Bir xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish mumkin. Kasrlarni qo'shish va ayirish

Ushbu darsda biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqamiz. Biz allaqachon bir xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Bir xil maxrajli kasrlar bilan ishlash ko'nikmasi algebraik kasrlar bilan ishlash qoidalarini o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish yanada murakkab mavzuni - har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirishni osonlashtiradi. Darsning bir qismi sifatida biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

Maxrajlari bir xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-va-che-dro-bey bilan yakkama-yakka-siz - mi-know-on-te-la-mi (bu oddiy-lekin-ven-nyh-dr-bay uchun ana-logik bosh barmog'i bilan co-pa-yes-et): Bu qo'shimcha uchun yoki you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey bilan bir-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi zarur -ho-di-mo bilan -li-te-lei sonining veterina-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum bilan turish va iz-me-siz iz-me-on-tel izni. yo'q.

Biz bu o'ng-vi-loni oddiy-lekin-tomir-otish-kaltaklar misolida ham, al-geb-ra-va-che-dro-bey misolida ham tahlil qilamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim

Keling, raqamni qo'shamizmi-yo'qmi-ular-chizadi-uradimi va tel-telefonda imzo qo'yaylik. Shundan so'ng biz son-li-tel va signal-me-on-telni oddiy ko'paytiruvchilarga va so-kra-timga ajratamiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: standart xatolik, men yaxshi misolda hal qilishda biror narsani boshlayman, masalan -key-cha-et-sya uchun quyidagi-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Bu qo'pol xatodir, chunki tel orqali ro'yxatdan o'tish asl kasrlardagi kabi qoladi.

2-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim

Bu za-da-cha avvalgisidan-cha-et-sya-yo'qmi:.

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Odatiy-lekin-ven-nyh dro-bay per-rey-demdan al-geb-ra-i-che-skimgacha.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-va-che-dro-bey qo'shilishi zhe-niya odatda-lekin-ven-nyh dro-bay dan-is-cha-is-sya hech narsa emas. Shuning uchun, hal qilish usuli bir xil:.

Misol 4. Siz-hurmat kasrlar:.

Yechim

You-chi-ta-nie al-geb-ra-va-che-dro-bey dan-cha-et-sya-dan-yo'qmi asoratdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida. sonidagi farq-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Shunung uchun .

Misol 5. Siz-hurmat kasrlar:.

Yechim: .

Misol 6. Soddalashtiring:.

Yechim: .

Qoidani qo'llashdan keyin qisqartirish misollari

Kasrda, kimdir-jannat re-zul-ta-o'sha qo'shilishda yoki siz-chi-ta-nia, go'zal niya bilan hamkorlik qilish mumkin. Bundan tashqari, siz ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring:.

Yechim: .

Qayerda. Umuman olganda, agar issiqdan tashqarida boyo'g'li boyo'g'li-pa-yes-et bo'lsa, ODZ umumiy yig'ilishning ODZ-ga ega bo'lsa, unda siz uni ko'rsata olmaysiz (oxir-oqibat, kasr lu-chen- naya in-ve-those, co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ODZ ishlaydigan dro-bay manbai bo'lsa va from-ve-that co-pa-yes-et bo'lmasa, ODZ ehtiyoj-ho-di-moni ko'rsatadi.

Misol 8. Soddalashtiring:.

Yechim: . Shu bilan birga, y (chiqib chiquvchi chizmaning ODZ-si re-zul-ta-taning ODZ-ga to‘g‘ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish

Saqlash va siz-chi-tat al-geb-ra-va-che-kasrlarni har xil-biz-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu bilan odatdagidan- but-ven-ny-mi dro-bya-mi va uni al-geb-ra-va-che-kasrlarga qayta-qayta emas-sem.

Ras-oddiy venoz tortishish uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqing.

1-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim:

Keling, o'ng-vi-lo-slo-drow-bayni eslaylik. Na-cha-la kasrlar uchun umumiy belgi-me-to-te-luga-ve-sti qo'shish kerak. Oddiy-lekin-tomir-chizish-beats uchun umumiy belgisi-me-on-te-la rolida, you-stu-pa-et eng kichik umumiy karra(NOK) -me-on-the-lei belgilarining manbai.

Ta'rif

Eng kichik-bo'yin-tu-ral-soni, kimdir-to'dasi bir vaqtning o'zida raqamlarga de-litlanadi va.

MOQni topish uchun siz oddiy multiplikatorlarga aylanib, so'ngra hamma narsani tanlashni tanlashingiz kerak - ular juda ko'p, ularning ba'zilari ikkalasi orasidagi farqga kiritilgan lei-me-on-the-lei.

; . Keyin raqamlar LCM ikki ikki va ikki uch o'z ichiga olishi kerak:.

Te-la umumiy belgisini topgandan so'ng, dro-baylarning har biri qo'shimcha multi-ji-tel (fak-ti-che-ski, umumiy belgini to'kib tashlashda) topishi kerak. on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th- fraction).

Keyin, har bir kasr yarim-chen-ny-yarim-no-tel-ny multiplikatoriga ko'paytiriladi. Bir xil-to-you-know-me-on-te-la-mi, omborlar va siz-chi-tat kimgadir bilan kasrlar - o'tgan darslarda o'rganilgan.

By-lu-cha-eat: .

Javob:.

Ras-look-rim endi turli belgilar-me-on-te-la-mi bilan al-geb-ra-va-che-dro-beyning burmasi. Uxlash-cha-la, biz kasrlarga qaraymiz, ularning ba'zilari-la-yut-sya soni-la-mi yoki yo'qligini bilamiz.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim:

Al-go-ritmi re-she-niya ab-so-lyut-lekin ana-lo-gi-chen oldingi-du-sche-mu p-me-ru. Berilgan kasrlar bo'yicha umumiy maxrajni olish oson: va ularning har biri uchun to'liq ko'paytirgichlar.

Javob:.

Shunday qilib, sfor-mu-li-ru-em asoratning al-go-ritmi va siz-chi-ta-niya al-geb-ra-va-che-dro-beats turli-biz-biz-me-on-te-la-mi bilan bilasiz.:

1. Eng kichik umumiy sign-me-on-tel draw-bay toping.

2. Har bir tortma kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping).

3. Ko-ot-vet-stu-u-s-upda-yarim-yo'q-tel-nye-ko'p-o'sha-yarim-yo'qmi, jonli sonlarni-ko'paytiring.

4. Qo'shish-to-jonli yoki kasrlarni hurmat qiling, o'ng-wi-la-mi buklama va you-chi-ta-niya chizish-bay bir-to-you-know -me-on- bilan foydalaning. te-la-mi.

Ras-look-rim endi dro-bya-mi bilan misol, nou-me-on-the-le-there-here-rere-rere-beech-ven-nye you-ra-bir xil - tion.

Kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda qo'llanilishi mumkin bo'lgan eng muhim fanlardan biri bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish, diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. “Matematika” kursida alohida e’tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo’shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qanday ayirish mumkin

Kasrlar - bu turli xil harakatlarni bajarishingiz mumkin bo'lgan bir xil raqamlar. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda siz ularning ba'zi xususiyatlari va qoidalarini o'rganishingiz kerak. Eng oddiy holat - maxrajlari bir xil son sifatida ifodalangan oddiy kasrlarni ayirish. Agar siz oddiy qoidani bilsangiz, ushbu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:

Bittadan ikkinchi kasrni ayirish uchun ayirish kerak bo'lgan kasrning sonini ayirish kerak. Biz bu raqamni farqning soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k / m - b / m = (k-b) / m.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni ayirish misollari

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

“7” kamaytirilgan kasrning sanoqchisidan “3” ayirilgan kasrning hisoblagichini ayirib, “4”ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - "19".

Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga o'xshash misollar ko'rsatilgan.

Bir xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar ayirilsa, murakkabroq misolni ko'rib chiqing:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"29" qisqartirilgan kasrning sonidan keyingi barcha kasrlarning soni - "3", "8", "2", "7" ni ayirish orqali. Natijada, biz javobning numeratoriga yozadigan "9" natijasini olamiz va maxrajga biz ushbu barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan sonni yozamiz - "47".

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsip bo'yicha amalga oshiriladi.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish kerak. Olingan son yig'indining ayiruvchisi bo'lib, maxraj bir xil bo'lib qoladi: k/m + b/m = (k + b)/m.

Keling, misolda qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kasrning birinchi hadining hisoblagichiga - "1" - kasrning ikkinchi hadining soni - "2" ni qo'shamiz. Natija - "3" - miqdorning numeratoriga yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgani kabi qoldiriladi - "4".

Turli xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish

Biz allaqachon bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar bilan harakatni ko'rib chiqdik. Ko'rib turganingizdek, oddiy qoidalarni bilish, bunday misollarni hal qilish juda oson. Ammo har xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan amalni bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan chalkashib ketishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu erda ham shunday qoida mavjud bo'lib, ularsiz bunday kasrlarni hal qilish mumkin emas.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga kamaytirish kerak.

Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.

Kasr xossasi

Bir necha kasrni bir xil maxrajga keltirish uchun eritmada kasrning asosiy xossasidan foydalanish kerak: pay va maxrajni bir xil songa bo’lish yoki ko’paytirishdan keyin berilgan kasrga teng kasr olinadi.

Demak, masalan, 2/3 kasrda "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlar bo'lishi mumkin, ya'ni u "3" ga karrali har qanday son kabi ko'rinishi mumkin. Numerator va maxrajni "2" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 4/6 qismini olamiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash harakatni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglamada buni quyidagicha yozish mumkin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday keltirish mumkin

Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqing. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni oling. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Buni osonlashtirish uchun keling, mavjud maxrajlarni omillarga ajratamiz.

1/2 kasrning maxraji va 2/3 kasrni koeffitsientga ajratib bo'lmaydi. 7/9 ning maxraji ikkita omilga ega 7/9 = 7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6 = 5/(2 x 3). Endi siz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashingiz kerak. Birinchi kasr maxrajda “2” raqamiga ega bo‘lganligi sababli, u barcha maxrajlarda bo‘lishi shart, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya’ni ularning ikkalasi ham maxrajda bo‘lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olib, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3 = 18 ga teng.

Birinchi kasrni ko'rib chiqing - 1/2. Uning maxraji "2" ni o'z ichiga oladi, lekin bitta "3" yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uchga ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uch barobarga ko'paytirishimiz kerak:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Xuddi shunday, biz qolgan kasrlar bilan amallarni bajaramiz.

2/3 - maxrajda bitta uch va bitta ikkitasi etishmayapti:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 yoki 7 / (3 x 3) - maxrajda ikkilik yo'q:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchlik yo'q:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hammasi birgalikda quyidagicha ko'rinadi:

Turli xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish va qo'shish

Yuqorida aytib o'tilganidek, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak, keyin esa bir xil maxrajli kasrlarni ayirish qoidalaridan foydalanish kerak, bu esa allaqachon tasvirlangan.

Buni misol bilan ko'rib chiqing: 4/18 - 3/15.

18 va 15 ning karralarini topish:

18 raqami 3 x 2 x 3 dan iborat.
15 raqami 5 x 3 dan iborat.
Umumiy ko'paytma quyidagi omillardan iborat bo'ladi 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Maxraj topilgandan so'ng, har bir kasr uchun har xil bo'ladigan koeffitsientni hisoblash kerak, ya'ni faqat maxrajni emas, balki sonni ham ko'paytirish kerak bo'lgan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) qo'shimcha omillarni aniqlash kerak bo'lgan kasrning maxrajiga ajratamiz.

90 15 ga bo'linadi. Natijada "6" soni 3/15 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.
90 18 ga bo'linadi. Natijada "5" soni 4/18 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Bizning yechimimizdagi keyingi qadam har bir kasrni "90" maxrajiga keltirishdir.

Bu qanday amalga oshirilganligini biz allaqachon muhokama qildik. Keling, bu misolda qanday yozilganligini ko'rib chiqaylik:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Agar kichik sonli kasrlar bo'lsa, unda siz quyidagi rasmda ko'rsatilgan misolda bo'lgani kabi umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.

Xuddi shunday ishlab chiqarilgan va turli xil denominatorlarga ega.

Ayirish va butun qismlarga ega bo'lish

Kasrlarni ayirish va ularni qo'shish, biz allaqachon batafsil tahlil qildik. Ammo kasrda butun son bo'lsa, qanday ayirish mumkin? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:

Butun qismga ega bo'lgan barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring. Oddiy so'zlar bilan aytganda, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning soni kasrning maxrajiga ko'paytiriladi, natijada olingan mahsulot hisoblagichga qo'shiladi. Ushbu harakatlardan keyin olinadigan raqam noto'g'ri kasrning numeratoridir. Maxraj o'zgarishsiz qoladi.
Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni bir xilga qisqartirish kerak.
Xuddi shu maxrajlar bilan qo‘shish yoki ayirish amallarini bajaring.
Noto'g'ri kasrni olganingizda, butun qismni tanlang.

Butun sonli kasrlarni qo'shish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun sonlar bilan alohida, kasrlar bilan alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.

Yuqoridagi misol bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ularni bir xilga qisqartirish kerak va keyin misolda ko'rsatilgandek amallarni bajaring.

Butun sondan kasrlarni ayirish

Kasrlar bilan harakatlarning yana bir navi - bu kasrni ayirish kerak bo'lganda, bir qarashda bunday misolni echish qiyin ko'rinadi. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Uni yechish uchun butun sonni kasrga aylantirish kerak va ayirish kerak bo'lgan kasrda bo'lgan bunday maxraj bilan. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Masalan, u quyidagicha ko'rinadi:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ushbu maqolada keltirilgan kasrlarni ayirish (6-sinf) keyingi sinflarda ko'rib chiqiladigan murakkabroq misollarni echish uchun asosdir. Ushbu mavzu bo'yicha bilimlar keyinchalik funksiyalarni, hosilalarni va hokazolarni yechish uchun ishlatiladi. Shuning uchun, yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan harakatlarni tushunish va tushunish juda muhimdir.

Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish va ayirish
Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish
MOQ tushunchasi
Kasrlarni bir xil maxrajga keltirish
Butun son va kasrni qanday qo'shish kerak

1 maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish va ayirish

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun siz ularning hisoblarini qo'shishingiz va maxrajni bir xil qoldirishingiz kerak, masalan:

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning soni ayiriladi va maxraj bir xil bo'ladi, masalan:

Aralash kasrlarni qo'shish uchun siz ularning butun qismlarini alohida qo'shishingiz kerak, keyin esa ularning kasr qismlarini qo'shishingiz va natijani aralash kasr sifatida yozishingiz kerak,

Agar kasr qismlarni qo'shganda, noto'g'ri kasr olinsa, biz undan butun qismni tanlaymiz va uni butun qismga qo'shamiz, masalan:

2 maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish va ayirish

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun avval ularni bir xil maxrajga keltiring, so'ngra ushbu maqolaning boshida ko'rsatilgandek davom eting. Bir nechta kasrlarning umumiy maxraji LCM (eng kichik umumiy karrali) hisoblanadi. Har bir kasrning numeratori uchun LCMni ushbu kasrning maxrajiga bo'lish orqali qo'shimcha omillar topiladi. LCM nima ekanligini tushunganimizdan so'ng, biz misolni keyinroq ko'rib chiqamiz.

3 Eng kichik umumiy karrali (LCM)

Ikki sonning eng kichik umumiy karrali (LCM) bu ikkala songa qoldiqsiz boʻlinadigan eng kichik natural sondir. Ba'zan LCMni og'zaki ravishda topish mumkin, lekin ko'pincha, ayniqsa katta raqamlar bilan ishlaganda, siz quyidagi algoritmdan foydalangan holda LCMni yozma ravishda topishingiz kerak:

Bir nechta raqamlarning LCM ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:

Bu raqamlarni tub omillarga ajrating
Eng katta kengayishni oling va bu raqamlarni mahsulot sifatida yozing
Boshqa kengaytmalarda eng katta kengayishda uchramaydigan raqamlarni tanlang (yoki unda kamroq marta uchraydi) va ularni mahsulotga qo'shing.
Mahsulotdagi barcha raqamlarni ko'paytiring, bu LCM bo'ladi.

Masalan, 28 va 21 raqamlarining LCM ni topamiz:

4Kasrlarni bir xil maxrajga keltirish

Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qaytaylik.

Kasrlarni ikkala maxrajning LCM ga teng bo'lgan bir xil maxrajga keltirganimizda, biz bu kasrlarning sonlarini ko'paytirishimiz kerak. qo'shimcha multiplikatorlar. Siz ularni LCM ni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'lish orqali topishingiz mumkin, masalan:

Shunday qilib, kasrlarni bitta ko'rsatkichga etkazish uchun siz avval ushbu kasrlarning maxrajlarining LCM ni (ya'ni ikkala maxrajga bo'linadigan eng kichik sonni) topishingiz kerak, so'ngra kasrlarning numeratorlariga qo'shimcha omillar qo'yishingiz kerak. Siz ularni umumiy maxrajni (LCD) mos keladigan kasrning maxrajiga bo'lish orqali topishingiz mumkin. Keyin har bir kasrning payini qo'shimcha omilga ko'paytirishingiz kerak va LCMni maxraj sifatida qo'yishingiz kerak.

5 Butun son va kasrni qanday qo'shish kerak

Butun son va kasrni qo'shish uchun bu raqamni kasr oldiga qo'shish kifoya va siz, masalan, aralash kasr olasiz.

Farzandingiz maktabdan uy vazifasini olib keldi va siz uni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Unda ushbu mini darslik siz uchun!

O'nli kasrlarni qanday qo'shish kerak

O'nli kasrlarni ustunga qo'shish qulayroqdir. O'nli kasrlarni qo'shish uchun siz bitta oddiy qoidaga amal qilishingiz kerak:

Raqam raqam ostida, vergul esa vergul ostida bo'lishi kerak.

Misolda ko'rib turganingizdek, butun birliklar bir-birining ostida, o'ninchi va yuzlik birliklari bir-birining ostida joylashgan. Endi biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, raqamlarni qo'shamiz. Vergul bilan nima qilish kerak? Vergul butun sonlarni chiqarishda turgan joyiga o'tkaziladi.

Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

Umumiy maxraj bilan qo'shishni amalga oshirish uchun siz maxrajni o'zgarmagan holda saqlashingiz, sonlarning yig'indisini topib, jami miqdor bo'ladigan kasrni olishingiz kerak.

Umumiy karrali topib, maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa - bu denominatorlar. Maxrajlar har xil, biri ikkinchisiga bo'linadimi, xoh tub sonlar bo'ladimi. Avval siz bitta umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, buni qilishning bir necha yo'li mavjud:

1/3 + 3/4 = 13/12, bu misolni hal qilish uchun biz 2 maxrajga bo'linadigan eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishimiz kerak. a va b ning eng kichik karralini belgilash uchun - LCM (a; b). Bu misolda LCM (3;4)=12. Tekshiring: 12:3=4; 12:4=3.
Biz omillarni ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni qo'shishni amalga oshiramiz, biz 13/12 - noto'g'ri kasrni olamiz.

Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga o'tkazish uchun payni maxrajga bo'lamiz, butun son 1 ni olamiz, qolgan 1 - ayirma va 12 - maxraj.

O'zaro ko'paytirish yordamida kasrlarni qo'shish

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun "o'zaro o'zaro faoliyat" formulasiga ko'ra boshqa usul mavjud. Bu maxrajlarni tenglashtirishning kafolatlangan usuli, buning uchun siz hisob raqamlarini bir kasrning maxraji bilan ko'paytirishingiz kerak va aksincha. Agar siz kasrlarni o'rganishning dastlabki bosqichida bo'lsangiz, unda bu usul turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishda to'g'ri natijaga erishishning eng oson va eng aniq usuli hisoblanadi.

Bu darsda biz maxrajlari har xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqamiz. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. 8-sinf kursida maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish va ayirish eng muhim va qiyin mavzulardan biridir. Bundan tashqari, ushbu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida topiladi. Dars doirasida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek, bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

Oddiy kasrlar uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqing.

1-misol Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Kasrlarni qo'shish qoidasini eslang. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy maxraj eng kichik umumiy karra(LCM) asl maxrajlarning.

Ta'rif

Ikkala songa ham bo'linadigan eng kichik natural son.

LCM ni topish uchun maxrajlarni tub omillarga ajratish va keyin ikkala maxrajni kengaytirishga kiritilgan barcha tub omillarni tanlash kerak.

; . U holda raqamlarning LCM tarkibida ikkita 2 va ikkita 3 bo'lishi kerak: .

Umumiy maxrajni topgandan so'ng, har bir kasr uchun qo'shimcha ko'rsatkichni topish kerak (aslida umumiy maxrajni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'ling).

Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.

Biz olamiz: .

Javob:.

Endi har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqing. Avval maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqing.

2-misol Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshash. Bu kasrlar uchun umumiy maxrajni topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.

Javob:.

Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:

1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.

2. Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni shu kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).

3. Numeratorlarni tegishli qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring.

4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.

Endi kasrlar bilan bir misolni ko'rib chiqing, ularning maxrajida to'g'ridan-to'g'ri iboralar mavjud.

3-misol Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Ikkala maxrajdagi tom ma'nodagi iboralar bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, bu misolning yechimi:

Javob:.

4-misol Kasrlarni ayirish: .

Yechim:

Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga ajrata olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda siz ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini umumiy maxraj sifatida olishingiz kerak.

Javob:.

Umuman olganda, bunday misollarni yechishda eng qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdir.

Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol Soddalashtiring: .

Yechim:

Umumiy maxrajni topishda avvalo asl kasrlarning maxrajlarini koeffitsientlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).

Bu alohida holatda:

Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: .