Формула переміщення за рівноприскореного руху без часу. Рівноприскорений рух: формули, приклади
Прямолінійний рівномірний рух - це такий рух, за якого за однакові проміжки часу, тіло проходить однакову відстань.
Рівномірний рух- це такий рух тіла, у якому його швидкість залишається постійної (), тобто постійно рухається з однією швидкістю, а прискорення чи уповільнення не відбувається ().
Прямолінійний рух– це рух тіла по прямій лінії, тобто траєкторія у нас виходить – пряма.
Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор швидкості збігається із вектором переміщення. При цьому Середня швидкістьу будь-який проміжок часу дорівнює початковій та миттєвій швидкості:
Швидкість рівномірного прямолінійного руху- це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:
З цієї формули. ми легко можемо висловити переміщення тілапри рівномірному русі:
Розглянемо залежність швидкості та переміщення від часу
Так як тіло у нас рухається прямолінійно і рівноприскорено (), то графік із залежністю швидкості від часу вигладитиме, як паралельна пряма осі часу.
В залежності проекції швидкості тіла від часунічого складного немає. Проекція переміщення тіла чисельно дорівнює площі прямокутника АОВС, оскільки величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості тимчасово, протягом якого було здійснено переміщення.
На графіку ми бачимо залежність переміщення від часу.
З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює:
Розглянувши цю формулу. ми можемо сказати, що більший кут, тим швидше рухається наше тіло і воно проходить більший шлях за менший час
На попередніх уроках ми обговорювали, як визначити пройдений шлях при рівномірному прямолінійному русі. Настав час дізнатися, як визначити координату тіла, пройдений шлях та переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі. Це можна зробити, якщо розглянути прямолінійний рівноприскорений рух як набір великої кількостідуже малих рівномірних переміщень тіла.
Першим вирішив завдання розташування тіла у певний момент часу при прискореному русі італійський вчений Галілео Галілей (рис. 1).
Рис. 1. Галілео Галілей (1564-1642)
Свої досліди він проводив із похилою площиною. По жолобі він запускав кулю, мушкетну кулю, та був визначав прискорення цього тіла. Як же це він робив? Він знав довжину похилої площини, а час визначав биття свого серця або пульсу (рис. 2).
Рис. 2. Досвід Галілея
Розглянемо графік залежності швидкості рівноприскореного прямолінійного рухувід часу. Ця залежність вам відома, вона є прямою лінією: .
Рис. 3. Визначення переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі
Графік швидкості розбиваємо на маленькі прямокутні ділянки(Рис. 3). Кожна ділянка відповідатиме певній швидкості, яку можна вважати постійною в даний проміжок часу. Потрібно визначити пройдений шлях за перший проміжок часу. Запишемо формулу: . Тепер порахуємо сумарну площу всіх фігур, що є у нас.
Сума площ при рівномірному русі – це повний пройдений шлях.
Зверніть увагу: від точки до точки швидкість змінюватиметься, тим самим ми отримаємо шлях, пройдений тілом саме за прямолінійного рівноприскореного руху.
Зауважимо, що при прямолінійному рівноприскореному русі тіла, коли швидкість і прискорення спрямовані в один бік (рис. 4), модуль переміщення дорівнює пройденому шляху, тому коли ми визначаємо модуль переміщення - визначаємо пройдений шлях. В даному випадку можемо говорити, що модуль переміщення буде дорівнює площіфігури, обмеженої графіком швидкості та часу.
Рис. 4. Модуль переміщення дорівнює пройденому шляху
Скористаємося математичними формулами для обчислення площі зазначеної фігури.
Рис. 5 Ілюстрація для обчислення площі
Площа постаті (чисельно рівна пройденому шляху), дорівнює напівсумі підстав, помноженої на висоту. Зверніть увагу, що на малюнку однією з основ є початкова швидкість, а другою основою трапеції буде кінцева швидкість, позначена літерою . Висота трапеції дорівнює , Це проміжок часу, за який відбувся рух.
Кінцеву швидкість, розглянуту попередньому уроці, ми можемо записати як суму початкової швидкості та вкладу, обумовленого наявністю в тіла постійного прискорення. Виходить вираз:
Якщо розкрити дужки, стає подвоєним. Ми можемо записати наступний вираз:
Якщо окремо записати кожен із цих виразів, результатом буде наступне:
Це рівняння вперше було отримано завдяки експериментам Галілео Галілея. Тому можна вважати, що саме цей учений вперше дав можливість визначити місце розташування тіла при прямолінійному рівноприскореному русі у будь-який момент часу. Це і є вирішення головного завдання механіки.
Тепер давайте згадаємо, що пройдений шлях, рівний у нашому випадку модулю переміщення, Виражається різницею:
Якщо цей вислів підставити рівняння Галілея , то отримаємо закон, яким змінюється координата тіла при прямолінійному рівноприскореному русі:
Слід пам'ятати, що величини – це проекції швидкості та прискорення на обрану вісь. Тому можуть бути як позитивними, і негативними.
Висновок
Наступним етапом розгляду руху стане дослідження руху з криволінійної траєкторії.
Список літератури
- Кікоін І.К., Кікоін А.К. Фізика: підручник для 9 класу середньої школи. - М: Просвітництво.
- Перишкін А.В., Гутнік Е.М., Фізика. 9 кл.: підручник для загальноосвіт. установ/А. В. Перишкін, Є. М. Гутник. - 14-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300.
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Фізика: Довідник із прикладами розв'язання задач. - 2-ге видання переділ. – X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.
Додаткові рекомендовані посилання на ресурси Інтернету
- Інтернет-портал «class-fizika.narod.ru» ()
- Інтернет-портал «videouroki.net» ()
- Інтернет-портал «foxford.ru» ()
Домашнє завдання
- Запишіть формулу, за якою визначається проекція вектора руху тіла при прямолінійному рівноприскореному русі.
- Велосипедист, початкова швидкість якого 15 км/год, з'їхав із гірки за 5 с. Визначте довжину гірки, якщо велосипедист рухався із постійним прискоренням 0,5 м/с^2 .
- Чим відрізняються залежності переміщення від часу при рівномірному та рівноприскореному рухах?
Коли на дорозі трапляється аварія, фахівці вимірюють гальмівний шлях. Навіщо? Щоб визначити швидкість руху автомобіля на початку гальмування та прискорення при гальмуванні. Все це потрібно для з'ясування причин аварії: або водій перевищив швидкість, або були несправні гальма, або з автомобілем все гаразд, а винен порушив правила дорожнього рухупішохід. Як, знаючи час гальмування та гальмівний шлях, визначити швидкість та прискорення руху тіла?
Дізнаємося про геометричному сенсіпроекції переміщення
У 7 класі ви дізналися, що для будь-якого руху шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності модуля швидкості руху від часу спостереження. Аналогічна ситуація з визначенням проекції переміщення (рис. 29.1).
Отримаємо формулу для обчислення проекції переміщення тіла за інтервал часу від t = 0 до t 2 = t. Розглянемо рівноприскорений прямолінійний рух, при якому початкова швидкість та прискорення мають однаковий напрямок з віссю OX. І тут графік проекції швидкості має вигляд, представлений на рис. 29.2 а проекція переміщення чисельно дорівнює площі трапеції OABC:
На графіку відрізок OA відповідає проекції початкової швидкості v 0 x, відрізок BC — проекції кінцевої швидкості v x , а відрізок OC — інтервалу часу t. Замінивши дані відрізки відповідними фізичними величинамиі враховуючи, що s x = S OABC отримаємо формулу для визначення проекції переміщення:
Формулу (1) застосовують для опису будь-якого рівноприскореного прямолінійного руху.
Визначте переміщення тіла, графік якого представлений на рис. 29.1 б, за 2 с і за 4 с після початку відліку часу. Поясніть відповідь.
Записуємо рівняння проекції переміщення
Виключимо змінну v x формули (1). Для цього пригадаємо, що за рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0 x + a x t. Підставивши вираз для v x формулу (1), отримаємо:
Таким чином, для рівноприскореного прямолінійного руху отримано рівняння проекції переміщення:
Рис. 29.3. Графік проекції переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі - парабола, що проходить через початок координат: якщо a x > 0, гілки параболи спрямовані вгору (а); якщо a x<0, ветви параболы направлены вниз (б)
Рис. 29.4. Вибір осі координат у разі прямолінійного руху
Отже, графік проекції переміщення за рівноприскореного прямолінійного руху — парабола (рис. 29.3), вершина якої відповідає точці розвороту:
Оскільки величини v 0 x та a x не залежать від часу спостереження, залежність s x (ί) є квадратичною. Наприклад, якщо
можна отримати ще одну формулу для обчислення проекції переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі:
Формулою (3) зручно користуватися, якщо за умови завдання не йдеться про час руху тіла і не потрібно його визначати.
Виведіть формулу (3) самостійно.
Зверніть увагу: у кожній формулі (1-3) проекції v x , v 0 x і a x можуть бути як позитивними, так і негативними – залежно від того, як направлені вектори v, v 0 та a щодо осі OX.
Записуємо рівняння координати
Одним з основних завдань механіки є визначення положення тіла (координат тіла) у будь-який момент часу. Ми розглядаємо прямолінійний рух, тому достатньо вибрати одну вісь координат (наприклад, вісь OX), яку слід
спрямувати вздовж руху тіла (рис. 29.4). З цього малюнка бачимо, що незалежно від напрямку руху координату х тіла можна визначити за такою формулою:
Рис. 29.5. При рівноприскореному прямолінійному русі графік залежності координати від часу парабола, що перетинає вісь х у точці х 0
де х 0 - Початкова координата (координата тіла в момент початку спостереження); s x - Проекція переміщення.
тому для такого руху рівняння координати має вигляд:
Для рівноприскореного прямолінійного руху
Проаналізувавши останнє рівняння, робимо висновок, що залежність х(ί) – квадратична, тому графік координати – парабола (рис. 29.5).
Вчимося вирішувати завдання
Основні етапи розв'язання задач на рівноприскорений прямолінійний рух розглянемо на прикладах.
Приклад розв'язання задачі
Послідовність
дій
1. Уважно прочитайте умову завдання. Визначте, які тіла беруть участь у русі, який характер руху тіл, які параметри руху відомі.
Завдання 1. Після початку гальмування поїзд пройшов до зупинки 225 м. Якою була швидкість руху поїзда перед початком гальмування? Вважайте, що під час гальмування прискорення поїзда незмінне 0,5 м/с 2 .
На пояснювальному малюнку направимо вісь ОХ у напрямку руху поїзда. Оскільки поїзд зменшує свою швидкість, то
2. Запишіть коротку умову завдання. За необхідності переведіть значення фізичних величин одиниці СІ. 2
Завдання 2. По прямолінійній ділянці дороги йде пішохід із постійною швидкістю 2 м/с. Його наздоганяє мотоцикл, який збільшує швидкість, рухаючись з прискоренням 2 м/с 3 . Через який час мотоцикл обжене пішохода, якщо на момент початку відліку часу відстань між ними була 300 м, а мотоцикл рухався зі швидкістю 22 м/с? Яку відстань проїде мотоцикл за цей час?
1. Уважно прочитайте умову завдання. З'ясуйте характер руху тіл, які параметри відомі.
Підбиваємо підсумки
Для рівноприскореного прямолінійного руху тіла: проекція переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком проекції швидкості руху графіком залежності v x (ί):
3. Виконайте пояснювальний малюнок, на якому покажіть вісь координат, положення тіл, напрями прискорень та швидкостей.
4. Запишіть рівняння координати у загальному вигляді; скориставшись малюнком, конкретизуйте це рівняння кожного тіла.
5. Враховуючи, що в момент зустрічі (обгону) координати тіл однакові, отримайте квадратне рівняння.
6. Розв'яжіть отримане рівняння і знайдіть час зустрічі тел.
7. Обчисліть координату тіл у момент зустрічі.
8. Знайдіть потрібну величину та проаналізуйте результат.
9. Запишіть відповідь.
у цьому полягає геометричний зміст переміщення;
рівняння проекції переміщення має вигляд:
Контрольні питання
1. За допомогою яких формул можна знайти проекцію переміщення s x для рівноприскореного прямолінійного руху? Виведіть ці формули. 2. Доведіть, що графік залежності руху тіла від часу спостереження — парабола. Як спрямовані її гілки? Якому моменту руху відповідає вершина параболи? 3. Запишіть рівняння координати для рівноприскореного прямолінійного руху. Які фізичні величини пов'язує це рівняння?
Вправа №29
1. Лижник, що рухається зі швидкістю 1 м/с, починає спускатися з гори. Визначте довжину спуску, якщо лижник проїхав за 10 с. Вважайте, що прискорення лижника було незмінним і становило 0,5 м/с2.
2. Пасажирський поїзд змінив швидкість від 54 км/год до 5 м/с. Визначте відстань, яку проїхав поїзд під час гальмування, якщо прискорення поїзда було незмінним та становило 1 м/с 2 .
3. Гальма легкового автомобіля справні, якщо при швидкості 8 м/с його гальмівна колія — 7,2 м. Визначте час гальмування та прискорення автомобіля.
4. Рівняння координат двох тіл, що рухаються вздовж осі OX, мають вигляд:
1) Для кожного тіла визначте: характер руху; б) початкову координату; в) модуль та напрямок початкової швидкості; г) прискорення.
2) Знайдіть час та координату зустрічі тел.
3) Для кожного тіла запишіть рівняння v x (t) та s x (t), побудуйте графіки проекцій швидкості та переміщення.
5. На рис. 1 представлений графік проекції швидкості руху деякого тіла.
Визначте шлях та переміщення тіла за 4 с від початку відліку часу. Запишіть рівняння координати, якщо на момент часу t = 0 тіло було у точці з координатою -20 м.
6. Два автомобілі почали рух з одного пункту в одному напрямку, причому другий автомобіль виїхав на 20 з згодом. Обидва автомобілі рухаються рівноприскорено із прискоренням 0,4 м/с 2 . Через який інтервал часу після початку руху першого автомобіля відстань між автомобілями буде 240 м?
7. На рис. 2 представлений графік залежності координати тіла від часу його руху.
Запишіть рівняння координати, якщо відомо, що модуль прискорення 1,6 м/с2.
8. Ескалатор у метро піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Чи може людина на ескалаторі перебувати у стані спокою у системі відліку, пов'язаної із Землею? Якщо може, то за яких умов? Чи можна за цих умов рух людини вважати рухом за інерцією? Обґрунтуйте свою відповідь.
Це матеріал підручника
Як, знаючи гальмівний шлях, визначити початкову швидкість автомобіля і як знаючи характеристики руху, такі як початкова швидкість, прискорення, час, визначити переміщення автомобіля? Відповіді ми отримаємо після того, як познайомимося з темою сьогоднішнього уроку: "Переміщення при рівноприскореному русі, залежність координати від часу при рівноприскореному русі"
При рівноприскореному русі графік має вигляд прямої лінії, що йде вгору, оскільки його проекція прискорення більша за нуль.
При рівномірному прямолінійному русі площа чисельно дорівнюватиме модулю проекції переміщення тіла. Виявляється, цей факт можна узагальнити для випадку як рівномірного руху, але й будь-якого руху, тобто показати, що площа під графіком чисельно дорівнює модулю проекції переміщення. Це робиться строго математично, але ми скористаємося графічним способом.
Рис. 2. Графік залежності швидкості від часу за рівноприскореного руху ()
Розіб'ємо графік проекції швидкості часу для рівноприскореного руху на невеликі проміжки часу Δt. Припустимо, що вони такі малі, що на їх протязі швидкість практично не змінювалася, тобто графік лінійної залежності на малюнку ми умовно перетворимо на драбинку. На кожній її сходинці ми вважаємо, що швидкість майже не змінилася. Уявімо, що проміжки часу Δt ми зробимо нескінченно малими. У математиці кажуть: робимо граничний перехід. У цьому випадку площа такої драбинки необмежено близько співпадати з площею трапеції, яку обмежує графік V x (t). А це означає, що і для випадку рівноприскореного руху можна сказати, що модуль проекції переміщення чисельно дорівнює площі, обмеженій графіком V x (t): осями абсцис та ординат та перпендикуляром, опущеним на вісь абсцис, тобто площі трапеції ОАВС, яку ми бачимо малюнку 2.
Завдання з фізичної перетворюється на математичне завдання - пошук площі трапеції. Це стандартна ситуація, коли вчені фізики становлять модель, яка описує те чи інше явище, а потім у справу вступає математика, яка збагачує цю модель рівняннями, законами – тим, що перетворює модель на теорію.
Знаходимо площу трапеції: трапеція є прямокутною, оскільки кут між осями - 90 0 , розіб'ємо трапецію на дві фігури - прямокутник та трикутник. Очевидно, що загальна площа дорівнюватиме сумі площ цих фігур (рис. 3). Знайдемо їх площі: площа прямокутника дорівнює добутку сторін, тобто V 0x · t, площа прямокутного трикутника дорівнюватиме половині добутку катетів - 1/2АD·BD, підставивши значення проекцій, отримаємо: 1/2t·(V x - V 0x), а, згадавши закон зміни швидкості від часу при рівноприскореному русі: V x (t) = V 0x + а х t, цілком очевидно, що різниця проекцій швидкостей дорівнює добутку проекції прискорення а х на час t, тобто V x - V 0x = а х t.
Рис. 3. Визначення площі трапеції ( Джерело)
Враховуючи той факт, що площа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції переміщення, отримаємо:
S х(t) = V 0 x t + х t 2 /2
Ми з вами отримали закон залежності проекції переміщення від часу при рівноприскореному русі в скалярній формі, у векторній формі він виглядатиме так:
(t) = t + t 2/2
Виведемо ще одну формулу для проекції переміщення, в яку не буде входити як змінний час. Розв'яжемо систему рівнянь, виключивши з неї час:
S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2
V x (t) = V 0 x + а х t
Уявімо, що час нам невідомий, тоді висловимо час із другого рівняння:
t = V x - V 0x/а х
Підставимо отримане значення перше рівняння:
Отримаємо такий громіздкий вираз, зведемо в квадрат і наведемо такі:
Ми отримали дуже зручний вираз проекції переміщення для випадку, коли нам невідомий час руху.
Нехай у нас початкова швидкість автомобіля, коли почалося гальмування становить V 0 = 72 км/год, кінцева швидкість V = 0, прискорення а = 4 м/с 2 . Дізнаємося довжину гальмівного шляху. Перевівши кілометри в метри і підставивши значення формулу, отримаємо, що гальмівний шлях складе:
S x = 0 - 400(м/с) 2/-2 · 4 м/с 2 = 50 м
Проаналізуємо таку формулу:
S x = (V 0 x + V x) / 2 · t
Проекція переміщення- це напівсума проекцій початкової та кінцевої швидкостей, помножена на час руху. Згадаймо формулу переміщення для середньої швидкості
S x = V ср · t
У разі рівноприскореного руху середня швидкість буде:
V ср = (V 0 + V к) / 2
Ми впритул підійшли до вирішення головного завдання механіки рівноприскореного руху, тобто отримання закону, за яким змінюється координата з часом:
x(t) = x 0 + V 0 x t + x t 2 /2
Щоб навчитися користуватися цим законом, розберемо типове завдання.
Автомобіль, рухаючись зі стану спокою, набуває прискорення 2 м/с 2 . Знайти шлях, який пройшов автомобіль за 3 секунди та за третю секунду.
Дано: V 0 x = 0
Запишемо закон, за яким змінюється переміщення з часом при
рівноприскореному русі: S х = V 0 x t + а х t 2/2. 2 c< Δt 2 < 3.
Ми можемо відповісти на перше запитання, підставивши дані:
t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2 · 3 2 / 2 = 9 (м) – це шлях, який пройшов
c автомобіль за 3 секунди.
Дізнаємось скільки він проїхав за 2 секунди:
S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2 · 2 2 / 2 = 4 (м)
Отже, ми з вами знаємо, що за дві секунди автомобіль проїхав 4 метри.
Тепер, знаючи ці дві відстані, ми можемо знайти шлях, який він пройшов за третю секунду:
S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)
Рівноприскорений рух - це рух з прискоренням, вектор якого не змінюється за модулем та напрямом. Приклади такого руху: велосипед, який котиться із гірки; камінь кинутий під кутом до обрію.
Розглянемо останній випадок докладніше. У будь-якій точці траєкторії на камінь діє прискорення вільного падіння g → , яке не змінюється за величиною і завжди спрямоване в один бік.
Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна як суми рухів щодо вертикальної і горизонтальної осей.
Вздовж осі X рух рівномірний і прямолінійний, а вздовж осі Y - рівноприскорений і прямолінійний. Розглянемо проекції векторів швидкості та прискорення на осі.
Формула для швидкості при рівноприскореному русі:
Тут v 0 – початкова швидкість тіла, a = c o ns t – прискорення.
Покажемо на графіці, що з рівноприскореному русі залежність v (t) має вигляд прямої лінії.
Прискорення можна визначити за кутом нахилу графіка швидкості. На малюнку вище модуль прискорення дорівнює відношенню сторін трикутника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чим більший кут β тим більше нахил (крутизна) графіка по відношенню до осі часу. Відповідно, тим більше прискорення тіла.
Для першого графіка: v 0 = - 2 м; a = 0,5 м з 2 .
Для другого графіка: v 0 = 3 м; a = - 1 3 м 2 .
За даним графіком можна обчислити переміщення тіла за час t . Як це зробити?
Виділимо на графіку малий відрізок часу ∆t. Вважатимемо, що він настільки малий, що рух за час ∆t можна вважати рівномірним рухом зі швидкістю, що дорівнює швидкості тіла в середині проміжку ∆t. Тоді, переміщення ∆ s за час ∆ t дорівнюватиме ∆ s = v ∆ t .
Розіб'ємо весь час t на нескінченно малі проміжки ∆t. Переміщення s за час t дорівнює площі трапеції O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t.
Ми знаємо, що v - v 0 = a t, тому остаточна формула для переміщення тіла набуде вигляду:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того щоб знайти координату знаходження тіла в даний момент часу, потрібно до початкової координати тіла додати переміщення. Зміна координати при рівноприскореному русі виражає закон рівноприскореного руху.
Закон рівноприскореного руху
Закон рівноприскореного рухуy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Ще одне поширене завдання, що виникає при аналізі рівноприскореного руху - знаходження переміщення при заданих значеннях початкової та кінцевої швидкостей та прискорення.
Виключаючи із записаних вище рівнянь t і вирішуючи їх, отримуємо:
s = v 2 - v 0 2 2 a.
За відомою початковою швидкістю, прискоренням і переміщенням можна знайти кінцеву швидкість тіла:
v = v 0 2 + 2 as.
При v 0 = 0 s = v 2 2 a і v = 2 a s
Важливо!
Величини v , v 0 , a , y 0 , s , що входять у вирази, є величинами алгебри. Залежно від характеру руху та напрями координатних осей в умовах конкретного завдання вони можуть набувати як позитивних, так і негативних значень.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Loading...