Показові рівняння та нерівності приклади. Показові нерівності

білгородський державний університет

КАФЕДРА алгебри, теорії чисел та геометрії

Тема роботи: Показово-статечні рівняння та нерівності.

Дипломна роботастудента фізико-математичного факультету

Науковий керівник:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Білгород. 2006 р.

Вступ			3
Тема I.	Аналіз літератури на тему дослідження.
Тема ІІ.	Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.
	I.1.	Ступенева функціята її властивості.
	I.2.	Показова функціята її властивості.
Тема ІІІ.	Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.
Тема IV.	Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.
Тема V.	Досвід проведення занять зі школярами на тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь та нерівностей».
V. 1.	Навчальний матеріал.
V. 2.	Завдання для самостійного вирішення.
Висновок.	Висновки та пропозиції.
Список використаної літератури.
Програми

Вступ.

«…радість бачити та розуміти…»

А. Ейнштейн.

У цій роботі я спробувала передати свій досвід роботи вчителем математики, передати хоч якоюсь мірою своє ставлення до її викладання – людської справи, в якій дивним чином переплітаються і математична наука, і педагогіка, і дидактика, і психологія, і навіть філософія.

Мені довелося працювати з малюками та випускниками, з дітьми, що стоять на полюсах інтелектуального розвитку: тими, хто перебував на обліку у психіатра та хто справді цікавився математикою

Мені довелося вирішувати багато методичних завдань. Я спробую розповісти про тих, які мені вдалося вирішити. Але ще більше - не вдалося, та й у тих, що начебто вирішені, постають нові питання.

Але ще важливіше самого досвіду - вчительські роздуми та сумніви: а чому він саме такий, цей досвід?

І літо нині на дворі інше, і розворот освіти став цікавішим. «Під юпітерами» нині не пошуки міфічної оптимальної системи навчання «всіх і всьому», а сама дитина. Але тоді – з необхідністю – і вчитель.

У шкільному курсі алгебри і почав аналізу, 10 – 11 клас, при здачі ЄДІза курс середньої школиі на вступних іспитах до ВНЗ зустрічаються рівняння та нерівності, що містить невідоме на підставі та показники ступеня – це показово-статечні рівняння та нерівності.

У школі їм мало приділяється уваги, у підручниках практично немає завдань на цю тему. Проте, оволодіння методикою їх вирішення, мені здається, дуже корисним: воно підвищує розумові та творчі здібностіучнів, перед нами відкриваються нові горизонти. При вирішенні завдань учні набувають перших навичок дослідницької роботи, збагачується їх математична культура, розвиваються здібності до логічному мисленню. У школярів формуються такі якості особистості як цілеспрямованість, цілепокладання, самостійність, які будуть корисні їм у подальшому житті. А також відбувається повторення, розширення та глибоке засвоєння навчального матеріалу.

Працювати над цією темою дипломного дослідження я почала ще з написання курсової. У ході, якою я глибше вивчила та проаналізувала математичну літературу з цієї теми, виявила найбільш підходящий метод розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Він полягає в тому, що крім загальноприйнятого підходу при вирішенні показово-ступеневих рівнянь (підстава береться більше 0) і при вирішенні тих же нерівностей (підстава береться більше 1 або більше 0, але менше 1), розглядаються ще й випадки, коли основи негативні, рівні 0 та 1.

Аналіз письмових екзаменаційних робітучнів показує, що неосвітленість питання негативному значенні аргументу показово-степеневой функції у шкільних підручниках, викликає вони ряд труднощів і веде до появи помилок. А також у них виникають проблеми на етапі систематизації отриманих результатів, де в силу переходу до рівняння – слідства або нерівності – слідства, з'явитися сторонні корені. З метою усунення помилок ми використовуємо перевірку за вихідним рівнянням або нерівністю та алгоритм розв'язання показово-ступеневих рівнянь, або план розв'язання показово-ступеневих нерівностей.

Щоб учні змогли успішно скласти випускні та вступні іспити, я вважаю, необхідно приділяти більше уваги рішенню показово-статечних рівнянь та нерівностей на навчальних заняттях, або додатково на факультативах та гуртках.

Таким чином тема , моєї дипломної роботивизначена наступним чином: «Показово-статечні рівняння та нерівності».

Цілями справжньої роботи є:

1. Проаналізувати літературу на цю тему.

2. Дати повний аналізрозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Привести достатню кількість прикладів на цю тему різноманітних типів.

4. Перевірити на урочних, факультативних та гурткових заняттях як сприйматиметься запропоновані прийоми розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей. Дати відповідні рекомендації щодо вивчення цієї теми.

Предметом нашого дослідження є розробка методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Мета та предмет дослідження зажадали вирішення наступних завдань:

1. Вивчити літературу на тему: «Показово-статечні рівняння та нерівності».

2. Опанувати методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Підібрати навчальний матеріал і розробити систему вправ різних рівнів на тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь і нерівностей».

У ході дипломного дослідження було проаналізовано понад 20 робіт, присвячених застосуванню різних методіврозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей. Звідси маємо.

План дипломної роботи:

Вступ.

Глава I. Аналіз літератури на тему дослідження.

Розділ II. Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

ІІ.1. Ступенева функція та її властивості.

ІІ.2. Показова функція та її властивості.

Розділ III. Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.

Розділ IV. Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.

Глава V. Досвід проведення занять зі школярами на цю тему.

1.Навчальний матеріал.

2. Завдання для самостійного вирішення.

Висновок. Висновки та пропозиції.

Список використаної литературы.

У І главі проаналізовано літературу

На даному уроці ми розглянемо різні показові нерівності та навчимося їх вирішувати, ґрунтуючись на методиці вирішення найпростіших показових нерівностей

1. Визначення та властивості показової функції

Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується вирішення всіх показових рівнянь та нерівностей.

Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.

Рис. 1. Графік показової функції

На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показової функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна, при зростає, при зменшується.

Монотонна функція набирає кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.

При коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно зростаючу функцію (). При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно спадну функцію ().

2. Найпростіші показові нерівності, методика розв'язання, приклад

На підставі вищесказаного наведемо методику вирішення найпростіших показових нерівностей:

Методика розв'язання нерівностей:

Зрівняти основи ступенів;

Порівняти показники, зберігши або змінивши протилежний знак нерівності.

Вирішення складних показових нерівностей полягає, як правило, у їх зведенні до найпростіших показових нерівностей.

Заснування ступеня більше одиниці, отже, знак нерівності зберігається:

Перетворимо праву частину відповідно до властивостей ступеня:

Підстава ступеня менше одиниці, символ нерівності потрібно змінити на протилежний:

Для вирішення квадратної нерівності розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:

По теоремі Вієта знаходимо коріння:

Гілки параболи спрямовані нагору.

Таким чином, маємо розв'язання нерівності:

Неважко здогадатися, що праву частину можна як ступінь з нульовим показником:

Заснування ступеня більше одиниці, знак нерівності не змінюється, отримуємо:

Нагадаємо методику розв'язання таких нерівностей.

Розглядаємо дробово-раціональну функцію:

Знаходимо область визначення:

Знаходимо коріння функції:

Функція має єдиний корінь,

Виділяємо інтервали знаковості та визначаємо знаки функції на кожному інтервалі:

Рис. 2. Інтервали знаковості

Таким чином отримали відповідь.

Відповідь:

3. Вирішення типових показових нерівностей

Розглянемо нерівності з однаковими показниками, але різними підставами.

Одне з властивостей показової функції - вона за будь-яких значеннях аргументу приймає суворо позитивні значення, отже, на показову функцію можна розділити. Виконаємо розподіл заданої нерівності на праву його частину:

Підстава ступеня більша за одиницю, знак нерівності зберігається.

Проілюструємо рішення:

На малюнку 6.3 зображені графіки функцій та . Очевидно, що коли аргумент більший за нуль, графік функції розташований вище, ця функція більша. Коли значення аргументу негативні, функція проходить нижче, вона менше. При значенні аргументу функції рівні, отже, дана точка є рішенням заданої нерівності.

Рис. 3. Ілюстрація з прикладу 4

Перетворимо задану нерівність згідно з властивостями ступеня:

Наведемо такі члени:

Розділимо обидві частини на:

Тепер продовжуємо вирішувати аналогічно прикладу 4, розділимо обидві частини на:

Заснування ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається:

4. Графічне розв'язання показових нерівностей

Приклад 6 - розв'язати нерівність графічно:

Розглянемо функції, що стоять у лівій та правій частині та побудуємо графік кожної з них.

Функція - експонента, зростає по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.

Функція - лінійна, зменшується по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.

Якщо дані функції перетинаються, тобто система має рішення, то рішення єдине і його легко можна вгадати. Для цього перебираємо цілі числа.

Неважко помітити, що корінням даної системи є:

Таким чином, графіки функцій перетинаються в точці з аргументом, що дорівнює одиниці.

Тепер потрібно отримати відповідь. Сенс заданої нерівності в тому, що експонента має бути більшою або дорівнює лінійній функції, тобто бути вищою або збігатися з нею. Очевидна відповідь: (рис. 6.4)

Рис. 4. Ілюстрація з прикладу 6

Отже, ми розглянули розв'язання різних типових показових нерівностей. Далі перейдемо до розгляду складніших показових нерівностей.

Список літератури

Мордкович А. Г. Алгебра та початки математичного аналізу. - М: Мнемозіна. Муравін Г. К., Муравіна О. В. Алгебра та початку математичного аналізу. - М: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудніцин Ю. П. та ін Алгебра і початку математичного аналізу. - М: Просвітництво.

Math. md. Mathematics-репетиція. com. Diffur. Кемсу. ru .

Домашнє завдання

1. Алгебра та початку аналізу, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин) 1990 № 472, 473;

2. Вирішити нерівність:

3. Вирішити нерівність.

Багато хто вважає, що показові нерівності — це таке складне й незбагненне. І що навчитися їх вирішувати — чи не велике мистецтво, збагнути яке здатні лише вибрані...

Повна брехня! Показові нерівності це просто. І вирішуються вони завжди просто. Ну, майже завжди.

Сьогодні ми розберемо цю тему вздовж і впоперек. Цей урок буде дуже корисний тим, хто починає розбиратися в даному розділі шкільної математики. Почнемо з простих завданьі будемо рухатися до більш складним питанням. Жодної жерсті сьогодні не буде, але того, що ви зараз прочитаєте, буде достатньо, щоб вирішити більшість нерівностей на будь-яких контрольних і самостійних роботах. І на цьому вашому ЄДІ також.

Як завжди, почнемо з визначення. Показова нерівність - це будь-яка нерівність, що містить у собі показову функцію. Іншими словами, його завжди можна звести до нерівності виду

\[((a)^(x)) \gt b\]

Де в ролі $b$ може бути звичайне число, а можливо і щось жорсткіше. Приклади? Так будь ласка:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) (x))). \\end(align)\]

Думаю, сенс зрозумілий: є показова функція $((a)^(x))$, її із чимось порівнюють, та був просять знайти $x$. В особливо клінічних випадках замість змінної $x$ можуть засунути якусь функцію $f\left(x \right)$ і цим трохи ускладнити нерівність.:)

Звичайно, у деяких випадках нерівність може виглядати більш суворо. Ось наприклад:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Або навіть ось:

В цілому, складність таких нерівностей може бути різною, але в результаті вони все одно зводяться до простої конструкції $((a)^(x)) \gt b$. А вже з такою конструкцією ми якось розберемося (в особливо клінічних випадках, коли нічого не спадає на думку, нам допоможуть логарифми). Тому зараз ми навчимося вирішувати такі прості конструкції.

Вирішення найпростіших показових нерівностей

Розглянемо щось дуже просте. Наприклад, ось це:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Вочевидь, що число праворуч можна переписати як ступеня двійки: $4=((2)^(2))$. Таким чином, вихідна нерівність перепишеться у дуже зручній формі:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

І ось уже руки сверблять «закреслити» двійки, що стоять в підставах ступенів, щоб отримати відповідь $x \gt 2$. Але перед тим як там закреслювати, давайте згадаємо ступеня двійки:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4)) = 16; ... \]

Як бачимо, чим більша кількістьстоїть у показнику ступеня, тим більше виходить число на виході. "Дякую кеп!" — вигукне хтось із учнів. Хіба буває інакше? На жаль, буває. Наприклад:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \) right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Тут теж все логічно: чим більший ступінь, тим більше разів число 0,5 множиться саме на себе (тобто ділиться навпіл). Таким чином, отримана послідовність чисел зменшується, а різниця між першою та другою послідовністю полягає лише в підставі:

• Якщо підстава ступеня $a \gt 1$, то зі зростанням показника $n$ число $((a)^(n))$ теж зростатиме;
• І навпаки, якщо $0 \lt a \lt 1$, то зі зростанням показника $n$ число $((a)^(n))$ буде спадати.

Підсумовуючи ці факти, ми отримуємо найголовніше твердження, на якому і ґрунтується все рішення показових нерівностей:

Якщо $a \gt 1$, то нерівність $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $x \gt n$. Якщо $0 \lt a \lt 1$, то нерівність $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $x \lt n$.

Іншими словами, якщо підстава більше одиниці, її можна просто прибрати – знак нерівності при цьому не зміниться. Якщо ж підстава менше одиниці, його теж можна прибрати, але заодно доведеться змінити і знак нерівності.

Зверніть увагу: ми не розглянули варіанти $a=1$ та $a\le 0$. Тому що у цих випадках виникає невизначеність. Допустимо, як вирішити нерівність виду $((1)^(x)) \gt 3$? Одиниця в будь-якій мірі знову дасть одиницю – ми ніколи не отримаємо трійку чи більше. Тобто. рішень немає.

З негативними основами все ще цікавіше. Розглянемо для прикладу таку нерівність:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

На перший погляд, все просто:

Правильно? А ось і ні! Достатньо підставити замість $x$ парочку парних та парочку непарних чисел, щоб переконатися, що рішення неправильне. Погляньте:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \& x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Як бачите, знаки чергуються. Адже є ще дробові ступені та інша жерсть. Як, наприклад, накажете рахувати $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (мінус двійка в ступені корінь із семи)? Та ніяк!

Тому для певності вважають, що у всіх показових нерівностях (і рівняннях, до речі, теж) $1\ne a \gt 0$. І тоді все вирішується дуже просто:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Загалом, ще раз запам'ятайте головне правило: якщо основа в показовому рівнянні більша за одиницю, її можна просто прибрати; а якщо підстава менше одиниці, її теж можна забрати, але при цьому зміниться знак нерівності.

Приклади рішення

Отже, розглянемо кілька простих показових нерівностей:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \& ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\end(align)\]

Першочергове завдання завжди одна й та сама: звести нерівностей до найпростішого виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Саме це ми зараз і зробимо з кожною нерівністю, а заразом повторимо властивості ступенів та показової функції. Тож поїхали!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Що тут можна зробити? Ну, ліворуч у нас і так стоїть показовий вираз – нічого міняти не треба. А ось справа стоїть якась хрень: дріб та ще й у знаменнику корінь!

Проте згадаємо правила роботи з дробами та ступенями:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\end(align)\]

Що це означає? По-перше, ми легко можемо позбутися дробу, перетворивши його на ступінь з негативним показником. А по-друге, оскільки в знаменнику стоїть корінь, було б непогано перетворити його на ступінь — цього разу з дробовим показником.

Застосуємо ці дії послідовно до правої частини нерівності та подивимося, що вийде:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac()) 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не забуваймо, що при зведенні ступеня у ступінь показники цих ступенів складаються. І взагалі, при роботі з показовими рівняннями та нерівностями абсолютно необхідно знати хоча б найпростіші правила роботи зі ступенями:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\end(align)\]

Власне, останнє правиломи щойно й застосували. Тому наша вихідна нерівність перепишеться так:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\) frac(1)(3)))\]

Тепер позбавляємося двійки в основі. Оскільки 2 > 1, знак нерівності залишиться тим самим:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ось і все рішення! Основна складність - зовсім не в показовій функції, а в грамотному перетворенні вихідного виразу: потрібно акуратно і максимально швидко привести його до найпростішого вигляду.

Розглянемо другу нерівність:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Так Так. Тут на нас чекають десяткові дроби. Як я вже багато разів говорив, у будь-яких виразах зі ступенями слід позбавлятися десяткових дробів — найчастіше тільки так можна побачити швидке та просте рішення. Ось і ми позбавимося:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10)) right)) ^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\end(align)\]

Перед нами знову найпростіша нерівність, та ще й на підставі 1/10, тобто. меншим одиниці. Що ж, прибираємо підстави, принагідно змінюючи знак з «менше» на «більше», і отримуємо:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\&-x \gt 2-1; \\&-x \gt 1; \\& x \lt -1. \\end(align)\]

Отримали остаточну відповідь: $x\in \left(-\infty; -1 \right)$. Зверніть увагу: відповіддю є безліч, а в жодному разі не конструкція виду $x \lt -1$. Тому що формально така конструкція — це не безліч, а нерівність щодо змінної $x$. Так, воно дуже просте, але це не відповідь!

Важливе зауваження. Цю нерівність можна було вирішити і по-іншому - шляхом приведення обох частин до ступеня з основою, більшою за одиницю. Погляньте:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Після такого перетворення ми знову отримаємо показова нерівність, але з основою 10 > 1. А це означає, що можна просто закреслити десятку - знак нерівності при цьому не зміниться. Отримаємо:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\x-1 \lt -2; \&x \lt -2+1=-1; \&x\lt -1. \\end(align)\]

Як бачите, відповідь вийшла точнісінько такою ж. При цьому ми позбавили себе необхідності змінювати знак і взагалі пам'ятати якісь там правила.:)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Однак нехай це вас не лякає. Хоч би що було в показниках, технологія розв'язання самої нерівності залишається незмінною. Тому помітимо для початку, що 16 = 24. Перепишемо вихідну нерівність з урахуванням цього факту:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \& ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ура! Ми отримали звичайне квадратна нерівність! Знак ніде не змінювався, оскільки на підставі стоїть двійка — число більше одиниці.

Нулі функції на числовій прямій

Розставляємо знаки функції $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно, її графіком буде парабола гілками вгору, тому з боків будуть "плюси". Нас цікавить та область, де функція менша за нуль, тобто. $x\in \left(2;5 \right)$ - це і є відповідь до вихідної задачі.

Нарешті, розглянемо ще одну нерівність:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Знову бачимо показову функцію з десятковим дробом у підставі. Перекладаємо цей дріб у звичайний:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

В даному випадку ми скористалися наведеним раніше зауваженням - звели підставу до 5 > 1, щоб спростити собі подальше рішення. Так само вчинимо і з правою частиною:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1))) right))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Перепишемо вихідну нерівність з урахуванням обох перетворень:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Підстави з обох боків однакові і перевищують одиницю. Ніяких інших доданків праворуч і ліворуч немає, тому просто «закреслюємо» п'ятірки і отримуємо дуже простий вираз:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ось тут треба бути обережнішими. Багато учнів люблять просто витягти квадратний коріньїх обох частин нерівності і записати що-небудь на кшталт $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Робити цього в жодному разі не можна, оскільки корінь з точного квадрата - це модуль, а в жодному разі не вихідна змінна:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x \right|\]

Проте працювати з модулями — не найприємніше заняття, правда? От і ми не працюватимемо. А натомість просто перенесемо всі доданки вліво і вирішимо звичайну нерівність методом інтервалів:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Знову відзначаємо отримані точки на числовій прямій і дивимося знаки:

Зверніть увагу: крапки зафарбовані

Оскільки ми вирішували не сувору нерівність, всі крапки на графіку зафарбовані. Тому відповідь буде такою: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - не інтервал, а саме відрізок.

Загалом хотів би зауважити, що нічого складного у показових нерівностях немає. Сенс усіх перетворень, які ми сьогодні виконували, зводиться до простого алгоритму:

• Знайти основу, до якої будемо наводити всі ступені;
• Акуратно виконати перетворення, щоб вийшла нерівність виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Зрозуміло замість змінних $x$ і $n$ можуть стояти набагато складніші функції, але сенс від цього не зміниться;
• Закреслити основи ступенів. При цьому може бути змінено знак нерівності, якщо підстава $a \lt 1$.

По суті, це універсальний алгоритм розв'язання всіх таких нерівностей. А все, що вам ще розповідатимуть на цю тему — лише конкретні прийоми та хитрощі, що дозволяють спростити та прискорити перетворення. Ось про один з таких прийомів ми зараз і поговоримо.

Метод раціоналізації

Розглянемо ще одну партію нерівностей:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Ну і що в них такого особливого? Вони ж легені. Хоча стоп! Число π зводиться в якийсь ступінь? Що за маячня?

А як звести до рівня число $2\sqrt(3)-3$? Або $3-2\sqrt(2)$? Укладачі завдань, очевидно, перепили «Глога» перед тим, як сісти за роботу.

Насправді, нічого страшного в цих завданнях немає. Нагадаю: показовою функцією називається вираз виду $((a)^(x))$, де основа $a$ це будь-яке позитивне число, за винятком одиниці. Число π позитивне – це ми й так знаємо. Числа $2\sqrt(3)-3$ і $3-2\sqrt(2)$ теж позитивні - в цьому легко переконатися, якщо порівняти їх з нулем.

Виходить, що всі ці «жахливі» нерівності нічим не відрізняються вирішуються від простих, розглянутих вище? І вирішуються так само? Так цілком вірно. Однак на їх прикладі я хотів би розглянути один прийом, який дуже економить час на самостійних роботах та іспитах. Йтиметься про метод раціоналізації. Отже, увага:

Будь-яка показова нерівність виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \right) \gt 0 $.

Ось і весь метод.:) А ви думали, що буде якась чергова дичина? Нічого подібного! Але цей простий факт, записаний буквально в один рядок, значно спростить роботу. Погляньте:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\) !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Ось і немає більше показових функцій! І не треба пам'ятати: змінюється знак чи ні. Але виникає нова проблема: що робити з гребаним множником \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Адже ми не знаємо, чому одно точне значеннячисла π. Втім, капітан очевидність ніби натякає:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Загалом, точне значення π нас особливо і не колише — нам лише важливо розуміти, що в будь-якому випадку $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2$, т .е. це позитивна константа, і ми можемо розділити на неї обидві частини нерівності:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \& x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \&((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Як бачите, певного моменту довелося розділити на мінус одиницю - при цьому знак нерівності змінився. Наприкінці я розклав квадратний тричлен по теоремі Вієта — очевидно, що коріння дорівнює $((x)_(1))=5$ і $((x)_(2))=-1$. Далі все вирішується класичним методом інтервалів:

Вирішуємо нерівність методом інтервалів

Усі точки виколоти, оскільки вихідна нерівність суворе. Нас цікавить область з негативними значеннями, тому відповідь: $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. Ось і все рішення.

Перейдемо до наступного завдання:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Тут взагалі все просто, тому що справа стоїть одиниця. А ми пам'ятаємо, що одиниця – це будь-яке число в нульовому ступені. Навіть якщо цим числом є ірраціональний вираз, що стоїть на підставі зліва:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right))^(0)); \\end(align)\]

Що ж, виконуємо раціоналізацію:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Залишилося лише розібратися зі знаками. Множина $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не містить змінної $x$ - це просто константа, і нам необхідно з'ясувати її знак. Для цього зауважимо таке:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Виходить, що другий множник не просто константа, а негативна константа! І при розподілі на неї знак вихідної нерівності зміниться на протилежний:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Тепер все стає очевидним. Коріння квадратного тричлена, що стоїть праворуч: $((x)_(1))=0$ і $((x)_(2))=2$. Відзначаємо їх на числовій прямій і дивимося знаки функції $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Випадок, коли нас цікавлять бічні інтервали

Нас цікавлять інтервали, відзначені знаком плюс. Залишилося лише записати відповідь:

Переходимо до такого прикладу:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) right))^(16-x))\]

Ну, тут все очевидно: в підставах стоять ступеня однієї й тієї числа. Тому я розпишу все коротко:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \& ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Як бачите, у процесі перетворень довелося множити на негативне число, тому змінився знак нерівності. Наприкінці я знову застосував теорему Вієта для розкладання на множники квадратного тричлену. У результаті відповідь буде така: $x\in \left(-8;4 \right)$ - бажаючі можуть переконатися в цьому, намалювавши числову пряму, позначивши крапки та порахувавши знаки. А ми тим часом перейдемо до останньої нерівності з нашого «комплекту»:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Як бачимо, в основі знову стоїть ірраціональне число, а праворуч знову стоїть одиниця. Тому перепишемо нашу показову нерівність таким чином:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) right))^(0))\]

Застосовуємо раціоналізацію:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Однак цілком очевидно, що $1-\sqrt(2) \lt 0$, оскільки $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Тому другий множник — знову негативна константа, яку можна розділити обидві частини нерівності:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \&((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Перехід до іншої основи

Окремою проблемою під час вирішення показових нерівностей є пошук «правильного» підстави. На жаль, далеко не завжди при першому погляді на завдання очевидно, що брати за основу, а що робити ступенем цієї основи.

Але не переживайте: тут немає жодної магії та «секретних» технологій. У математиці будь-яку навичку, яку не можна алгоритмізувати, можна легко виробити за допомогою практики. Але для цього доведеться вирішувати завдання різного рівняскладності. Наприклад, такі:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \& ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Важко? Страшно? Та це ж простіше, ніж курча об асфальт! Давайте спробуєм. Перша нерівність:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ну, я думаю, тут і їжу все зрозуміло:

Переписуємо вихідну нерівність, зводячи все до підстави «два»:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Так, так, ви все правильно зрозуміли: я щойно застосував метод раціоналізації, описаний вище. Тепер потрібно працювати акуратно: у нас вийшла дробно-раціональна нерівність (це така, у якої в знаменнику стоїть змінна), тому перш ніж щось прирівнювати до нуля, необхідно привести все до спільного знаменника і позбавитися множника-константи.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Наразі використовуємо стандартний метод інтервалів. Нулі числа: $x=\pm 4$. Знаменник звертається в нуль лише за $x=0$. Разом три точки, які треба зазначити на числовій прямій (всі точки виколоти, тому що знак нерівності строгий). Отримаємо:

Більше складний випадок: три корені

Як неважко здогадатися, штрихуванням відзначені ті інтервали, на яких вираз зліва приймає від'ємні значення. Тому в остаточну відповідь підуть одразу два інтервали:

Кінці інтервалів не входять у відповідь, оскільки вихідна нерівність була суворою. Жодних додаткових перевірок цієї відповіді не потрібно. У цьому плані показові нерівності набагато простіші за логарифмічні: жодних ОДЗ, жодних обмежень тощо.

Переходимо до наступного завдання:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Тут теж жодних проблем, оскільки ми вже знаємо, що $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, тому всю нерівність можна переписати так:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Зверніть увагу: у третьому рядку я вирішив не розмінюватися на дрібниці і відразу розділити все на (−2). Минув пішов у першу дужку (тепер там скрізь плюси), а двійка скоротилася з множником-константою. Саме так і варто чинити при оформленні реальних викладок на самостійних та контрольних роботах— не треба розписувати прямо кожну дію та перетворення.

Далі у справу входить знайомий нам метод інтервалів. Нулі чисельники: а їх немає. Тому що дискримінант буде негативним. У свою чергу знаменник обнулюється лише за $x=0$ — як і минулого разу. Ну і зрозуміло, що праворуч від $x=0$ дріб буде набувати позитивних значень, а зліва — негативних. Оскільки нас цікавлять саме негативні значення, то остаточна відповідь: $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

А що треба робити з десятковими дробами у показових нерівностях? Правильно: позбавлятися їх, переводячи у прості. Ось і ми переведемо:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\) frac(25)(4) \right))^(x)). \\end(align)\]

Ну і що ми отримали в основі показових функцій? А отримали ми два взаємно зворотні числа:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \) right))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Таким чином, вихідну нерівність можна переписати так:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\end(align)\]

Зрозуміло, при множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються, що сталося у другому рядку. Крім того, ми представили одиницю, що стоїть праворуч, також у вигляді ступеня на підставі 4/25. Залишилося лише виконати раціоналізацію:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Зауважимо, що $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, тобто. другий множник є негативною константою, і при розподілі на неї знак нерівності зміниться:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Нарешті, остання нерівність із поточного «комплекту»:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

У принципі, ідея рішення тут теж ясна: всі показові функції, що входять до складу нерівності, необхідно звести до основи «3». Але для цього доведеться трохи повозитися з корінням і ступенями:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \& 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\end(align)\]

З урахуванням цих фактів вихідну нерівність можна переписати так:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \& ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \& ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\end(align)\]

Зверніть увагу на 2-й і 3-й рядок викладок: перш ніж щось робити з нерівністю, обов'язково приведіть його до того виду, про який ми говорили з самого початку уроку: $((a)^(x)) \lt ((a)^(n))$. Доки у вас ліворуч або праворуч є якісь ліві множники, додаткові константи і т.д., ніяку раціоналізацію та «закреслювання» підстав виконувати не можна! Безліч завдань було виконано неправильно через нерозуміння цього простого факту. Я сам постійно спостерігаю цю проблему у моїх учнів, коли ми тільки-но приступаємо до розбору показових і логарифмічних нерівностей.

Але повернемося до нашого завдання. Спробуємо на цей раз обійтися без раціоналізації. Згадуємо: підстава ступеня більша за одинку, тому трійки можна просто закреслити — знак нерівності при цьому не зміниться. Отримаємо:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

От і все. Остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Виділення стійкого виразу та заміна змінної

Насамкінець пропоную вирішити ще чотири показові нерівності, які вже є досить складними для непідготовлених учнів. Щоб впоратися з ними, необхідно згадати правила роботи зі ступенями. Зокрема, винесення спільних множників за дужки.

Але найголовніше — навчитися розуміти, що саме можна винести за дужки. Такий вираз називається стійким - його можна позначити новою змінною і таким чином позбавитися показової функції. Отже, подивимося на завдання:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \& ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \& ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Почнемо з самого першого рядка. Випишемо цю нерівність окремо:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Зауважимо, що $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, тому праву частину можна переписати:

Зауважимо, що жодних інших показових функцій, крім $((5)^(x+1))$, у нерівності немає. І взагалі, ніде більше не зустрічається змінна $x$, тому введемо нову змінну $((5)^(x+1))=t$. Отримаємо наступну конструкцію:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \& 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Повертаємося до вихідної змінної ($t=((5)^(x+1))$), а заразом згадуємо, що 1=5 0 . Маємо:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \&x+1\ge 0; \\&x\ge-1. \\end(align)\]

Ось і все рішення! Відповідь: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходимо до другої нерівності:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Тут все те саме. Зауважимо, що $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тоді ліву частину можна переписати:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3) ^ (x)) = t \right. \ & t+9t\ge 90; \ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\end(align)\]

Ось приблизно так і потрібно оформляти рішення на справжніх контрольних та самостійних роботах.

Що ж, спробуємо щось складніше. Наприклад, ось така нерівність:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

У чому проблема? Насамперед, підстави показових функцій, що стоять ліворуч, різні: 5 і 25. Проте 25 = 5 2 , тому перший доданок можна перетворити:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Як бачите, спочатку ми все привели до однакової основи, а потім помітили, що перший доданок легко зводиться до другого - достатньо лише розкласти показник. Тепер можна сміливо вводити нову змінну: $((5)^(2x+2))=t$, і вся нерівність перепишеться так:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \&4t\ge 2500; \ \ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \& ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

І знову жодних труднощів! Остаточна відповідь: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходимо до заключної нерівності у сьогоднішньому уроці:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Перше, на що слід звернути увагу — це, звичайно, десятковий дріб у основі першого ступеня. Її необхідно позбутися, а заодно привести всі показові функції до однієї і тієї ж підстави — числу «2»:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Відмінно, перший крок ми зробили — все привели до однієї й тієї самої підстави. Тепер потрібно виділити стійкий вираз. Зауважимо, що $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Якщо ввести нову змінну $((2)^(4x+6))=t$, то вихідну нерівність можна переписати так:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \& 3t \gt 768; \ t 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); 4x+6 8; \\ & 4x \gt 2; \ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\end(align)\]

Природно, може виникнути питання: яким чином ми виявили, що 256 = 2 8 ? На жаль, тут потрібно просто знати ступеня двійки (а заодно ступеня трійки та п'ятірки). Ну, або ділити 256 на 2 (ділити можна, оскільки 256 — парне число), доки не отримаємо результат. Виглядатиме це приблизно так:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ =((2)^(8)).\end(align )\]

Те саме і з трійкою (числа 9, 27, 81 і 243 є її ступенями), і з сімкою (числа 49 і 343 теж було б непогано запам'ятати). Ну, і п'ятірка теж має «красиві» ступені, які потрібно знати:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \ & ((5) ^ (3)) = 125; \ & ((5) ^ (4)) = 625; \ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\end(align)\]

Звичайно, всі ці числа за бажання можна відновити в умі, просто послідовно помножуючи їх один на одного. Однак, коли вам належить вирішити кілька показових нерівностей, причому кожна наступна складніша за попередню, то останнє, про що хочеться думати — це ступеня якихось там чисел. І в цьому сенсі ці завдання є більш складними, ніж «класичні» нерівності, які вирішуються шляхом інтервалів.

Урок та презентація на тему: "Показові рівняння та показові нерівності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"

Визначення показових рівнянь

Діти, ми вивчили показові функцій, дізналися їх властивості та побудували графіки, розібрали приклади рівнянь, у яких зустрічалися показові функції. Сьогодні ми вивчатимемо показові рівняння та нерівності.

Визначення. Рівняння виду: $a^(f(x))=a^(g(x))$, де $a>0$, $a≠1$ називаються показовими рівняннями.

Згадавши теореми, які ми вивчали у темі "Показова функція", можна запровадити нову теорему:
Теорема. Показове рівняння $a^(f(x))=a^(g(x))$, де $a>0$, $a≠1$ дорівнює рівнянню $f(x)=g(x)$.

Приклади показових рівнянь

приклад.
Розв'язати рівняння:
а) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Рішення.
а) Ми добре знаємо, що $ 27 = 3 ^ 3 $.
Перепишемо наше рівняння: $3^(3x-3)=3^3$.
Скориставшись теоремою вище, отримуємо, що наше рівняння зводиться до рівняння $3х-3=3$, вирішивши це рівняння, отримаємо $х=2$.
Відповідь: $ х = 2 $.

Б) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тоді наше рівняння можна переписати: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$ 2х +0,2 = 0,2 $.
$ х = 0 $.
Відповідь: $ х = 0 $.

В) Вихідне рівняння рівносильне рівнянню: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$x^2-3x-18=0$.
$ (x-6) (x +3) = 0 $.
$x_1=6$ і $x_2=-3$.
Відповідь: $x_1=6$ і $x_2=-3$.

приклад.
Розв'язати рівняння: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Рішення:
Послідовно виконаємо ряд дій і наведемо обидві частини нашого рівняння до однакових підстав.
Виконаємо ряд операцій у лівій частині:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5))(4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)(4)))^x$.
Перейдемо до правої частини:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )=\frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Вихідне рівняння рівносильне рівнянню:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$ x = 0 $.
Відповідь: $ х = 0 $.

приклад.
Розв'язати рівняння: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Рішення:
Перепишемо наше рівняння: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Давайте зробимо заміну змінних, нехай $a=3^x$.
У нових змінних рівняння набуде вигляду: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ та $a_2=3$.
Виконаємо зворотну заміну змінних: $3^x=-12$ і $3^x=3$.
На минулому уроці ми дізналися, що показові вирази можуть набувати лише позитивних значень, згадайте графік. Отже, перше рівняння немає рішень, друге рівняння має одне рішення: $х=1$.
Відповідь: $ х = 1 $.

Давайте складемо пам'ятку способів розв'язання показових рівнянь:
1. графічний метод.Подаємо обидві частини рівняння у вигляді функцій та будуємо їх графіки, знаходимо точки перетинів графіків. (Цим методом ми користувалися на минулому уроці).
2. Принцип рівності показників.Принцип заснований на тому, що два висловлювання з однаковими підставамирівні, і тоді, коли рівні ступеня (показники) цих підстав. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод заміни змінних.Даний метод варто застосовувати, якщо рівняння при заміні змінних спрощує свій вигляд і набагато легше вирішити.

приклад.
Розв'язати систему рівнянь: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cases)$.
Рішення.
Розглянемо обидва рівняння системи окремо:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Розглянемо друге рівняння:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Скористаємося методом заміни змінних, нехай $y=2^(x+y)$.
Тоді рівняння набуде вигляду:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ і $y_2=-3$.
Перейдемо до початкових змінних, з першого рівняння одержуємо $x+y=2$. Друге рівняння немає рішень. Тоді наша початкова система рівнянь, що дорівнює системі: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cases)$.
Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо: $begin (cases) 2y=-2, x+y=2. \end (cases)$.
$\begin (cases) y=-1, \\x=3. \end (cases)$.
Відповідь: $ (3; -1) $.

Показові нерівності

Перейдемо до нерівностей. При розв'язанні нерівностей необхідно звертати увагу на основу ступеня. Можливі два варіанти розвитку подій під час вирішення нерівностей.

Теорема. Якщо $а>1$, то показова нерівність $a^(f(x))>a^(g(x))$ дорівнює нерівності $f(x)>g(x)$.
Якщо $0 a^(g(x))$ рівносильно нерівності $f(x)

приклад.
Вирішити нерівності:
а) $ 3 ^ (2x +3)> 81 $.
б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) в) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Рішення.
а) $ 3 ^ (2x +3)> 81 $.
$3^(2x+3)>3^4$.
Наша нерівність рівносильна нерівності:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$ x> 0,5 $.

Б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) У нашому рівнянні основа при ступені менше 1, тоді при заміні нерівності на еквівалентне потрібно змінити символ.
$2x-4>2$.
$x>3$.

В) Наша нерівність еквівалентна нерівності:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Скористаємося інтервальним методомрішення:
Відповідь: $(-∞;-5]U)