики на съответните функции;

ясно е, че x=3, тъй като 2 3 =8. По същия начин намираме единствения корен на уравнението

И така, от уравнението 2x = 2 3 получаваме x = 3, а от уравнението 2 x = 2 x получаваме x = -4.
д) Графиката на функцията y = 2 x се намира над графиката на функцията y = 1 за x\u003e 0 - това се чете добре на фиг. 203. Следователно решението на неравенството 2x > 1 е интервалът
е) Графиката на функцията y = 2 x се намира под графиката на функцията y = 4 при x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Вероятно сте забелязали, че основата на всички заключения, направени при решаването на пример 1, е свойството на монотонност (увеличаване) на функцията y = 2 x. Подобни разсъждения ни позволяват да проверим валидността на следните две теореми.

Решение.Можете да действате по следния начин: построете графика на функцията y-3 x, след това я разтегнете от оста x с коефициент 3 и след това повдигнете получената графика нагоре с 2 мащабни единици. Но е по-удобно да използвате факта, че 3- 3* \u003d 3 * + 1 и следователно начертайте функцията y \u003d 3 x * 1 + 2.

Да преминем, както многократно сме правили в такива случаи, към помощна координатна система с начало в точката (-1; 2) - пунктирани линии x = - 1 и 1x = 2 на фиг. 207. Нека "прикачим" функцията y=3* към нова системакоординати. За да направите това, ние избираме контролни точки за функцията , но ще ги изградим не в старата, а в новата координатна система (тези точки са отбелязани на фиг. 207). След това ще построим експонента по точки - това ще бъде необходимата графика (виж фиг. 207).
За да намерим най-големите и най-малките стойности на дадена функция на отсечката [-2, 2], използваме факта, че дадената функция се увеличава и следователно приема своите най-малки и най-големи стойности, съответно, отляво и десните краища на сегмента.
Така:

Пример 4Решете уравнението и неравенствата:

Решение, а) Да построим графики на функции y=5* и y=6-x в една координатна система (фиг. 208). Те се пресичат в една точка; съдейки по чертежа, това е точката (1; 5). Проверката показва, че всъщност точката (1; 5) удовлетворява както уравнението y = 5*, така и уравнението y=6x. Абсцисата на тази точка служи като единствен корен за дадено уравнение.

И така, уравнението 5 x = 6-x има един корен x = 1.

б) и в) Показателят y-5x лежи над правата линия y=6-x, ако x>1, - това ясно се вижда на фиг. 208. Следователно решението на неравенството 5*>6-x може да се запише по следния начин: x>1. И решението на неравенството 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Отговор: а) x = 1; b)x>1; в) х<1.

Пример 5Дадена функция Докажи това
Решение.По условие имаме.

Решаването на повечето математически задачи по някакъв начин е свързано с преобразуването на числови, алгебрични или функционални изрази. Това се отнася особено за решението. Във вариантите на USE по математика този тип задачи включва по-специално задача C3. Да се ​​научите как да решавате задачи C3 е важно не само за успешното полагане на изпита, но и поради причината, че това умение ще ви бъде полезно при изучаване на курс по математика във висшето образование.

Изпълнявайки задачи C3, трябва да решавате различни видове уравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули (абсолютни стойности), както и комбинирани. Тази статия разглежда основните видове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методи за тяхното решаване. Прочетете за решаването на други видове уравнения и неравенства в заглавието "" в статии, посветени на методи за решаване на C3 задачи от USE вариантите по математика.

Преди да пристъпите към анализа на специфичните експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите някои от теоретичния материал, който ще ни е необходим.

Експоненциална функция

Какво е експоненциална функция?

Функция за преглед г = а х, където а> 0 и а≠ 1, наречен експоненциална функция.

Основен свойства на експоненциална функция г = а х:

Графика на експоненциална функция

Графиката на експоненциалната функция е изложител:

Графики на експоненциални функции (експоненти)

Решение на експоненциални уравнения

показателеннаричани уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в експоненти на всяка степен.

За решения експоненциални уравнениятрябва да знаете и можете да използвате следната проста теорема:

Теорема 1.експоненциално уравнение а е(х) = а ж(х) (където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението е(х) = ж(х).

Освен това е полезно да запомните основните формули и действия със степени:

Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}

Пример 1Решете уравнението:

решение:използвайте горните формули и заместване:

Тогава уравнението става:

Получен дискриминант квадратно уравнениеположителен:

Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}

Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:

Връщайки се към заместването, получаваме:

Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниране. Нека решим второто:

Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.

Отговор: х = 3.

Пример 2Решете уравнението:

решение:уравнението няма ограничения за областта на допустимите стойности, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -хположителен и не е равен на нула).

Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за умножение и деление на степени:

Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.

Отговор:х= 6.

Пример 3Решете уравнението:

решение:двете страни на първоначалното уравнение могат да бъдат разделени на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област). Тогава уравнението приема формата:

Отговор: х = 0.

Пример 4Решете уравнението:

решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:

Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.

Отговор: х = 0.

Пример 5Решете уравнението:

решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, се увеличава. Функция г = —х-2/3, стоящ от дясната страна на уравнението, намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много в една точка. В този случай е лесно да се отгатне, че графиките се пресичат в точката х= -1. Няма да има други корени.

Отговор: х = -1.

Пример 6Решете уравнението:

решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като се има предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на продукта и частичните мощности, дадени в началото на статията:

Отговор: х = 2.

Решаване на експоненциални неравенства

показателеннаречени неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в степените на някои степени.

За решения експоненциални неравенствае необходимо познаване на следната теорема:

Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а е(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: е(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то експоненциално неравенство а е(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: е(х) < ж(х).

Пример 7Решете неравенството:

решение:представят първоначалното неравенство във формата:

Разделете двете части на това неравенство на 3 2 х, и (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът на неравенството няма да се промени:

Нека използваме заместване:

Тогава неравенството приема формата:

И така, решението на неравенството е интервалът:

преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Лявото неравенство, поради положителността на експоненциалната функция, се изпълнява автоматично. Възползвам се известен имотлогаритъм, преминаваме към еквивалентното неравенство:

Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентно (по теорема 2) ще бъде преходът към следното неравенство:

Така че най-накрая получаваме отговор:

Пример 8Решете неравенството:

решение:използвайки свойствата на умножение и деление на степени, ние пренаписваме неравенството във формата:

Нека представим нова променлива:

С това заместване неравенството приема формата:

Умножете числителя и знаменателя на дроба по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:

Така че неравенството е изпълнено следните стойностипроменлива т:

След това, връщайки се към заместването, получаваме:

Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, е еквивалентно (по теорема 2) да преминем към неравенството:

Най-накрая получаваме отговор:

Пример 9Решете неравенството:

решение:

Разделяме двете страни на неравенството с израза:

Той винаги е по-голям от нула (тъй като експоненциалната функция е положителна), така че знакът на неравенството не трябва да се променя. Получаваме:

t , които са в интервала:

Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:

Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:

Пример 10Решете неравенството:

решение:

Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на своя връх:

Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2, които се намират в индикатора, са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в горната си част:

В същото време функцията се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2 от дясната страна на уравнението. То достига най-малката си стойност в същата точка като параболата в експонента и тази стойност е 3 1 = 3. Така че първоначалното неравенство може да бъде вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно вземат стойността , равно на 3 (пресечната точка на диапазоните на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.

Отговор: х= 1.

За да научите как да решавате експоненциални уравнения и неравенства,трябва постоянно да тренирате в тяхното решение. В този труден въпрос, различни учебни помагала, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, часове по математика в училище, както и индивидуални сесиис професионален преподавател. Искрено ви желая успех в подготовката и брилянтни резултатина изпита.

Сергей Валериевич

P.S. Скъпи гости! Моля, не пишете заявки за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление изобщо нямам време за това. Такива съобщения ще бъдат изтрити. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не ви позволиха да решите сами задачата си.

Експоненциална функция

Функция от вида y = a х , където a е по-голямо от нула и a не е равно на единица се нарича експоненциална функция. Основните свойства на експоненциалната функция:

1. Областта на експоненциалната функция ще бъде множеството от реални числа.

2. Обхватът на експоненциалната функция ще бъде множеството от всички положителни реални числа. Понякога този набор се обозначава като R+ за краткост.

3. Ако в експоненциална функция основата a е по-голяма от единица, тогава функцията ще се увеличава в цялата област на дефиниция. Ако експоненциалната функция за основата a удовлетворява следното условие 0

4. Всички основни свойства на степени ще бъдат валидни. Основните свойства на степени са представени от следните равенства:

а х *а г = а (x+y) ;

(а х )/(а г ) = а (x-y) ;

(a*b) х = (а х )*(а г );

(а/б) х = а х /б х ;

(а х ) г = а (x*y) .

Тези равенства ще бъдат валидни за всички реални стойности на x и y.

5. Графиката на експоненциалната функция винаги минава през точката с координати (0;1)

6. В зависимост от това дали експоненциалната функция се увеличава или намалява, нейната графика ще има един от двата вида.

Следната фигура показва графика на нарастваща експоненциална функция: a>0.

Следната фигура е графика на намаляваща експоненциална функция: 0

Както графиката на нарастващата експоненциална функция, така и графиката на намаляващата експоненциална функция, съгласно свойството, описано в пети параграф, преминават през точката (0; 1).

7. Експоненциалната функция няма точки на екстремум, тоест, с други думи, няма минимални и максимални точки на функцията. Ако разгледаме функцията на всеки конкретен сегмент, тогава функцията ще приеме минималните и максималните стойности в края на този интервал.

8. Функцията не е четна или нечетна. Експоненциалната функция е функция общ изглед. Това може да се види и от графиките, нито една от тях не е симетрична нито спрямо оста Oy, нито спрямо началото.

Логаритъм

Логаритмите винаги са се смятали за трудна тема в училищния курс по математика. Има много различни дефиниции на логаритъма, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и лоши от тях.

Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. Нека създадем таблица за това:

И така, имаме правомощия по две. Ако вземете числото от долния ред, тогава лесно можете да намерите степента, до която трябва да вдигнете двойка, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повишите две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да вдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

Определение

Логаритъмоснова а от аргумент x е степента, до която трябва да се повиши числотоа за да получите номерах.

Обозначаване

log a x = b
където a е основата, x е аргументът, b Какъв точно е логаритъмът.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (основният 2 логаритъм на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също да се регистрира 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се наричалогаритъм . Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъмът ще лежи някъде в сегмента. Защото 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват за неопределено време и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (база и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде е аргументът. Да избегна нещастни недоразуменияпросто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Запомнете: логаритъмът е степен , към което трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента.Именно основата е издигната до степен - на снимката е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е отдолу! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме дефиницията - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме това От определението следват две неща. важни факти:

Аргументът и основата трябва винаги да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента рационален индикатор, до което се свежда определението на логаритъма.

Основата трябва да е различна от единица, тъй като единица за всяка степен все още е единица.Поради това въпросът „до каква степен трябва да се издигне човек, за да се получат две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограниченияНаречен валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележи това няма ограничение в брояб (логаритъм стойност) не се припокрива. Например, логаритъмът може да бъде отрицателен: log 2 0,5 = −1, тъй като 0,5 = 2 −1 .

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, при които не се изисква да се знае ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на проблемите. Но когато влязат в действие логаритмичните уравнения и неравенствата, изискванията на DHS ще станат задължителни. Всъщност в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега помислете за генерала схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изпратете фондация a и аргумент x като степен с възможно най-малка основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;

Вземете решение за променлива b уравнение: x = a b ;

Получен номер b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването основата да е по-голяма от единица е много актуално: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Аналогично и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има много пъти по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема конкретни примери:

Изчислете логаритъма: log 5 25

Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Нека направим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получих отговор: 2.

Изчислете логаритъма:

Нека представим основата и аргумента като степен на три: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;

Нека направим и решим уравнението:

Получих отговора: -4.

−4

Изчислете логаритъма: log 4 64

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Нека направим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Получих отговор: 3.

Изчислете логаритъма: log 16 1

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Нека направим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Получен отговор: 0.

Изчислете логаритъма: log 7 14

Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;

От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;

Отговорът е без промяна: дневник 7 14.

дневник 7 14

Малка забележка за последния пример. Как да се уверите, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложете на прости фактори. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.

Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не точна степен;

8, 81 - точна степен; 48, 35, 14 - бр.

Забележете също, че самите прости числа винаги са точни степени на самите себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Определение

Десетичен логаритъмот аргумент x е логаритъмът към основа 10, т.е. степента, до която трябва да вдигнете числото 10, за да получите числотох.

Обозначаване

lg x

Например log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Оттук нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намери lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните.

естествен логаритъм

Има и друг логаритъм, който има собствено обозначение. В известен смисъл тя е дори по-важна от десетичната. Това е заза естествения логаритъм.

Определение

естествен логаритъмот аргумент x е основният логаритъмд , т.е. степента, до която числото трябва да се повишид за да получите номерах.

Обозначаване

ln x

Мнозина ще попитат: какво е числото е? Това е ирационално число точна стойностневъзможно да се намери и запише. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...

Няма да задълбаваме какво представлява този номер и защо е необходим. Просто запомнете, че д - база естествен логаритъм:
вътрешен x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; В д 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са верни за обикновените логаритми.

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се добавят, изваждат и преобразуват по всякакъв възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат ​​основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – нито един сериозен логаритмичен проблем не може да бъде решен без тях. Освен това те са много малко – всичко може да се научи за един ден. Така че нека започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Да разгледаме два логаритъма с една и съща основа: log a x и log a y . След това те могат да се добавят и изваждат и:

дневника х +дневника у = дневника ( х · г );

дневника х −дневника у = дневника ( х : г ).

Така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма на произведението, а разликата е логаритъмът на частното.Забележка: ключов моменттук са същите бази. Ако основите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока " "). Разгледайте примерите - и вижте:

Намерете стойността на израза: log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сума:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са едни и същи, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформации се оказват съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, този контрол - подобни изрази с пълна сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на степента от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма в следните правила:

Лесно е да се види това последно правилоследва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъмът на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Намерете стойността на израза:

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? По целия път последен моментние работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме главната дроб. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дроба - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

На помощ идват формули за преминаване към нова база. Формулираме ги под формата на теорема:

Теорема

Нека логаритъмът се регистрираа х . След това за произволно число c, така че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се заменят основата и аргумента на логаритъма, но в този случай целият израз се „преобръща“, т.е. логаритъмът е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновените числови изрази. Възможно е да се оцени колко удобни са те само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни експоненти. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя от пермутация на фактори, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим на нова основа:

Основна логаритмична идентичност

Често в процеса на решаване се изисква числото да се представи като логаритъм към дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай номерътн става изразител на аргумента. номерн може да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:основна логаритмична идентичност.

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повиши до такава степен, че числото b в тази степен да даде числото a? Точно така: това е същото число а. Прочетете внимателно този абзац отново - много хора се "окачват" на него.

Подобно на новите формули за основно преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача

Намерете стойността на израза:

Решение

Имайте предвид, че log 25 64 = log 5 8 - просто извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножаване на степени с същата база, получаваме:

200

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от изпита :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства – по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се срещат в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за "напреднали" ученици.

log a a = 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът към всяка основаа от самата тази основа равно на едно.

log a 1 = 0 е логаритмична нула. База а може да бъде всичко, но ако аргументът е един - логаритъмът е нула! защотоа 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате прилагането им!

Намерете стойността на израза за различни рационални стойности на променливата x=2; 0; -3; -

Забележете, без значение какво число заместваме вместо променливата x, винаги можете да намерите стойността на този израз. И така, разглеждаме експоненциална функция (y е равно на три на x степента), дефинирана върху набора от рационални числа: .

Нека построим графика на тази функция, като направим таблица с нейните стойности.

Нека начертаем гладка линия, минаваща през тези точки (фиг. 1)

Използвайки графиката на тази функция, разгледайте нейните свойства:

3. Увеличава се в цялата област на дефиниция.

1. диапазон от нула до плюс безкрайност.

8. Функцията е изпъкнала надолу.

Ако в една координатна система да се изградят графики на функции; y=(y е равно на две на x степен, y е равно на пет на x степен, y е равно на седем на x степен), можете да видите, че те имат същите свойства като y=(y е равно три на x степен) ( Фиг. 2), тоест всички функции от вида y = (y е равно на a на степента на x, с по-голямо от едно) ще имат такива свойства

Нека начертаем функцията:

1. Съставяне на таблица с нейните стойности.

Отбелязваме получените точки на координатната равнина.

Нека начертаем гладка линия, минаваща през тези точки (фиг. 3).

Използвайки графиката на тази функция, ние посочваме нейните свойства:

1. Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа.

2. Не е нито четно, нито нечетно.

3. Намалява в цялата област на дефиниция.

4. Няма нито най-голямата, нито най-малката стойност.

5. Ограничено отдолу, но не ограничено отгоре.

6. Непрекъснато в цялата област на дефиниция.

7. стойностен диапазон от нула до плюс безкрайност.

8. Функцията е изпъкнала надолу.

По същия начин, ако в една координатна система да се изградят графики на функции; y=(y е равно на една секунда на x степента, y е равно на една пета на x степента, y е равно на една седма на x степента), можете да видите, че те имат същите свойства като y=(y е равно на една трета на мощност на x). x) (фиг. 4), тоест всички функции от вида y \u003d (y е равно на едно, разделено на a на степента на x, с по-голямо от нула, но по-малко от едно) ще имат такива свойства

Нека построим графики на функции в една координатна система

това означава, че графиките на функциите y = y = (y е равно на a на степента на x и y е равно на единица, разделено на a на степента на x) също ще бъдат симетрични за същата стойност на a .

Ние обобщаваме казаното, като даваме дефиниция на експоненциална функция и посочваме основните й свойства:

определение:Функция от вида y \u003d, където (y е равно на a на степента на x, където a е положително и различно от едно), се нарича експоненциална функция.

Необходимо е да се запомнят разликите между експоненциалната функция y= и степенната функция y=, a=2,3,4,…. както слухово, така и визуално. Експоненциалната функция хе степен и функция за захранване хе основата.

Пример 1: Решете уравнението (три на степен на х е равно на девет)

(y е равно на три на степента на x и y е равно на девет) фиг.7

Имайте предвид, че те имат една обща точка M (2; 9) (em с координати две; девет), което означава, че абсцисата на точката ще бъде коренът на това уравнение. Тоест, уравнението има един корен x = 2.

Пример 2: Решете уравнението

В една координатна система ще построим две графики на функцията y \u003d (y е равно на пет на степента на x и y е равно на една двадесет и пета) Фиг.8. Графиките се пресичат в една точка T (-2; (te с координати минус две; една двадесет и пета). Следователно коренът на уравнението е x = -2 (число минус две).

Пример 3: Решете неравенството

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(y е равно на три на степен на x и y е равно на двадесет и седем).

Фиг.9 Графиката на функцията се намира над графиката на функцията y=when

x Следователно, решението на неравенството е интервалът (от минус безкрайност до три)

Пример 4: Решете неравенството

В една координатна система ще построим две графики на функцията y \u003d (y е равно на една четвърт на степента на x и y е равно на шестнадесет). (фиг. 10). Графиките се пресичат в една точка K (-2;16). Това означава, че решението на неравенството е интервалът (-2; (от минус две до плюс безкрайност), тъй като графиката на функцията y \u003d се намира под графиката на функцията при x

Нашите разсъждения ни позволяват да проверим валидността на следните теореми:

Терем 1: Ако е вярно, ако и само ако m=n.

Теорема 2: Ако е вярно, ако и само ако, тогава неравенството е вярно, ако и само ако (фиг. *)

Теорема 4: Ако е вярно, ако и само ако (фиг.**), неравенството е вярно, ако и само ако Теорема 3: Ако е вярно, ако и само ако m=n.

Пример 5: Графика на функцията y=

Ние модифицираме функцията, като приложим свойството степен y=

Да построим допълнителна системакоординати и в новата координатна система ще построим графика на функцията y \u003d (y е равно на две на степента на x) Фиг.11.

Пример 6: Решете уравнението

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(Y е равно на седем на степен на x и Y е равно на осем минус x) Фиг.12.

Графиките се пресичат в една точка E (1; (e с координати една; седем). Следователно коренът на уравнението е x = 1 (x равно на единица).

Пример 7: Решете неравенството

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(Y е равно на една четвърт на степен на x и Y е равно на x плюс пет). Графиката на функцията y= се намира под графиката на функцията y=x+5 at, решението на неравенството е интервалът x (от минус едно до плюс безкрайност).