Grafen för kubrotfunktionen. Potensfunktion och rötter - definition, egenskaper och formler

Killar, vi fortsätter att studera maktfunktioner. Ämnet för dagens lektion kommer att vara en funktion - kubroten av x. Vad är en kubrot? Talet y kallas kubroten av x (roten av tredje graden) om likheten är uppfylld Beteckna:, där x är radikaltalet, 3 är exponenten.

Som vi kan se kan kubroten också extraheras från negativa tal. Det visar sig att vår rot finns för alla tal. Den tredje roten av ett negativt tal är lika med ett negativt tal. När det höjs till en udda potens bevaras tecknet, den tredje potensen är udda. Låt oss kontrollera jämställdheten: Låt oss. Vi höjer båda uttrycken till tredje potens. Då eller I rötternas notation får vi den önskade identiteten.

Killar, låt oss planera vår funktion nu. 1) Definitionsdomänen är uppsättningen av reella tal. 2) Funktionen är udda, eftersom vi sedan betraktar vår funktion vid x 0, varefter vi reflekterar grafen i förhållande till origo. 3) Funktionen ökar vid x 0. För vår funktion motsvarar ett större värde på argumentet ett större värde på funktionen, vilket innebär en ökning. 4) Funktionen är inte begränsad från ovan. I själva verket, från vad som helst ett stort antal vi kan beräkna roten till tredje graden, och vi kan gå upp till oändligheten och hitta allt större värden på argumentet. 5) För x 0 är det minsta värdet 0. Denna egenskap är uppenbar.

Låt oss bygga vår graf över funktionen på hela definitionsdomänen. Kom ihåg att vår funktion är udda. Funktionsegenskaper: 1) D(y)=(-;+) 2) udda funktion. 3) Ökar med (-;+) 4) Obegränsat. 5) Det finns inget minimi- eller maxvärde. 6) Funktionen är kontinuerlig på hela den verkliga linjen. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Konvex ner med (-; 0), konvex upp med (0; +).

Exempel. Plotta funktionen och läs den. Beslut. Låt oss bygga två grafer av funktioner på samma koordinatplan, med hänsyn till våra förhållanden. Vid x-1 bygger vi en graf över kubroten, vid x-1 en graf över en linjär funktion. 1) D(y)=(-;+) 2) Funktionen är varken jämn eller udda. 3) Minskar med (-;-1), ökar med (-1;+) 4) Obegränsat uppifrån, begränsat underifrån. 5) Största värdet Nej. Lägsta värdeär lika med minus ett. 6) Funktionen är kontinuerlig på hela den verkliga linjen. 7) E(y)= (-1;+)

Istället för en introduktion

Användningen av modern teknologi (CSE) och läromedel (multimediatavla) i lektionerna hjälper läraren att planera och genomföra effektiva lektioner, skapa förutsättningar för eleverna att förstå, memorera och öva färdigheter.

Lektionen visar sig vara dynamisk och intressant om man kombinerar olika former av lärande under lektionen.

I modern didaktik finns fyra allmänna organisationsformer inlärning:

• individuellt förmedlad;
• ångbastu;
• grupp;

kollektiv (i par av utbytbar sammansättning). (Dyachenko V.K. Modern didaktik. - M .: Nationell utbildning, 2005).

I en traditionell lektion används i regel endast de tre första organisatoriska utbildningsformerna som anges ovan. kollektiv form undervisning (arbete i parskift) används praktiskt taget inte av läraren. Men denna organisatoriska form av lärande gör det möjligt för teamet att träna var och en att aktivt delta i utbildningen av andra. Den kollektiva utbildningsformen är den ledande inom CSR-teknik.

En av de vanligaste metoderna för tekniken för det kollektiva sättet att lära är metoden för "Ömsesidig träning".

Denna "magiska" teknik är bra i alla ämnen och i alla lektioner. Syftet är träning.

Träning är efterföljaren till självkontroll, den hjälper studenten att etablera sin kontakt med studieämnet, vilket gör det lättare att hitta rätt steg-åtgärder. Genom träning i förvärv, konsolidering, omgruppering, revision, tillämpning av kunskap sker utvecklingen av mänskliga kognitiva förmågor. (Yanovitskaya E.V. Hur man undervisar och lär i klassrummet så att du vill lära dig. Uppslagsbok. - St. Petersburg: Utbildningsprojekt, M.: Utgivare A.M. Kushnir, 2009.-s.14;131)

Det kommer att hjälpa till att snabbt upprepa vilken regel som helst, komma ihåg svaren på de studerade frågorna, konsolidera den nödvändiga skickligheten. Den optimala tiden för att arbeta enligt metoden är 5-10 minuter. Som regel utförs arbetet med träningskort under muntlig räkning, det vill säga i början av lektionen, men efter lärarens gottfinnande kan det utföras i vilket skede som helst av lektionen, beroende på dess mål och strukturera. I träningskortet kan det finnas från 5 till 10 enkla exempel (frågor, uppgifter). Varje elev i klassen får ett kort. Korten är olika för alla eller olika för alla i den "konsoliderade truppen" (barn som sitter på samma rad). En konsoliderad detachement (grupp) är ett tillfälligt samarbete mellan studenter som bildas för att utföra en specifik utbildningsuppgift. (Yalovets T.V. Tekniken för den kollektiva undervisningsmetoden i professionell utveckling av läraren: Pedagogisk och metodologisk manual. - Novokuznetsk: Publishing House of IPK, 2005. - P. 122)

Lektionsprojekt om ämnet "Funktion y=, dess egenskaper och graf"

I lektionens projekt, vars ämne är: " Funktion y=, dess egenskaper och graf” Användningen av tekniken för ömsesidig träning i kombination med användning av traditionella och multimediala läromedel presenteras.

Lektionens ämne: " Funktion y=, dess egenskaper och graf”

Mål:

• förberedelse för kontrollarbete;
• kontrollera kunskapen om alla egenskaper hos en funktion och förmågan att rita funktionsgrafer och läsa deras egenskaper.

Uppgifter: ämnesnivå:

överämnesnivå:

• lära sig att analysera grafisk information;
• utveckla förmågan att föra en dialog;
• utveckla förmågan och skickligheten att arbeta med en interaktiv whiteboard med hjälp av exemplet att arbeta med grafer.

Lektionens struktur	Tid
1. Informationsinmatning från läraren (ITI)	5 minuter.
2. Förverkligande av grundläggande kunskaper: arbeta i parskift enligt metodiken “Ömsesidig träning”	8 min.
3. Bekantskap med ämnet "Funktion y=, dess egenskaper och graf": lärarens presentation	8 min.
4. Konsolidering av det nyligen studerade och redan godkända materialet om ämnet "Funktion": med hjälp av en interaktiv whiteboard	15 minuter.
5. Självkontroll : i form av ett test	7 min.
6. Sammanfattning, spela in läxor.	2 minuter.

Låt oss ta en närmare titt på innehållet i varje steg.

1. Lärarinformationsinmatning (ITI) inkluderar Organisera tid; uttrycka ämnet, syftet och lektionsplanen; visar ett urval av arbete i par enligt metoden för ömsesidig träning.

Demonstration av ett urval av arbete i par av elever i detta skede av lektionen är tillrådligt att upprepa algoritmen för arbetet med den teknik vi behöver, eftersom. i nästa skede av lektionen planeras hela klassteamets arbete på det. Samtidigt kan du namnge felen i arbetet enligt algoritmen (om några), samt utvärdera dessa elevers arbete.

2. Aktualisering av referenskunskaper utförs i par av skiftsammansättning enligt metoden för ömsesidig träning.

Metodikens algoritm inkluderar individuella, par (statiska par) och kollektiva (par av skiftsammansättning) organisatoriska träningsformer.

Individuell: alla som får kortet bekantar sig med dess innehåll (läser frågorna och svaren på kortets baksida).

• först(i rollen som "praktikant") läser uppgiften och svarar på frågorna på partnerns kort;
• andra(i rollen som "coach") - kontrollerar korrektheten av svaren på baksidan av kortet;
• på liknande sätt arbeta på ett annat kort, byta roller;
• gör ett märke i ett individuellt ark och byt kort;
• gå vidare till ett nytt par.

Kollektiv:

• i det nya paret fungerar de som i det första; övergång till ett nytt par osv.

Antalet övergångar beror på den tid läraren avsatt för detta stadium lektion, från varje elevs flit och snabbhet i förståelsen och från partners i samarbete.

Efter att ha arbetat i par sätter eleverna märken på journalbladen, läraren gör en kvantitativ och kvalitativ analys av arbetet.

Listan kan se ut så här:

Ivanov Petya 7 "b" klass

datumet	Kortnummer	Antal misstag	Vem arbetade du med
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Bekantskap med ämnet ”Funktionen y =, dess egenskaper och graf” utförs av läraren i form av en presentation med hjälp av multimediala lärandeverktyg (bilaga 4). Å ena sidan är detta ett visualiseringsalternativ som är förståeligt för moderna elever, å andra sidan sparar det tid på att förklara nytt material.

4. Konsolidering av det nyligen studerade och redan godkända materialet på ämnet "Funktion ” organiserad i två versioner, med traditionella läromedel (tavla, lärobok) och innovativ (interaktiv skrivtavla).

Först erbjuds flera uppgifter från läroboken för att konsolidera det nystuderade materialet. Den lärobok som används för undervisningen används. Arbetet utförs samtidigt med hela klassen. I det här fallet utför en elev uppgiften "a" - på en traditionell tavla; den andra är uppgift "b" på den interaktiva skrivtavlan, resten av eleverna skriver ner lösningarna för samma uppgifter i en anteckningsbok och jämför sin lösning med lösningen som presenteras på tavlor. Därefter utvärderar läraren elevernas arbete vid svarta tavlan.

Sedan, för att snabbare konsolidera det studerade materialet om ämnet "Funktion", föreslås frontalarbete med en interaktiv whiteboard, som kan organiseras enligt följande:

• uppgiften och schemat visas på den interaktiva skrivtavlan;
• en elev som vill svara går till tavlan, utför nödvändiga konstruktioner och uttalar svaret;
• en ny uppgift och ett nytt schema visas på tavlan;
• En annan elev kommer ut för att svara.

På kort tid är det alltså möjligt att lösa ganska många uppgifter, för att utvärdera elevernas svar. Vissa uppgifter av intresse (liknande uppgifter från kommande kontrollarbete), kan spelas in i en anteckningsbok.

5. På självkontrollstadiet erbjuds eleverna ett prov följt av självgranskning (bilaga 3).

Litteratur

1. Dyachenko, V.K. Modern didaktik [Text] / V.K. Dyachenko - M.: Folkbildning, 2005.
2. Yalovets, T.V. Tekniken för den kollektiva undervisningsmetoden i lärarens professionella utveckling: Pedagogisk och metodisk manual [Text] / T.V. Yalovets. - Novokuznetsk: IPC Publishing House, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Hur man undervisar och lär sig i klassrummet så att man vill lära sig. Referensbok [Text] / E.V. Yanovitskaya. - St. Petersburg: Educational projects, M.: Utgivare A.M. Kushnir, 2009.

Lektion och presentation på ämnet: "Kraftfunktioner. Kubikroten. Kubikrotens egenskaper"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 9
Utbildningskomplex 1C: "Algebraiska problem med parametrar, årskurs 9-11" Mjukvarumiljö "1C: Mathematical constructor 6.0"

Definition av en potensfunktion - kubrot

Killar, vi fortsätter att studera maktfunktioner. Idag ska vi prata om kubroten för x-funktionen.
Vad är en kubrot?
Ett tal y kallas en kubrot av x (tredje gradens rot) om $y^3=x$ är sant.
De betecknas som $\sqrt(x)$, där x är rotnumret, 3 är exponenten.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Som vi kan se kan kubroten också extraheras från negativa tal. Det visar sig att vår rot finns för alla tal.
Den tredje roten av ett negativt tal är lika med ett negativt tal. När det höjs till en udda potens bevaras tecknet, den tredje potensen är udda.

Låt oss kontrollera likheten: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Låt $\sqrt((-x))=a$ och $\sqrt(x)=b$. Låt oss lyfta båda uttrycken till tredje makten. $–x=a^3$ och $x=b^3$. Sedan $a^3=-b^3$ eller $a=-b$. I notationen av rötterna får vi den önskade identiteten.

Egenskaper hos kubrötter

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Låt oss bevisa den andra egenskapen. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Vi fann att talet $\sqrt(\frac(a)(b))$ i kuben är lika med $\frac(a)(b)$ och sedan är det lika med $\sqrt(\frac(a) (b))$, vilket och behövde bevisas.

Killar, låt oss rita upp vår funktionsgraf.
1) Definitionsdomänen är uppsättningen av reella tal.
2) Funktionen är udda eftersom $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Tänk sedan på vår funktion för $x≥0$ och reflektera sedan grafen i förhållande till ursprunget.
3) Funktionen ökar för $х≥0$. För vår funktion motsvarar ett större värde på argumentet ett större värde på funktionen, vilket betyder ökande.
4) Funktionen är inte begränsad från ovan. I själva verket, från ett godtyckligt stort antal, kan du beräkna roten av tredje graden, och vi kan gå upp till oändligheten och hitta allt större värden på argumentet.
5) För $x≥0$ är det minsta värdet 0. Denna egenskap är uppenbar.
Låt oss bygga en graf av funktionen med punkter för x≥0.

Låt oss bygga vår graf över funktionen på hela definitionsdomänen. Kom ihåg att vår funktion är udda.

Funktionsegenskaper:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Udda funktion.
3) Ökar med (-∞;+∞).
4) Obegränsad.
5) Det finns inget minimi- eller maxvärde.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konvexa nedåt med (-∞;0), konvexa uppåt med (0;+∞).

Exempel på lösningspotensfunktioner

Exempel
1. Lös ekvationen $\sqrt(x)=x$.
Beslut. Låt oss bygga två grafer på samma koordinatplan $y=\sqrt(x)$ och $y=x$.

Som du kan se skär våra grafer varandra vid tre punkter.
Svar: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Bygg en graf över funktionen. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Beslut. Vår graf erhålls från grafen för funktionen $y=\sqrt(x)$, genom att parallellförskjuta två enheter åt höger och tre enheter nedåt.

3. Bygg en funktionsgraf och läs den. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Beslut. Låt oss bygga två grafer av funktioner på samma koordinatplan, med hänsyn till våra förhållanden. För $х≥-1$ bygger vi en graf av en kubikrot, för $х≤-1$ en graf av en linjär funktion.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funktionen är varken jämn eller udda.
3) Minskar med (-∞;-1), ökar med (-1;+∞).
4) Obegränsad från ovan, begränsad underifrån.
5) Det finns inget maxvärde. Det minsta värdet är minus ett.
6) Funktionen är kontinuerlig på hela den verkliga linjen.
7) E(y)= (-1;+∞).

Uppgifter för självständig lösning

1. Lös ekvationen $\sqrt(x)=2-x$.
2. Rita funktionen $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Bygg en graf över funktionen och läs den. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Potensfunktionens huvudsakliga egenskaper anges, inklusive formler och egenskaper hos rötterna. Derivatan, integralen, potensseriens expansion och representation med hjälp av komplexa tal av potensfunktionen presenteras.

Definition

Definition
Power funktion med exponent sär funktionen f (x) = xp, vars värde vid punkten x är lika med värdet exponentiell funktion med bas x på sid.
Dessutom, f (0) = 0 p = 0 för p > 0 .

För naturvärden för exponenten är potensfunktionen produkten av n tal lika med x:
.
Det är definierat för alla verkliga.

För positiva rationella värden för exponenten är potensfunktionen produkten av n rötter av grad m från talet x:
.
För udda m definieras den för alla reella x . För jämn m är effektfunktionen definierad för icke-negativ .

För negativ definieras potensfunktionen av formeln:
.
Därför är det inte definierat vid punkten .

För irrationella värden för exponenten p bestäms exponentialfunktionen av formeln:
,
där a är ett godtyckligt positivt tal, inte lika med ett: .
För är det definierat för .
För är effektfunktionen definierad för .

Kontinuitet. En maktfunktion är kontinuerlig på sin definitionsdomän.

Egenskaper och formler för potensfunktionen för x ≥ 0

Här betraktar vi egenskaperna hos effektfunktionen för inte negativa värden argument x . Som nämnts ovan, för vissa värden av exponenten p, är exponentialfunktionen också definierad för negativa värden på x . I det här fallet kan dess egenskaper erhållas från egenskaperna vid , med jämn eller udda paritet. Dessa fall diskuteras och illustreras i detalj på sidan "".

En potensfunktion, y = x p , med exponent p har följande egenskaper:
(1.1) definierad och kontinuerlig på uppsättningen
vid ,
vid ;
(1.2) har många betydelser
vid ,
vid ;
(1.3) ökar strikt vid ,
minskar strikt vid ;
(1.4) vid ;
vid ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Beviset på egenskaperna ges på sidan " Power-funktion (bevis på kontinuitet och egenskaper) »

Rötter - definition, formler, egenskaper

Definition
Roten av x i n potensär talet vars höjning till potensen n ger x:
.
Här n = 2, 3, 4, ... - naturligt nummer, större än en.

Du kan också säga att roten av talet x av grad n är roten (det vill säga lösningen) av ekvationen
.
Observera att funktionen är inversen av funktionen.

Kvadratroten ur xär en rot av grad 2: .

kubikroten från nummer xär en rot av grad 3: .

Jämn grad

För jämna potenser n = 2 m, roten definieras för x ≥ 0 . En ofta använd formel är giltig för både positiva och negativa x :
.
För kvadratrot:
.

Ordningen i vilken operationerna utförs är viktig här - det vill säga att först kvadrera, vilket resulterar i ett icke-negativt tal, och sedan extraheras roten från det (från ett icke-negativt tal kan du extrahera Roten ur). Om vi ​​ändrade ordningen: , då för negativt x skulle roten vara odefinierad, och med den skulle hela uttrycket vara odefinierat.

udda grad

För udda potenser definieras roten för alla x:
;
.

Egenskaper och formler för rötter

Roten till x är en potensfunktion:
.
För x ≥ 0 följande formler gäller:
;
;
, ;
.

Dessa formler kan också användas för negativa värden på variablerna. Det är bara nödvändigt att se till att det radikala uttrycket av jämna makter inte är negativt.

Privata värderingar

Roten av 0 är 0: .
Roten till 1 är 1: .
Kvadratroten ur 0 är 0: .
Kvadratroten ur 1 är 1: .

Exempel. Rot från rötter

Betrakta exemplet med kvadratroten av rötter:
.
Konvertera den interna kvadratroten med formlerna ovan:
.
Låt oss nu omvandla den ursprungliga roten:
.
Så,
.

y = x p för olika värden på exponenten p .

Här är graferna för funktionen för icke-negativa värden för x-argumentet. Grafer för potensfunktionen definierad för negativa värden på x ges på sidan " Effektfunktion, dess egenskaper och grafer »

Omvänd funktion

Inversen av en potensfunktion med exponent p är en potensfunktion med exponent 1/p .

Om då .

Effektfunktionsderivata

Derivata av n:e ordningen:
;

Härledning av formler > > >

Integral av en kraftfunktion

P≠- 1 ;
.

Power serie expansion

vid - 1 < x < 1 följande nedbrytning sker:

Uttryck i termer av komplexa tal

Betrakta en funktion av en komplex variabel z :
f (z) = zt.
Vi uttrycker den komplexa variabeln z i termer av modulen r och argumentet φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Vi representerar det komplexa talet t som reella och imaginära delar:
t = p + iq.
Vi har:

Vidare tar vi hänsyn till att argumentet φ inte är unikt definierat:
,

Tänk på fallet när q = 0 , det vill säga exponenten riktigt nummer t = p. Sedan
.

Om p är ett heltal, så är kp också ett heltal. Sedan, på grund av periodiciteten för trigonometriska funktioner:
.
d.v.s exponentiell funktion med en heltalsexponent, för ett givet z, har endast ett värde och är därför enkelvärdigt.

Om p är irrationell, så ger produkterna av kp inte ett heltal för någon k. Eftersom k löper genom en oändlig serie av värden k = 0, 1, 2, 3, ..., då har funktionen z p oändligt många värden. Närhelst argumentet z inkrementeras 2 pi(ett varv), flyttar vi till en ny gren av funktionen.

Om p är rationell kan det representeras som:
, var m,när heltal utan gemensamma delare. Sedan
.
Första n värden, för k = k O = 0, 1, 2, ... n-1, ge n olika betydelser kp:
.
Däremot ger efterföljande värden värden som skiljer sig från de tidigare med ett heltal. Till exempel, för k = k 0+n vi har:
.
Trigonometriska funktioner, vars argument skiljer sig åt med multiplar av 2 π, har lika värden. Därför, med en ytterligare ökning av k, får vi samma värden på z p som för k = k O = 0, 1, 2, ... n-1.

Således exponentialfunktionen med rationell indikator grad är flervärdig och har n värden (grenar). Närhelst argumentet z inkrementeras 2 π(ett varv), flyttar vi till en ny gren av funktionen. Efter n sådana svängar återvänder vi till den första grenen från vilken nedräkningen började.

I synnerhet har en rot av grad n n värden. Som ett exempel, betrakta den n:te roten av ett reellt positivt tal z = x. I detta fall φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Så, för kvadratroten, n = 2 ,
.
För även k, (-1) k = 1. För udda k, (-1) k = -1.
Det vill säga att kvadratroten har två betydelser: + och -.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.