Formler för rötterna till en andragradsekvation. Fallen med verkliga, multipla och komplexa rötter beaktas. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium. Geometrisk tolkning. Exempel på bestämning av rötter och faktorisering.

Grundläggande formler

Tänk på andragradsekvationen:
(1) .
Rötterna till en andragradsekvation(1) bestäms av formlerna:
; .
Dessa formler kan kombineras så här:
.
När rötterna till andragradsekvationen är kända, kan polynomet av andra graden representeras som en produkt av faktorer (faktoriserat):
.

Vidare antar vi att det är reella tal.
Överväga diskriminant av en andragradsekvation:
.
Om diskriminanten är positiv har andragradsekvationen (1) två olika reella rötter:
; .
Då har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Om diskriminanten är noll, har andragradsekvationen (1) två multipla (lika) reella rötter:
.
Faktorisering:
.
Om diskriminanten är negativ har andragradsekvationen (1) två komplexa konjugerade rötter:
;
.
Här är den imaginära enheten, ;
och är de verkliga och imaginära delarna av rötterna:
; .
Sedan

.

Grafisk tolkning

Om vi ​​plottar funktionen
,
som är en parabel, då kommer skärningspunkterna för grafen med axeln att vara rötterna till ekvationen
.
När , skär grafen abskissaxeln (axeln) vid två punkter.
När , vidrör grafen x-axeln vid en punkt.
När , korsar grafen inte x-axeln.

Nedan finns exempel på sådana grafer.

Användbara formler relaterade till kvadratiska ekvation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Vi utför transformationer och tillämpar formler (f.1) och (f.3):




,
var
; .

Så vi fick formeln för polynomet av andra graden i formen:
.
Av detta kan man se att ekvationen

uppträdde kl
och .
Det vill säga, och är rötterna till andragradsekvationen
.

Exempel på att bestämma rötterna till en andragradsekvation

Exempel 1

(1.1) .

Lösning

.
Jämför vi med vår ekvation (1.1) hittar vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är positiv har ekvationen två reella rötter:
;
;
.

Härifrån får vi nedbrytningen av kvadrattrinomialet i faktorer:

.

Graf över funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 korsar x-axeln i två punkter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar x-axeln (axeln) vid två punkter:
och .
Dessa punkter är rötterna till den ursprungliga ekvationen (1.1).

Svar

;
;
.

Exempel 2

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(2.1) .

Lösning

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
.
Jämför vi med den ursprungliga ekvationen (2.1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är noll har ekvationen två multipla (lika) rötter:
;
.

Då har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf för funktionen y = x 2 - 4 x + 4 vidrör x-axeln vid en punkt.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den berör x-axeln (axeln) vid en punkt:
.
Denna punkt är roten till den ursprungliga ekvationen (2.1). Eftersom denna rot faktoriseras två gånger:
,
då kallas en sådan rot en multipel. Det vill säga, de anser att det finns två lika rötter:
.

Svar

;
.

Exempel 3

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(3.1) .

Lösning

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
(1) .
Låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen (3.1):
.
Jämför vi med (1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Diskriminanten är negativ, . Därför finns det inga riktiga rötter.

Du kan hitta komplexa rötter:
;
;
.

Sedan


.

Grafen för funktionen korsar inte x-axeln. Det finns inga riktiga rötter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar inte abskissan (axeln). Därför finns det inga riktiga rötter.

Svar

Det finns inga riktiga rötter. Komplexa rötter:
;
;
.

Bibliografisk beskrivning: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metoder för att lösa andragradsekvationer // Ung vetenskapsman. - 2016. - Nej 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Vårt projekt är dedikerat till sätten att lösa andragradsekvationer. Syftet med projektet: att lära sig att lösa andragradsekvationer på sätt som inte ingår i skolans läroplan. Uppgift: hitta alla möjliga sätt att lösa andragradsekvationer och lära dig att använda dem själv och introducera klasskamrater till dessa metoder.

Vad är "kvadratiska ekvationer"?

Andragradsekvation- formens ekvation yxa2 + bx + c = 0, var a, b, c- några siffror ( a ≠ 0), x- okänd.

Talen a, b, c kallas andragradsekvationens koefficienter.

• a kallas den första koefficienten;
• b kallas den andra koefficienten;
• c - gratis medlem.

Och vem var den första som "uppfann" andragradsekvationer?

Vissa algebraiska tekniker för att lösa linjära och andragradsekvationer var kända så tidigt som för 4000 år sedan i det antika Babylon. De funna forntida babyloniska lertavlor, daterade någonstans mellan 1800 och 1600 f.Kr., är det tidigaste beviset på studiet av andragradsekvationer. Samma tabletter innehåller metoder för att lösa vissa typer av andragradsekvationer.

Behovet av att lösa ekvationer inte bara av den första, utan också av den andra graden i antiken orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta områden med land och markarbeten av militär natur, såväl som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig.

Regeln för att lösa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det är inte känt hur babylonierna kom till denna regel. Nästan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med lösningar angivna i form av recept, utan indikation på hur de hittats. Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allmänna metoder för att lösa andragradsekvationer.

Babyloniska matematiker från omkring 300-talet f.Kr. använde kvadratkomplementmetoden för att lösa ekvationer med positiva rötter. Omkring 300 f.Kr. Euclid kom på en mer allmän geometrisk lösningsmetod. Den första matematikern som hittade lösningar på en ekvation med negativa rötter i form av en algebraisk formel var en indisk vetenskapsman. Brahmagupta(Indien, 700-talet e.Kr.).

Brahmagupta beskrev en allmän regel för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>0

I denna ekvation kan koefficienterna vara negativa. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med vårt.

I Indien var offentliga tävlingar för att lösa svåra problem vanliga. I en av de gamla indiska böckerna sägs följande om sådana tävlingar: "Som solen överglänser stjärnorna med sin briljans, så kommer en lärd person att överglänsa äran i offentliga möten, föreslå och lösa algebraiska problem." Uppgifterna var ofta klädda i poetisk form.

I en algebraisk avhandling Al-Khwarizmi en klassificering av linjära och andragradsekvationer ges. Författaren listar 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt följande:

1) "Kvadrater är lika med rötter", dvs ax2 = bx.

2) "Kvadrater är lika med tal", dvs ax2 = c.

3) "Rötterna är lika med antalet", dvs ax2 = c.

4) "Kvadrater och tal är lika med rötter", dvs ax2 + c = bx.

5) "Kvadrater och rötter är lika med tal", dvs ax2 + bx = c.

6) "Rötter och tal är lika med kvadrater", dvs bx + c == ax2.

För Al-Khwarizmi, som undvek användningen av negativa tal, är termerna för var och en av dessa ekvationer adderingar, inte subtraktioner. I detta fall tas uppenbarligen inte hänsyn till ekvationer som inte har positiva lösningar. Författaren beskriver metoderna för att lösa dessa ekvationer med hjälp av teknikerna al-jabr och al-muqabala. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med vårt. För att inte tala om det faktum att det är rent retoriskt, det bör till exempel noteras att när man löser en ofullständig andragradsekvation av den första typen tar Al-Khwarizmi, liksom alla matematiker före 1600-talet, inte hänsyn till nollan. lösning, förmodligen för att det i specifika praktiska uppgifter inte spelar någon roll. När man löser fullständiga andragradsekvationer, anger Al-Khwarizmi reglerna för att lösa dem med hjälp av speciella numeriska exempel, och sedan deras geometriska bevis.

Former för att lösa andragradsekvationer på modellen av Al-Khwarizmi i Europa beskrevs först i "Abacusboken", skriven 1202. italiensk matematiker Leonard Fibonacci. Författaren utvecklade självständigt några nya algebraiska exempel på problemlösning och var den första i Europa som närmade sig införandet av negativa tal.

Denna bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien utan även i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder. Många uppgifter från denna bok överfördes till nästan alla europeiska läroböcker på 1300-1600-talen. Den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form x2 + bx = c med alla möjliga kombinationer av tecken och koefficienter b, c, formulerades i Europa 1544. M. Stiefel.

Vieta har en allmän härledning av formeln för att lösa en andragradsekvation, men Vieta kände bara igen positiva rötter. italienska matematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli bland de första på 1500-talet. ta hänsyn, förutom positiva, och negativa rötter. Endast under XVII-talet. tack vare arbetet Girard, Descartes, Newton och andra vetenskapsmän antar sättet att lösa andragradsekvationer en modern form.

Fundera på flera sätt att lösa andragradsekvationer.

Standardsätt att lösa andragradsekvationer från skolans läroplan:

1. Faktorisering av vänster sida av ekvationen.
2. Hel kvadratisk urvalsmetod.
3. Lösning av andragradsekvationer med formel.
4. Grafisk lösning av en andragradsekvation.
5. Lösning av ekvationer med hjälp av Vietas sats.

Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid lösningen av reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer med hjälp av Vieta-satsen.

Kom ihåg att för att lösa ovanstående kvadratiska ekvationer räcker det att hitta två tal så att produkten av vilka är lika med den fria termen och summan är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken.

Exempel.x 2 -5x+6=0

Du måste hitta siffror vars produkt är 6 och summan är 5. Dessa siffror blir 3 och 2.

Svar: x 1 =2, x 2 =3.

Men du kan använda den här metoden för ekvationer där den första koefficienten inte är lika med en.

Exempel.3x 2 +2x-5=0

Vi tar den första koefficienten och multiplicerar den med den fria termen: x 2 +2x-15=0

Rötterna till denna ekvation kommer att vara tal vars produkt är - 15, och summan är - 2. Dessa tal är 5 och 3. För att hitta rötterna till den ursprungliga ekvationen dividerar vi de erhållna rötterna med den första koefficienten.

Svar: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lösning av ekvationer med metoden "överföring".

Betrakta andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0, där a≠0.

Om vi ​​multiplicerar båda dess delar med a får vi ekvationen a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Låt ax = y, varav x = y/a; då kommer vi fram till ekvationen y 2 + by + ac = 0, vilket är ekvivalent med den givna. Vi hittar dess rötter vid 1 och vid 2 med hjälp av Vieta-satsen.

Slutligen får vi x 1 = y 1 /a och x 2 = y 2 /a.

Med denna metod multipliceras koefficienten a med den fria termen, som om den "överförs" till den, därför kallas den "överföringsmetoden". Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Exempel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Låt oss "överföra" koefficienten 2 till den fria termen och genom att byta ut får vi ekvationen y 2 - 11y + 30 = 0.

Enligt Vietas inversa sats

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Svar: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Egenskaper för koefficienterna för en andragradsekvation.

Låt andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ges.

1. Om a + b + c \u003d 0 (dvs summan av ekvationens koefficienter är noll), då x 1 \u003d 1.

2. Om a - b + c \u003d 0, eller b \u003d a + c, då x 1 \u003d - 1.

Exempel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Sedan a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), sedan x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Svar: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exempel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Därför att a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), sedan x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Svar: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Det finns andra egenskaper hos koefficienterna för en andragradsekvation. men deras användning är mer komplicerad.

8. Lösa andragradsekvationer med hjälp av ett nomogram.

Fig 1. Nomogram

Detta är en gammal och för närvarande bortglömd metod för att lösa andragradsekvationer, placerad på s. 83 i samlingen: Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. - M., utbildning, 1990.

Tabell XXII. Nomogram för ekvationslösning z2 + pz + q = 0. Detta nomogram tillåter, utan att lösa andragradsekvationen, att bestämma ekvationens rötter genom dess koefficienter.

Nomogrammets kurvlinjära skala är uppbyggd enligt formlerna (Fig. 1):

Förutsatt OS = p, ED = q, OE = a(alla i cm), från fig. 1 likhet av trianglar SAN och CDF vi får andelen

varifrån, efter substitutioner och förenklingar, ekvationen följer z 2 + pz + q = 0, och brevet z betyder etiketten för valfri punkt på den böjda skalan.

Ris. 2 Lösa en andragradsekvation med hjälp av ett nomogram

Exempel.

1) För ekvationen z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrammet ger rötterna z 1 = 8,0 och z 2 = 1,0

Svar: 8,0; 1.0.

2) Lös ekvationen med hjälp av nomogrammet

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Dividera koefficienterna för denna ekvation med 2, vi får ekvationen z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogrammet ger rötterna z 1 = 4 och z 2 = 0,5.

Svar: 4; 0,5.

9. Geometrisk metod för att lösa andragradsekvationer.

Exempel.X 2 + 10x = 39.

I originalet är detta problem formulerat enligt följande: "Kvadraten och tio rötter är lika med 39."

Tänk på en kvadrat med sidan x, rektanglar är byggda på dess sidor så att den andra sidan av var och en av dem är 2,5, därför är strandens yta 2,5x. Den resulterande siffran kompletteras sedan med en ny kvadrat ABCD, fyra lika stora rutor fylls i hörnen, sidan på var och en av dem är 2,5 och arean är 6,25

Ris. 3 Grafiskt sätt att lösa ekvationen x 2 + 10x = 39

Arean S av kvadrat ABCD kan representeras som summan av ytorna: den ursprungliga kvadraten x 2, fyra rektanglar (4∙2,5x = 10x) och fyra bifogade kvadrater (6,25∙4 = 25), d.v.s. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Genom att ersätta x 2 + 10x med talet 39 får vi att S \u003d 39 + 25 \u003d 64, vilket innebär att sidan av kvadraten ABCD, dvs. segment AB \u003d 8. För den önskade sidan x av den ursprungliga kvadraten får vi

10. Lösning av ekvationer med Bezouts sats.

Bezouts teorem. Återstoden efter att ha dividerat polynomet P(x) med binomet x - α är lika med P(α) (det vill säga värdet av P(x) vid x = α).

Om talet α är roten till polynomet P(x), så är detta polynom delbart med x -α utan rest.

Exempel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Dividera P(x) med (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, eller x-3=0, x=3; Svar: x1 =2, x2 =3.

Slutsats: Förmågan att snabbt och rationellt lösa andragradsekvationer är helt enkelt nödvändig för att lösa mer komplexa ekvationer, till exempel rationella bråkekvationer, ekvationer med högre potenser, biquadratiska ekvationer och i gymnasiet trigonometriska, exponentiella och logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat alla metoder som hittats för att lösa andragradsekvationer, kan vi råda klasskamrater, förutom standardmetoder, att lösa med överföringsmetoden (6) och lösa ekvationer med egenskapen koefficienter (7), eftersom de är mer tillgängliga för förståelse .

Litteratur:

1. Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. - M., utbildning, 1990.
2. Algebra årskurs 8: lärobok för årskurs 8. Allmän utbildning institutioner Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15:e uppl., reviderad. - M.: Upplysning, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. En guide för lärare. / Ed. V.N. Yngre. - M.: Upplysningen, 1964.

Användningen av ekvationer är utbredd i våra liv. De används i många beräkningar, konstruktion av strukturer och till och med sport. Ekvationer har använts av människan sedan urminnes tider, och sedan dess har användningen bara ökat. Diskriminanten låter dig lösa alla andragradsekvationer med den allmänna formeln, som har följande form:

Diskriminantformeln beror på graden av polynomet. Ovanstående formel är lämplig för att lösa andragradsekvationer av följande form:

Diskriminanten har följande egenskaper som du behöver känna till:

* "D" är 0 när polynomet har flera rötter (lika rötter);

* "D" är ett symmetriskt polynom med avseende på polynomets rötter och är därför ett polynom i sina koefficienter; dessutom är koefficienterna för detta polynom heltal, oavsett i vilken utsträckning rötterna är tagna.

Antag att vi får en andragradsekvation av följande form:

1 ekvation

Enligt formeln har vi:

Sedan \, då har ekvationen 2 rötter. Låt oss definiera dem:

Var kan jag lösa ekvationen genom den diskriminerande onlinelösaren?

Du kan lösa ekvationen på vår hemsida https: // site. Gratis onlinelösare låter dig lösa en onlineekvation av vilken komplexitet som helst på några sekunder. Allt du behöver göra är att ange dina data i lösaren. Du kan också titta på videoinstruktionen och lära dig hur du löser ekvationen på vår hemsida. Och om du har några frågor kan du ställa dem i vår Vkontakte-grupp http://vk.com/pocketteacher. Gå med i vår grupp, vi hjälper dig alltid.

Kvadratisk ekvation. Diskriminerande. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Typer av andragradsekvationer

Vad är en andragradsekvation? Vad ser det ut som? I sikt andragradsekvation nyckelordet är "fyrkant". Det betyder att i ekvationen nödvändigtvis det måste finnas ett x-kvadrat. Utöver det kan det i ekvationen finnas (eller kanske inte finns!) Bara x (till första graden) och bara ett tal (gratis medlem). Och det ska inte finnas x i en grad större än två.

I matematiska termer är en andragradsekvation en ekvation av formen:

Här a, b och c- några siffror. b och c- absolut vilken som helst, men a- allt annat än noll. Till exempel:

Här a =1; b = 3; c = -4

Här a =2; b = -0,5; c = 2,2

Här a =-3; b = 6; c = -18

Tja, ni fattar...

I dessa andragradsekvationer, till vänster, finns det hela uppsättningen medlemmar. x kvadrat med koefficient a, x till den första potensen med koefficient b och gratis medlem av

Sådana andragradsekvationer kallas komplett.

Tänk om b= 0, vad får vi? Vi har X kommer att försvinna i första graden. Detta sker genom att multiplicera med noll.) Det visar sig till exempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Etc. Och om båda koefficienterna b och cär lika med noll, då är det ännu enklare:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Sådana ekvationer, där något saknas, kallas ofullständiga andragradsekvationer. Vilket är ganska logiskt.) Observera att x i kvadrat finns i alla ekvationer.

Förresten varför a kan inte vara noll? Och du ersätter istället a noll.) X:et i rutan försvinner! Ekvationen blir linjär. Och det är gjort annorlunda...

Det är alla huvudtyperna av andragradsekvationer. Komplett och ofullständig.

Lösning av andragradsekvationer.

Lösning av kompletta andragradsekvationer.

Andragradsekvationer är lätta att lösa. Enligt formler och tydliga enkla regler. I det första steget är det nödvändigt att föra den givna ekvationen till standardformen, dvs. till utsikten:

Om ekvationen redan ges till dig i det här formuläret, behöver du inte göra det första steget.) Det viktigaste är att korrekt bestämma alla koefficienter, a, b och c.

Formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation ser ut så här:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminerande. Men mer om honom nedan. Som du kan se använder vi för att hitta x endast a, b och c. De där. koefficienter från andragradsekvationen. Byt bara ut värdena försiktigt a, b och c i denna formel och räkna. Ersättning med dina tecken! Till exempel i ekvationen:

a =1; b = 3; c= -4. Här skriver vi:

Exempel nästan löst:

Detta är svaret.

Allt är väldigt enkelt. Och vad tror du, du kan inte gå fel? Ja, hur...

De vanligaste misstagen är förväxling med tecken på värden a, b och c. Eller snarare, inte med deras tecken (var finns det att bli förvirrad?), utan med ersättning av negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Här sparas en detaljerad förteckning över formeln med specifika siffror. Om det finns problem med beräkningar, så gör det!

Anta att vi behöver lösa följande exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Låt oss säga att du vet att du sällan får svar första gången.

Var inte lat. Det tar 30 sekunder att skriva en extra rad och antalet fel kommer att sjunka kraftigt. Så vi skriver i detalj, med alla parenteser och tecken:

Det verkar otroligt svårt att måla så noggrant. Men det verkar bara. Försök. Tja, eller välj. Vilket är bättre, snabbt eller rätt? Dessutom kommer jag att göra dig lycklig. Efter ett tag kommer det inte att finnas något behov av att måla allt så noggrant. Det kommer bara att bli rätt. Speciellt om du tillämpar praktiska tekniker, som beskrivs nedan. Detta onda exempel med en massa minus kommer att lösas enkelt och utan fel!

Men ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Visste du?) Ja! Det ofullständiga andragradsekvationer.

Lösning av ofullständiga andragradsekvationer.

De kan också lösas med den allmänna formeln. Du behöver bara ta reda på vad som är lika här a, b och c.

Insett? I det första exemplet a = 1; b = -4; a c? Det finns inte alls! Jo, det stämmer. I matematik betyder det det c = 0 ! Det är allt. Ersätt noll i formeln istället för c, och allt kommer att lösa sig för oss. Likadant med det andra exemplet. Bara noll har vi inte här Med, a b !

Men ofullständiga andragradsekvationer kan lösas mycket lättare. Utan några formler. Betrakta den första ofullständiga ekvationen. Vad kan göras på vänster sida? Du kan ta X:et ur parentes! Låt oss ta ut den.

Och vad sägs om det? Och det faktum att produkten är lika med noll om, och bara om någon av faktorerna är lika med noll! Tror du inte? Tja, kom då på två icke-nolltal som, när de multipliceras, ger noll!
Fungerar inte? Något...
Därför kan vi med tillförsikt skriva: x 1 = 0, x 2 = 4.

Allt. Dessa kommer att vara rötterna till vår ekvation. Båda passar. När vi substituerar någon av dem i den ursprungliga ekvationen får vi den korrekta identiteten 0 = 0. Som du kan se är lösningen mycket enklare än den allmänna formeln. Jag noterar förresten vilket X som kommer att vara det första och vilket det andra - det är absolut likgiltigt. Lätt att skriva i ordning x 1- beroende på vilket som är mindre x 2- det som är mer.

Den andra ekvationen kan också enkelt lösas. Vi flyttar 9 till höger sida. Vi får:

Det återstår att extrahera roten från 9, och det är det. Skaffa sig:

också två rötter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Så här löses alla ofullständiga andragradsekvationer. Antingen genom att ta X från parentes, eller genom att helt enkelt överföra numret till höger, följt av att extrahera roten.
Det är extremt svårt att blanda ihop dessa metoder. Helt enkelt för att du i det första fallet måste extrahera roten från X, vilket på något sätt är obegripligt, och i det andra fallet finns det inget att ta ur parentes ...

Diskriminerande. Diskriminerande formel.

magiskt ord diskriminerande ! En sällsynt gymnasieelev har inte hört detta ord! Frasen "besluta genom diskriminanten" är lugnande och lugnande. För det finns ingen anledning att vänta på tricks från diskriminanten! Det är enkelt och problemfritt att använda.) Jag påminner dig om den mest allmänna formeln för att lösa några Kvadratisk ekvation:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminant. Diskriminanten betecknas vanligtvis med bokstaven D. Diskriminerande formel:

D = b 2 - 4ac

Och vad är det som är så speciellt med detta uttryck? Varför förtjänar den ett speciellt namn? Vad betydelsen av diskriminanten? Trots allt -b, eller 2a i den här formeln namnger de inte specifikt ... Bokstäver och bokstäver.

Poängen är detta. När man löser en andragradsekvation med denna formel är det möjligt endast tre fall.

1. Diskriminanten är positiv. Det betyder att du kan extrahera roten från den. Om roten utvinns bra eller dåligt är en annan fråga. Det är viktigt vad som tas ut i princip. Då har din andragradsekvation två rötter. Två olika lösningar.

2. Diskriminanten är noll. Då har du en lösning. Eftersom att addera eller subtrahera noll i täljaren ändrar ingenting. Strängt taget är detta inte en enda rot, men två identiska. Men i en förenklad version är det vanligt att tala om en lösning.

3. Diskriminanten är negativ. Ett negativt tal tar inte kvadratroten. Okej. Det betyder att det inte finns några lösningar.

För att vara ärlig, med en enkel lösning av andragradsekvationer krävs egentligen inte begreppet diskriminant. Vi ersätter värdena för koefficienterna i formeln och vi överväger. Där visar sig allt av sig självt, och två rötter, och en, och inte en enda. Dock när man löser mer komplexa uppgifter, utan kunskap mening och diskriminerande formel inte tillräckligt. Speciellt - i ekvationer med parametrar. Sådana ekvationer är aerobatik för GIA och Unified State Examination!)

Så, hur man löser andragradsekvationer genom diskriminanten du kom ihåg. Eller lärt sig, vilket inte heller är dåligt.) Du vet hur man korrekt identifierar a, b och c. Vet du hur försiktigt ersätt dem i rotformeln och försiktigt räkna resultatet. Förstod du att nyckelordet här är - försiktigt?

Notera nu de praktiska teknikerna som dramatiskt minskar antalet fel. Just de som beror på ouppmärksamhet ... För vilka det sedan är smärtsamt och förolämpande ...

Första mottagningen . Var inte lat innan du löser en andragradsekvation för att få den till en standardform. Vad betyder det här?
Anta att du efter några transformationer får följande ekvation:

Skynda dig inte att skriva formeln för rötterna! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen a, b och c. Bygg exemplet rätt. Först x kvadrat, sedan utan kvadrat, sedan en fri medlem. Så här:

Och återigen, skynda inte! Minuset före x-rutan kan störa dig mycket. Att glömma det är lätt... Bli av med minuset. Hur? Ja, som lärde ut i föregående ämne! Vi måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Och nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, beräkna diskriminanten och slutföra exemplet. Bestäm själv. Du bör sluta med rötterna 2 och -1.

Andra mottagningen. Kontrollera dina rötter! Enligt Vietas sats. Oroa dig inte, jag ska förklara allt! Kontroll sista sak ekvationen. De där. den med vilken vi skrev ner formeln för rötterna. Om (som i detta exempel) koefficienten a = 1, kolla rötterna lätt. Det räcker att multiplicera dem. Du bör få en fri termin, d.v.s. i vårt fall -2. Var uppmärksam, inte 2, utan -2! gratis medlem med din skylt . Om det inte fungerade betyder det att de redan trasslat till någonstans. Leta efter ett fel.

Om det löste sig måste du vika rötterna. Sista och sista kontrollen. Bör vara ett förhållande b Med motsatt tecken. I vårt fall -1+2 = +1. En koefficient b, som är före x, är lika med -1. Så allt stämmer!
Det är synd att det är så enkelt bara för exempel där x i kvadrat är rent, med en koefficient a = 1. Men kolla åtminstone in sådana ekvationer! Det blir färre misstag.

Mottagning tredje . Om din ekvation har bråkkoefficienter, bli av med bråken! Multiplicera ekvationen med den gemensamma nämnaren som beskrivs i lektionen "Hur man löser ekvationer? Identitetstransformationer". När du arbetar med bråk, fel, av någon anledning, klättra ...

Jag lovade förresten ett ont exempel med en massa minus för att förenkla. Snälla du! Här är han.

För att inte bli förvirrade i minusen multiplicerar vi ekvationen med -1. Vi får:

Det är allt! Att bestämma sig är kul!

Så låt oss sammanfatta ämnet.

Praktiska tips:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardformen, bygger den höger.

2. Om det finns en negativ koefficient framför x i kvadraten, eliminerar vi den genom att multiplicera hela ekvationen med -1.

3. Om koefficienterna är bråktal, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med motsvarande faktor.

4. Om x i kvadrat är ren är koefficienten för den lika med ett, lösningen kan enkelt kontrolleras med Vietas sats. Gör det!

Nu kan du bestämma dig.)

Lös ekvationer:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i oordning):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - vilket nummer som helst

x 1 = -3
x 2 = 3

inga lösningar

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Stämmer allt? Excellent! Andragradsekvationer är inte din huvudvärk. De tre första visade sig, men resten gjorde det inte? Då ligger problemet inte i andragradsekvationer. Problemet ligger i identiska transformationer av ekvationer. Ta en titt på länken, den är till hjälp.

Funkar det inte riktigt? Eller fungerar det inte alls? Då hjälper dig Section 555. Där är alla dessa exempel sorterade efter ben. Som visar huvud fel i lösningen. Naturligtvis beskrivs också tillämpningen av identiska transformationer för att lösa olika ekvationer. Hjälper mycket!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Omvandlingen av en komplett andragradsekvation till en ofullständig ser ut så här (för fallet \(b=0\)):

För fall när \(c=0\) eller när båda koefficienterna är lika med noll, är allt liknande.

Observera att \(a\) inte är lika med noll, det kan inte vara lika med noll, eftersom det i det här fallet blir till:

Lösning av ofullständiga andragradsekvationer.

Först och främst måste du förstå att den ofullständiga andragradsekvationen fortfarande är kvar, därför kan den lösas på samma sätt som den vanliga andragradsekvationen (genom). För att göra detta lägger vi helt enkelt till den saknade komponenten i ekvationen med en nollkoefficient.

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(3x^2-27=0\)
Lösning :

		Vi har en ofullständig andragradsekvation med koefficienten \(b=0\). Det vill säga, vi kan skriva ekvationen i följande form:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Här är faktiskt samma ekvation som i början, men nu kan den lösas som en vanlig kvadrat. Först skriver vi ner koefficienterna.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Beräkna diskriminanten med formeln \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Låt oss hitta rötterna till ekvationen med hjälp av formlerna \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) och \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Skriv ner svaret

Svar : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(-x^2+x=0\)
Lösning :

		Återigen, en ofullständig andragradsekvation, men nu är koefficienten \(c\) lika med noll. Vi skriver ekvationen som komplett.