สูตรหารากของสมการกำลังสอง พิจารณากรณีของรากจริง ทวีคูณ และซับซ้อน การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการกำหนดรากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของดีกรีที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

นอกจากนี้ เราถือว่านั่นเป็นจำนวนจริง
พิจารณา จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หาก discriminant เป็นค่าบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงต่างกันสองค่า:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามสแควร์มีรูปแบบดังนี้
.
หาก discriminant เป็นศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงหลายเท่า (เท่ากับ) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
ถ้า discriminant เป็นค่าลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนจริงและจินตภาพของราก:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าเราสร้างกราฟฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลาแล้วจุดตัดของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
เมื่อ กราฟตัดกับแกน abscissa (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟสัมผัสกับแกน x ที่จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ตัดกับแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่เป็นประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(f.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เราทำการแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรพหุนามของดีกรีที่สองในรูปแบบ:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือและเป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

วิธีการแก้

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นค่าบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองราก:
;
;
.

จากที่นี่ เราจะได้การสลายตัวของไตรโนเมียลกำลังสองเป็นปัจจัย:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x 2 + 7 x + 3ตัดผ่านแกน x สองจุด

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันข้ามแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

ตอบ

;
;
.

ตัวอย่าง 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

วิธีการแก้

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเดิม (2.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นศูนย์ สมการจึงมีรากทวีคูณ (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ณ จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้เป็นรากของสมการเดิม (2.1) เนื่องจากรูทนี้แยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
จากนั้นรูตดังกล่าวจะเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาคิดว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

ตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

วิธีการแก้

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ให้เราเขียนสมการเดิม (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ, . ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดกับแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันไม่ข้าม abscissa (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ตอบ

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้สมการกำลังสอง // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ - 2559. - ครั้งที่ 6.1. - ส. 17-20..02.2019).



โครงการของเราทุ่มเทให้กับวิธีการแก้สมการกำลังสอง วัตถุประสงค์ของโครงงาน : เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้สมการกำลังสองในลักษณะที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นรู้จัก

"สมการกำลังสอง" คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของรูปแบบ ขวาน2 + bx + c = 0, ที่ไหน เอ, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( a 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

และใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักกันเมื่อ 4000 ปีที่แล้วในบาบิโลนโบราณ เม็ดดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณที่พบซึ่งมีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง ยาเม็ดเดียวกันมีวิธีการแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ครั้งแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของที่ดินและดินที่มีลักษณะทางทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และ คณิตศาสตร์นั่นเอง

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ ซึ่งระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลน เกิดขึ้นพร้อมกันกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่ทราบว่าชาวบาบิโลนมีกฎนี้ขึ้นมาได้อย่างไร ตำราคิวนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ ให้เฉพาะปัญหากับวิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้ในรูปแบบของสูตร โดยไม่ได้ระบุว่าพบได้อย่างไร แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล ใช้วิธีการเสริมกำลังสองในการแก้สมการที่มีรากบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดคิดวิธีแก้ทางเรขาคณิตทั่วไปขึ้น นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเชิงลบในรูปของสูตรพีชคณิตคือนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พรหมคุปต์(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

Brahmagupta สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ในสมการนี้ สัมประสิทธิ์สามารถเป็นลบได้ กฎของพรหมคุปต์สอดคล้องกับกฎของเรา

ในอินเดีย การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติ ในหนังสือเก่าของอินเดียเล่มหนึ่ง มีการกล่าวเกี่ยวกับการแข่งขันดังกล่าวว่า “ในขณะที่ดวงอาทิตย์ส่องดวงดาวด้วยความสุกใส บุคคลที่เรียนรู้จะเปล่งประกายรัศมีภาพในที่ประชุมสาธารณะ เสนอและแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต” งานมักจะแต่งในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัลคอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนแสดงรายการสมการ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “สี่เหลี่ยมเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c.

3) "รากเท่ากับตัวเลข" เช่น ax2 = c.

4) “กำลังสองและจำนวนเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับ Al-Khwarizmi ที่หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ พจน์ของสมการแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่ใช่การลบ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีการแก้สมการเหล่านี้ โดยใช้วิธีการของ al-jabr และ al-muqabala แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับของเราโดยสิ้นเชิง ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่ามันเป็นวาทศิลป์ล้วน ๆ ควรสังเกตเช่นว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khwarizmi ก็เหมือนกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ไม่ได้คำนึงถึงศูนย์ การแก้ปัญหา อาจเป็นเพราะในงานปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง มันไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองทั้งหมด Al-Khwarizmi ได้กำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลข และจากนั้นก็ทำการพิสูจน์ทางเรขาคณิตของพวกมัน

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองในแบบจำลองของ Al-Khwarizmi ในยุโรปได้รับการอธิบายครั้งแรกใน "Book of the Abacus" ซึ่งเขียนในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนักชี. ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างเชิงพีชคณิตใหม่ๆ ของการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกๆ ในยุโรปที่เข้าใกล้การนำตัวเลขติดลบมาใช้

หนังสือเล่มนี้มีส่วนในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังรวมถึงในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย งานจำนวนมากจากหนังสือเล่มนี้ถูกโอนไปยังหนังสือเรียนเกือบทั้งหมดของยุโรปในช่วงศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bx = c สำหรับเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด b, c ถูกสร้างในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

Vieta มีที่มาทั่วไปของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง แต่ Vieta จำเฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelliในหมู่แรกในศตวรรษที่ 16 คำนึงถึงนอกเหนือไปจากรากบวกและลบ เฉพาะในศตวรรษที่ XVII ขอบคุณงาน จิราร์ด, เดส์การต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองอยู่ในรูปแบบที่ทันสมัย

พิจารณาหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจากหลักสูตรของโรงเรียน:

1. การแยกตัวประกอบของด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกตารางเต็ม
3. แก้สมการกำลังสองตามสูตร
4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการกำลังสอง
5. แก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ให้เราพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองลดและไม่ลดโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

จำไว้ว่าการแก้สมการกำลังสองที่ให้มา มันก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่ผลคูณเท่ากับเทอมว่าง และผลรวมจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องหาตัวเลขที่มีผลลัพธ์เป็น 6 และผลรวมคือ 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

เราหาสัมประสิทธิ์แรกแล้วคูณด้วยเทอมอิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลลัพธ์เป็น - 15 และผลรวมคือ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 ในการหารากของสมการดั้งเดิม เราหารรากที่ได้รับด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. การแก้สมการโดยวิธี "โอน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

คูณทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ ax = y ดังนั้น x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราพบรากที่ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้สัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยพจน์ว่าง ราวกับว่า "โอน" ไปจึงเรียกว่าวิธี "โอน" วิธีนี้จะใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0

ลอง "โอน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปเป็นพจน์ว่าง แล้วทำการแทนที่ เราได้สมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

1. ถ้า a + b + c \u003d 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) แล้ว x 1 \u003d 1

2. ถ้า a - b + c \u003d 0 หรือ b \u003d a + c แล้ว x 1 \u003d - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ตั้งแต่ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) จากนั้น x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345

คำตอบ: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0) จากนั้น x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานนั้นซับซ้อนกว่า

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1 Nomogram

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและถูกลืมไปแล้วในปัจจุบัน โดยวางไว้ในหน้า 83 ของคอลเล็กชัน: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม.การศึกษา 2533.

ตารางที่ XXII. Nomogram สำหรับการแก้สมการ z2 + pz + q = 0. โนโมแกรมนี้ช่วยให้กำหนดรากของสมการโดยใช้สัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

มาตราส่วนโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

สมมติ OS = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นเซนติเมตร) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ซานและ CDFเราได้สัดส่วน

ดังนั้นหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อน สมการดังต่อไปนี้ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายความว่า ป้ายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ: 8.0; 1.0.

2) แก้สมการโดยใช้โนโมแกรม

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีทางเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.X 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้มีสูตรดังนี้: "กำลังสองและสิบราก เท่ากับ 39"

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้อีกด้านหนึ่งของแต่ละอันมีค่า 2.5 ดังนั้นพื้นที่ชายหาดคือ 2.5x ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกเสริมด้วยสี่เหลี่ยมใหม่ ABCD โดยสมบูรณ์สี่ช่องสี่เหลี่ยมเท่ากันที่มุม ด้านข้างของแต่ละรายการคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีแบบกราฟิกในการแก้สมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ได้: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมสี่สี่เหลี่ยม (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แนบมาสี่อัน (6.25∙4 = 25) เช่น S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. แทนที่ x 2 + 10x ด้วยหมายเลข 39 เราได้ S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ซึ่งหมายความว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยม ABCD เช่น เซ็กเมนต์ AB \u003d 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมเราจะได้

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูท

ทฤษฎีบทของเบโซต์ ส่วนที่เหลือหลังจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

ถ้าจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) พหุนามนี้สามารถหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2, x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วน สมการกำลังสูง สมการสองกำลังสอง และในสมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และสมการลอการิทึมของโรงเรียนมัธยม เมื่อศึกษาวิธีการทั้งหมดที่พบในการแก้สมการกำลังสองแล้ว เราสามารถแนะนำเพื่อนร่วมชั้นได้ นอกเหนือจากวิธีมาตรฐาน ให้แก้โดยวิธีโอน (6) และแก้สมการด้วยคุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าใจได้ง่ายขึ้น .

วรรณกรรม:

1. แบรดดิส วีเอ็ม ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม.การศึกษา 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: ตำราเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไข - ม.: ตรัสรู้, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู / เอ็ด. ว.น. อายุน้อยกว่า - ม.: การตรัสรู้, 2507.

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งกีฬา มนุษย์ใช้สมการมาตั้งแต่สมัยโบราณและนับแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น discriminant ช่วยให้คุณแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรทั่วไป ซึ่งมีรูปแบบดังนี้:

สูตรจำแนกตามระดับของพหุนาม สูตรข้างต้นเหมาะสำหรับการแก้สมการกำลังสองของรูปแบบต่อไปนี้:

การเลือกปฏิบัติมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ที่คุณต้องรู้:

* "D" เป็น 0 เมื่อพหุนามมีหลายราก (รากเท่ากัน);

* "D" เป็นพหุนามสมมาตรเทียบกับรากของพหุนามและดังนั้นจึงเป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์ของมัน ยิ่งไปกว่านั้น สัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่คำนึงถึงส่วนขยายที่รากถูกดึงออกมา

สมมติว่าเราได้รับสมการกำลังสองของรูปแบบต่อไปนี้:

1 สมการ

ตามสูตรที่เรามี:

เนื่องจาก \ สมการจึงมี 2 ราก มากำหนดกัน:

ฉันจะแก้สมการผ่านตัวแก้ปัญหาออนไลน์จำแนกได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ได้ในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณยังสามารถดูวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ โซลูชันตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันดูเหมือนอะไร? ในระยะ สมการกำลังสองคีย์เวิร์ดคือ "สี่เหลี่ยม".หมายความว่าในสมการ อย่างจำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนั้น ในสมการอาจจะมี (หรืออาจจะไม่ใช่ก็ได้!) แค่ x (ถึงดีกรีแรก) และก็แค่ตัวเลข (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี x ในระดับที่มากกว่าสอง

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

ที่นี่ a, b และ c- ตัวเลขบางส่วน ขและค- อะไรก็ได้ แต่ เอ- อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ เอ =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ เอ =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ เอ =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจความคิด...

ในสมการกำลังสองเหล่านี้ ทางซ้ายมี ครบชุดสมาชิก. x กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ ก, x ยกกำลังแรกพร้อมสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรีของ

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เสร็จสิ้น.

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราจะได้อะไร? เรามี X จะหายไปในระดับแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นจากการคูณด้วยศูนย์) ปรากฎเช่น:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

เป็นต้น และถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยิ่งง่ายยิ่งขึ้น:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

สมการดังกล่าวมีบางอย่างขาดหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

ว่าทำไม เอไม่สามารถเป็นศูนย์? และคุณแทนที่แทน เอศูนย์.) X ในสี่เหลี่ยมจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และทำอย่างอื่น...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

แก้สมการกำลังสอง

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์

สมการกำลังสองนั้นแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆ ในระยะแรก จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ มุมมอง:

หากสมการได้รับในรูปแบบนี้แล้วคุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือการกำหนดสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง เอ, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า เลือกปฏิบัติ. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็น ในการหา x เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงแทนที่ค่าอย่างระมัดระวัง a, b และ cลงในสูตรนี้แล้วนับ ทดแทน ด้วยสัญญาณของคุณ! ตัวอย่างเช่นในสมการ:

เอ =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียน:

ตัวอย่างเกือบจะแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ทุกอย่างง่ายมาก และคุณคิดว่าคุณไม่สามารถผิดพลาดได้? ก็ใช่ไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับสัญญาณของค่านิยม a, b และ c. หรือมากกว่าไม่มีสัญญาณของพวกเขา (จะต้องสับสนที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรสำหรับการคำนวณราก ที่นี่บันทึกรายละเอียดของสูตรพร้อมตัวเลขเฉพาะที่บันทึกไว้ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำเลย!

สมมติว่าเราต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ เอ = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

ดีอย่าขี้เกียจ จะใช้เวลา 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดพิเศษ และจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว. ดังนั้นเราจึงเขียนรายละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนยากอย่างเหลือเชื่อที่จะทาสีอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเท่านั้น ลองมัน. ดีหรือเลือก อันไหนดีกว่า เร็ว หรือถูก? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นานก็ไม่จำเป็นต้องทาสีทุกอย่างอย่างระมัดระวัง มันจะทำงานออกมาถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคที่ใช้งานได้จริง ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างชั่วร้ายที่มี minuses จำนวนมากจะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้ง สมการกำลังสองดูแตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

เธอรู้รึเปล่า?) ใช่! มัน สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์.

คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

พวกเขายังสามารถแก้ไขได้โดยสูตรทั่วไป คุณแค่ต้องคิดให้ถูกว่ามีค่าเท่ากันตรงนี้ a, b และ c.

ที่ตระหนักรู้? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;เอ ค? มันไม่มีอยู่จริง! อืมใช่ถูกต้อง ในทางคณิตศาสตร์นี่หมายความว่า ค = 0 ! นั่นคือทั้งหมดที่ แทนที่ศูนย์ลงในสูตรแทน ค,และทุกอย่างจะได้ผลสำหรับเรา ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงศูนย์ที่เราไม่มีที่นี่ กับ, แ ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ข้อแรก ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง คุณสามารถถอด X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไป

แล้วยังไงล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบใด ๆ เท่ากับศูนย์! ไม่เชื่อ? ทีนี้ ลองหาจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่ เมื่อคูณแล้ว จะได้ศูนย์!
ไม่สำเร็จ? บางสิ่งบางอย่าง...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทุกอย่าง. นี่จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองพอดี เมื่อแทนค่าใดๆ ลงในสมการเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหาง่ายกว่าสูตรทั่วไปมาก ฉันสังเกตเห็นว่า X จะเป็นตัวแรกและตัวที่สอง - มันไม่แยแสอย่างยิ่ง ง่ายต่อการเขียนตามลำดับ x 1- แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่า x2- สิ่งที่มากกว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้อย่างง่ายดายเช่นกัน เราย้าย 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

มันยังคงแยกรากออกจาก 9 และนั่นคือมัน รับ:

สองรากด้วย . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด ไม่ว่าจะโดยการเอา X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงแค่โอนหมายเลขไปทางขวา แล้วตามด้วยการแยกราก
เป็นการยากที่จะสับสนกับวิธีการเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรูทออกจาก X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะดึงออกจากวงเล็บ ...

เลือกปฏิบัติ สูตรแยกแยะ

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ ! นักเรียนมัธยมปลายหายากไม่เคยได้ยินคำนี้! วลี "ตัดสินใจผ่านการเลือกปฏิบัติ" ทำให้มั่นใจและมั่นใจ เพราะไม่ต้องคอยกลอุบายจากการเลือกปฏิบัติ! ใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรทั่วไปในการแก้ปัญหา ใดๆสมการกำลังสอง:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ การเลือกปฏิบัติมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ดี. สูตรแยกแยะ:

D = ข 2 - 4ac

แล้วนิพจน์นี้มีความพิเศษอย่างไร? ทำไมจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากนั้น -b,หรือ 2aในสูตรนี้ไม่ได้ระบุชื่อเฉพาะ ... ตัวอักษรและตัวอักษร

ประเด็นคือสิ่งนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแยกรากออกจากมันได้ รูตถูกแยกออกมาดีหรือไม่ดีเป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่ดึงออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณมีทางออกเดียว เนื่องจากการเพิ่มหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองเหมือนกัน. แต่ในเวอร์ชั่นง่าย ๆ เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบจำนวนลบไม่นำรากที่สอง โอเค. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

ตามจริงแล้ว ด้วยวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองอย่างง่าย แนวคิดเรื่องการเลือกปฏิบัตินั้นไม่จำเป็นจริงๆ เราแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรแล้วพิจารณา ที่นั่นทุกอย่างกลับกลายเป็นโดยตัวมันเองและสองรากและหนึ่งและไม่ใช่หนึ่งเดียว อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้งานที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีความรู้ สูตรความหมายและการเลือกปฏิบัติไม่พอ. โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวเป็นไม้ลอยสำหรับ GIA และ Unified State Examination!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือเรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีระบุอย่างถูกต้อง a, b และ c. คุณรู้ไหมว่าทำอย่างไร อย่างระมัดระวังแทนที่ลงในสูตรรากและ อย่างระมัดระวังนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจหรือไม่ว่าคำสำคัญที่นี่คือ - อย่างระมัดระวัง?

จดเทคนิคที่ใช้ได้จริงซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเนื่องมาจากการไม่ตั้งใจ ... ที่แล้วก็เจ็บปวดและดูถูก ...

การรับครั้งแรก . อย่าเกียจคร้านก่อนแก้สมการกำลังสองเพื่อให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่า?
สมมติว่าหลังจากการแปลงใดๆ คุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเร่งที่จะเขียนสูตรของราก! คุณเกือบจะสับสนอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก x กำลังสอง จากนั้นไม่มีสี่เหลี่ยม จากนั้นจึงเป็นสมาชิกอิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบก่อน x กำลังสอง ทำให้คุณเสียใจได้มาก ลืมมันง่าย... กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? ใช่ตามที่สอนในหัวข้อก่อนหน้า! เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

และตอนนี้ คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับราก คำนวณการจำแนก และกรอกตัวอย่างได้อย่างปลอดภัย ตัดสินใจด้วยตัวเอง คุณควรลงเอยด้วยราก 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สอง ตรวจสอบรากของคุณ! ตามทฤษฎีบทของเวียตา ไม่ต้องกังวล ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ สิ่งสุดท้ายสมการ เหล่านั้น. ซึ่งเราเขียนสูตรของรากลงไป ถ้า (ตามตัวอย่างนี้) สัมประสิทธิ์ a = 1,ตรวจสอบรากได้ง่าย. ก็เพียงพอที่จะทวีคูณพวกเขา คุณควรได้รับเงื่อนไขฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 ให้ความสนใจไม่ใช่ 2 แต่ -2! สมาชิกฟรี ด้วยเครื่องหมายของคุณ . หากไม่ได้ผลแสดงว่าพวกเขาทำผิดพลาดไปที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด

ถ้ามันได้ผลคุณต้องพับราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย น่าจะเป็นอัตราส่วน ขกับ ตรงข้าม เข้าสู่ระบบ. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน x เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่มันง่ายมากสำหรับตัวอย่างที่ x กำลังสองบริสุทธิ์พร้อมสัมประสิทธิ์ เอ = 1แต่อย่างน้อยตรวจสอบสมการดังกล่าว! จะมีข้อผิดพลาดน้อยลง

แผนกต้อนรับที่สาม . หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วน! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "วิธีแก้สมการ การแปลงเอกลักษณ์" เมื่อทำงานกับเศษส่วน, ข้อผิดพลาด, ปีน ...

อย่างไรก็ตาม ฉันสัญญาตัวอย่างที่ชั่วร้ายพร้อมเครื่องหมายลบจำนวนหนึ่งเพื่อทำให้เข้าใจง่ายขึ้น โปรด! เขาอยู่ที่นี่

เพื่อไม่ให้สับสนในเครื่องหมายลบ เราคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

นั่นคือทั้งหมด! การตัดสินใจเป็นเรื่องสนุก!

มาสรุปหัวข้อกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนแก้ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สร้างมัน ขวา.

2. หากมีค่าสัมประสิทธิ์ลบนำหน้า x ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะกำจัดมันโดยคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. หากสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนด้วยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่สอดคล้องกัน

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ สัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับหนึ่ง สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดยทฤษฎีบทของเวียตา ทำมัน!

ตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือไม่? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ได้ทำให้คุณปวดหัว สามคนแรกเปิดออก แต่ที่เหลือไม่ได้? แล้วปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ในการแปลงสมการเหมือนกัน ลองดูตามลิงค์ครับ มีประโยชน์

ไม่ทำงานค่อนข้าง? หรือมันไม่ทำงานเลย? ถ้าอย่างนั้นมาตรา 555 จะช่วยคุณได้ มีตัวอย่างเหล่านี้เรียงตามกระดูก กำลังแสดง หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่ายังมีการอธิบายการประยุกต์ใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้เยอะ!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

การแปลงสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์จะมีลักษณะดังนี้ (สำหรับกรณี \(b=0\)):

สำหรับกรณีที่ \(c=0\) หรือเมื่อทั้งสองสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ ทุกอย่างจะคล้ายกัน

โปรดทราบว่า \(a\) ไม่เท่ากับศูนย์ ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากในกรณีนี้จะกลายเป็น:

คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นยังคงอยู่ ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับสมการกำลังสองปกติ (ผ่าน) ในการทำเช่นนี้ เราเพียงเพิ่มองค์ประกอบที่ขาดหายไปของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ตัวอย่าง : หารากของสมการ \(3x^2-27=0\)
วิธีการแก้ :

		เรามีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์พร้อมสัมประสิทธิ์ \(b=0\) นั่นคือ เราสามารถเขียนสมการในรูปต่อไปนี้:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		อันที่จริงนี่คือสมการเดียวกับตอนเริ่มต้น แต่ตอนนี้แก้ได้เป็นกำลังสองธรรมดาแล้ว ก่อนอื่นเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		คำนวณการเลือกปฏิบัติโดยใช้สูตร \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		จงหารากของสมการโดยใช้สูตร \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) และ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		เขียนคำตอบ

ตอบ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ตัวอย่าง : หารากของสมการ \(-x^2+x=0\)
วิธีการแก้ :

		อีกครั้ง สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ แต่ตอนนี้สัมประสิทธิ์ \(c\) เท่ากับศูนย์ เราเขียนสมการว่าสมบูรณ์