Арифметичний квадратний корінь та його властивості.

Ця стаття є сукупністю детальної інформації, що стосується теми якості коренів. Розглядаючи тему, ми почнемо з властивостей, вивчимо всі формулювання та наведемо докази. Для закріплення теми ми розглянемо властивості n-ого ступеня.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Властивості коріння

Ми поговоримо про властивості.

Властивість помножених чисел aі b, Яка представляється як рівність a · b = a · b. Його можна представити у вигляді множників, позитивних або рівних нулю a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
з приватного a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0, він також може записуватися в такому вигляді a b = a b;
Властивість зі ступеня числа aз парним показником a 2 · m = a m за будь-якого числа a, наприклад, властивість із квадрата числа a 2 = a .

У будь-якому з представлених рівнянь можна поміняти частини до і після знака тире місцями, наприклад, рівність a · b = a · b трансформується як a · b = a · b . Властивості для рівності часто використовуються для спрощення складних рівнянь.

Доказ перших властивостей ґрунтується на визначенні квадратного коренята властивості ступенів з натуральним показником. Щоб обґрунтувати третю властивість, необхідно звернутися до визначення модуля числа.

Насамперед, необхідно довести властивості квадратного кореня a · b = a · b. Згідно з визначенням, необхідно розглянути, що a · b - число, позитивне або рівне нулю, яке дорівнює a · bпід час зведення у квадрат. Значення виразу a · b позитивно чи дорівнює нулю як добуток невід'ємних чисел. Властивість ступеня помножених чисел дозволяє уявити рівність у вигляді (a · b) 2 = a 2 · b 2 . За визначенням квадратного кореня a 2 = a і b 2 = b, то a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Аналогічним способом можна довести, що з твору kмножників a 1 , a 2 , … , a kдорівнюватиме добутку квадратного коріння з цих множників. Справді, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

З цієї рівності випливає, що a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Розглянемо кілька прикладів закріплення теми.

Приклад 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 і 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1).

Необхідно довести властивість арифметичного квадратного кореня із частки: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Властивість дозволяє записати рівність a: b 2 = a 2: b 2 а 2: b 2 = a: b при цьому a: b є позитивним числом або дорівнює нулю. Цей вираз і стане доказом.

Наприклад, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 і 3 0, 121 = 3 0, 121 .

Розглянемо властивість квадратного кореня із квадрата числа. Його можна записати у вигляді рівності як a 2 = a Щоб довести цю властивість, необхідно докладно розглянути кілька рівностей при a ≥ 0і при a< 0 .

Вочевидь, що з a ≥ 0 справедлива рівність a 2 = a . При a< 0 буде вірна рівність a 2 = - a. Насправді, у цьому випадку − a > 0та (− a) 2 = a 2 . Можна зробити висновок, a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 2

5 2 = 5 = 5 і - 0,36 2 = -0, 36 = 0,36.

Доведена властивість допоможе дати обґрунтування a 2 · m = a m, де a- дійсне, а m-натуральне число. Справді, властивість зведення ступеня дозволяє замінити ступінь a 2 · mвиразом (a m) 2тоді а 2 · m = (a m) 2 = a m .

Приклад 3

3 8 = 3 4 = 3 4 і (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Властивості кореня n-ого ступеня

Для початку необхідно розглянути основні властивості коренів n-ого ступеня:

Властивість із твору чисел aі b, які позитивні або рівні нулю, можна виразити як рівність a · b n = a n · b n , дана властивість справедлива для твору kчисел a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
з дробового числамає властивість a b n = a n b n , де a– будь-яке дійсне число, яке позитивно або дорівнює нулю, а b- Позитивне дійсне число;
За будь-якого aта парних показниках n = 2 · mсправедливо a 2 · m 2 · m = a, а при непарних n = 2 · m − 1виконується рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Властивість вилучення з a m n = a n · m, де a- будь-яке число, позитивне або рівне нулю, nі m- натуральні числа, ця властивість також може бути представлена у вигляді. . . a n k n 2 n 1 = an 1 · n 2 . . . · Nk;
Для будь-якого невід'ємного a і довільних nі m, які є натуральними, також можна визначити справедливу рівність a m n · m = a n;
Властивість ступеня nзі ступеня числа a, яке позитивно або дорівнює нулю, в натуральному ступені m, Яке визначається рівністю a m n = a n m;
Властивість порівняння, які мають однакові показники: для будь-яких позитивних чисел aі bтаких, що a< b , виконується нерівність a n< b n ;
Властивість порівняння, які мають однаковими числамипід корінням: якщо mі n –натуральні числа, що m > n, тоді при 0 < a < 1 справедлива нерівність a m > a n , а при a > 1виконується a m< a n .

Рівності, наведені вище, є справедливими, якщо частини до і після знака і поміняти місцями. Вони можуть бути використані й у такому вигляді. Це часто застосовується під час спрощення або перетворення виразів.

Доказ наведених вище властивостей кореня ґрунтується на визначенні, властивостях ступеня та визначенні модуля числа. Ці властивості необхідно довести. Але все поряд.

Насамперед доведемо властивості кореня n-ого ступеня з добутку a · b n = a n · b n . Для aі b , якіє позитивними або рівними нулю , значення a n · b n також позитивно або дорівнює нулю, оскільки є наслідком множення негативних чисел. Властивість твору в натуральному ступені дозволяє записати рівність a n · b n n = a n n · b n n . За визначенням кореня n-ой ступеня a n n = a і b n n = b , отже, a n · b n n = a · b . Отримана рівність – саме те, що потрібно було довести.

Аналогічно доводиться ця властивість для твору kмножників: для невід'ємних чисел a 1 , a 2 , … , a n виконується a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Наведемо приклади використання якості кореня n-ой ступеня з твору: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 і 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 3 · 5 7 4 .

Доведемо властивість кореня з частки a b n = a n b n . При a ≥ 0і b > 0виконується умова a n b n ≥ 0 , а a n b n n = a n n n n = a b .

Покажемо приклади:

Приклад 4

8 27 3 = 8 3 27 3 і 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Для наступного кроку необхідно довести властивості n-ого ступеня з числа ступеня n. Представимо це у вигляді рівності a 2 · m 2 · m = a та a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для будь-якого дійсного aта натурального m. При a ≥ 0отримуємо a = a і a 2 · m = a 2 · m , що доводить рівність a 2 · m 2 · m = a, а рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a< 0 отримуємо відповідно a = - a і a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Остання трансформація числа справедлива згідно з якістю ступеня. Саме це доводить рівність a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a буде справедливо, тому що за непарною мірою розглядається - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для будь-якого числа c,позитивного чи рівного нулю.

Для того щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька прикладів з використанням властивості:

Приклад 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 і (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Доведемо таку рівність a m n = a n · m. Для цього необхідно поміняти числа до знака і після нього місцями a n · m = a m n . Це означатиме правильний запис. Для a,яке є позитивним або одно нулю , з виду a m n є числом позитивним або рівним нулю. Звернемося до якості зведення ступеня до ступеня та визначення. З їхньою допомогою можна перетворити рівності як a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Цим доведено аналізовану властивість кореня з кореня.

Аналогічно доводяться інші властивості. Справді, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · N k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · N k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · N k = . . . = a n k n k = a.

Наприклад, 7 3 5 = 7 5 · 3 та 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24 .

Доведемо таку властивість a m n · m = a n . Для цього необхідно показати, що a n - Число, позитивне або рівне нулю. При зведенні в ступінь n · m дорівнює a m. Якщо число aє позитивним або рівним нулю, то n-ой ступеня з числа aє числом позитивним або рівним нулю.

Для того щоб закріпити отримані знання, розглянемо кілька прикладів

Доведемо таку властивість – властивість кореня зі ступеня виду a m n = a n m. Очевидно, що за a ≥ 0ступінь a n m є негативним числом. Більше того, її n-а ступінь дорівнює a mдійсно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Цим і доведено аналізовану властивість ступеня.

Наприклад, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Необхідний доказ, що для будь-яких позитивних чисел aі b виконано умову a< b . Розглянемо нерівність a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Отже, a n< b n при a< b .

Для прикладу наведемо 12 4< 15 2 3 4 .

Розглянемо властивість кореня n-ой ступеня. Необхідно спершу розглянути першу частину нерівності. При m > nі 0 < a < 1 справедливо a m > a n. Припустимо, що a m ≤ a n . Властивості дозволять спростити вираз до a n m · n ≤ a m m · n . Тоді, згідно з властивостями ступеня з натуральним показником, виконується нерівність a n m · n m · n am m · n m · n , тобто, a n ≤ a m. Отримане значення при m > nі 0 < a < 1 не відповідає властивостям, наведеним вище.

У такий же спосіб можна довести, що за m > nі a > 1справедлива умова a m< a n .

Для того щоб закріпити наведені властивості, розглянемо кілька конкретних прикладів. Розглянемо нерівності, використовуючи конкретні числа.

Приклад 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Площа квадратної ділянки землі дорівнює 81 дм2. Знайти його сторону. Припустимо, що довжина сторони квадрата дорівнює хдециметрів. Тоді площа ділянки дорівнює х² квадратним дециметрам. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 81 дм², то х² = 81. Довжина сторони квадрата – позитивне число. Позитивним числом, квадрат якого дорівнює 81, є число 9. При розв'язанні задачі потрібно знайти число х, квадрат якого дорівнює 81, тобто вирішити рівняння х² = 81. Це рівняння має два корені: x 1 = 9 та x 2 = - 9, тому що 9² = 81 і (- 9)² = 81. Обидва числа 9 і - 9 називають квадратним корінням з числа 81.

Зауважимо, що одне з квадратних коренів х= 9 є позитивним числом. Його називають арифметичним квадратним коренем із числа 81 та позначають √81, таким чином √81 = 9.

Арифметичним квадратним коренем із числа аназивається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад, числа 6 і — 6 є квадратним корінням із числа 36. При цьому число 6 є арифметичним квадратним коренем із 36, оскільки 6 — невід'ємне число і 6² = 36. Число — 6 не є арифметичним коренем.

Арифметичний квадратний корінь із числа апозначається так: √ а.

Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня; а- називається підкореним виразом. Вираз √ ачитається так: арифметичний квадратний корінь з числа а.Наприклад, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. У тих випадках, коли ясно, що мова йдепро арифметичне коріння, коротко кажуть: «корінь квадратний з а«.

Дію знаходження квадратного кореня у складі називають вилученням квадратного кореня. Ця дія є оберненою до зведення в квадрат.

Зводити в квадрат можна будь-які числа, але добувати квадратне коріння можна не з будь-якого числа. Наприклад, не можна витягти квадратний корінь із числа — 4. Якби такий корінь існував, то, позначивши його літерою х, Ми отримали б неправильну рівність х² = - 4, так як зліва стоїть невід'ємне число, а справа негативне.

Вираз √ амає сенс тільки за а ≥ 0. Визначення квадратного кореня можна коротко записати так: √ а ≥ 0, (√а)² = а. Рівність (√ а)² = асправедливо за а ≥ 0. Таким чином, щоб переконатися в тому, що квадратний корінь з негативного числа адорівнює b, тобто в тому, що √ а =b, потрібно перевірити, що виконуються такі дві умови: b ≥ 0, b² = а.

Квадратний корінь із дробу

Обчислимо. Зауважимо, що √25 = 5, √36 = 6, і перевіримо чи виконується рівність .

Так як і , то рівність вірна. Отже, .

Теорема:Якщо а≥ 0 та b> 0, тобто корінь із дробу дорівнює коренюз чисельника, поділеного на корінь із знаменника. Потрібно довести, що: .

Бо √ а≥0 та √ b> 0, то .

За якістю зведення дробу у ступінь та визначенням квадратного кореня теорему доведено. Розглянемо кілька прикладів.

Обчислити , за доведеною теоремою .

Другий приклад: Довести, що , якщо а ≤ 0, b < 0. .

Ще приклад: Обчислити .

Перетворення квадратного коріння

Винесення множника з-під знаку кореня. Нехай дано вираз. Якщо а≥ 0 та b≥ 0, то за теоремою про коріння з твору можна записати:

Таке перетворення називається винесення множника з-під знаку кореня. Розглянемо приклад;

Обчислити при х= 2. Безпосередня підстановка х= 2 у підкорене вираз призводить до складних обчислень. Ці обчислення можна спростити, якщо спочатку винести з-під знаку кореня множники: . Підставивши тепер х = 2 отримаємо:.

Отже, при винесенні множника з-під знака кореня є підкорене вираз у вигляді твору, в якому один або кілька множників є квадратами невід'ємних чисел. Потім застосовують теорему про корені з твору та витягують корінь із кожного множника. Розглянемо приклад: Спростити вираз А = √8 + √18 - 4√2 виносячи в перших двох доданків множники з-під знаку кореня, отримаємо:. Підкреслимо, що рівність справедливо тільки за а≥ 0 та b≥ 0. якщо ж а < 0, то .

факт 1.
\(\bullet\) Візьмемо деяке невід'ємне число \(a\) (тобто \(a\geqslant 0\)). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа \(a\) називається таке невід'ємне число \(b\), при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ці обмеження є важливою умовоюіснування квадратного кореня та його слід запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто \(100^2=10000\geqslant 0\) і \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чому дорівнює \(\sqrt(25)\)? Ми знаємо, що \(5^2=25\) та \((-5)^2=25\) . Оскільки за визначенням ми маємо знайти неотрицательное число, то \(-5\) не підходить, отже, \(\sqrt(25)=5\) (оскільки \(25=5^2\) ).
Знаходження значення \(\sqrt a\) називається вилученням квадратного кореня з числа \(a\) , а число \(a\) називається підкореним виразом.
\(\bullet\) Виходячи з визначення, виразу \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно вивчити таблицю квадратів натуральних чиселвід \(1\) до \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline \end(array)\]

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
\(\bullet\) Сума чи різниця квадратного коріння НЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , то спочатку ви повинні знайти значення \(\sqrt(25)\) та \(\sqrt(49)\ ), а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення \(\sqrt a\) або \(\sqrt b\) при додаванні \(\sqrt a+\sqrt b\) знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) ми можемо знайти \(\sqrt(49)\) - це \(7\) , а от \(\sqrt 2\) ніяк перетворити не можна, тому \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Далі цей вислів, на жаль, спростити не можна\(\bullet\) Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння з великих чиселшляхом розкладання їх на множники.
Розглянемо приклад. Знайдемо \(\sqrt(44100)\). Оскільки \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). За ознакою подільності число \(441\) ділиться на \(9\) (оскільки сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, \(441:9=49\) , тобто \(441=9\) cdot 49) .
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу \(5\sqrt2\) (скорочений запис від виразу \(5\cdot \sqrt2\)). Оскільки \(5=\sqrt(25)\) , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Уявімо, що \(\sqrt2\) - це деяке число \(a\). Відповідно, вираз \(\sqrt2+3\sqrt2\) є не що інше, як \(a+3a\) (одне число \(a\) плюс ще три таких же числа \(a\) ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам \(a\), тобто \(4\sqrt2\).

факт 4.
\(\bullet\) Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака \(\sqrt() \ \) кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі \(16\) можна, тому що \(16=4^2\) , тому \(\sqrt(16)=4\) . А ось витягти корінь із числа \(3\), тобто знайти \(\sqrt3\), не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть \(3\).
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа \(\pi\) (число "пі", приблизно рівне \(3,14\) ), \(e\) (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює \(2,7\) ) і т.д.
\(\bullet\) Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числаутворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою \(\mathbb(R)\).
Значить, усі числа, які на Наразіми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль речовинного числа \(a\) – це невід'ємне число \(|a|\) , що дорівнює відстані від точки \(a\) до \(0\) на речовинній прямій. Наприклад, \(|3|\) та \(|-3|\) рівні 3, тому що відстані від точок \(3\) і \(-3\) до \(0\) однакові та рівні \(3 \).
\(\bullet\) Якщо \(a\) – невід'ємне число, то \(|a|=a\) .
Приклад: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Якщо \(a\) – від'ємне число, то \(|a|=-a\) .
Приклад: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Кажуть, що у негативних чисел модуль з'їдає мінус, а позитивні числа, а також число \(0\), модуль залишає без змін.
АЛЕтаке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома \(x\) (або якась інша невідома), наприклад, \(|x|\) , про яку ми не знаємо, чи позитивна вона, дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: \(|x|\) . \(\bullet\) Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що \(\sqrt(a^2)\) і \((\sqrt a)^2\) - одне й те саме. Це вірно лише в тому випадку, коли \(a\) - позитивне число або нуль. А от якщо \(a\) - негативне число, то це не так. Досить розглянути такий приклад. Візьмемо замість \(a\) число \(-1\). Тоді \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , а ось вираз \((\sqrt (-1))^2\) взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!).
Тому звертаємо вашу увагу на те, що \(\sqrt(a^2)\) не дорівнює \((\sqrt a)^2\)!Приклад: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (вираз \(2n\) позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює \(-25\); але ми пам'ятаємо , що за визначенням кореня такого бути не може: у нас завжди при вилученні кореня має виходити позитивне число або нуль)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)

Факт 6.
Як порівняти два квадратні корені?
\(\bullet\) Для квадратного коріння вірно: якщо \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПриклад:
1) порівняємо \(\sqrt(50)\) і \(6\sqrt2\) . Для початку перетворимо другий вираз у \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Таким чином, оскільки \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Між якими цілими числами перебуває \(\sqrt(50)\)?
Оскільки \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Порівняємо \(\sqrt 2-1\) і \(0,5\). Припустимо, що \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\&\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було неправильним і (\sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності не впливає його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення даних чисел допоможе вам порівняти чисел! \(\bullet\) Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягається) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими “сотнями” воно знаходиться, потім – між якими “десятками”, а потім визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо \(\sqrt(28224)\). Ми знаємо, що \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) і т.д. Зауважимо, що \(28224\) знаходиться між \(10\,000\) та \(40\,000\) . Отже, \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(100\) та \(200\) .
Тепер визначимо, між якими “десятками” знаходиться наше число (тобто, наприклад, між (120) і (130)). Також із таблиці квадратів знаємо, що \(11^2=121\) , \(12^2=144\) і т.д., тоді \(110^2=12100\) , \(120^2=14400) \) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \). Таким чином, ми бачимо, що \(28224\) знаходиться між \(160^2\) та \(170^2\) . Отже, число \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(160\) і \(170\).
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці \(4\) ? Це \(2^2\) і \(8^2\). Отже, \(\sqrt(28224)\) буде закінчуватися або на 2 або на 8. Перевіримо це. Знайдемо \(162^2\) і \(168^2\):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, \(\sqrt(28224) = 168\). Вуаль!

Для того, щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, насамперед необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить із численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики буває непросто навіть у Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто бажає отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відображається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та розмірковувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що оточує тебе, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними висловлюваннями, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), а через деякий час, як висловився один учений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли усі числа". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, що на даний момент позначається як √, була зафіксована у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але в другому тисячолітті до н. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені вирубали процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.

Нарівні з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а стародавні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження цього терміну пов'язують з арабським уявленням числа: древні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневе" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний із довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду "галочка" з'явилася лише в XVII столітті завдяки Рене Декарту.

Наші дні

З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак це визначення актуальне лише для арифметичного кореня, оскільки воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, √y=z, де z більше або одно 0.

У випадку, що діє визначення алгебраїчного кореня, значення висловлювання може бути як позитивним, і негативним. Таким чином, через те, що z 2 =y та (-z) 2 =y, маємо: √y=±z або √y=|z|.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята кореня квадратного. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за таким принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути коренем квадратним із року. Так, наступного разу відзначатиме це свято 4 квітня 2016 року.

Властивості квадратного кореня на полі R

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, яка визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібен, по черзі віднімаються непарні числа - доти, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі дорівнюватиме нулю. Кількість ходів і буде в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

Наступне непарне число – це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких випадків існує розкладання в ряд Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n де n приймає значення від 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графічне зображення функції z=√y

Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:

Крива росте з початку координат та обов'язково перетинає точку (1; 1).

Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R

1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).

3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.

4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.

5. Функція z=√y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).

7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.

8. Функція z=√y безперервно зростає.

9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.

Варіанти зображення функції z=√y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому корінь квадратний є звичайною статечною функцією.

А в програмуванні заміною символу є комбінація літер sqrt.

Слід зазначити, що у цій області квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить у склад більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний у комплексному полі

За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння і за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.