Віднімання дробів із різними знаменниками формула. Як відняти дроби з різними знаменниками

Наступна дія, яку можна виконувати зі звичайними дробами, - віднімання. В рамках цього матеріалу ми розглянемо, як правильно обчислити різницю дробів з однаковими та різними знаменниками, як відняти дріб з натурального числа і навпаки. Усі приклади будуть проілюстровані завданнями. Заздалегідь уточнимо, що ми розбиратимемо лише випадки, коли різниця дробів дає в результаті позитивне число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Як знайти різницю дробів з однаковими знаменниками

Почнемо відразу з наочного прикладу: припустимо, ми маємо яблуко, яке розділили на вісім частин. Залишимо п'ять частин на тарілці та заберемо дві з них. Цю дію можна записати так:

У результаті у нас залишилося 3 восьми частки, оскільки 5 − 2 = 3 . Виходить, що 58 - 28 = 38.

Завдяки цьому простому прикладу ми побачили, як саме працює правило віднімання дробів, знаменники яких однакові. Сформулюємо його.

Визначення 1

Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, потрібно від числа одного відняти чисельник іншого, а знаменник залишити колишнім. Це правило можна записати у вигляді a b - c b = a - c b.

Таку формулу ми використовуватимемо і надалі.

Візьмемо конкретні приклади.

Приклад 1

Відніміть з дробу 24 15 звичайний дріб 17 15 .

Рішення

Ми, що ці дроби мають однакові знаменники. Тому все, що нам потрібно зробити – це відняти 17 з 24 . Ми отримуємо 7 і дописуємо до неї знаменник, отримуємо 7 15 .

Наші підрахунки можна записати так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Якщо необхідно, можна скоротити складний дріб або виділити цілу частину з неправильної, щоб рахувати було зручніше.

Приклад 2

Знайдіть різницю 37 12 - 15 12 .

Рішення

Скористаємося описаною вище формулою та підрахуємо: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Легко помітити, що чисельник і знаменник можна розділити на два (про це ми вже говорили раніше, коли розбирали ознаки подільності). Скоротивши відповідь, отримаємо 11 6 . Це неправильний дріб, з якого ми виділимо цілу частину: 11 6 = 1 5 6 .

Як знайти різницю дробів з різними знаменниками

Таку математичну дію можна звести до того, що ми вже описували вище. Для цього просто наведемо потрібні дроби до одного знаменника. Сформулюємо визначення:

Визначення 2

Щоб знайти різницю дробів, які мають різні знаменники, необхідно привести їх до одного знаменника і знайти різницю чисельників.

Розглянемо з прикладу, як це робиться.

Приклад 3

Відніміть з 2 9 дріб 1 15 .

Рішення

Знаменники різні, і слід привести їх до найменшого загального значення. У цьому випадку НОК дорівнює 45 . Для першого дробу необхідний додатковий множник 5, а для другого – 3 .

Підрахуємо: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас вийшло два дроби з однаковим знаменником, і тепер ми легко можемо знайти їх різницю за описаним раніше алгоритмом: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Короткий запис рішення виглядає так: 2 9 – 1 15 = 10 45 – 3 45 = 10 – 3 45 = 7 45 .

Не варто нехтувати скороченням результату або виділенням із нього цілої частини, якщо це необхідно. У цьому прикладі нам цього не потрібно робити.

Приклад 4

Знайдіть різницю 19 9 - 7 36 .

Рішення

Наведемо зазначені в умові дробу до найменшого загального знаменника 36 і отримаємо відповідно 76 9 та 7 36 .

Вважаємо відповідь: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Результат можна скоротити на 3 та отримати 23 12 . Чисельник більший за знаменник, а значить, ми можемо виділити цілу частину. Підсумкова відповідь - 1 11 12 .

Короткий запис всього рішення - 19 9 - 7 36 = 11112.

Як відняти від звичайного дробу натуральне число

Така дія також легко звести до простого віднімання звичайних дробів. Це можна зробити, представивши натуральну кількість у вигляді дробу. Покажемо з прикладу.

Приклад 5

Знайдіть різницю 83 21 – 3 .

Рішення

3 - те саме, що і 3 1 . Тоді можна підрахувати так: 83 21 – 3 = 20 21 .

Якщо за умови необхідно відняти ціле число з неправильного дробу, зручніше спочатку виділити з нього ціле, записавши його як змішаного числа. Тоді попередній приклад можна вирішити інакше.

З дробу 8321 при виділенні цілої частини вийде 8321 = 32021.

Тепер просто віднімемо 3 з нього: 3 20 21 – 3 = 20 21 .

Як відняти звичайний дріб з натурального числа

Ця дія робиться аналогічно до попереднього: ми переписуємо натуральне число у вигляді дробу, наводимо обидві до єдиного знаменника і знаходимо різницю. Проілюструємо це прикладом.

Приклад 6

Знайдіть різницю: 7 - 5 3 .

Рішення

Зробимо 7 дробом 7 1 . Робимо віднімання та перетворимо кінцевий результат, виділяючи з нього цілу частину: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Є й інший спосіб зробити розрахунки. Він має деякі переваги, якими можна скористатися в тих випадках, якщо чисельники та знаменники дробів у завданні – великі числа.

Визначення 3

Якщо той дріб, який треба відняти, є правильним, то натуральне число, з якого ми віднімаємо, потрібно подати у вигляді суми двох чисел, одне з яких дорівнює 1 . Після цього потрібно відняти потрібний дріб з одиниці та отримати відповідь.

Приклад 7

Обчисліть різницю 1065 - 13 62 .

Рішення

Дроб, який треба відняти – правильний, адже його чисельник менший за знаменник. Тому нам потрібно відібрати одиницю від 1065 і відняти від неї потрібний дріб: 1065 – 13 62 = (1064 + 1) – 13 62

Тепер нам потрібно знайти відповідь. Використовуючи властивості віднімання, отриманий вираз можна записати як 1064 + 1 - 13 62 . Підрахуємо різницю у дужках. Для цього одиницю представимо як дріб 1 1 .

Виходить, що 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .

Тепер згадаємо про 1064 та сформулюємо відповідь: 1064 49 62 .

Використовуємо старий спосіб довести, що він менш зручний. Ось такі обчислення вийшли б у нас:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 106

Відповідь та сама, але підрахунки, очевидно, більш громіздкі.

Ми розглянули випадок, коли потрібно відняти правильний дріб. Якщо вона неправильна, ми замінюємо її змішаним числом і робимо віднімання за знайомими правилами.

Приклад 8

Обчисліть різницю 644 - 73 5 .

Рішення

Другий дріб – неправильний, і від нього треба відокремити цілу частину.

Тепер обчислюємо аналогічно попередньому прикладу: 630 – 3 5 = (629 + 1) – 3 5 = 629 + 1 – 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Властивості віднімання при роботі з дробами

Ті властивості, якими має віднімання натуральних чисел, поширюються і на випадки віднімання звичайних дробів. Розглянемо, як використовувати їх під час вирішення прикладів.

Приклад 9

Знайдіть різницю 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Рішення

Подібні приклади ми вже вирішували, коли розбирали віднімання суми з-поміж числа, тому діємо за вже відомим алгоритмом. Спочатку підрахуємо різницю 25 4 - 3 2 , а потім віднімемо від неї останній дріб:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Перетворимо відповідь, виділивши з неї цілу частину. Підсумок - 3 11 12 .

Короткий запис всього рішення:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Якщо у виразі присутні і дроби, і натуральні числа, то рекомендується за підрахунками згрупувати їх за типами.

Приклад 10

Знайдіть різницю 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Рішення

Знаючи основні властивості віднімання та додавання, ми можемо згрупувати числа наступним чином: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Завершимо розрахунки: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дробові висловлювання складні розуміння дитиною. Більшість виникають складнощі, пов'язані з . При вивченні теми «складання дробів з цілими числами», дитина впадає в ступор, важко вирішити завдання. Багато прикладах перед тим як виконати дію необхідно зробити ряд обчислень. Наприклад, перетворити дроби або перевести неправильний дріб у правильний.

Пояснимо дитині наочно. Візьмемо три яблука, два з яких будуть цілими, а третє розріжемо на 4 частини. Від розрізаного яблука відокремимо одну часточку, а решту три покладемо поруч із двома цілими фруктами. Отримаємо ¼ яблука з одного боку і 2 ¾ — з іншого. Якщо ми їх з'єднаємо, то отримаємо цілих три яблука. Спробуємо зменшити 2 ¾ яблука на ¼, тобто приберемо ще одну часточку, отримаємо 2 2/4 яблука.

Розглянемо докладніше події з дробами, у складі яких є цілі числа:

Для початку згадаємо правило обчислення для дробових виразів із загальним знаменником:

На перший погляд, все легко і просто. Але це стосується лише виразів, які потребують перетворення.

Як знайти значення виразу де знаменники різні

У деяких завданнях необхідно знайти значення виразу, де знаменники є різними. Розглянемо конкретний випадок:
3 2/7+6 1/3

Знайдемо значення цього виразу, при цьому знайдемо для двох дробів спільний знаменник.

Для чисел 7 і 3 – це 21. Цілі частини залишаємо колишніми, а дробові – наводимо до 21, для цього перший дріб множимо на 3, другий – на 7, отримуємо:
6/21+7/21, не забуваймо, що цілі частини не підлягають перетворенню. У результаті отримуємо два дроби з одним знаменникам та обчислюємо їх суму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Що якщо в результаті додавання виходить неправильний дріб, який вже має цілу частину:
2 1/3+3 2/3
В даному випадку складаємо цілі частини та дробові, отримуємо:
5 3/3, як відомо, 3/3 – це одиниця, отже 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Зі знаходженням суми все зрозуміло, розберемо віднімання:

Зі всього сказаного випливає правило дій над змішаними числами, яке звучить так:

Якщо ж від дробового виразу необхідно відняти ціле число, не потрібно представляти друге число у вигляді дробу, достатньо зробити дію лише над цілими частинами.

Спробуємо самостійно обчислити значення виразів:

Розберемо детальніше приклад під літерою «м»:

4 5/11-2 8/11, чисельник першого дробу менший, ніж другий. Для цього займаємо одне ціле число у першому дробі, отримуємо,
3 5/11+11/11=3 цілих 16/11, віднімаємо від першого дробу другу:
3 16/11-2 8/11=1 ціла 8/11

Будьте уважні при виконанні завдання, не забувайте перетворювати неправильні дроби на змішані, виділяючи цілу частину. Для цього необхідно значення чисельника розділити на значення знаменника, що вийшло, встає на місце цілої частини, залишок – буде чисельником, наприклад:

19/4=4 ¾, перевіримо: 4*4+3=19, у знаменнику 4 залишається без змін.

Підведемо підсумок:

Перед тим як розпочати виконання завдання, пов'язаного з дробами, необхідно проаналізувати, що це за вираз, які перетворення потрібно зробити над дробом, щоб рішення було правильним. Шукайте більш раціональні спосіб вирішення. Не йдіть складними шляхами. Розплануйте всі дії, вирішуйте спочатку у чорновому варіанті, потім переносіть у шкільний зошит.

Щоб не відбулося плутанини при вирішенні дробових виразів, необхідно керуватися правилом послідовності. Вирішуйте все уважно, не поспішаючи.

Зверніть увагу!Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, чи можна скоротити дріб, який ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

Віднімання правильного дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти з одиниці дріб, який є правильним, одиницю переводять до виду неправильного дробу, у неї знаменник дорівнює знаменнику віднімається дробу.

Приклад віднімання правильного дробу з одиниці:

Знаменник відрахованого дробу = 7 , тобто одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильного дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів -правильної з цілого числа (натурального числа):

Перекладаємо задані дроби, що містять цілу частину, у неправильні. Отримуємо нормальні доданки (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які рахуємо за правилами, наведеними вище;
Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. У результаті майже знайдемо відповідь;
Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дроби цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильний дріб: подаємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто. займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у дробу, що віднімається.

Приклад віднімання дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильним дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відібрали дріб.

Віднімання дробів із різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів із різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого загального знаменника (НОЗ), і тільки після цього зробити віднімання як з дробами з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше загальне кратне)натуральних чисел, які є знаменниками цих дробів.

Увага!Якщо в кінцевому дробі чисельник і знаменник мають спільні множники , то дроб необхідно скоротити. Неправильний дріб краще подати у вигляді змішаного дробу. Залишити результат віднімання, не скоротивши дріб, де є можливість, це незакінчене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

знайти НОК для всіх знаменників;
поставити для всіх дробів додаткові множники;
помножити усі чисельники на додатковий множник;
отримані твори записуємо у чисельник, підписуючи під усіма дробами загальний знаменник;
зробити віднімання чисельників дробів, підписуючи під різницею загальний знаменник.

Таким же чином проводиться додавання та віднімання дробів за наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

При віднімання змішаних дробів (чисел)окремо з цілої частини віднімають цілу частину, та якщо з дробової частини віднімають дробову частина.

Перший варіант віднімання змішаних дробів.

Якщо у дробових частин однаковізнаменники та чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини віднімається (його віднімаємо).

Наприклад:

Другий варіант віднімання змішаних дробів.

Коли у дробових частин різнізнаменники. Для початку приводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

Наприклад:

Третій варіант віднімання змішаних дробів.

Дробна частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається.

Приклад:

Т.к. у дробових елементів різні знаменники, отже, як і за другому варіанті, спочатку наводимо прості дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини зменшуваного менше чисельника дробової частини віднімається.3 < 14. Отже, займаємо одиницю з цілої частини та наводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником та чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму чисельників, далі розкриваємо дужки у чисельнику від правої частини, тобто множимо все і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках заведено залишати твір. Отримуємо:

У даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з однаковими знаменниками. Виявляється, що алгебраїчні дроби підпорядковуються тим самим правилам. Уміння працювати з дробами з однаковими знаменниками є одним з наріжних каменів у вивченні правил роботи з дробами алгебри. Зокрема, розуміння даної теми дозволить легко освоїти складнішу тему - складання та віднімання дробів з різними знаменниками. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, а також розберемо цілий ряд типових прикладів

Правило складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками

Сфор-му-лі-ру-єм пра-ві-ло сло-же-ня (ви-чі-та-ня) ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви -ми зна-ме-на-те-ля-ми (воно сов-па-да-є з ана-ло-гіч-ним пра-ві-лом для звича-но-вен-них дрібниць): Тобто для сло-же-ня або ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ -хо-ді-мо зі-ста-вити со-від-віт-ству-ю-щу ал-геб-ра-і-че-ську суму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель залишити без змін.

Це правило ми розберемо і на прикладі звичайних дрібниць, і на прикладі алгебрійських дроків. бий.

Приклади застосування правила для звичайних дробів

Приклад 1. Складати дроби: .

Рішення

Сло-жим чис-ли-ті-ли дрібни, а зна-ме-тель залишимо таким же. Після цього раз-ло-жим чис-ли-тель і зна-ме-на-тель на прості про-мно-жи-те-лі і со-кра-тим. Променем: .

При-ме-ча-ня: стан-дарт-на помил-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ють при розв'язанні подібного роду прикладів, за -клю-ча-є-ся в слі-ду-ю-щем спо-собі-рі-шення: . Це гру-бей-ша помилка, оскільки зна-мен-тель залишається таким же, яким був у вихідних дрібницях.

Приклад 2. Складати дроби: .

Рішення

Дана за-да-ча нічим не від-ли-ча-є-ся від попередньої: .

Приклади застосування правила для дробів алгебри

Від звичай-но-вен-них дробей пе-рей-дом до ал-геб-ра-і-че-ським.

Приклад 3. Складати дроби: .

Рішення: як уже го-во-ри-лося вище, сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дрібниць нічим не від-лі-ча-є-ся від сло- же-ня звичай-но-вен-них дрібниць. Тому метод розв'язання такий самий: .

Приклад 4. Вирахувати дроби: .

Рішення

Ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей від-лі-ча-є-ся від сло-же-ня лише тим, що в чис-ли-тель за- пи-си-ва-є-ся різн-ність чис-ли-те-лей ви-хід-них дро-бей. По-це-му.

Приклад 5. Ви-честь дробу: .

Рішення: .

Приклад 6. Спростити: .

Рішення: .

Приклади застосування правила з наступним скороченням

У дробі, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-ті сло-же-ня або ви-чи-та-ня, мож-ни со-кра-ще- ня. Крім того, не варто за-бувати про ОДЗ ал-геб-ра-і-чеських дробей.

Приклад 7. Спростити: .

Рішення: .

При цьому . Во-обще, якщо ОДЗ ви-хідних дрібниць сов-па-да-ет з ОДЗ итого-вою, то його можна не вка-зувати (адже дріб, по-лу-чен- ная у від-ві-ті, також не буде сут-ство-вати при со-від-віт-ству-ють зна-че-ні-ях пере-мін-них). А от якщо ОДЗ вихідних дрібниць і відповіді не збігається, то ОДЗ вказувати необхідно.

Приклад 8. Спростити: .

Рішення: . При цьому y (ОДЗ ви-хідних дро-бей не сов-па-да-є з ОДЗ ре-зуль-та-та).

Додавання та віднімання звичайних дробів з різними знаменниками

Щоб склада-ти-вати і ви-читати ал-геб-ра-і-че-ські дроби з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-демо ана-ло -гію з звичай-но-вен-ни-ми дро-бя-ми і пе-ре-не-сім її на ал-геб-ра-і-че-ські дроби.

Розглянув простий приклад для звичай-них дрібних.

Приклад 1.Складати дроби: .

Рішення:

Згадаймо пра-ві-ло сло-же-ня дрібниць. Для початку дробу необхідно привести до загального знамені. У ролі об-щого зна-ме-на-те-ля для звичай-но-вен-них дрібниць ви-сту-па-є найменше загальне кратне(НОК) ис-ход-них зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ня

Найменше на-ту-раль-не число, яке де-літ-ся од-но-вре-мен-но на числа і .

Для знахо-дення НОК необхо-ді-мо роз-ло-жити зна-ме-на-ті-лі на про-сті багато-жи-те-лі, а потім ви-брати все про- сті мно-жи-те-ли, ко-то-ры входять у раз-ло-же-ние обох зна-ме-на-те-лей.

; . Тоді в НОК чисел повинні входити дві двійки і дві трійки: .

Після знахо-дення об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для кож-ної з дро-бей знайти до-пов-ні-тель-ний багато- жи-тель (фак-ти-че-ськи, по-ділити загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель зі-від-віт-ю-шої дробу).

Потім кожен дріб розумно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ний до-пол-ні-тель-ний багато-жи-тель. По-лу-ча-ють-ся дроби з оді-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми, склад-д-вати і ви-читати ко-то-рі ми на -вчилися на минулих уроках.

По-лу-ча-єм: .

Відповідь:.

Роз-див-рим тепер сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з різн-ми-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла роз-смот-рим дробу, зна-ме-на-те-ли ко-то-рих яв-ля-ють-ся чис-ла-ми.

Додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками

Приклад 2.Складати дроби: .

Рішення:

Ал-го-ритм рішення аб-со-лют-но ана-ло-гі-чен пред-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брати загальний зна-ме-на-тель дан-них дрібниць: і до-пол-ні-тель-ні багато хто для кожної з них.

Відповідь:.

Отже, сфор-му-лі-ру-єм ал-го-ритм сло-же-ня і ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми:

1. Знайти най-менший загальний зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Знайти до-пов-ні-тель-ні багато-ж-те-ли для кож-ної з дро-бей (поді-лів загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан ного дробу).

3. До-мно-жити чис-ли-ті-ли на со-від-віт-стві-ю-щі до-пов-ні-тель-ні мно-жи-те-лі.

4. Складати або вирахувати дроби, користуючись пра-ві-ла-ми сло-же-ня і ви-чи-та-ня дрібни- з оди-на-ко-ви-ми зна -Ме-на-те-ля-ми.

Роз-смот-рим те-пер приклад з дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-лі ко-то-рих при-сут-ють бук-вен-ні ви-ра-же -Нія.

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Всередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні декількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема теж вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці "Приведення дробів до спільного знаменника", тому тут ми не будемо на них зупинятись. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-нахрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас порадувати: різні знаменники у дробів це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, як у дробах-складових виділена ціла частина.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та вимагають тривалого вивчення. Краще використовуйте просту схему, наведену нижче:

Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (хай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. У результаті практично знайдемо відповідь;
Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними в тестах цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

Насамкінець наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму або різницю двох і більше дробів:

Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
Приведіть всі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники задач);
Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще наприкінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.