สัมประสิทธิ์นำหน้าของสมการกำลังสอง สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *เพิ่มเติมในข้อความ "KU".เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าในทางคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูจำนวนการแสดงผลที่ยานเดกซ์ให้ต่อคำขอต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ลองดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าประมาณ 70,000 คนต่อเดือนกำลังมองหา ข้อมูลเหล่านี้, หน้าร้อนนี้เกี่ยวอะไรกับมัน และจะเกิดอะไรขึ้นในหมู่ ปีการศึกษา- คำขอจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะทั้งชายและหญิงที่จบการศึกษาจากโรงเรียนมานานและกำลังเตรียมตัวสอบกำลังมองหาข้อมูลนี้ และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีไซต์มากมายที่บอกวิธีแก้สมการนี้ แต่ฉันตัดสินใจร่วมให้ข้อมูลและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สองในบทความอื่น ๆ เมื่อคำพูด "KU" ปรากฏขึ้นฉันจะให้ลิงก์ไปยังบทความนี้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่มักจะระบุไว้ในเว็บไซต์อื่นๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ a,ขและด้วยตัวเลขตามอำเภอใจด้วย a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียนเนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - การแบ่งสมการออกเป็นสามชั้นเรียนทำแบบมีเงื่อนไข:

1. มีสองราก

2. * มีรากเดียวเท่านั้น

3. ไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ภายใต้คำที่ "แย่มาก" นี้มีสูตรง่ายๆ อยู่:

สูตรรากมีดังนี้:

*สูตรนี้ต้องรู้ใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีรากที่สอง

2. ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูสมการ:

โดย ครั้งนี้เมื่อผู้เลือกปฏิบัติ ศูนย์, หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รับหนึ่งรูตที่นี่เท่ากับเก้า ถูกต้อง มันคือ แต่...

การแสดงนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง อันที่จริงมีสองราก ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ กลายเป็นสอง รากเท่ากันและเพื่อให้แม่นยำทางคณิตศาสตร์ สองรากควรเขียนในคำตอบ:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถเขียนและบอกว่ามีเพียงรูทเดียวเท่านั้น

ตอนนี้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ดังที่เราทราบ รากของจำนวนลบจะไม่ถูกแยกออกมา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่คือวิธีที่โซลูชันมีลักษณะทางเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่ง เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

ก ข ค - ให้ตัวเลขโดยที่ ≠ 0

กราฟเป็นพาราโบลา:

นั่นคือ ปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าบวก) หนึ่งจุด (การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) หรือไม่มีเลย (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ) รายละเอียดเกี่ยวกับ ฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

พิจารณาตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: ตัดสินใจ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = -12

* คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย 2 ได้ทันที นั่นคือ ลดความซับซ้อนของสมการ การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราได้ x 1 \u003d 11 และ x 2 \u003d 11

ในคำตอบ อนุญาตให้เขียน x = 11

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการเลือกปฏิบัติเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่เกี่ยวกับสาเหตุและที่มาและบทบาทเฉพาะและความจำเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือหัวข้อสำหรับบทความแยกขนาดใหญ่

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนของรูปแบบ

z = a + bi

โดยที่ a และ b อยู่ที่ไหน ตัวเลขจริง, i เป็นหน่วยจินตภาพที่เรียกว่า

a+bi เป็นเลขตัวเดียว ไม่ใช่ส่วนเสริม

หน่วยจินตภาพเท่ากับรูทของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

รับสองรากคอนจูเกต

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

พิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์) พวกเขาจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 สัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ตัวอย่าง:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

กรณีที่ 2 สัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

แปลงร่างแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 สัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้แก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ + ข+ ค = 0,แล้ว

— ถ้าสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ+ กับ =ข, แล้ว

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกัน เอ+ กับ =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 +37x+6 = 0

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6

2. หากในสมการ ax2 - bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เท่ากับตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx - c = 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” ตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 + 288x - 17 = 0

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. หากในสมการ ax 2 - bx - c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x2 - 99x -10 = 0

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตาม Francois Vieta นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียง การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถแสดงผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของ KU โดยพลการในแง่ของสัมประสิทธิ์

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยสรุปแล้ว ตัวเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือรากเหง้า ด้วยทักษะบางอย่าง โดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากได้ทันที

ทฤษฎีบทของเวียตาด้วย สะดวกเพราะหลังจากแก้สมการกำลังสองตามปกติ (ผ่าน discriminant) สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้ตลอดเวลา

วิธีการโอน

ด้วยวิธีนี้สัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยพจน์อิสระราวกับว่า "โอน" ไปที่มันซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการโอนวิธีนี้ใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า เอ± b+c≠ 0 จากนั้นจึงใช้เทคนิคการถ่ายโอนเช่น:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ตามทฤษฎีบทเวียตาในสมการ (2) มันง่ายที่จะตัดสินว่า x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

รากของสมการที่ได้จะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

เหตุผลคืออะไร? ดูว่าเกิดอะไรขึ้น

การเลือกปฏิบัติของสมการ (1) และ (2) คือ:

หากคุณดูที่รากของสมการ ก็จะได้ตัวส่วนต่างกันเท่านั้น และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ที่ x 2:

รากที่สอง (แก้ไข) มีขนาดใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*ถ้าเราทอยสามแบบ เราก็หารผลลัพธ์ด้วย 3 ไปเรื่อยๆ

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร. ur-ie และการสอบ

ฉันจะพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณควรจะสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการแบ่งแยกด้วยใจ งานจำนวนมากที่เป็นส่วนหนึ่งของงาน USE มาจากการแก้สมการกำลังสอง (รวมถึงงานเรขาคณิต)

สิ่งที่ควรค่าแก่การสังเกต!

1. รูปแบบของสมการสามารถเป็น "โดยปริยาย" ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำไปไว้ในรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. จำไว้ว่า x เป็นค่าที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ - t, q, p, h และอื่น ๆ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นแตกต่างจากสมการคลาสสิก (สมบูรณ์) โดยที่ตัวประกอบหรือเทอมอิสระของสมการนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวคือพาราโบลา ตามลักษณะทั่วไป แบ่งเป็น 3 กลุ่ม หลักการแก้สมการทุกประเภทเหมือนกัน

ไม่มีอะไรยากในการกำหนดชนิดของพหุนามที่ไม่สมบูรณ์ ควรพิจารณาความแตกต่างที่สำคัญในตัวอย่างเป็นตัวอย่าง:

1. ถ้า b = 0 สมการคือ ax 2 + c = 0
2. ถ้า c = 0 นิพจน์ ax 2 + bx = 0 ควรได้รับการแก้ไข
3. ถ้า b = 0 และ c = 0 พหุนามจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของประเภท ax 2 = 0

กรณีหลังมีความเป็นไปได้ทางทฤษฎีมากกว่าและไม่เคยเกิดขึ้นในการทดสอบความรู้ เนื่องจากค่าจริงเพียงอย่างเดียวของ x ในนิพจน์คือศูนย์ ในอนาคตจะพิจารณาวิธีการและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง 1) และ 2) สายพันธุ์

อัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวแปรและตัวอย่างด้วยโซลูชัน

โดยไม่คำนึงถึงประเภทของสมการ อัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะลดลงเป็นขั้นตอนต่อไปนี้:

1. นำนิพจน์มาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการค้นหาราก
2. ทำการคำนวณ
3. เขียนคำตอบ

แก้สมการที่ไม่สมบูรณ์ได้ง่ายที่สุดโดยแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางด้านขวา ดังนั้น สูตรสำหรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สำหรับการหารากจึงลดลงเหลือเพียงการคำนวณค่าของ x สำหรับแต่ละปัจจัย

คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาได้ในทางปฏิบัติเท่านั้น ดังนั้นโปรดพิจารณา ตัวอย่างเฉพาะการหารากของสมการที่ไม่สมบูรณ์:

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ b = 0 เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและรับนิพจน์:

4(x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0

เห็นได้ชัดว่าผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ข้อกำหนดที่คล้ายกันนั้นเป็นไปตามค่าของตัวแปร x1 = 0.5 และ (หรือ) x2 = -0.5

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานการสลายตัวได้ง่ายและรวดเร็ว ไตรนามสี่เหลี่ยมตัวคูณ คุณควรจำสูตรต่อไปนี้:

หากไม่มีคำศัพท์อิสระในนิพจน์ งานจะง่ายขึ้นอย่างมาก แค่ค้นหาและนำตัวส่วนร่วมออกมาก็เพียงพอแล้ว เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax2 + bx = 0

ลองเอาตัวแปร x ออกจากวงเล็บและรับนิพจน์ต่อไปนี้:

x ⋅ (x + 3) = 0

จากตรรกะ เราสรุปได้ว่า x1 = 0 และ x2 = -3

วิธีดั้งเดิมในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้สูตร discriminant และพยายามหารากของพหุนามโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ มาดูตัวอย่างจากการรวบรวมงานทั่วไปสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ในปี 2560 เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรมาตรฐานและวิธีการแยกตัวประกอบ

7x 2 - 3x = 0.

คำนวณค่าของ discriminant: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9 ปรากฎว่าพหุนามมีสองราก:

ทีนี้ แก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบและเปรียบเทียบผลลัพธ์

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

อย่างที่คุณเห็น ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน แต่วิธีที่สองในการแก้สมการกลับกลายเป็นว่าง่ายและเร็วกว่ามาก

ทฤษฎีบทของเวียตา

แต่จะทำอย่างไรกับทฤษฎีบทเวียตาอันเป็นที่รัก? วิธีนี้ใช้กับไตรโนเมียลที่ไม่สมบูรณ์ได้ไหม เรามาลองทำความเข้าใจแง่มุมต่าง ๆ ของการลดสมการที่ไม่สมบูรณ์ให้อยู่ในรูปแบบคลาสสิก ax2 + bx + c = 0

ในกรณีนี้ สามารถใช้ทฤษฎีบทของเวียตาได้ จำเป็นต้องนำนิพจน์ไปอยู่ในรูปแบบทั่วไปเท่านั้น โดยแทนที่เงื่อนไขที่ขาดหายไปด้วยศูนย์

ตัวอย่างเช่น ด้วย b = 0 และ a = 1 เพื่อขจัดความเป็นไปได้ของความสับสน งานควรเขียนในรูปแบบ: ax2 + 0 + c = 0 จากนั้นอัตราส่วนของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากและ ตัวประกอบของพหุนามสามารถแสดงได้ดังนี้:

การคำนวณเชิงทฤษฎีช่วยให้ทำความคุ้นเคยกับสาระสำคัญของปัญหา และต้องมีการพัฒนาทักษะเสมอในการแก้ปัญหา งานเฉพาะ. กลับไปที่หนังสืออ้างอิงของงานทั่วไปสำหรับการสอบอีกครั้งและค้นหาตัวอย่างที่เหมาะสม:

เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการใช้ทฤษฎีบทเวียตา:

x2 + 0 - 16 = 0

ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างระบบเงื่อนไข:

เห็นได้ชัดว่ารากของพหุนามกำลังสองจะเป็น x 1 \u003d 4 และ x 2 \u003d -4

ทีนี้ มาฝึกนำสมการมาอยู่ในรูปทั่วไปกัน ยกตัวอย่างต่อไปนี้: 1/4× x 2 – 1 = 0

เพื่อนำทฤษฎีบทเวียตาไปใช้กับนิพจน์ คุณต้องกำจัดเศษส่วน คูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย 4 แล้วดูผลลัพธ์: x2– 4 = 0 ความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์พร้อมที่จะแก้ไขโดยทฤษฎีบท Vieta แต่การหาคำตอบนั้นง่ายกว่าและเร็วกว่ามากโดยการย้าย c = 4 ทางด้านขวาของสมการ: x2 = 4

สรุปต้องบอกว่า วิธีที่ดีที่สุดคำตอบของสมการที่ไม่สมบูรณ์คือการแยกตัวประกอบเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดและ วิธีที่รวดเร็ว. หากคุณประสบปัญหาในกระบวนการค้นหาราก คุณสามารถอ้างถึงวิธีการดั้งเดิมในการค้นหารากผ่านการเลือกปฏิบัติ

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ a*x^2 +b*x+c=0, โดยที่ a,b,c เป็นจำนวนจริง (จำนวนจริง) ตามอำเภอใจ และ x เป็นตัวแปร และจำนวน a ไม่เท่ากับ 0

ตัวเลข a,b,c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ หมายเลข a - เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า หมายเลข b คือสัมประสิทธิ์ที่ x และหมายเลข c เรียกว่าสมาชิกอิสระ มีชื่ออื่นๆ ในวรรณคดีด้วย จำนวน a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก และจำนวน b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง

การจำแนกสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองมีการจำแนกประเภทของตัวเอง

โดยการปรากฏตัวของสัมประสิทธิ์:

1. อิ่ม

2. ไม่สมบูรณ์

โดยค่าสัมประสิทธิ์ของระดับสูงสุดของสิ่งที่ไม่รู้จัก(ถึงค่าของสัมประสิทธิ์นำหน้า):

1. ให้

2. ไม่ลดลง

สมการกำลังสอง เรียกว่าสมบูรณ์ถ้ามันประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งสามและไม่เป็นศูนย์ แบบฟอร์มทั่วไปสมการกำลังสองเต็ม: a*x^2 +b*x+c=0;

สมการกำลังสอง เรียกว่าไม่สมบูรณ์หากในสมการ a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 หนึ่งในสัมประสิทธิ์ b หรือ c เท่ากับศูนย์ (b \u003d 0 หรือ c \u003d 0) อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ก็จะเป็นเช่นกัน สมการที่ทั้งสัมประสิทธิ์ b และสัมประสิทธิ์ c มีค่าเท่ากับศูนย์พร้อมกัน (ทั้ง b=0 และ c=0)

เป็นที่น่าสังเกตว่าไม่มีสิ่งใดกล่าวเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์นำหน้า เนื่องจากตามนิยามของสมการกำลังสอง จะต้องแตกต่างจากศูนย์

ที่ให้ไว้ถ้ามันเป็นสัมประสิทธิ์นำ เท่ากับหนึ่ง(ก=1). มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสองที่ให้มา: x^2 +d*x+e=0

สมการกำลังสองเรียกว่า ไม่ลดถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าในสมการไม่เป็นศูนย์ มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสองแบบไม่ลดค่า: a*x^2 +b*x+c=0

ควรสังเกตว่าสมการกำลังสองที่ไม่ลดรูปใดๆ สามารถลดลงเป็นสมการกำลังสองได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแบ่งสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า

ตัวอย่างกำลังสอง

พิจารณาตัวอย่าง:เรามีสมการ 2*x^2 - 6*x+7 =0;

ลองแปลงเป็นสมการข้างต้น สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 2 ลองหารสัมประสิทธิ์ของสมการด้วยมันแล้วเขียนคำตอบลงไป

x^2 - 3*x+3.5 =0;

อย่างที่คุณสังเกตเห็น ทางด้านขวาของสมการกำลังสองคือพหุนามของดีกรีที่สอง a * x ^ 2 + b * x + c เรียกอีกอย่างว่าตรีเอกานุภาพสี่เหลี่ยม

หัวข้อนี้อาจดูซับซ้อนในตอนแรกเนื่องจากมีสูตรที่ไม่ง่ายมากมาย สมการกำลังสองไม่เพียงแต่มีรายการยาว แต่รากยังพบผ่านการเลือกปฏิบัติ มีทั้งหมดสามสูตรใหม่ จำไม่ค่อยได้. สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากการแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น จากนั้นสูตรทั้งหมดจะถูกจดจำด้วยตัวเอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่มีการเสนอสัญกรณ์ที่ชัดเจนเมื่อเขียนระดับที่ใหญ่ที่สุดก่อนแล้วจึงเรียงลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่เงื่อนไขแตกต่างออกไป จะดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงจากมากไปหาน้อยของดีกรีของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ แสดงในตารางด้านล่าง

ถ้าเรายอมรับสัญกรณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเป็นสัญกรณ์ต่อไปนี้

ยิ่งกว่านั้นสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้แทนด้วยเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการมา จะไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีรากกี่ตัว เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• สารละลายจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขเดียว
• สมการไม่มีรากเลย

และในขณะที่การตัดสินใจไม่สิ้นสุด เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะหลุดออกไปในบางกรณี

ประเภทของบันทึกสมการกำลังสอง

งานอาจมีรายการที่แตกต่างกัน ไม่ได้ดูเหมือน .เสมอไป สูตรทั่วไปสมการกำลังสอง. บางครั้งก็ขาดเงื่อนไขบางอย่าง ที่เขียนไว้ข้างบนคือ สมการที่สมบูรณ์. หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้บางอย่างที่แตกต่างออกไป บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

นอกจากนี้ เฉพาะเงื่อนไขที่สัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่ากรณีใดๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกเหนือจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นเลขสองและเลขสองสาม

การเลือกปฏิบัติและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่า

ต้องรู้ตัวเลขนี้เพื่อคำนวณรากของสมการ มันสามารถคำนวณได้เสมอ ไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นอะไรก็ตาม ในการคำนวณการเลือกปฏิบัติ คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้ว คุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณต่างๆ. ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการจะเป็นรากที่สองต่างกัน ด้วยจำนวนลบ รากของสมการกำลังสองจะหายไป ถ้าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะเป็นหนึ่ง

สมการกำลังสองสมบูรณ์แก้ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาเรื่องนี้ได้เริ่มขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องค้นหาการเลือกปฏิบัติ หลังจากที่ชี้แจงว่ามีรากของสมการกำลังสองและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองรูทคุณต้องใช้สูตรดังกล่าว

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” อยู่ จึงมี 2 ค่า การแสดงออกที่ลงนาม รากที่สองเป็นผู้เลือกปฏิบัติ ดังนั้นสูตรจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในลักษณะที่ต่างออกไป

สูตรห้า. จากบันทึกเดียวกันจะเห็นได้ว่าหาก discriminant เป็นศูนย์ รากทั้งสองก็จะรับค่าเดียวกัน

หากการแก้สมการกำลังสองยังไม่ได้ผล จะเป็นการดีกว่าที่จะเขียนค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร ภายหลังช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในตอนแรกมีความสับสน

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ แม้จะไม่ต้องการสูตรเพิ่มเติมก็ตาม และคุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งที่เขียนไว้แล้วสำหรับการเลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จัก

พิจารณาก่อน สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่หมายเลขสอง ในความเท่าเทียมกันนี้ ควรจะเอาค่าที่ไม่รู้จักออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เพราะมีตัวประกอบที่ประกอบด้วยตัวแปรเอง ประการที่สองได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่หมายเลขสามแก้ไขได้โดยการโอนหมายเลขจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หน้าค่านิรนาม เหลือเพียงการแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนสองครั้งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

ต่อไปนี้คือการดำเนินการบางอย่างที่ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกประเภทที่เปลี่ยนเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้เป็นสาเหตุของคะแนนไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการกำลังสอง (เกรด 8)" อย่างละเอียด ต่อจากนั้น การกระทำเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างต่อเนื่อง เพราะจะมีนิสัยที่มั่นคง

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ขั้นแรก เทอมที่มีดีกรีดีกรีมากที่สุดของตัวแปร และจากนั้น - ไม่มีดีกรีและตัวสุดท้าย - ก็แค่ตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นก่อนสัมประสิทธิ์ "a" ก็อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้นได้ ดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

• ในทำนองเดียวกัน ขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วน แค่คูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 - 7x \u003d 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรหมายเลขสอง

หลังจากถ่ายคร่อมแล้วปรากฎว่า: x (x - 7) \u003d 0

รูทแรกรับค่า: x 1 = 0 รูทที่สองจะหาได้จาก สมการเชิงเส้น: x - 7 = 0 จะเห็นได้ง่ายว่า x 2 = 7

สมการที่สอง: 5x2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง เท่านั้นจะแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรที่สาม

หลังจากโอน 30 ไปทางด้านขวาของสมการแล้ว: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

สมการที่สาม: 15 - 2x - x 2 \u003d 0 ที่นี่และด้านล่าง การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มโดยการเขียนใหม่เข้าไป มุมมองมาตรฐาน: - x 2 - 2x + 15 = 0 ตอนนี้ได้เวลาใช้วินาที คำแนะนำที่เป็นประโยชน์และคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎ x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ตามสูตรที่สี่คุณต้องคำนวณการจำแนก: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. มันคือ จำนวนบวก จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการมีสองราก ต้องคำนวณตามสูตรที่ห้า ตามนั้นปรากฎว่า x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ถูกแปลงเป็นสิ่งนี้: x 2 + 3x + 8 \u003d 0 การเลือกปฏิบัติเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ คำตอบของงานนี้จึงเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติ จะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูทคือ: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6

สมการที่หก (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณจำเป็นต้องนำพจน์ที่เหมือนกันมา ก่อนเปิดวงเล็บ แทนที่อันแรกจะมีนิพจน์ดังกล่าว: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกัน รายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x \u003d 0 มันไม่สมบูรณ์ คล้ายกับได้รับการพิจารณาให้สูงขึ้นเล็กน้อย รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

เมื่อเรียนรู้ที่จะแก้สมการของดีกรีแรกแล้ว ฉันก็อยากทำงานร่วมกับคนอื่นๆ โดยเฉพาะกับสมการของดีกรีที่สอง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่ากำลังสอง

สมการกำลังสองคือสมการประเภท ax² + bx + c = 0 โดยที่ตัวแปรคือ x ตัวเลขจะเป็น - a, b, c โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์

หากในสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งหรืออีกค่าหนึ่ง (c หรือ b) เท่ากับศูนย์ สมการนี้จะอ้างถึงสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไรถ้านักเรียนสามารถแก้สมการของดีกรีแรกได้เท่านั้น? พิจารณาสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ประเภทต่างๆและ วิธีง่ายๆการตัดสินใจของพวกเขา

a) หากสัมประสิทธิ์ c เท่ากับ 0 และสัมประสิทธิ์ b ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ax ² + bx + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการของรูปแบบ axe ² + bx = 0

ในการแก้สมการดังกล่าว คุณจำเป็นต้องรู้สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งประกอบด้วยการแยกส่วนด้านซ้ายของมันออกเป็นปัจจัยและต่อมาใช้เงื่อนไขที่ผลคูณเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเช่น 5x ² - 20x \u003d 0 เราแบ่งด้านซ้ายของสมการเป็นตัวประกอบในขณะที่ทำตามปกติ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

5x (x - 4) = 0

เราใช้เงื่อนไขว่าผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับศูนย์

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

คำตอบจะเป็น: รูทแรกคือ 0; รากที่สองคือ 4

b) ถ้า b \u003d 0 และเทอมว่างไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการ axe ² + 0x + c \u003d 0 จะลดลงเป็นสมการของรูปแบบ axe ² + c \u003d 0 แก้สมการในสอง วิธี: ก) สลายพหุนามของสมการทางด้านซ้ายเป็นตัวประกอบ ; b) การใช้คุณสมบัติของรากที่สองของเลขคณิต สมการดังกล่าวแก้ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เช่น

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2 คำตอบคือ: รากแรกคือ 5/2; รูทที่สองคือ - 5/2

c) ถ้า b เท่ากับ 0 และ c เท่ากับ 0 ดังนั้น ax² + 0 + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการของรูปแบบ ax² = 0 ในสมการดังกล่าว x จะเท่ากับ 0

อย่างที่คุณเห็น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถมีรากได้ไม่เกินสองราก