Коя от функциите е примерна. Експоненциална функция, нейните свойства и графика - Хипермаркет на знанията

ЕКСПОНЕНЦИАЛНИ И ЛОГАРИТМИЧНИ ФУНКЦИИ VIII

§ 179 Основни свойства на експоненциалната функция

В този раздел ще изследваме основните свойства на експоненциалната функция

y = a х (1)

Припомнете си, че под но във формула (1) имаме предвид всяко фиксирано положително число, различно от 1.

Свойство 1. Областта на експоненциалната функция е множеството от всички реални числа.

Наистина, за положително но изразяване но х дефинирани за всяко реално число х .

Свойство 2. Експоненциална функцияприема само положителни стойности.

Наистина, ако х > 0, тогава, както беше доказано в § 176,

но х > 0.

Ако х <. 0, то

но х =

където - х вече по-голям от нула. Ето защо но - х > 0. Но тогава

но х = > 0.

И накрая, при х = 0

но х = 1.

Второто свойство на експоненциалната функция има проста графична интерпретация. Тя се крие във факта, че графиката на тази функция (виж фиг. 246 и 247) е разположена изцяло над оста x.

Свойство 3. Ако но >1, след това при х > 0 но х > 1, и при х < 0 но х < 1. Ако но < 1, то, напротив, х > 0 но х < 1, и при х < 0 но х > 1.

Това свойство на експоненциалната функция също позволява проста геометрична интерпретация. В но > 1 (фиг. 246) криви y = a х разположени над линията в = 1 при х > 0 и под правата линия в = 1 при х < 0.

Ако но < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a х разположени под линията в = 1 при х > 0 и над тази права линия при х < 0.

Нека дадем строго доказателство за 3-то свойство. Нека бъде но > 1 и х е произволно положително число. Нека покажем това

но х > 1.

Ако номер х рационален ( х = м / н ) , тогава но х = но м / н = н √а м .

Дотолкова доколкото но > 1, тогава но м > 1, но коренът на число, по-голямо от едно, очевидно също е по-голямо от 1.

Ако х ирационални, тогава има положителни рационални числа Х" И Х" , които служат като десетични приближения на числото х :

Х"< х < х" .

Но тогава, по дефиниция на степен c ирационален индикатор

но х" < но х < но х"" .

Както е показано по-горе, номерът но х" повече от един. Следователно броят но х , повече от но х" , също трябва да е по-голямо от 1,

И така, ние го показахме а >1 и произволно положително х

но х > 1.

Ако номерът х беше отрицателна, тогава щяхме да имаме

но х =

където е числото х би било положително. Ето защо но - х > 1. Следователно,

но х = < 1.

По този начин при но > 1 и произволно отрицателно х

но х < 1.

Случай, когато 0< но < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Свойство 4. Ако x = 0, тогава независимо от a но х =1.

Това следва от определението за степен нула; нулевата степен на всяко число, различно от нула, е равна на 1. Графично това свойство се изразява във факта, че за всяко но крива в = но х (виж фиг. 246 и 247) пресича оста в в точката с ордината 1.

Свойство 5. В но >1 експоненциална функция = но х е монотонно нарастваща, а за a < 1 - монотонно намаляваща.

Това свойство също така позволява проста геометрична интерпретация.

В но > 1 (фиг. 246) крива в = но х с растеж х се издига все по-високо и но < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Нека дадем строго доказателство за 5-то свойство.

Нека бъде но > 1 и х 2 > х един . Нека покажем това

но х 2 > но х 1

Дотолкова доколкото х 2 > х 1., тогава х 2 = х 1 + д , където д е някакво положително число. Ето защо

но х 2 - но х 1 = но х 1 + д - но х 1 = но х 1 (но д - 1)

Според 2-ро свойство на експоненциалната функция но х 1 > 0. Тъй като д > 0, тогава по 3-то свойство на експоненциалната функция но д > 1. И двата фактора в продукта но х 1 (но д - 1) са положителни, следователно самият продукт е положителен. означава, но х 2 - но х 1 > 0, или но х 2 > но х 1 , което трябваше да се докаже.

И така, при а > 1 функция в = но х нараства монотонно. По същия начин е доказано, че но < 1 функция в = но х е монотонно намаляваща.

Последица. Ако две степени на едно и също положително число, различно от 1, са равни, тогава техните показатели също са равни.

С други думи, ако

но б = но ° С (но > 0 и но =/= 1),

b = c .

Наистина, ако числата б И от не бяха равни, тогава поради монотонността на функцията в = но х повечето от тях биха отговаряли на но >1 е по-голямо, а при но < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или но б > но ° С , или но б < но ° С . И двете противоречат на условието но б = но ° С . Остава да се признае, че b = c .

Свойство 6. Ако > 1, след това с неограничено увеличаване на аргумента х (х -> ∞ ) стойности на функциите в = но х също растат за неопределено време (в -> ∞ ). С неограничено намаляване на аргумента х (х -> -∞ ) стойностите на тази функция клонят към нула, като остават положителни (в->0; в > 0).

Като се има предвид доказаната по-горе монотонност на функцията в = но х , можем да кажем, че в разглеждания случай функцията в = но х нараства монотонно от 0 до ∞ .

Ако 0 <но < 1, след това с неограничено увеличаване на аргумента x (x -> ∞), стойностите на функцията y \u003d a x клонят към нула, като остават положителни (в->0; в > 0). С неограничено намаляване на аргумента x (х -> -∞ ) стойностите на тази функция нарастват неограничено (в -> ∞ ).

Поради монотонността на функцията y = ax можем да кажем, че в този случай функцията в = но х намалява монотонно от ∞ до 0.

Шестото свойство на експоненциалната функция е ясно отразено на фигури 246 и 247. Няма да го доказваме строго.

Трябва само да установим обхвата на експоненциалната функция y = ax (но > 0, но =/= 1).

По-горе доказахме, че функцията y = ax приема само положителни стойности и нараства монотонно от 0 до ∞ (при но > 1), или намалява монотонно от ∞ до 0 (при 0< но <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = ax когато сменяш някакви скокове? Приема ли някакви положителни стойности? На този въпрос се отговаря положително. Ако но > 0 и но =/= 1, тогава каквото и да е положителното число в 0 трябва да се намери х 0 , така че

но х 0 = в 0 .

(Поради монотонността на функцията y = ax определена стойност х 0 ще бъде единственият, разбира се.)

Доказателството за този факт е извън обхвата на нашата програма. Неговата геометрична интерпретация е тази за всяка положителна стойност в 0 функция графика y = ax трябва да се пресича с линията в = в 0 и освен това само в една точка (фиг. 248).

От това можем да направим следния извод, който формулираме под формата на свойство 7.

Свойство 7. Областта на промяна на експоненциалната функция y \u003d a x (но > 0, но =/= 1)е множеството от всички положителни числа.

Упражнения

1368. Намерете домейните на следните функции:

1369. Кое от дадените числа е по-голямо от 1 и кое по-малко от 1:

1370. Въз основа на какво свойство на експоненциалната функция може да се твърди, че

а) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; б) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Кое число е по-голямо:

но) π - √3 или (1 / π ) - √3; в) (2/3) 1 + √6 или (2/3) √2 + √5 ;

б) ( π / 4) 1 + √3 или ( π / 4) 2; г) (√3 ) √2 - √5 или (√3) √3 - 2 ?

1372. Еквивалентни ли са неравенствата:

1373. Какво може да се каже за числата х И в , ако а х = и у , където но дадено положително число е?

1374. 1) Възможно ли е сред всички стойности на функция в = 2х подчертайте:

2) Възможно ли е сред всички стойности на функциите в = 2 | x| подчертайте:

но) най-висока стойност; б) най-малката стойност?

Експоненциална функцияе обобщение на произведението на n числа, равно на a :
г (n) = a n = a a a a,
към множество реални числа x :
г (x) = x.
Тук a е фиксирано реално число, което се нарича основата на експоненциалната функция.
Извиква се също експоненциална функция с основа a експоненциална към база a.

Обобщението се извършва по следния начин.
За естествен x = 1, 2, 3,... , експоненциалната функция е продукт на x фактори:
.
Освен това има свойствата (1,5-8) (), които следват от правилата за умножение на числата. При нула и отрицателни стойностицели числа , експоненциалната функция се определя по формулите (1.9-10). За дробни стойности x = m/n рационални числа, , се определя по формула (1.11). За реално експоненциалната функция се дефинира като граница на последователността:
,
където е произволна последователност от рационални числа, сходяща към x : .
С тази дефиниция експоненциалната функция е дефинирана за всички , и удовлетворява свойствата (1.5-8), както и за естественото x .

Строга математическа формулировка на дефиницията на експоненциална функция и доказателство за нейните свойства е дадена на страницата "Определение и доказателство на свойствата на експоненциална функция".

Свойства на експоненциалната функция

Експоненциалната функция y = a x има следните свойства на набора от реални числа ():
(1.1) е дефиниран и непрекъснат, за , за всички ;
(1.2) когато a ≠ 1 има много значения;
(1.3) строго нараства при , строго намалява при ,
е постоянна при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други полезни формули
.
Формулата за преобразуване в експоненциална функция с различна мощностна база:

За b = e получаваме израза на експоненциалната функция по отношение на експонента:

Частни ценности

, , , , .

Фигурата показва графики на експоненциалната функция
г (x) = x
за четири стойности степенни бази:a= 2 , а = 8 , а = 1/2 и а = 1/8 . Може да се види, че за > 1 експоненциалната функция монотонно нараства. Колкото по-голяма е основата на степента а, толкова по-силен е растежът. В 0 < a < 1 експоненциалната функция е монотонно намаляваща. Как по-малко индикаторстепен а, толкова по-силно е намалението.

Възходящо, низходящо

Експоненциалната функция при е строго монотонна, така че няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
домейн	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонно	нараства монотонно	намалява монотонно
Нули, y= 0	Не	Не
Точки на пресичане с оста y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратна функция

Реципрочната стойност на експоненциална функция с основа от степен a е логаритъмът към база a.

Ако, тогава
.
Ако, тогава
.

Диференциране на експоненциалната функция

За да се диференцира експоненциална функция, нейната основа трябва да се сведе до числото e, да се приложи таблицата на производните и правилото за диференциране на сложна функция.

За да направите това, трябва да използвате свойството на логаритмите
и формулата от таблицата на производните:
.

Нека е дадена експоненциална функция:
.
Довеждаме го до основата e:

Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. За да направите това, въвеждаме променлива

Тогава

От таблицата на производните имаме (заменете променливата x с z):
.
Тъй като е константа, производната на z спрямо x е
.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.

Производна на експоненциална функция

.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

Пример за диференциране на експоненциална функция

Намерете производната на функция
y= 35 х

Решение

Изразяваме основата на експоненциалната функция чрез числото e.
3 = e log 3
Тогава
.
Въвеждаме променлива
.
Тогава

От таблицата на производните намираме:
.
Дотолкова доколкото 5ln 3е константа, тогава производната на z по отношение на x е:
.
Според правилото за диференциране на сложна функция имаме:
.

Отговор

Интегрална

Изрази по отношение на комплексни числа

Помислете за функцията на комплексното число z:
е (z) = az
където z = x + iy ; и 2 = - 1 .
Изразяваме комплексната константа a чрез модула r и аргумента φ:
a = r e i φ
Тогава


.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. IN общ изглед
φ = φ 0 + 2 пн,
където n е цяло число. Следователно функцията f (z)също е двусмислен. Често се счита за основното му значение
.

Разширяване в серия

.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.

Решаването на повечето математически задачи по някакъв начин е свързано с преобразуването на числови, алгебрични или функционални изрази. Това се отнася особено за решението. Във вариантите на USE по математика този тип задачи включва по-специално задача C3. Да се ​​научиш как да решаваш C3 задачи е важно не само за целта успешна доставкаЕдинен държавен изпит, но и поради причината, че това умение е полезно при изучаване на курс по математика във висшето образование.

Изпълнявайки задачи C3, трябва да решите различни видовеуравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули (абсолютни стойности), както и комбинирани. Тази статия разглежда основните видове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методитехните решения. Прочетете за решаването на други видове уравнения и неравенства под заглавието "" в статии, посветени на методите за решаване на C3 задачи от ИЗПОЛЗВАЙТЕ опцииматематика.

Преди да пристъпите към анализа на специфичните експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите някои теоретичен материалкоито ще ни трябват.

Експоненциална функция

Какво е експоненциална функция?

Функция за преглед г = а х, където а> 0 и а≠ 1, наречен експоненциална функция.

Основен свойства на експоненциална функция г = а х:

Графика на експоненциална функция

Графиката на експоненциалната функция е изложител:

Графики на експоненциални функции (експоненти)

Решение на експоненциални уравнения

показателеннаричани уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в експоненти на всяка степен.

За решения експоненциални уравнениятрябва да знаете и можете да използвате следната проста теорема:

Теорема 1.експоненциално уравнение а е(х) = а ж(х) (където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението е(х) = ж(х).

Освен това е полезно да запомните основните формули и действия със степени:

Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}

Пример 1Решете уравнението:

Решение:използвайте горните формули и заместване:

Тогава уравнението става:

Получен дискриминант квадратно уравнениеположителен:

Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}

Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:

Връщайки се към заместването, получаваме:

Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниране. Нека решим второто:

Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.

Отговор: х = 3.

Пример 2Решете уравнението:

Решение:уравнението няма ограничения за областта на допустимите стойности, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -хположителен и не е равен на нула).

Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за умножение и деление на степени:

Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.

Отговор:х= 6.

Пример 3Решете уравнението:

Решение:двете страни на първоначалното уравнение могат да бъдат разделени на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област). Тогава уравнението приема формата:

Отговор: х = 0.

Пример 4Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:

Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.

Отговор: х = 0.

Пример 5Решете уравнението:

Решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, се увеличава. Функция г = —х-2/3, стоящ от дясната страна на уравнението, намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много в една точка. В този случай е лесно да се отгатне, че графиките се пресичат в точката х= -1. Няма да има други корени.

Отговор: х = -1.

Пример 6Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като се има предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на продукта и частичните мощности, дадени в началото на статията:

Отговор: х = 2.

Решаване на експоненциални неравенства

показателеннаречени неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в степените на някои степени.

За решения експоненциални неравенствае необходимо познаване на следната теорема:

Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а е(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: е(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то експоненциално неравенство а е(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: е(х) < ж(х).

Пример 7Решете неравенството:

Решение:представят първоначалното неравенство във формата:

Разделете двете страни на това неравенство на 3 2 х, и (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът на неравенството няма да се промени:

Нека използваме заместване:

Тогава неравенството приема формата:

И така, решението на неравенството е интервалът:

преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Лявото неравенство, поради положителността на експоненциалната функция, се изпълнява автоматично. Възползвам се известен имотлогаритъм, преминаваме към еквивалентното неравенство:

Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентно (по теорема 2) ще бъде преходът към следното неравенство:

Така че най-накрая получаваме отговор:

Пример 8Решете неравенството:

Решение:използвайки свойствата на умножение и деление на степени, ние пренаписваме неравенството във формата:

Нека представим нова променлива:

С това заместване неравенството приема формата:

Умножете числителя и знаменателя на дроба по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:

Така че неравенството е изпълнено следните стойностипроменлива т:

След това, връщайки се към заместването, получаваме:

Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, е еквивалентно (по теорема 2) да преминем към неравенството:

Най-накрая получаваме отговор:

Пример 9Решете неравенството:

Решение:

Разделяме двете страни на неравенството с израза:

Той винаги е по-голям от нула (тъй като експоненциалната функция е положителна), така че знакът на неравенството не трябва да се променя. Получаваме:

t , които са в интервала:

Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:

Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:

Пример 10Решете неравенството:

Решение:

Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на върха си:

Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2, които се намират в индикатора, са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в горната си част:

В същото време функцията се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2 от дясната страна на уравнението. Тя стига до нея най-малката стойноств същата точка като параболата в експонента и тази стойност е 3 1 = 3. И така, първоначалното неравенство може да бъде вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно вземат стойността 3 в една точка (от пресечната точка на диапазоните на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.

Отговор: х= 1.

За да научите как да решавате експоненциални уравнения и неравенства,трябва постоянно да тренирате в тяхното решение. В този труден въпрос, различни учебни помагала, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, часове по математика в училище, както и индивидуални сесиис професионален преподавател. Искрено ви желая успех в подготовката и брилянтни резултатина изпита.

Сергей Валериевич

P.S. Скъпи гости! Моля, не пишете заявки за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление изобщо нямам време за това. Такива съобщения ще бъдат изтрити. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не ви позволиха да решите сами задачата си.

Намерете стойността на израза за различни рационални стойности на променливата x=2; 0; -3; -

Забележете, без значение какво число заместваме вместо променливата x, винаги можете да намерите стойността на този израз. И така, разглеждаме експоненциална функция (y е равно на три на x степента), дефинирана върху набора от рационални числа: .

Нека построим графика на тази функция, като направим таблица с нейните стойности.

Нека начертаем гладка линия, минаваща през тези точки (фиг. 1)

Използвайки графиката на тази функция, разгледайте нейните свойства:

3. Увеличава се в цялата област на дефиниция.

1. диапазон от нула до плюс безкрайност.

8. Функцията е изпъкнала надолу.

Ако в една координатна система да се изградят графики на функции; y=(y е равно на две на x степен, y е равно на пет на x степен, y е равно на седем на x степен), можете да видите, че те имат същите свойства като y=(y е равно три на x степен) ( Фиг. 2), тоест всички функции от вида y = (y е равно на a на степента на x, с по-голямо от едно) ще имат такива свойства

Нека начертаем функцията:

1. Съставяне на таблица с нейните стойности.

Отбелязваме получените точки на координатната равнина.

Нека начертаем гладка линия, минаваща през тези точки (фиг. 3).

Използвайки графиката на тази функция, ние посочваме нейните свойства:

1. Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа.

2. Не е нито четно, нито нечетно.

3. Намалява в цялата област на дефиниция.

4. Няма нито най-голямата, нито най-малката стойност.

5. Ограничено отдолу, но не ограничено отгоре.

6. Непрекъснато в цялата област на дефиниция.

7. стойностен диапазон от нула до плюс безкрайност.

8. Функцията е изпъкнала надолу.

По същия начин, ако в една координатна система да се изградят графики на функции; y=(y е равно на една секунда на x степента, y е равно на една пета на x степента, y е равно на една седма на x степента), можете да видите, че те имат същите свойства като y=(y е равно на една трета на мощност на x). x) (фиг. 4), тоест всички функции от вида y \u003d (y е равно на едно, разделено на a на степента на x, с по-голямо от нула, но по-малко от едно) ще имат такива свойства

Нека построим графики на функции в една координатна система

това означава, че графиките на функциите y=y= също ще бъдат симетрични (y е равно на a на степента на x и y равно на едноразделено на a на степен x) за същата стойност на a.

Ние обобщаваме казаното, като даваме дефиниция на експоненциална функция и посочваме основните й свойства:

определение:Функция от вида y \u003d, където (y е равно на a на степента на x, където a е положително и различно от едно), се нарича експоненциална функция.

Необходимо е да се запомнят разликите между експоненциалната функция y= и степенната функция y=, a=2,3,4,…. както слухово, така и визуално. Експоненциалната функция хе степен и функция за захранване хе основата.

Пример 1: Решете уравнението (три на степен на х е равно на девет)

(y е равно на три на степента на x и y е равно на девет) фиг.7

Имайте предвид, че те имат една обща точка M (2; 9) (em с координати две; девет), което означава, че абсцисата на точката ще бъде корен дадено уравнение. Тоест, уравнението има един корен x = 2.

Пример 2: Решете уравнението

В една координатна система ще построим две графики на функцията y \u003d (y е равно на пет на степента на x и y е равно на една двадесет и пета) Фиг.8. Графиките се пресичат в една точка T (-2; (te с координати минус две; една двадесет и пета). Следователно коренът на уравнението е x = -2 (число минус две).

Пример 3: Решете неравенството

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(y е равно на три на степен на x и y е равно на двадесет и седем).

Фиг.9 Графиката на функцията се намира над графиката на функцията y=when

x Следователно, решението на неравенството е интервалът (от минус безкрайност до три)

Пример 4: Решете неравенството

В една координатна система ще построим две графики на функцията y \u003d (y е равно на една четвърт на степента на x и y е равно на шестнадесет). (фиг. 10). Графиките се пресичат в една точка K (-2;16). Това означава, че решението на неравенството е интервалът (-2; (от минус две до плюс безкрайност), тъй като графиката на функцията y \u003d се намира под графиката на функцията при x

Нашите разсъждения ни позволяват да проверим валидността на следните теореми:

Терем 1: Ако е вярно, ако и само ако m=n.

Теорема 2: Ако е вярно, ако и само ако, тогава неравенството е вярно, ако и само ако (фиг. *)

Теорема 4: Ако е вярно, ако и само ако (фиг.**), неравенството е вярно, ако и само ако Теорема 3: Ако е вярно, ако и само ако m=n.

Пример 5: Графика на функцията y=

Ние модифицираме функцията, като приложим свойството степен y=

Да построим допълнителна системакоординати и в нова системакоординати, ще начертаем функцията y \u003d (y е равно на две на степента на x) Фиг.11.

Пример 6: Решете уравнението

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(Y е равно на седем на степен на x и Y е равно на осем минус x) Фиг.12.

Графиките се пресичат в една точка E (1; (e с координати една; седем). Следователно коренът на уравнението е x = 1 (x равно на единица).

Пример 7: Решете неравенството

В една координатна система изграждаме две графики на функцията y \u003d

(Y е равно на една четвърт на степен на x и Y е равно на x плюс пет). Графиката на функцията y= се намира под графиката на функцията y=x+5 at, решението на неравенството е интервалът x (от минус едно до плюс безкрайност).