สมการเลขชี้กำลังและตัวอย่างอสมการ อสมการเลขชี้กำลัง

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลโกรอด

เก้าอี้ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน และเรขาคณิต

ธีมงาน: สมการกำลังเอกซ์โปเนนเชียลและอสมการ

งานบัณฑิตนักศึกษาคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

______________________________

ผู้ตรวจสอบ: _______________________________

________________________

เบลโกรอด ปี 2549

บทนำ			3
หัวข้อ ฉัน.	การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อการวิจัย
หัวข้อ ครั้งที่สอง	ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ
	I.1.	ฟังก์ชั่นพลังงานและคุณสมบัติของมัน
	I.2.	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน
หัวข้อ สาม.	คำตอบของสมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง
หัวข้อ IV.	การแก้ความไม่เท่าเทียมกันของกำลังเลขชี้กำลัง แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง
หัวข้อ วี	ประสบการณ์ในการจัดชั้นเรียนกับเด็กนักเรียนในหัวข้อ "การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน"
วี 1.	สื่อการสอน.
วี 2.	งานสำหรับโซลูชันอิสระ
บทสรุป.	ข้อสรุปและข้อเสนอ
บรรณานุกรม.
แอปพลิเคชั่น

บทนำ.

"...ความสุขที่ได้เห็นและเข้าใจ..."

ก. ไอน์สไตน์.

ในงานนี้ ฉันพยายามถ่ายทอดประสบการณ์การเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ อย่างน้อยก็เพื่อสื่อถึงทัศนคติของฉันที่มีต่อการสอน - เป็นเรื่องของมนุษย์ที่วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ การสอน การสอน จิตวิทยา และแม้แต่ปรัชญานั้นน่าประหลาดใจ พันกัน

ฉันมีโอกาสทำงานกับเด็กและผู้สำเร็จการศึกษา โดยมีเด็กยืนอยู่บนเสาของการพัฒนาทางปัญญา: ผู้ที่ลงทะเบียนกับจิตแพทย์และผู้ที่สนใจในวิชาคณิตศาสตร์จริงๆ

ฉันต้องแก้ปัญหาเกี่ยวกับระเบียบวิธีต่างๆ มากมาย ฉันจะพยายามพูดคุยเกี่ยวกับสิ่งที่ฉันจัดการได้ แต่ยิ่งไปกว่านั้น - มันเป็นไปไม่ได้ และคำถามที่ดูเหมือนจะได้รับการแก้ไข คำถามใหม่ก็ปรากฏขึ้น

แต่สิ่งที่สำคัญกว่าประสบการณ์ก็คือการไตร่ตรองและข้อสงสัยของครู: ทำไมมันถึงเป็นแบบนี้ ประสบการณ์นี้ล่ะ?

และตอนนี้ฤดูร้อนก็ต่างออกไปและการเปลี่ยนการศึกษาก็น่าสนใจยิ่งขึ้น "ภายใต้ดาวพฤหัสบดี" ในปัจจุบันไม่ใช่การค้นหาระบบการสอนที่เหมาะสมที่สุดในตำนาน "ทุกคนและทุกสิ่ง" แต่เป็นตัวเด็กเอง แต่แล้ว - ด้วยความจำเป็น - และครู

ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนและเริ่มวิเคราะห์เกรด 10 - 11 ด้วย สอบผ่านต่อหลักสูตร มัธยมและในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยมีสมการและความไม่เท่าเทียมกันซึ่งประกอบด้วยสิ่งที่ไม่ทราบที่ฐานและเลขชี้กำลัง - เหล่านี้คือสมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน

พวกเขาให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยที่โรงเรียนไม่มีงานในหัวข้อนี้ในตำราเรียน อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่าการฝึกฝนเทคนิคการแก้ปัญหาให้เชี่ยวชาญนั้นมีประโยชน์มาก ช่วยเพิ่มจิตใจและ ทักษะความคิดสร้างสรรค์นักเรียนเปิดโลกทัศน์ใหม่อย่างสมบูรณ์ต่อหน้าเรา เมื่อแก้ปัญหานักเรียนจะได้ทักษะแรก งานวิจัย, วัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาอุดมไปด้วย, ความสามารถในการ การคิดอย่างมีตรรกะ. เด็กนักเรียนพัฒนาลักษณะบุคลิกภาพเช่นความเด็ดเดี่ยวการตั้งเป้าหมายความเป็นอิสระซึ่งจะเป็นประโยชน์ต่อพวกเขาในชีวิตในภายหลัง และยังมีการทำซ้ำ การขยาย และการดูดซึมลึกของสื่อการเรียนรู้

ฉันเริ่มทำงานในหัวข้อการวิจัยวิทยานิพนธ์ของฉันด้วยการเขียนบทความภาคเรียน ในระหว่างที่ฉันศึกษาและวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้ในเชิงลึก ฉันได้ระบุวิธีการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน

มันอยู่ในความจริงที่ว่านอกเหนือจากวิธีการที่ยอมรับโดยทั่วไปเมื่อแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง (ฐานมีค่ามากกว่า 0) และเมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน (ฐานนำมามากกว่า 1 หรือมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1) กรณีจะถูกพิจารณาด้วยเมื่อฐานเป็นลบคือ 0 และ 1

บทวิเคราะห์ข้อเขียน เอกสารสอบนักเรียนแสดงให้เห็นว่าการขาดความครอบคลุมของปัญหาค่าลบของการโต้แย้งของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในตำราเรียนของโรงเรียนทำให้เกิดปัญหาหลายประการและนำไปสู่ข้อผิดพลาด และพวกเขายังมีปัญหาในขั้นตอนของการจัดระบบของผลลัพธ์ที่ได้รับซึ่งเนื่องจากการเปลี่ยนไปใช้สมการ - ผลที่ตามมาหรือความไม่เท่าเทียมกัน - ผลที่ตามมาอาจปรากฏขึ้น เพื่อขจัดข้อผิดพลาด เราใช้การตรวจสอบสมการดั้งเดิมหรืออสมการและอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง หรือแผนสำหรับการแก้อสมการกำลังเลขชี้กำลัง

เพื่อให้นักเรียนผ่านการสอบปลายภาคและการสอบเข้าได้สำเร็จ ฉันคิดว่าจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกันในห้องเรียน หรือในวิชาเลือกและแวดวงเพิ่มเติม

ทางนี้ หัวข้อ , ของฉัน วิทยานิพนธ์ถูกกำหนดดังนี้: "สมการกำลังเอกซ์โพเนนเชียลและอสมการ".

เป้าหมาย ของงานนี้ได้แก่

1. วิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อนี้

2. ให้ การวิเคราะห์ที่สมบูรณ์คำตอบของสมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

3. ให้ตัวอย่างเพียงพอในหัวข้อประเภทต่าง ๆ นี้

4. ตรวจสอบบทเรียน ทางเลือกและชั้นเรียนแบบวงกลมว่าจะรับรู้วิธีการที่เสนอในการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกันอย่างไร ให้คำแนะนำที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาหัวข้อนี้

เรื่อง งานวิจัยของเราคือการพัฒนาเทคนิคในการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

วัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษาจำเป็นต้องมีการแก้ปัญหาของงานต่อไปนี้:

1. ศึกษาวรรณคดีในหัวข้อ "สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ"

2. เชี่ยวชาญวิธีการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

3. เลือกสื่อการฝึกอบรมและพัฒนาระบบแบบฝึกหัดในระดับต่างๆ ในหัวข้อ "การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน"

ในระหว่างการวิจัยวิทยานิพนธ์ เอกสารมากกว่า 20 ฉบับที่อุทิศให้กับการประยุกต์ใช้ วิธีการต่างๆคำตอบของสมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ จากที่นี่เราได้รับ

แผนวิทยานิพนธ์:

บทนำ.

บทที่ I. การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อการวิจัย

บทที่ II. ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

II.1. ฟังก์ชั่นพลังงานและคุณสมบัติของมัน

II.2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน

บทที่ III. คำตอบของสมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง

บทที่ IV. การแก้ความไม่เท่าเทียมกันของกำลังเลขชี้กำลัง แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง

บทที่ V. ประสบการณ์ในการจัดชั้นเรียนกับเด็กนักเรียนในหัวข้อนี้

1. วัสดุการศึกษา

2. งานสำหรับโซลูชันอิสระ

บทสรุป. ข้อสรุปและข้อเสนอ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

วรรณคดีวิเคราะห์ในบทที่I

ในบทนี้ เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ไขตามวิธีการแก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรียกคืนคำจำกัดความและคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการทั้งหมดเป็นพื้นฐาน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่นี่ x เป็นตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y - ตัวแปรตามฟังก์ชัน

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงให้เห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่ง แต่มากกว่าศูนย์ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มขึ้นเป็น ลดลงเป็น

ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าด้วยค่าอาร์กิวเมนต์เดียว

เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์ไม่รวมเป็นบวกอินฟินิตี้เช่นสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน () ในทางตรงกันข้าม เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะลดลงจากอินฟินิตี้เป็นศูนย์ ซึ่งรวมอยู่ด้วย นั่นคือ สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ เรามีฟังก์ชันการลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ()

2. อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด เทคนิคการแก้ปัญหา ตัวอย่าง

จากที่กล่าวมา เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด:

วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ รักษาหรือเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงซ้อนที่ซับซ้อนนั้น ตามกฎแล้ว ในการลดความเหลื่อมล้ำแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายอสมการจะคงอยู่:

ลองแปลงด้านขวาตามคุณสมบัติของดีกรี:

ฐานของดีกรีน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการต้องกลับด้าน:

ในการแก้สมการกำลังสอง เราแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน:

ตามทฤษฎีบทของ Vieta เราพบราก:

กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

มันง่ายที่จะเดาว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์:

ฐานของดีกรีมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

ระลึกถึงขั้นตอนการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ:

เราพบรากของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นมีรูทเดียว

เราแยกช่วงของค่าคงที่ของสัญญาณออกและกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 2. ช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ

เราก็เลยได้คำตอบ

ตอบ:

3. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันแต่ฐานต่างกัน

หนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือใช้ค่าบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ มาหารอสมการที่กำหนดด้วยด้านขวากัน:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่

มาดูวิธีแก้ปัญหากัน:

รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ . เห็นได้ชัดว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์มากกว่าศูนย์ กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้น ฟังก์ชันนี้จะใหญ่กว่า เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นลบ ฟังก์ชันจะผ่านด้านล่าง ค่าของอาร์กิวเมนต์จะน้อยกว่า หากค่าของอาร์กิวเมนต์เท่ากัน จุดที่กำหนดก็เป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดด้วย

ข้าว. 3. ภาพประกอบ เช่น 4

เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดตามคุณสมบัติของดีกรี:

นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:

ลองแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น:

ตอนนี้เรายังคงแก้ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 4 เราหารทั้งสองส่วนด้วย:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่:

4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 6 - แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก:

พิจารณาฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาและพล็อตแต่ละฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลังซึ่งเพิ่มขึ้นเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดนั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันเป็นแบบเส้นตรง ลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ นั่นคือ สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือ ระบบมีคำตอบ โซลูชันดังกล่าวก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและสามารถเดาได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วนซ้ำจำนวนเต็ม ()

ง่ายที่จะเห็นว่ารากของระบบนี้คือ:

ดังนั้น กราฟฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดที่มีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง

ตอนนี้เราต้องได้คำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้น นั่นคือ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 4. ภาพประกอบ เช่น 6

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอสมการเลขชี้กำลังทั่วไปต่างๆ ต่อไป เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนมากขึ้น

บรรณานุกรม

Mordkovich A. G. พีชคณิตและจุดเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. - ม.: มนีโมไซน์. Muravin G. K. , Muravin O. V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: ไอ้เหี้ย. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. - ม.: การตรัสรู้.

คณิตศาสตร์. นพ. คณิตศาสตร์-ซ้ำ. คอม ดิฟเฟอร์ เคมซู รุ

การบ้าน

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, หมายเลข 472, 473;

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

3. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

หลายคนคิดว่าความไม่เท่าเทียมกันแบบทวีคูณเป็นสิ่งที่ซับซ้อนและเข้าใจยาก และการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหานั้นแทบจะเป็นศิลปะที่ยิ่งใหญ่ ซึ่งมีเพียงผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่สามารถเข้าใจได้...

ไร้สาระสมบูรณ์! ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นเรื่องง่าย และง่ายต่อการแก้ไข เกือบทุกครั้ง :)

วันนี้เราจะวิเคราะห์หัวข้อนี้ในวงกว้าง บทเรียนนี้จะมีประโยชน์มากสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเข้าใจวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในส่วนนี้ มาเริ่มกันที่ งานง่ายๆและเราจะก้าวต่อไปให้มากขึ้น คำถามยากๆ. วันนี้จะไม่มีเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ แต่สิ่งที่คุณจะอ่านตอนนี้จะเพียงพอที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันส่วนใหญ่ในการควบคุมทุกประเภทและ งานอิสระ. และในเรื่องนี้การสอบของคุณก็เช่นกัน

และเช่นเคย มาเริ่มด้วยคำจำกัดความกันก่อน อสมการเลขชี้กำลังคืออสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถลดความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบได้เสมอ

\[((อันหนึ่ง)^(x)) \gt b\]

โดยที่บทบาทของ $b$ อาจเป็นตัวเลขธรรมดา หรือบางทีอาจยากกว่านั้น ตัวอย่าง? ได้โปรด:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ รูปสี่เหลี่ยม ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ฉันคิดว่าความหมายนั้นชัดเจน: มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $((a)^(x))$ เปรียบเทียบกับบางสิ่งบางอย่าง แล้วขอให้ค้นหา $x$ ในกรณีทางคลินิกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ พวกเขาสามารถใส่ฟังก์ชันบางอย่างได้ $f\left(x \right)$ และทำให้ความไม่เท่าเทียมกันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย :)

แน่นอน ในบางกรณี ความไม่เท่าเทียมกันอาจดูรุนแรงกว่า ตัวอย่างเช่น:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

หรือแม้แต่สิ่งนี้:

โดยทั่วไป ความซับซ้อนของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวอาจแตกต่างกันมาก แต่ในท้ายที่สุดแล้ว ความซับซ้อนเหล่านี้ก็ยังคงลงมาที่โครงสร้างง่ายๆ $((a)^(x)) \gt b$ และเราจะจัดการกับการออกแบบดังกล่าว (โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีทางคลินิกเมื่อไม่มีอะไรอยู่ในใจลอการิทึมจะช่วยเราได้) ดังนั้นตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีแก้ไขโครงสร้างง่าย ๆ ดังกล่าว

คำตอบของอสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

ลองดูสิ่งที่ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น นี่คือ:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

เห็นได้ชัดว่า ตัวเลขทางด้านขวาสามารถเขียนใหม่เป็นกำลังสอง: $4=((2)^(2))$ ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงถูกเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกมาก:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

และตอนนี้มือก็รู้สึกอยาก "ขีดฆ่า" พวกดิวซ์ โดยยืนอยู่ที่ฐานขององศา เพื่อให้ได้คำตอบ $x \gt 2$ แต่ก่อนที่เราจะขีดฆ่าอะไร ให้จำกำลังสอง:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

อย่างที่เราเห็นอะไร มากกว่าอยู่ในเลขชี้กำลัง ยิ่งจำนวนเอาต์พุตมากเท่านั้น “ขอบคุณนะแคป!” นักเรียนคนหนึ่งจะอุทาน มันเกิดขึ้นแตกต่างกันหรือไม่? น่าเสียดายที่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

ที่นี่เช่นกันทุกอย่างมีเหตุผล: ยิ่งดีกรีมากเท่าไหร่ก็ยิ่งคูณตัวเลข 0.5 ด้วยตัวเองมากขึ้นเท่านั้น (นั่นคือมันถูกหารด้วยครึ่งหนึ่ง) ดังนั้น ลำดับผลลัพธ์ของตัวเลขจึงลดลง และความแตกต่างระหว่างลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองจะอยู่ที่ฐานเท่านั้น:

• หากฐานของระดับ $a \gt 1$ เมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น จำนวน $((a)^(n))$ ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน
• ในทางกลับกัน ถ้า $0 \lt a \lt 1$ ดังนั้นเมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น ตัวเลข $((a)^(n))$ จะลดลง

เมื่อสรุปข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราได้รับข้อความที่สำคัญที่สุด ซึ่งใช้วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังทั้งหมด:

ถ้า $a \gt 1$ แสดงว่าอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เท่ากับอสมการ $x \gt n$ ถ้า $0 \lt a \lt 1$ แสดงว่าอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับ $x \lt n$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง คุณก็สามารถลบออกได้ เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่งก็สามารถลบออกได้ แต่สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะต้องเปลี่ยนด้วย

โปรดทราบว่าเราไม่ได้พิจารณาตัวเลือก $a=1$ และ $a\le 0$ เพราะในกรณีเหล่านี้มีความไม่แน่นอน สมมติว่าจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม $((1)^(x)) \gt 3$? หนึ่งต่ออำนาจใด ๆ จะให้อีกครั้ง - เราจะไม่มีวันได้สามหรือมากกว่า เหล่านั้น. ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วยฐานเชิงลบก็น่าสนใจยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

เมื่อมองแวบแรก ทุกอย่างก็เรียบง่าย:

ถูกต้องหรือไม่ แต่ไม่มี! เพียงพอที่จะแทนที่ $x$ สองสามเลขคู่และคู่ เลขคี่เพื่อให้แน่ใจว่าวิธีแก้ปัญหานั้นผิด ลองดูสิ:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็นสัญญาณสลับกัน แต่ยังคงมีเศษส่วนองศาและดีบุกอื่นๆ ตัวอย่างเช่น คุณจะสั่งให้นับ $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ลบสองยกขึ้นเป็นรากของเจ็ด) อย่างไร ไม่มีทาง!

ดังนั้น สำหรับความแน่นอน เราถือว่าในความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด (และสมการก็เช่นกัน) $1\ne a \gt 0$ แล้วทุกอย่างก็แก้ไขได้ง่ายมาก:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right) \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

โดยทั่วไปแล้ว โปรดจำกฎหลักอีกครั้ง: หากฐานในสมการเลขชี้กำลังมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง ก็สามารถลบออกได้ แต่สิ่งนี้จะเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

ตัวอย่างโซลูชัน

ดังนั้น ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันยกกำลังง่ายๆ สองสามข้อ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

งานหลักจะเหมือนกันในทุกกรณี: เพื่อลดความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ นี่คือสิ่งที่เราจะทำกับอสมการแต่ละอัน และในเวลาเดียวกัน เราจะทำซ้ำคุณสมบัติของยกกำลังและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง งั้นไปกัน!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

ทำอะไรได้บ้างนี่? ทางด้านซ้ายเรามีนิพจน์สาธิตอยู่แล้ว - ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไร แต่ทางด้านขวามีอึบางอย่าง: เศษส่วนและแม้แต่รูทในตัวส่วน!

อย่างไรก็ตาม จำกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนและยกกำลัง:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มันหมายความว่าอะไร? อย่างแรก เรากำจัดเศษส่วนได้ง่ายๆ โดยเปลี่ยนให้เป็นเลขชี้กำลังลบ และประการที่สอง เนื่องจากตัวส่วนเป็นราก มันคงจะดีถ้าเปลี่ยนเป็นดีกรี - คราวนี้ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

ลองใช้การกระทำเหล่านี้ตามลำดับทางด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันและดูว่าเกิดอะไรขึ้น:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

อย่าลืมว่าเมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังขององศาเหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไป และโดยทั่วไป เมื่อทำงานกับสมการเลขชี้กำลังและอสมการ อย่างน้อยจำเป็นต้องรู้กฎที่ง่ายที่สุดสำหรับการทำงานกับยกกำลัง:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

จริงๆ แล้ว, กฎข้อสุดท้ายเราเพิ่งสมัคร ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

ตอนนี้เรากำจัดผีที่ฐาน ตั้งแต่ 2 > 1 เครื่องหมายอสมการยังคงเหมือนเดิม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! ปัญหาหลักไม่ได้อยู่ที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ในการเปลี่ยนแปลงความสามารถของนิพจน์ดั้งเดิม: คุณต้องทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดอย่างระมัดระวังและเร็วที่สุด

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่สอง:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

ดีดี. ที่นี่เรากำลังรอเศษส่วนทศนิยม อย่างที่ฉันพูดไปหลายครั้งแล้วว่า ในสำนวนใดๆ ที่ยกกำลัง คุณควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม ซึ่งมักจะเป็นวิธีเดียวที่จะเห็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและรวดเร็ว นี่คือสิ่งที่เราจะกำจัด:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ ขวา))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ตรงหน้าเราคือความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดอีกครั้งและถึงแม้จะมีฐาน 1/10 นั่นคือ น้อยกว่าหนึ่ง เราลบฐานพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "น้อย" เป็น "มากกว่า" และเราจะได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. โปรดทราบว่าคำตอบคือชุดเท่านั้น และไม่ว่ากรณีใดคือการสร้างรูปแบบ $x \lt -1$ เนื่องจากโครงสร้างดังกล่าวอย่างเป็นทางการไม่ใช่เซต แต่เป็นอสมการเทียบกับตัวแปร $x$ ใช่ มันง่ายมาก แต่ไม่ใช่คำตอบ!

โน๊ตสำคัญ. ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น - โดยการลดทั้งสองส่วนเป็นกำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง ลองดูสิ:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

หลังจากแปลงนี้ เราก็ได้ อสมการเลขชี้กำลังแต่ด้วยฐาน 10 > 1 และนี่หมายความว่าคุณสามารถขีดฆ่าสิบ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น คำตอบก็เหมือนกันทุกประการ ในขณะเดียวกัน เราก็ช่วยตัวเองให้พ้นจากความจำเป็นในการเปลี่ยนเครื่องหมายและโดยทั่วไปจะจำกฎบางอย่างไว้ที่นั่น :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

อย่างไรก็ตาม อย่าปล่อยให้สิ่งนั้นทำให้คุณตกใจ สิ่งที่อยู่ในตัวชี้วัด เทคโนโลยีสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนั้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเราจึงทราบก่อนว่า 16 = 2 4 . ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันเดิมโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ไชโย! เราก็ได้ตามปกติ อสมการกำลังสอง! เครื่องหมายไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เนื่องจากฐานเป็นผีสาง - ตัวเลขที่มากกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันศูนย์บนเส้นจำนวน

เราจัดเรียงสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - แน่นอน กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น ดังนั้นจะมี "ข้อดี" ” ด้านข้าง เราสนใจภูมิภาคที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ กล่าวคือ $x\in \left(2;5 \right)$ คือคำตอบของปัญหาเดิม

สุดท้าย ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

อีกครั้งที่เราเห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเศษส่วนทศนิยมอยู่ในฐาน ลองแปลงเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนร่วม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

ในกรณีนี้ เราใช้ประโยชน์จากคำพูดก่อนหน้านี้ - เราลดฐานเป็นจำนวน 5\u003e 1 เพื่อให้การตัดสินใจต่อไปของเราง่ายขึ้น ลองทำเช่นเดียวกันกับด้านขวา:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1))) \ ขวา))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันเดิมโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งสอง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

ฐานทั้งสองข้างเท่ากันและมากกว่าหนึ่ง ไม่มีคำศัพท์อื่นทางขวาและทางซ้าย ดังนั้นเราจึง "ขีดฆ่า" ห้าตัวและเราจะได้นิพจน์ที่ง่ายมาก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นี่คือที่ที่คุณต้องระวัง นักเรียนหลายคนชอบที่จะแยกออกง่าย ๆ รากที่สองทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกันและเขียนบางอย่างเช่น $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ คุณไม่ควรทำเช่นนี้เนื่องจากรูทของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนคือโมดูลและ ไม่ว่าในกรณีใดตัวแปรดั้งเดิม:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

อย่างไรก็ตาม การทำงานกับโมดูลไม่ใช่ประสบการณ์ที่น่าพึงพอใจที่สุดใช่ไหม ดังนั้นเราจะไม่ทำงาน แต่เราเพียงแค่ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายและแก้ความไม่เท่าเทียมกันตามปกติโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(จัดตำแหน่ง)$

อีกครั้ง เราทำเครื่องหมายจุดที่ได้รับบนเส้นจำนวนแล้วดูเครื่องหมาย:

โปรดทราบ: จุดถูกแรเงา

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด จุดทั้งหมดบนกราฟจึงถูกแรเงา ดังนั้น คำตอบจะเป็น: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ไม่ใช่ช่วงเวลา แต่เป็นเซ็กเมนต์

โดยทั่วไป ฉันต้องการจะสังเกตว่าไม่มีอะไรซับซ้อนในอสมการเลขชี้กำลัง ความหมายของการแปลงทั้งหมดที่เราดำเนินการในวันนี้คืออัลกอริธึมง่ายๆ:

• ค้นหาฐานที่เราจะลดทุกองศา
• ทำการแปลงอย่างระมัดระวังเพื่อให้ได้รูปแบบที่ไม่เท่ากัน $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ แน่นอน แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ และ $n$ อาจมีฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านี้มาก แต่สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนความหมาย
• ขีดฆ่าฐานขององศา ในกรณีนี้ เครื่องหมายอสมการอาจเปลี่ยนแปลงได้หากฐาน $a \lt 1$

อันที่จริงนี่เป็นอัลกอริธึมสากลสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด และทุกอย่างอื่นๆ ที่จะบอกคุณในหัวข้อนี้เป็นเพียงกลเม็ดและกลเม็ดเฉพาะเพื่อทำให้การเปลี่ยนแปลงง่ายขึ้นและเร็วขึ้น นี่คือหนึ่งในเทคนิคที่เราจะพูดถึงตอนนี้ :)

วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกชุดหนึ่ง:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขา? พวกเขายังมีน้ำหนักเบา แม้ว่าหยุด! pi ถูกยกขึ้นเป็นกำลังหรือไม่? เรื่องไร้สาระแบบไหน?

และจะเพิ่มจำนวน $2\sqrt(3)-3$ ให้กำลังได้อย่างไร หรือ $3-2\sqrt(2)$? เห็นได้ชัดว่าผู้เรียบเรียงปัญหาดื่ม "ฮอว์ธอร์น" มากเกินไปก่อนนั่งทำงาน :)

อันที่จริง ไม่มีอะไรผิดปกติกับงานเหล่านี้ ให้ฉันเตือนคุณ: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือนิพจน์ของรูปแบบ $((a)^(x))$ โดยที่ฐาน $a$ เป็นจำนวนบวกใดๆ ยกเว้นหนึ่งค่า จำนวน π เป็นบวก - เรารู้แล้ว ตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ และ $3-2\sqrt(2)$ ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งง่ายที่จะดูว่าเราเปรียบเทียบกับศูนย์หรือไม่

ปรากฎว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ "น่ากลัว" เหล่านี้ไม่ต่างจากความไม่เท่าเทียมกันที่กล่าวถึงข้างต้น? และพวกเขาทำแบบเดียวกัน? ใช่ถูกต้องอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม จากตัวอย่าง ฉันต้องการพิจารณาเคล็ดลับหนึ่งข้อที่ช่วยประหยัดเวลาในการทำงานและการสอบที่เป็นอิสระได้มาก เราจะพูดถึงวิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ให้ความสนใจ:

ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบใด ๆ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ ขวา) \gt 0 $.

นั่นคือวิธีการทั้งหมด :) คุณคิดว่าจะมีเกมต่อไปหรือไม่? ไม่มีอะไรแบบนี้! แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่เขียนในบรรทัดเดียวจะทำให้งานของเราง่ายขึ้นอย่างมาก ลองดูสิ:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \ลูกศรลง \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

ที่นี่ไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกต่อไป! และไม่ต้องจำว่าเครื่องหมายเปลี่ยนไปหรือไม่ แต่เกิดปัญหาใหม่: จะทำอย่างไรกับตัวคูณร่วมเพศ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? เราไม่รู้ว่ามันเป็นยังไง ค่าที่แน่นอนตัวเลข π อย่างไรก็ตาม กัปตันดูเหมือนจะบอกใบ้อย่างชัดเจน:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ประมาณ 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

โดยทั่วไป ค่าที่แน่นอนของ π ไม่ได้รบกวนเรามากนัก - สิ่งสำคัญคือเราต้องเข้าใจว่า ไม่ว่าในกรณีใด $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. เป็นค่าคงที่บวก และเราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างได้ดังนี้

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(x+7-\left((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ณ จุดหนึ่ง เราต้องหารด้วยลบหนึ่ง และเครื่องหมายอสมการก็เปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันขยายสแควร์ไตรโนเมียลตามทฤษฎีบทเวียตา - เห็นได้ชัดว่ารากมีค่าเท่ากับ $((x)_(1))=5$ และ $((x)_(2))=- 1$. จากนั้นทุกอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลาแบบคลาสสิก:

เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา

ทุกจุดถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นเข้มงวด เราสนใจพื้นที่ที่มีค่าลบ ดังนั้นคำตอบคือ $x\in \left(-1;5 \right)$ นั่นคือทางออก :)

ไปที่งานต่อไป:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

ทุกอย่างง่ายที่นี่เพราะมีหน่วยอยู่ทางขวา และเราจำได้ว่าหน่วยคือจำนวนใดๆ ที่ยกกำลังศูนย์ แม้ว่าตัวเลขนี้จะเป็นนิพจน์ที่ไม่ลงตัว โดยยืนอยู่ที่ฐานทางด้านซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ลองหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

มันยังคงอยู่เพียงเพื่อจัดการกับสัญญาณ ตัวคูณ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ไม่มีตัวแปร $x$ - มันเป็นแค่ค่าคงที่ และเราจำเป็นต้องหาเครื่องหมายของมัน ในการดำเนินการนี้ ให้สังเกตสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(เมทริกซ์) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \ลูกศรลง \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(เมทริกซ์)\]

ปรากฎว่าปัจจัยที่สองไม่ใช่แค่ค่าคงที่ แต่เป็นค่าคงที่เชิงลบ! และเมื่อหารด้วยแล้ว เครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันเดิมจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้ทุกอย่างค่อนข้างชัดเจน ราก ไตรนามสี่เหลี่ยมทางด้านขวา: $((x)_(1))=0$ และ $((x)_(2))=2$ เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนและดูสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

กรณีที่เราสนใจช่วงด้านข้าง

เรามีความสนใจในช่วงเวลาที่มีเครื่องหมายบวก ยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ:

มาต่อกันที่ตัวอย่างต่อไป:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ขวา))^(16-x))\]

ทุกอย่างค่อนข้างชัดเจนที่นี่: ฐานเป็นเลขยกกำลังเท่ากัน ดังนั้นฉันจะเขียนทุกอย่างสั้น ๆ :

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ลูกศรลง \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((3)^(-1\cdot \left((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ซ้าย(16-x\right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ในกระบวนการแปลง เราต้องคูณด้วยจำนวนลบ ดังนั้นเครื่องหมายอสมการจึงเปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันได้ใช้ทฤษฎีบทของเวียตาอีกครั้งเพื่อแยกตัวประกอบเป็นไตรนามกำลังสอง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ผู้ที่ต้องการตรวจสอบได้โดยการลากเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายจุด และเครื่องหมายนับ ในระหว่างนี้ เราจะย้ายไปยังความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ของเรา:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

อย่างที่คุณเห็นที่ฐานเป็นอีกครั้ง จำนวนอตรรกยะและตัวเครื่องจะอยู่ทางด้านขวาอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงเขียนอสมการเลขชี้กำลังใหม่ดังนี้:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ขวา))^(0))\]

ลองหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\\end(align)\ ]

อย่างไรก็ตาม ค่อนข้างชัดเจนว่า $1-\sqrt(2) \lt 0$ เนื่องจาก $\sqrt(2)\ประมาณ 1.4... \gt 1$ ดังนั้น ปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าคงที่เชิงลบอีกครั้ง โดยที่ทั้งสองส่วนของอสมการสามารถแบ่งออกได้:

\[\begin(เมทริกซ์) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ลูกศรลง \ \\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

เปลี่ยนเป็นฐานอื่น

ปัญหาที่แยกออกมาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบยกกำลังคือการค้นหาพื้นฐานที่ "ถูกต้อง" น่าเสียดายที่เมื่อมองดูงานครั้งแรก ก็ยังไม่ชัดเจนเสมอว่าต้องใช้อะไรเป็นพื้นฐาน และสิ่งที่ต้องทำตามระดับของพื้นฐานนี้

แต่อย่ากังวล: ไม่มีเทคโนโลยีเวทย์มนตร์และ "ความลับ" ที่นี่ ในวิชาคณิตศาสตร์ ทักษะใด ๆ ที่ไม่สามารถกำหนดอัลกอริธึมสามารถพัฒนาได้อย่างง่ายดายผ่านการฝึกฝน แต่สำหรับสิ่งนี้คุณต้องแก้ปัญหา ระดับต่างๆความยากลำบาก ตัวอย่างเช่น สิ่งเหล่านี้คือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ จบ(จัดตำแหน่ง)\]

ยาก? น่ากลัว? ใช่ มันง่ายกว่าไก่บนแอสฟัลต์! มาลองกัน. ความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่:

เราเขียนความไม่เท่าเทียมเดิมใหม่ โดยลดทุกอย่างเป็นฐาน "สอง":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

ใช่ ใช่ คุณเข้าใจถูกต้องแล้ว ฉันเพิ่งใช้วิธีหาเหตุผลเข้าข้างตนเองที่อธิบายข้างต้น ตอนนี้ เราต้องทำงานอย่างระมัดระวัง: เราได้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะ (นี่คือตัวที่มีตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้นก่อนที่จะหาค่าเท่ากับศูนย์ คุณต้องลดทุกอย่างให้เหลือตัวส่วนร่วมและกำจัดตัวประกอบคงที่ .

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0 \\\end(align)\]

ตอนนี้เราใช้วิธีช่วงเวลามาตรฐาน ตัวเศษเป็นศูนย์: $x=\pm 4$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ $x=0$ โดยรวมแล้ว มีสามจุดที่ควรจะทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน เราได้รับ:

มากกว่า กรณียาก: สามราก

อย่างที่คุณอาจเดาได้ การฟักไข่จะทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่นิพจน์ทางด้านซ้ายใช้ ค่าลบ. ดังนั้น สองช่วงจะเข้าสู่คำตอบสุดท้ายพร้อมกัน:

จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในคำตอบเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นเข้มงวด ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบคำตอบนี้เพิ่มเติม ในเรื่องนี้ อสมการเลขชี้กำลังง่ายกว่าอสมการลอการิทึมมาก: ไม่มี DPV ไม่มีข้อจำกัด ฯลฯ

ไปที่งานต่อไป:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

ไม่มีปัญหาที่นี่เช่นกัน เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่า $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ดังนั้น อสมการทั้งหมดจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\ลูกศรขวา ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2\right)\right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

โปรดทราบ: ในบรรทัดที่สาม ฉันตัดสินใจที่จะไม่เสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ และหารทุกอย่างด้วย (−2) ทันที Minul เข้าไปในวงเล็บปีกกาแรก (ตอนนี้มีข้อดีอยู่ทุกที่) และผีสางก็ลดลงด้วยตัวคูณคงที่ นี่คือสิ่งที่คุณควรทำเมื่อทำการคำนวณจริงโดยอิสระและ ควบคุมงาน- ไม่จำเป็นต้องลงสีโดยตรงทุกการกระทำและการเปลี่ยนแปลง

ถัดไป วิธีการเว้นระยะที่คุ้นเคยจะถูกนำมาใช้ ศูนย์ของตัวเศษ: แต่ไม่มี เพราะการเลือกปฏิบัติจะเป็นลบ ในทางกลับกัน ตัวส่วนจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ $x=0$ — เช่นเดียวกับครั้งที่แล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าเศษส่วนจะนำค่าบวกไปทางขวาของ $x=0$ และค่าลบทางซ้าย เนื่องจากเราสนใจแต่ค่าลบเท่านั้น คำตอบสุดท้ายคือ $x\in \left(-\infty ;0 \right)$

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

และจะทำอย่างไรกับเศษส่วนทศนิยมในอสมการเลขชี้กำลัง? ถูกต้อง: กำจัดพวกมันโดยแปลงให้กลายเป็นปกติ ที่นี่เรากำลังแปล:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้อะไรจากฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? และเราได้เลขส่วนกลับกันสองจำนวน:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ ขวา))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แน่นอน เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้ก็รวมกัน ซึ่งเกิดขึ้นในบรรทัดที่สอง นอกจากนี้เรายังได้แสดงหน่วยทางด้านขวาด้วยเป็นกำลังในฐาน 4/25 มันยังคงเป็นเพียงการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \ลูกศรขวา \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

โปรดทราบว่า $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ เช่น ปัจจัยที่สองคือค่าคงที่ติดลบ และเมื่อหารด้วย เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยน:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\ลูกศรขวา x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

สุดท้ายความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ปัจจุบัน:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

โดยหลักการแล้ว แนวคิดของการแก้ปัญหาที่นี่ก็ชัดเจนเช่นกัน: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่ประกอบเป็นอสมการจะต้องลดลงเหลือฐาน "3" แต่สำหรับสิ่งนี้คุณต้องปรับแต่งเล็กน้อยด้วยรากและองศา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ให้ความสนใจกับบรรทัดที่ 2 และ 3 ของการคำนวณ: ก่อนที่จะทำอะไรที่ไม่เท่าเทียมกัน อย่าลืมนำมันมาอยู่ในรูปแบบที่เราพูดถึงตั้งแต่เริ่มบทเรียน: $((a)^(x)) \lt ( (ก)^(n))$. ตราบใดที่คุณมีตัวคูณซ้ายหรือขวา ค่าคงที่พิเศษ ฯลฯ ไม่สามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองและ "ขีดฆ่า" ของพื้นที่ได้! มีงานผิดพลาดมานับไม่ถ้วนเนื่องจากความเข้าใจผิดในข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ ตัวฉันเองสังเกตปัญหานี้กับนักเรียนตลอดเวลาเมื่อเราเพิ่งเริ่มวิเคราะห์อสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม

แต่กลับมาที่งานของเรา คราวนี้ลองทำโดยไม่หาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราจำได้: ฐานของดีกรีมากกว่าหนึ่ง จึงสามารถขีดฆ่าทริเปิลได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

เน้นนิพจน์ที่เสถียรและแทนที่ตัวแปร

โดยสรุป ฉันเสนอให้แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบทวีคูณอีกสี่ตัว ซึ่งค่อนข้างยากสำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวแล้ว เพื่อรับมือกับพวกเขา คุณต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้ที่จะเข้าใจ: สิ่งที่สามารถใส่ในคร่อมได้ นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า เสถียร - มันสามารถแสดงด้วยตัวแปรใหม่ และกำจัดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองดูงาน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

มาเริ่มกันที่บรรทัดแรกกันเลย ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันนี้แยกกัน:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

โปรดทราบว่า $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ดังนั้น ด้านขวาสามารถ จะเขียนใหม่:

โปรดทราบว่าไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ ยกเว้น $((5)^(x+1))$ ในอสมการ และโดยทั่วไป ตัวแปร $x$ จะไม่เกิดขึ้นที่อื่น ดังนั้น เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กัน: $((5)^(x+1))=t$ เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เรากลับไปที่ตัวแปรเดิม ($t=((5)^(x+1))$) และในขณะเดียวกันก็จำไว้ว่า 1=5 0 เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! คำตอบ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. มาดูความไม่เท่าเทียมกันที่สองกัน:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ โปรดทราบว่า $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ จากนั้นด้านซ้ายสามารถเขียนใหม่ได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ลูกศรขวา x\in \left[ 2;+\infty \right) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นี่เป็นวิธีโดยประมาณที่คุณต้องตัดสินใจเกี่ยวกับการควบคุมจริงและการทำงานอิสระ

เรามาลองทำอะไรที่ยากกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกัน:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

ปัญหาที่นี่คืออะไร? อย่างแรกเลย ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายต่างกัน: 5 และ 25 อย่างไรก็ตาม 25 \u003d 5 2 ดังนั้นเทอมแรกจึงสามารถแปลงได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((25)^(x+1,5))=((\left((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(จัดตำแหน่ง )\]

อย่างที่คุณเห็น ตอนแรกเรานำทุกอย่างมาไว้ที่ฐานเดียวกัน แล้วเราสังเกตว่าเทอมแรกถูกลดทอนเป็นสองอย่างง่าย - แค่ขยายเลขชี้กำลังก็เพียงพอแล้ว ตอนนี้เราสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้อย่างปลอดภัย: $((5)^(2x+2))=t$ และอสมการทั้งหมดจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อีกครั้งไม่มีปัญหา! คำตอบสุดท้าย: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$ ไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้ายในบทเรียนของวันนี้:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

สิ่งแรกที่คุณควรใส่ใจคือ แน่นอน เศษส่วนทศนิยมในฐานของดีกรีแรก มีความจำเป็นต้องกำจัดมันและในขณะเดียวกันก็นำฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดไปที่ฐานเดียวกัน - หมายเลข "2":

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เยี่ยมมาก เราเริ่มก้าวแรกแล้ว ทุกอย่างนำไปสู่รากฐานเดียวกัน ตอนนี้เราต้องเน้น กำหนดนิพจน์. โปรดทราบว่า $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ หากเราแนะนำตัวแปรใหม่ $((2)^(4x+6))=t$ ดังนั้น อสมการดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แน่นอน คำถามอาจเกิดขึ้น: เรารู้ได้อย่างไรว่า 256 = 2 8 ? น่าเสียดาย ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องรู้พลังของสอง (และในขณะเดียวกันพลังของสามและห้า) หรือหาร 256 ด้วย 2 (คุณหารได้ เนื่องจาก 256 เป็นเลขคู่) จนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ มันจะมีลักษณะดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8))\end(จัดตำแหน่ง )\]

เช่นเดียวกับสาม (หมายเลข 9, 27, 81 และ 243 เป็นพลังของมัน) และเจ็ด (หมายเลข 49 และ 343 ก็น่าจดจำเช่นกัน) ทั้งห้ายังมีองศา "สวย" ที่คุณต้องรู้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แน่นอนว่าตัวเลขเหล่านี้สามารถเรียกคืนได้ในจิตใจหากต้องการเพียงแค่คูณกันอย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณต้องแก้อสมการเลขชี้กำลังหลายตัว และแต่ละอันถัดไปยากกว่าอันก่อน สิ่งสุดท้ายที่คุณอยากนึกถึงก็คือกำลังของตัวเลขบางตัวที่นั่น และในแง่นี้ ปัญหาเหล่านี้ซับซ้อนกว่าอสมการ "คลาสสิก" ซึ่งแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "สมการเลขชี้กำลังและอสมการเลขชี้กำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 11
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

ความหมายของสมการเลขชี้กำลัง

พวกเราศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรียนรู้คุณสมบัติ และสร้างกราฟ วิเคราะห์ตัวอย่างสมการที่พบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง วันนี้เราจะมาศึกษาสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คำนิยาม. สมการของรูปแบบ: $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง

จำทฤษฎีบทที่เราศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เราสามารถแนะนำทฤษฎีบทใหม่:
ทฤษฎีบท. สมการเลขชี้กำลัง $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เทียบเท่ากับสมการ $f(x)=g(x) $.

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ:
ก) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ค) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
วิธีการแก้.
ก) เรารู้ดีว่า $27=3^3$
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $3^(3x-3)=3^3$.
จากทฤษฎีบทข้างต้น เราจะได้สมการลดลงเป็นสมการ $3x-3=3$ แก้สมการนี้ได้ $x=2$
คำตอบ: $x=2$

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
จากนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$
คำตอบ: $x=0$

C) สมการเดิมจะเท่ากับสมการ: $x^2-6x=-3x+18$
$x^2-3x-18=0$
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ และ $x_2=-3$
คำตอบ: $x_1=6$ และ $x_2=-3$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
วิธีการแก้:
เราจะทำชุดของการกระทำตามลำดับและนำสมการทั้งสองส่วนมาไว้ในฐานเดียวกัน
มาทำชุดปฏิบัติการทางด้านซ้ายกัน:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
ไปทางขวากัน:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
สมการเดิมจะเท่ากับสมการ:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$
$x=0$
คำตอบ: $x=0$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
วิธีการแก้:
มาเขียนสมการใหม่กัน: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกัน ให้ $a=3^x$
ในตัวแปรใหม่ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: $a^2+9a-36=0$
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ และ $a_2=3$
ลองทำการเปลี่ยนแปลงย้อนกลับของตัวแปร: $3^x=-12$ และ $3^x=3$
ในบทเรียนที่แล้ว เราได้เรียนรู้ว่านิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถรับค่าบวกได้เท่านั้น จำกราฟไว้ ซึ่งหมายความว่าสมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบเดียว: $x=1$
คำตอบ: $x=1$

มาทำบันทึกวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังกัน:
1. วิธีกราฟิกเราแสดงทั้งสองส่วนของสมการเป็นฟังก์ชันและสร้างกราฟ หาจุดตัดของกราฟ (เราใช้วิธีนี้ในบทเรียนที่แล้ว)
2. หลักความเท่าเทียมกันของตัวชี้วัดหลักการอยู่บนพื้นฐานของความจริงที่ว่าสองนิพจน์กับ เหตุผลเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองศา (เลขชี้กำลัง) ของฐานเหล่านี้เท่ากัน $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. วิธีการเปลี่ยนตัวแปรควรใช้วิธีนี้หากสมการเมื่อเปลี่ยนตัวแปรทำให้รูปแบบง่ายขึ้นและแก้ได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการ: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(กรณี)$.
วิธีการแก้.
พิจารณาสมการทั้งสองของระบบแยกกัน:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$
พิจารณาสมการที่สอง:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ลองใช้เมธอดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ให้ $y=2^(x+y)$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
$y^2-y-12=0$
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ และ $y_2=-3$
ไปที่ตัวแปรเริ่มต้น จากสมการแรกเราได้ $x+y=2$ สมการที่สองไม่มีคำตอบ จากนั้นระบบสมการเริ่มต้นของเราจะเทียบเท่ากับระบบ: $\begin (กรณี) x+3y=0, \\ x+y=2 \end(กรณี)$.
ลบสมการที่สองออกจากสมการแรก เราจะได้ $\begin (กรณี) 2y=-2, \\ x+y=2 \end(กรณี)$.
$\begin (กรณี) y=-1, \\ x=3 \end(กรณี)$.
คำตอบ: $(3;-1)$.

อสมการเลขชี้กำลัง

ไปที่ความไม่เท่าเทียมกัน เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันจำเป็นต้องใส่ใจกับฐานของระดับ มีสองสถานการณ์ที่เป็นไปได้สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท. ถ้า $a>1$ แสดงว่าไม่เท่ากัน $a^(f(x))>a^(g(x))$ เท่ากับ $f(x)>g(x)$
ถ้า $0 a^(g(x))$ เทียบเท่ากับ $f(x)

ตัวอย่าง.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
วิธีการแก้.
ก) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ในสมการของเรา ฐานที่มีดีกรีน้อยกว่า มากกว่า 1 ดังนั้นเมื่อแทนที่อสมการด้วยอสมการที่เท่ากัน จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
มาใช้กัน วิธีช่วงเวลาโซลูชั่น:
คำตอบ: $(-∞;-5]U)