Kasrli ratsional tenglamalarni yechishga misollar. Video dars “Ratsional tenglamalar

\(\bullet\) Ratsional tenglama \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] shaklida ifodalangan tenglama bo'lib, bu erda \(P(x), \ Q(x)\) - polinomlar (har xil darajadagi "xes" yig'indisi, turli raqamlarga ko'paytiriladi).
Tenglamaning chap tomonidagi ifoda ratsional ifoda deyiladi.
Ratsional tenglamaning ODV (qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni) barcha qiymatlari \(x\) bo'lib, ular uchun maxraj yo'qolmaydi, ya'ni \(Q(x)\ne 0\) .
\(\ bullet\) Masalan, tenglamalar \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] ratsional tenglamalardir.
Birinchi tenglamada ODZ hammasi \(x\) shundayki, \(x\ne 3\) (ular yozadilar) \(x\in (-\infty;3)\kupa(3;+\infty)\)); ikkinchi tenglamada bularning barchasi \(x\) , shundayki \(x\ne -1; x\ne 1\) (yozing \(x\in (-\infty;-1)\kupa(-1;1)\kupa(1;+\infty)\)); uchinchi tenglamada esa ODZga cheklovlar yo'q, ya'ni ODZ hammasi \(x\) (ular \(x\in\mathbb(R)\) deb yozadilar). \(\ bullet\) teoremalar:
1) Ikki omilning mahsuloti nolga teng bo'ladi, agar ulardan biri bo'lsa nol, ikkinchisi esa o'z ma'nosini yo'qotmaydi, shuning uchun \(f(x)\cdot g(x)=0\) tenglama tizimga ekvivalentdir. \[\begin(holatlar) \left[ \begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(hizalangan) \end(to'plangan) \o'ng.\\ \ matn (ODV tenglamalari) \end(holatlar)\] 2) kasr nolga teng bo'ladi, agar hisob nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, shuning uchun tenglama \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) tenglamalar sistemasiga ekvivalent \[\begin(holatlar) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(holatlar)\]\(\ bullet\) Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1) \(x+1=\dfrac 2x\) tenglamasini yeching. Keling, ODZ ni topamiz berilgan tenglama Bu \(x\ne 0\) (chunki \(x\) maxrajda).
Demak, ODZni quyidagicha yozish mumkin: .
Keling, barcha atamalarni bir qismga o'tkazamiz va umumiy maxrajga keltiramiz: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightorrow\quad \begin( holatlar) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(holatlar)\] Tizimning birinchi tenglamasining yechimi \(x=-2, x=1\) bo'ladi. Ikkala ildiz ham nolga teng emasligini ko'ramiz. Shuning uchun javob: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) tenglamani yeching \(\chap(\dfrac4x - 2\o'ng)\cdot (x^2-x)=0\). Ushbu tenglamaning ODZ ni topamiz. Chap tomoni mantiqiy bo'lmagan yagona qiymat \(x\) ekanligini ko'ramiz \(x=0\) . Shunday qilib, OD quyidagicha yozilishi mumkin: \(x\in (-\infty;0)\kupa(0;+\infty)\).
Shunday qilib, bu tenglama tizimga ekvivalentdir:

\[\begin(holatlar) \left[ \begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(hizalangan) \end(to'plangan) \o'ng. \\ x\ne 0 \end(holatlar) \to'rt \chap o'ng o'q \to'rt \begin(holatlar) \left[ \begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(hizalangan) \end(yig'ilgan) \o'ng.\\ x\ne 0 \end(holatlar) \to'rt \Chapga o'q \to'rt \begin(holatlar) \left[ \begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(hizalangan) \end(to'plangan) \o'ng.\\ x\ne 0 \end(holatlar) \to'rt \chap o'ng o'q \to'rt \left[ \begin(yig'ilgan) \begin(hizalangan) &x=2\\ &x=1 \end(hizalangan) \end(yig'ilgan) \o'ng.\] Darhaqiqat, \(x=0\) ikkinchi omilning ildizi bo'lishiga qaramay, agar dastlabki tenglamada \(x=0\) o'rniga qo'ysangiz, bu mantiqiy bo'lmaydi, chunki \(\dfrac 40\) ifodasi aniqlanmagan.
Demak, bu tenglamaning yechimi \(x\in \(1;2\)\) dir.

3) tenglamani yeching \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Bizning tenglamamizda \(4x^2-1\ne 0\) , qaerdan \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , ya'ni \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz va umumiy maxrajga keltiramiz:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \to'rt \Chap o'q \to'rt \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\to'rtta \chap o'ng \to'rt \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \to'rt \chap o'ng\)

\(\Chap oʻng oʻq \toʻrt \begin(holatlar) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(holatlar) \toʻrt \chap oʻngga \toʻrt \boshlash(holatlar) (2x-1) )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(holatlar) \to'rt \Chapga o'q \to'rt \begin(holatlar) \left[ \begin(to'plangan) \begin( hizalangan) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(hizalangan)\end(yig'ilgan) \o'ng.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(holatlar) \to'rt \ Chap o'ng strelka \to'rtlik x=-3\)

Javob: \(x\in \(-3\)\) .

Izoh. Agar javob cheklangan sonlar to'plamidan iborat bo'lsa, ular oldingi misollarda ko'rsatilganidek, jingalak qavslar ichida nuqta-vergul bilan ajratilishi mumkin.

Yechilishi kerak bo'lgan vazifalar ratsional tenglamalar, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonida ular har yili uchrashadilar, shuning uchun sertifikatlash testini topshirishga tayyorgarlik ko'rishda bitiruvchilar ushbu mavzu bo'yicha nazariyani mustaqil ravishda takrorlashlari kerak. Bunday vazifalarni bajara olish uchun imtihonning asosiy va profil darajasidan o'tgan bitiruvchilar, albatta, kerak. Nazariyani o'zlashtirgan va shug'ullangan amaliy mashqlar"Ratsional tenglamalar" mavzusida talabalar istalgan miqdordagi harakatlar bilan muammolarni hal qilishlari va imtihondan o'tish natijalariga ko'ra raqobatbardosh ball olishni kutishlari mumkin.

"Shkolkovo" ta'lim portali bilan imtihonga qanday tayyorgarlik ko'rish kerak?

Ba'zan matematik muammolarni hal qilishning asosiy nazariyasi to'liq taqdim etilgan manbani topish juda qiyin. Darslik shunchaki qo'lda bo'lmasligi mumkin. Va ba'zida Internetda kerakli formulalarni topish juda qiyin.

"Shkolkovo" ta'lim portali sizni izlash zaruratidan xalos qiladi to'g'ri material va sertifikatlash testidan o'tish uchun yaxshi tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.

"Ratsional tenglamalar" mavzusidagi barcha kerakli nazariyalar bizning mutaxassislarimiz tomonidan tayyorlangan va eng qulay shaklda taqdim etilgan. Taqdim etilgan ma'lumotlarni o'rganish orqali talabalar bilimlardagi bo'shliqlarni to'ldirishlari mumkin.

Uchun muvaffaqiyatli tayyorgarlik imtihon uchun bitiruvchilar nafaqat asosiy bilimlarni oshirishlari kerak nazariy material«Ratsional tenglamalar» mavzusida, balki topshiriqlarni bajarishni mashq qilish aniq misollar. Katta tanlov vazifalar "Katalog" bo'limida keltirilgan.

Saytdagi har bir mashq uchun bizning mutaxassislarimiz yechim algoritmini belgilab, to'g'ri javobni ko'rsatdilar. Talabalar tayyorgarlik darajasiga qarab turli qiyinchilikdagi masalalarni yechishni mashq qilishlari mumkin. Tegishli bo'limdagi vazifalar ro'yxati doimiy ravishda to'ldiriladi va yangilanadi.

Nazariy materialni o'rganing va "Ratsional tenglamalar" mavzusiga kiritilgan masalalarga o'xshash masalalarni yechish ko'nikmalarini rivojlantiring. testlardan foydalanish, onlayn qilishingiz mumkin. Agar kerak bo'lsa, taqdim etilgan vazifalardan istalgan birini "Sevimlilar" bo'limiga qo'shish mumkin. “Ratsional tenglamalar” mavzusidagi asosiy nazariyani yana bir bor takrorlab, o'rta maktab o'quvchisi kelajakda muammoga qaytib, algebra darsida o'qituvchi bilan uning yechilish jarayonini muhokama qilishi mumkin.

Dars maqsadlari:

Qoʻllanma:

• kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish;
• kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish;
• kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish;
• kasr ratsional tenglamalarni algoritm bo’yicha yechishga o’rgatish;
• test ishini o'tkazish orqali mavzuni o'zlashtirganlik darajasini tekshirish.

Rivojlanayotgan:

• olingan bilimlar bilan to'g'ri harakat qilish, mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish;
• intellektual qobiliyatlarni va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va umumlashtirish;
• tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati, u erda to'xtab qolmaslik;
• rivojlanish tanqidiy fikrlash;
• tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

• tarbiya kognitiv qiziqish mavzuga;
• ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash;
• yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment.

Salom bolalar! Tenglamalar doskaga yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng qismlar kasr bo'lgan tenglamalar ratsional ifodalar, kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, biz daftarlarni ochamiz va darsning "Kasr ratsional tenglamalarni echish" mavzusini yozamiz.

2. Bilimlarni dolzarblashtirish. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz yangi mavzu. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama nima? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)
2. №1 tenglama nima deyiladi? ( Chiziqli.) Yechish usuli chiziqli tenglamalar. (Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. O'xshash shartlarni keltiring. Noma’lum ko‘paytuvchini toping).
3. 3-tenglama nima deb ataladi? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni yechish usullari. ( Vyeta teoremasidan foydalanib, formulalar bo'yicha to'liq kvadratni tanlash va uning oqibatlari.)
4. Proporsiya nima? ( Ikki munosabatlarning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik rost boʻlsa, uning ekstremal hadlari koʻpaytmasi oʻrta hadlar koʻpaytmasiga teng boʻladi.)
5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamada atamani belgisini o'zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazsak, u holda berilganga teng tenglamani olamiz. 2. Agar tenglamaning ikkala qismi bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama olinadi..)
6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga, maxraj esa nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng.)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskada yeching.

Javob: 10.

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga harakat qila olasiz? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

No4 tenglamani daftar va doskada yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Javob: 3;4.

Endi №7 tenglamani usullardan biri bilan yechishga harakat qiling.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Javob: 0;5;-2.			Javob: 5;-2.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasrli ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelishmagan, ular uchun bu nima uchun sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

• No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda sonning maxrajida, No 5-7 - o'zgaruvchiga ega bo'lgan ifodalar..)
• Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama haqiqiy tenglikka aylanadigan o'zgaruvchining qiymati.)
• Raqam tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinovni bajarayotganda, ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etadigan kasrli ratsional tenglamalarni echish usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, demak, 5 begona ildiz bo'ladi.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Algoritmni bolalar o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chapga siljiting.
2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.
3. Tizim tuzing: agar hisob nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng.
4. Tenglamani yeching.
5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.
6. Javobni yozing.

Munozara: proporsiyaning asosiy xossasi va tenglamaning har ikki tomonini umumiy maxrajga ko‘paytirish ishlatilsa, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimni to'ldiring: umumiy maxrajni nolga aylantirganlarni uning ildizidan chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni birlamchi tushunish.

Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani mustaqil yechish usulini tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, Yu.N. Makarychev, 2007: № 600 (b, c, i); № 601 (a, e, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, paydo bo'lgan savollarga javob beradi va yomon o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: Javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 - begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 - begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1; 1,5.

5. Uy vazifasini bayon qilish.

1. Darslikning 25-bandini o‘qing, 1-3-misollarni tahlil qiling.
2. Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.
3. No600 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 601 (g, h).
4. № 696(a) ni hal qilishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish varaqlarda amalga oshiriladi.

Ishga misol:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lsa, kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-sonli tenglamaning ildizi hisoblanadimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Vazifalarni baholash mezonlari:

• Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig‘ini to‘g‘ri bajargan bo‘lsa, “5” beriladi.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi.
• 2-sinf jurnalga qo'yilmaydi, 3 - ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish bilan varaqalar ustiga qo'ying:

• 1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa;
• 2 - qiziqarli, ammo aniq emas;
• 3 - qiziq emas, lekin tushunarli;
• 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Shunday qilib, bugun darsda biz kasrli ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. turli yo'llar bilan, treninglar yordamida bilimlarini sinovdan o‘tkazdilar mustaqil ish. Mustaqil ish natijalarini keyingi darsda bilib olasiz, uyda siz olingan bilimlarni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Sizningcha, kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usuli qanday bo'lishidan qat'i nazar, nimani esdan chiqarmaslik kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning “ayyorligi” nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.

Qaror kasrli ratsional tenglamalar

Yordam yoʻriqnomasi

Ratsional tenglamalar chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalardir.

(Esingizda bo'lsin, ratsional ifodalar butun sonlar va kasrli ifodalar radikallarsiz, shu jumladan qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish amallari - masalan: 6x; (m – n)2; x/3y va boshqalar)

Kasr-ratsional tenglamalar, qoida tariqasida, quyidagi shaklga keltiriladi:

Qayerda P(x) va Q(x) polinomlardir.

Bunday tenglamalarni yechish uchun tenglamaning ikkala tomonini Q(x) ga ko'paytiring, bu esa begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun kasr ratsional tenglamalarni yechishda topilgan ildizlarni tekshirish kerak.

Ratsional tenglama, agar o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodaga bo'linmasa, butun son yoki algebraik tenglama deyiladi.

Butun ratsional tenglamaga misollar:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Agar ratsional tenglamada (x) o'zgaruvchisi bo'lgan ifodaga bo'linish bo'lsa, u holda tenglama kasr ratsional deb ataladi.

Kasrli ratsional tenglamaga misol:

15
x + - = 5x - 17
x

Kasr ratsional tenglamalar odatda quyidagicha yechiladi:

1) kasrlarning umumiy maxrajini toping va tenglamaning ikkala qismini unga ko'paytiring;

2) olingan butun tenglamani yechish;

3) kasrlarning umumiy maxrajini nolga aylantiradiganlarni uning ildizidan chiqarib tashlash.

Butun va kasr ratsional tenglamalarni yechishga misollar.

Misol 1. Butun tenglamani yeching

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Qaror:

Eng kichik umumiy maxrajni topish. Bu 6. 6 ni maxrajga bo'ling va natijani har bir kasrning soniga ko'paytiring. Biz shunga o'xshash tenglamani olamiz:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Chap va o'ng tomonlardan beri bir xil maxraj, uni o'tkazib yuborish mumkin. Keyin biz oddiyroq tenglamaga ega bo'lamiz:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Biz buni qavslarni ochish va shunga o'xshash atamalarni qisqartirish orqali hal qilamiz:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Misol hal qilindi.

2-misol. Kasrli ratsional tenglamani yeching

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Biz umumiy maxrajni topamiz. Bu x(x - 5). Shunday qilib:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Endi biz yana maxrajdan qutulamiz, chunki u barcha iboralar uchun bir xil. Biz kabi shartlarni kamaytiramiz, tenglamani nolga tenglaymiz va olamiz kvadrat tenglama:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Kvadrat tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: -2 va 5.

Keling, bu raqamlar asl tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirib ko'raylik.

X = –2 uchun umumiy maxraj x(x – 5) yo’qolmaydi. Demak, -2 asl tenglamaning ildizidir.

X = 5 bo'lsa, umumiy maxraj yo'qoladi va uchta ifodadan ikkitasi o'z ma'nosini yo'qotadi. Demak, 5 raqami asl tenglamaning ildizi emas.

Javob: x = -2

Ko'proq misollar

1-misol

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Javob: -2,2; 6.

2-misol

Kasrli tenglamalarni yechish misollarni ko'rib chiqamiz. Misollar oddiy va tushunarli. Ularning yordami bilan siz eng tushunarli tarzda tushunishingiz mumkin.
Masalan, oddiy x/b + c = d tenglamasini yechish kerak.

Bunday turdagi tenglama chiziqli deb ataladi, chunki maxraj faqat raqamlarni o'z ichiga oladi.

Yechim tenglamaning ikkala tomonini b ga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi, keyin tenglama x = b* (d - c) ko'rinishini oladi, ya'ni. chap tomondagi kasrning maxraji qisqaradi.

Masalan, qanday hal qilish kerak kasr tenglamasi:
x/5+4=9
Ikkala qismni 5 ga ko'paytiramiz. Biz quyidagilarni olamiz:
x+20=45
x=45-20=25

Noma'lum maxrajda bo'lgan boshqa misol:

Ushbu turdagi tenglamalar kasrli ratsional yoki oddiy kasr deb ataladi.

Biz kasr tenglamasini kasrlardan xalos bo'lish yo'li bilan yechamiz, shundan so'ng bu tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadrat tenglamaga aylanadi va u odatiy tarzda echiladi. Siz faqat quyidagi fikrlarni hisobga olishingiz kerak:

• maxrajni 0 ga aylantiruvchi o‘zgaruvchining qiymati ildiz bo‘la olmaydi;
• tenglamani =0 ifodasiga bo'lish yoki ko'paytirish mumkin emas.

Bu erda ruxsat etilgan qiymatlar maydoni (ODZ) kabi tushuncha kuchga kiradi - bu tenglama mantiqiy bo'lgan tenglama ildizlarining qiymatlari.

Shunday qilib, tenglamani yechishda ildizlarni topish va keyin ularni ODZga muvofiqligini tekshirish kerak. Bizning DHSga mos kelmaydigan ildizlar javobdan chiqarib tashlanadi.

Masalan, kasr tenglamasini echishingiz kerak:

Yuqoridagi qoidaga asoslanib, x = 0 bo'lishi mumkin emas, ya'ni. Bu holda ODZ: x - noldan boshqa har qanday qiymat.

Biz tenglamaning barcha a'zolarini x ga ko'paytirish orqali maxrajdan qutulamiz

Va odatiy tenglamani yeching

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Javob: x = 1/3

Keling, tenglamani yanada murakkabroq hal qilaylik:

Bu erda ODZ ham mavjud: x -2.

Ushbu tenglamani yechish, biz hamma narsani bir yo'nalishda o'tkazmaymiz va kasrlarni umumiy maxrajga keltirmaymiz. Biz darhol tenglamaning ikkala tomonini barcha maxrajlarni bir vaqtning o'zida kamaytiradigan ifoda bilan ko'paytiramiz.

Maxrajlarni kamaytirish uchun chap tomonni x + 2 ga, o'ng tomonini 2 ga ko'paytirish kerak. Shunday qilib, tenglamaning ikkala tomonini 2 (x + 2) ga ko'paytirish kerak:

Bu biz yuqorida muhokama qilgan kasrlarning eng keng tarqalgan ko'paytmasidir.

Biz bir xil tenglamani yozamiz, lekin biroz boshqacha tarzda.

Chap tomoni (x + 2), o'ng tomoni esa 2 ga kamaytiriladi. Qisqartirilgandan so'ng biz odatdagi chiziqli tenglamani olamiz:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, bu bizning ODZ ga mos keladi

Javob: x = 2.

Kasrli tenglamalarni yechish tuyulishi mumkin bo'lgan darajada qiyin emas. Ushbu maqolada biz buni misollar bilan ko'rsatdik. Agar biron bir qiyinchilikka duch kelsangiz kasrli tenglamalarni yechish usullari, keyin izohlarda obunani bekor qiling.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va/yoki jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.