วิธีการแก้สมการกำลังสอง สมการกำลังสอง

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีจากวิชาคณิตศาสตร์ ข้อมูลเริ่มต้นที่นี่คือสัมประสิทธิ์ a, b, c วิธีแก้ปัญหาในกรณีทั่วไปคือสองราก x 1 และ x 2 ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ค่าทั้งหมดที่ใช้ในโปรแกรมนี้เป็นค่าจริง

algรากของสมการกำลังสอง

สิ่ง a, b, c, x1, x2, d

แต่แรกอินพุต a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

เอาต์พุต x1, x2

จุดอ่อนของอัลกอริทึมดังกล่าวสามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่า เขาไม่ได้ครอบครอง ทรัพย์สินที่สำคัญที่สุดนำไปใช้กับอัลกอริธึมเชิงคุณภาพ: ความเป็นสากลที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลเริ่มต้น ไม่ว่าค่าของข้อมูลเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร อัลกอริทึมจะต้องนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แน่นอนและถึงจุดสิ้นสุดผลลัพธ์อาจเป็นคำตอบที่เป็นตัวเลข แต่อาจเป็นข้อความว่าด้วยข้อมูลดังกล่าว ปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข หยุดกลางอัลกอริทึมเนื่องจากไม่สามารถดำเนินการบางอย่างได้ คุณสมบัติเดียวกันในวรรณคดีเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเรียกว่าประสิทธิผลของอัลกอริทึม (ในกรณีใด ๆ จะต้องได้รับผลลัพธ์บางอย่าง)

ในการสร้างอัลกอริธึมสากล ก่อนอื่นจำเป็นต้องวิเคราะห์เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอย่างรอบคอบ

การแก้สมการขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a, b, c. นี่คือการวิเคราะห์ปัญหานี้ (เราจำกัดตัวเองให้ค้นหารากที่แท้จริงเท่านั้น):

ถ้า a=0, b=0, c=0 แล้ว x ใดๆ คือคำตอบของสมการ

ถ้า a=0, b=0, c¹0 แสดงว่าสมการไม่มีคำตอบ

ถ้า a=0, b¹0, แล้วนี่ สมการเชิงเส้นซึ่งมีทางออกเดียว: x=–c/b;

ถ้า a¹0 และ d=b 2 -4ac³0 สมการจะมีรากจริงสองราก (สูตรระบุไว้ด้านบน)

ถ้า a¹0 และ d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริทึม:

อัลกอริทึมเดียวกันในภาษาอัลกอริทึม:

algรากของสมการกำลังสอง

สิ่ง a, b, c, d, x1, x2

แต่แรกอินพุต a, b, c

ถ้า a=0

แล้วถ้า b=0

แล้วถ้า c=0

แล้วเอาต์พุต "x ใด ๆ เป็นวิธีแก้ปัญหา"

มิฉะนั้นผลลัพธ์ "ไม่มีวิธีแก้ปัญหา"

มิฉะนั้น x:= -c/b

มิฉะนั้น d:=b2–4ac

ถ้าและ d<0

แล้วเอาต์พุต "ไม่มีรากที่แท้จริง"

มิฉะนั้น e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

เอาท์พุต “x1=”,x1, “x2=”,x2

อัลกอริทึมนี้ใช้ซ้ำ คำสั่งโครงสร้างสาขามุมมองทั่วไปของคำสั่งสาขาในผังงานและในภาษาอัลกอริธึมมีดังนี้:

ขั้นแรก ตรวจสอบ "เงื่อนไข" (ความสัมพันธ์ คำนวณนิพจน์เชิงตรรกะ) หากเงื่อนไขเป็นจริง จะดำเนินการ "series 1" - ลำดับของคำสั่งที่ระบุโดยลูกศรที่มีข้อความว่า "yes" (สาขาบวก) มิฉะนั้น "series 2" (สาขาเชิงลบ) จะถูกดำเนินการ ใน EL เงื่อนไขจะถูกเขียนหลังคำว่าบริการ "ถ้า" สาขาบวก - หลังคำว่า "แล้ว" สาขาเชิงลบ - หลังคำว่า "อย่างอื่น" ตัวอักษร "kv" หมายถึงจุดสิ้นสุดของสาขา

หากสาขาของสาขาหนึ่งมีสาขาอื่น อัลกอริทึมดังกล่าวก็มีโครงสร้าง สาขาที่ซ้อนกัน. โครงสร้างนี้เป็นโครงสร้างที่อัลกอริทึม "รากของสมการกำลังสอง" มี เพื่อความกระชับ แทนที่จะใช้คำว่า "ใช่" และ "ไม่" ตามลำดับ จะใช้ "+" และ "-"

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: กำหนดจำนวนเต็มบวก n จำเป็นต้องคำนวณ n! (n-แฟกทอเรียล). ระลึกถึงคำจำกัดความของแฟคทอเรียล

ด้านล่างเป็นแผนภาพบล็อกของอัลกอริทึม ใช้ตัวแปรประเภทจำนวนเต็มสามตัว: n คืออาร์กิวเมนต์ i เป็นตัวแปรระดับกลาง F คือผลลัพธ์ ตารางการติดตามถูกสร้างขึ้นเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของอัลกอริทึม ในตารางดังกล่าว สำหรับค่าเฉพาะของข้อมูลเริ่มต้น การเปลี่ยนแปลงในตัวแปรที่รวมอยู่ในอัลกอริทึมจะถูกติดตามโดยขั้นตอน ตารางนี้รวบรวมไว้สำหรับกรณี n=3

การติดตามพิสูจน์ความถูกต้องของอัลกอริทึม ทีนี้มาเขียนอัลกอริธึมนี้ในภาษาอัลกอริธึมกัน

algแฟกทอเรียล

ทั้งหมดน ฉัน ฟ

แต่แรกอินพุต n

ฉ:=1; ผม:=1

ลาก่อนฉัน£n, ทำซ้ำ

nc F:=F´i

อัลกอริทึมนี้มีโครงสร้างแบบวนรอบ อัลกอริทึมใช้คำสั่งโครงสร้าง "loop-while" หรือ "loop with precondition" มุมมองทั่วไปของคำสั่ง "loop-bye" ในผังงานและใน EL มีดังนี้:

การดำเนินการของชุดคำสั่ง (เนื้อหาลูป) ซ้ำในขณะที่เงื่อนไขลูปเป็นจริง เมื่อเงื่อนไขกลายเป็นเท็จ การวนซ้ำจะสิ้นสุดลง คำว่าบริการ "nts" และ "kts" หมายถึงจุดเริ่มต้นของรอบและจุดสิ้นสุดของรอบตามลำดับ

ลูปที่มีเงื่อนไขเบื้องต้นเป็นหลัก แต่ไม่ใช่รูปแบบเดียวของการจัดระเบียบอัลกอริธึมแบบวนซ้ำ อีกทางเลือกหนึ่งคือ วนซ้ำกับเงื่อนไขภายหลังกลับไปที่อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง สามารถเข้าถึงได้จากตำแหน่งนี้: ถ้า a=0 แสดงว่านี่ไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไปและสามารถละเว้นได้ ในกรณีนี้ เราจะถือว่าผู้ใช้ทำผิดพลาดเมื่อป้อนข้อมูล และควรได้รับพร้อมท์ให้ป้อนข้อมูลซ้ำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง อัลกอริธึมจะจัดให้มีการควบคุมความน่าเชื่อถือของข้อมูลเริ่มต้น โดยให้โอกาสผู้ใช้ในการแก้ไขข้อผิดพลาด การมีอยู่ของการควบคุมดังกล่าวเป็นสัญญาณบ่งชี้คุณภาพของโปรแกรมที่ดีอีกประการหนึ่ง

โดยทั่วไป คำสั่งโครงสร้าง "loop with postcondition" หรือ "loop-before" จะแสดงดังต่อไปนี้:

นี่คือที่ที่ใช้เงื่อนไขการสิ้นสุดการวนซ้ำ เมื่อเป็นจริง การวนซ้ำจะสิ้นสุดลง

ให้เราเขียนอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาต่อไปนี้: ให้สองตัวเลขธรรมชาติ M และ N จำเป็นต้องคำนวณตัวหารร่วมมากของพวกมัน - gcd(M,N)

ปัญหานี้แก้ไขได้ด้วยวิธีการที่เรียกว่า อัลกอริทึมของยุคลิด. ความคิดของเขาอยู่บนพื้นฐานของคุณสมบัติที่ว่าถ้า M>N แล้ว gcd(M

1) หากตัวเลขเท่ากัน ให้นำมูลค่ารวมเป็นคำตอบ มิฉะนั้นให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไป

2) กำหนดจำนวนที่มากขึ้น

3) แทนที่จำนวนที่มากกว่าด้วยความแตกต่างระหว่างค่าที่มากกว่าและน้อยกว่า

4) กลับสู่การดำเนินการตามวรรค 1

บล็อกไดอะแกรมและอัลกอริทึมใน AL จะเป็นดังนี้:

อัลกอริทึมมีโครงสร้างแบบวนซ้ำที่มีการแตกแขนงแบบซ้อน ทำการติดตามอัลกอริทึมของคุณเองสำหรับกรณี M=18, N=12 ผลลัพธ์คือ gcd=6 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. โซลูชั่น สมการกำลังสอง//นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ - 2559. - ครั้งที่ 6.1. - ส. 17-20..04.2019).

โครงการของเราทุ่มเทให้กับวิธีการแก้สมการกำลังสอง วัตถุประสงค์ของโครงงาน : เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้สมการกำลังสองในลักษณะที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นรู้จัก

"สมการกำลังสอง" คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของรูปแบบ ขวาน2 + bx + c = 0, ที่ไหน เอ, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( a 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
ค - สมาชิกฟรี

และใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักกันเมื่อ 4000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ เม็ดดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณที่พบซึ่งมีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง ยาเม็ดเดียวกันมีวิธีการแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ครั้งแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของที่ดินและดินที่มีลักษณะทางทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และ คณิตศาสตร์นั่นเอง

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ ซึ่งระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลน เกิดขึ้นพร้อมกันกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่ทราบว่าชาวบาบิโลนมีกฎนี้ขึ้นมาได้อย่างไร ตำราคิวนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ ให้เฉพาะปัญหากับวิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้ในรูปแบบของสูตร โดยไม่ได้ระบุว่าพบได้อย่างไร แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล ใช้วิธีการเสริมกำลังสองในการแก้สมการที่มีรากบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดคิดวิธีแก้ทางเรขาคณิตทั่วไปขึ้น นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเชิงลบในรูปของสูตรพีชคณิตคือนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พรหมคุปต์(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

Brahmagupta สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ในสมการนี้ สัมประสิทธิ์สามารถเป็นลบได้ กฎของพรหมคุปต์สอดคล้องกับกฎของเรา

ในอินเดีย การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติ ในหนังสือเก่าของอินเดียเล่มหนึ่ง มีการกล่าวเกี่ยวกับการแข่งขันดังกล่าวว่า “ในขณะที่ดวงอาทิตย์ส่องดวงดาวด้วยความสุกใส บุคคลที่เรียนรู้จะเปล่งประกายรัศมีภาพในที่ประชุมสาธารณะ เสนอและแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต” งานมักจะแต่งในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัลคอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนแสดงรายการสมการ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “สี่เหลี่ยมเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c.

3) "รากเท่ากับตัวเลข" เช่น ax2 = c.

4) “กำลังสองและจำนวนเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับ Al-Khwarizmi ที่หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ พจน์ของสมการแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่ใช่การลบ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีการแก้สมการเหล่านี้ โดยใช้วิธีการของ al-jabr และ al-muqabala แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับของเราโดยสิ้นเชิง ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่ามันเป็นวาทศิลป์ล้วน ๆ ควรสังเกตเช่นว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khwarizmi ก็เหมือนกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ไม่ได้คำนึงถึงศูนย์ การแก้ปัญหา อาจเป็นเพราะในงานปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง มันไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองทั้งหมด Al-Khwarizmi ได้กำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลข และจากนั้นก็ทำการพิสูจน์ทางเรขาคณิตของพวกมัน

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองในแบบจำลองของ Al-Khwarizmi ในยุโรปได้รับการอธิบายครั้งแรกใน "Book of the Abacus" ซึ่งเขียนในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนักชี. ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างเชิงพีชคณิตใหม่ๆ ของการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกๆ ในยุโรปที่เข้าใกล้การนำตัวเลขติดลบมาใช้

หนังสือเล่มนี้มีส่วนในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังรวมถึงในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย งานจำนวนมากจากหนังสือเล่มนี้ถูกโอนไปยังหนังสือเรียนเกือบทั้งหมดของยุโรปในช่วงศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bx = c โดยมีเครื่องหมายและค่าสัมประสิทธิ์ b, c รวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกสร้างในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

Vieta มีที่มาทั่วไปของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง แต่ Vieta จำเฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelliในหมู่แรกในศตวรรษที่ 16 คำนึงถึงนอกเหนือไปจากรากบวกและลบ เฉพาะในศตวรรษที่ XVII ขอบคุณงาน จิราร์ด, เดส์การต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองอยู่ในรูปแบบที่ทันสมัย

พิจารณาหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจากหลักสูตรของโรงเรียน:

การแยกตัวประกอบของด้านซ้ายของสมการ
วิธีการเลือกตารางเต็ม
แก้สมการกำลังสองตามสูตร
การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการกำลังสอง
แก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ให้เราพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองลดและไม่ลดโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

จำไว้ว่าการแก้สมการกำลังสองที่ให้มา มันก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่ผลคูณเท่ากับเทอมว่าง และผลรวมจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องหาตัวเลขที่มีผลลัพธ์เป็น 6 และผลรวมคือ 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

เราหาสัมประสิทธิ์แรกแล้วคูณด้วยเทอมอิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลลัพธ์เป็น - 15 และผลรวมคือ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 ในการหารากของสมการดั้งเดิม เราหารรากที่ได้รับด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. การแก้สมการโดยวิธี "โอน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

คูณทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ ax = y ดังนั้น x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราพบรากที่ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ สัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยพจน์ว่าง ราวกับว่า "โอน" ไปยังค่านั้น ดังนั้นจึงเรียกว่าวิธี "โอน" วิธีนี้ใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0

ลอง "โอน" สัมประสิทธิ์ 2 เป็นเทอมว่างแล้วทำการแทนที่เราจะได้สมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

1. ถ้า a + b + c \u003d 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) แล้ว x 1 \u003d 1

2. ถ้า a - b + c \u003d 0 หรือ b \u003d a + c แล้ว x 1 \u003d - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ตั้งแต่ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) จากนั้น x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345

คำตอบ: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0) จากนั้น x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานนั้นซับซ้อนกว่า

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1 Nomogram

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและถูกลืมไปแล้วในปัจจุบัน โดยวางไว้ในหน้า 83 ของคอลเล็กชัน: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม.การศึกษา 2533.

ตารางที่ XXII. Nomogram สำหรับการแก้สมการ z2 + pz + q = 0. โนโมแกรมนี้ช่วยให้กำหนดรากของสมการโดยใช้สัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

มาตราส่วนโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

สมมติ OS = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นเซนติเมตร) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ซานและ CDFเราได้สัดส่วน

ดังนั้นหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อน สมการดังต่อไปนี้ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายความว่า ป้ายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ: 8.0; 1.0.

2) แก้สมการโดยใช้โนโมแกรม

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีทางเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.X 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้มีสูตรดังนี้: "กำลังสองและสิบราก เท่ากับ 39"

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้อีกด้านหนึ่งของแต่ละอันมีค่า 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละอันคือ 2.5x ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกเสริมด้วยสี่เหลี่ยมใหม่ ABCD โดยสมบูรณ์สี่ช่องสี่เหลี่ยมเท่ากันที่มุม ด้านข้างของแต่ละรายการคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีแบบกราฟิกในการแก้สมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ได้: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2 สี่เหลี่ยมสี่สี่เหลี่ยม (4 ∙ 2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบมาสี่ช่อง (6.25 ∙ 4 = 25) เช่น S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. แทนที่ x 2 + 10x ด้วยหมายเลข 39 เราได้ S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ซึ่งหมายความว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยม ABCD เช่น เซ็กเมนต์ AB \u003d 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมเราจะได้

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูท

ทฤษฎีบทของเบโซต์ ส่วนที่เหลือหลังจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

ถ้าจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) พหุนามนี้สามารถหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2, x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วน สมการกำลังสูง สมการสองกำลังสอง และในสมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และสมการลอการิทึมของโรงเรียนมัธยม เมื่อศึกษาวิธีการทั้งหมดที่พบในการแก้สมการกำลังสองแล้ว เราสามารถแนะนำเพื่อนร่วมชั้นได้ นอกเหนือจากวิธีมาตรฐาน ให้แก้โดยวิธีโอน (6) และแก้สมการด้วยคุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าใจได้ง่ายขึ้น .

วรรณกรรม:

แบรดดิส วีเอ็ม ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม.การศึกษา 2533.
พีชคณิตเกรด 8: ตำราเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไข - ม.: ตรัสรู้, 2015
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู / เอ็ด. ว.น. อายุน้อยกว่า - ม.: การตรัสรู้, 2507.

สไลด์2

วงจรสมการกำลังสองของบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ตามตำราของ A.G. มอร์ดโควิช

ครู MBOU Grushevskaya โรงเรียนมัธยม Kireeva T.A.

สไลด์ 3

วัตถุประสงค์: เพื่อแนะนำแนวคิดของสมการกำลังสอง รากของสมการกำลังสอง แสดงคำตอบของสมการกำลังสอง เพื่อสร้างความสามารถในการแก้สมการกำลังสอง แสดงวิธีการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์โดยใช้สูตรรากของสมการกำลังสอง

สไลด์ 4

สไลด์ 5

ประวัติศาสตร์เล็กน้อย สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของที่ดินและดินที่มีลักษณะทางทหารตลอดจนการพัฒนาทางดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์นั่นเอง ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองเมื่อประมาณ 2,000 ปีก่อนความเชื่อของเรา ด้วยการใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปอักษรมี นอกเหนือไปจากที่ไม่สมบูรณ์ เช่น สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สไลด์ 6

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ ดังที่ระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลน เกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่ทราบว่าชาวบาบิโลนมาที่กฎนี้ได้อย่างไร ตำราคิวนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ ให้เฉพาะปัญหากับวิธีแก้ไขที่ระบุไว้ในรูปของสูตร โดยไม่ได้ระบุว่าพบได้อย่างไร แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลเนีย แต่แนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสองนั้นไม่มีอยู่ในตำรารูปลิ่ม

สไลด์ 7

คำจำกัดความ 1 สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบที่สัมประสิทธิ์ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ และพหุนามเรียกว่าพหุนามกำลังสอง a เป็นสัมประสิทธิ์แรกหรือสูงสุด c คือสัมประสิทธิ์ที่สอง c เป็นเทอมอิสระ

สไลด์ 8

คำจำกัดความที่ 2 สมการกำลังสองเรียกว่า รีดิวซ์ หากสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 สมการกำลังสองเรียกว่า unreduced ถ้าค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าแตกต่างจาก 1 ตัวอย่าง 2 - 5 + 3 = 0 - สมการกำลังสองไม่ลดทอน - สมการกำลังสองลด

สไลด์ 9

คำจำกัดความ 3 สมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการกำลังสองซึ่งมีทั้งสามเทอม a + in + c \u003d 0 สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์คือสมการที่ไม่มีทั้งสามเทอม เป็นสมการที่มีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัวด้วย ศูนย์.

สไลด์ 10

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สไลด์ 11

แก้งานหมายเลข 24.16 (a, b) แก้สมการ: หรือคำตอบ หรือคำตอบ

สไลด์ 12

คำจำกัดความ 4 รากของสมการกำลังสองคือค่าใดๆ ของตัวแปร x ที่รูปสามเหลี่ยมกำลังสองหายไป ค่าของตัวแปร x ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่ารูทของไตรโนเมียลกำลังสอง การแก้สมการกำลังสองหมายถึงการค้นหารากทั้งหมดหรือกำหนดว่าไม่มีราก

สไลด์ 13

การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสอง D 0 D=0 สมการไม่มีราก สมการมีสองราก สมการมีรากเดียว สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

สไลด์ 14

D>0 สมการกำลังสองมีสองรากซึ่งพบได้จากสูตรตัวอย่าง แก้สมการแก้สมการ. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, คำตอบ: 1; -3

สไลด์ 15

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง 1 คำนวณการจำแนก D โดยใช้สูตร D = 2 ถ้า D 0 สมการกำลังสองจะมีรากที่สอง

สมการกำลังสองมีการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ≠ 0

ก่อนศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ เราสังเกตว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามคลาส:

ไม่มีราก
พวกมันมีรากเดียว
พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รูทจะมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะกำหนดจำนวนรากของสมการได้อย่างไร? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้น discriminant ก็แค่ตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ใจ มันมาจากไหนไม่สำคัญในตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: จากเครื่องหมายของ discriminant คุณสามารถกำหนดจำนวนรากของสมการกำลังสองได้ กล่าวคือ:

ถ้าD< 0, корней нет;
ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูทพอดี
ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณทั้งหมด ด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีรากกี่ราก:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงมีรากต่างกันสองราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการ ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณ "เติมมือ" อีกครู่หนึ่ง คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง - โดยทั่วไปไม่มากนัก

รากของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากัน ถ้า discriminant D > 0 สามารถหา root ได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ คุณจะได้ตัวเลขเดียวกัน ซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (-1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหากัน

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุด สมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูต ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรแล้วนับได้ก็ไม่มีปัญหา ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อแทนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบในสูตร อีกครั้งที่เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0

ง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์หนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่ากรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่นๆ ให้ b \u003d 0 แล้วเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เพราะเลขคณิต รากที่สองมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเหมาะสมสำหรับ (−c /a ) ≥ 0 เท่านั้น

หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้การเลือกปฏิบัติ - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่าของ x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ ถ้ามีจำนวนบวก จะมีสองราก ถ้าลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระจะเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการเหล่านี้หลายประการ: