Hur man skriver en andragradsekvation genom att känna till rötterna. Andragradsekvationer - exempel med lösningar, egenskaper och formler

Vi fortsätter att studera ämnet lösning av ekvationer". Vi har redan bekantat oss med linjära ekvationer och nu ska vi bekanta oss med Kvadratisk ekvation.

Först kommer vi att diskutera vad en andragradsekvation är, hur den skrivs i allmän form och ge relaterade definitioner. Därefter kommer vi, med hjälp av exempel, att analysera i detalj hur ofullständiga andragradsekvationer löses. Därefter går vi vidare till att lösa kompletta ekvationer, får formeln för rötterna, bekantar oss med diskriminanten för en andragradsekvation och överväger lösningar på typiska exempel. Slutligen spårar vi sambanden mellan rötter och koefficienter.

Sidnavigering.

Vad är en andragradsekvation? Deras typer

Först måste du tydligt förstå vad en andragradsekvation är. Därför är det logiskt att börja prata om andragradsekvationer med definitionen av en andragradsekvation, såväl som definitioner relaterade till den. Efter det kan du överväga huvudtyperna av andragradsekvationer: reducerade och icke-reducerade, såväl som kompletta och ofullständiga ekvationer.

Definition och exempel på andragradsekvationer

Definition.

Andragradsekvationär en formekvation a x2 +b x+c=0, där x är en variabel, a , b och c är några tal och a skiljer sig från noll.

Låt oss säga direkt att andragradsekvationer ofta kallas ekvationer av andra graden. Detta beror på att andragradsekvationen är algebraisk ekvation andra graden.

Den ljudade definitionen tillåter oss att ge exempel på andragradsekvationer. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. är andragradsekvationer.

Definition.

Tal a , b och c kallas andragradsekvationens koefficienter a x 2 + b x + c=0, och koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b är den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, och c är en fri medlem.

Låt oss till exempel ta en andragradsekvation av formen 5 x 2 −2 x−3=0, här är den ledande koefficienten 5, den andra koefficienten är −2, och den fria termen är −3. Notera att när koefficienterna b och/eller c är negativa, som i exemplet just givna, används den korta formen av andragradsekvationen av formen 5 x 2 −2 x−3=0, inte 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Det är värt att notera att när koefficienterna a och / eller b är lika med 1 eller −1, så är de vanligtvis inte explicit närvarande i notationen av andragradsekvationen, vilket beror på särdragen i notationen av sådana . Till exempel, i andragradsekvationen y 2 −y+3=0, är den ledande koefficienten en och koefficienten vid y är −1.

Reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer

Beroende på värdet av den ledande koefficienten särskiljs reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer. Låt oss ge motsvarande definitioner.

Definition.

En andragradsekvation där den ledande koefficienten är 1 kallas reducerad andragradsekvation. Annars är andragradsekvationen oreducerad.

Enligt denna definition är andragradsekvationerna x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - reducerad, i var och en av dem är den första koefficienten lika med en. Och 5 x 2 −x−1=0 , etc. - oreducerade andragradsekvationer, deras ledande koefficienter skiljer sig från 1 .

Från valfri icke-reducerad kvadratisk ekvation, genom att dividera båda dess delar med den ledande koefficienten, kan du gå till den reducerade. Denna åtgärd är en ekvivalent transformation, det vill säga den reducerade andragradsekvationen som erhålls på detta sätt har samma rötter som den ursprungliga icke-reducerade andragradsekvationen, eller har, liksom den, inga rötter.

Låt oss ta ett exempel på hur övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad utförs.

Exempel.

Från ekvationen 3 x 2 +12 x−7=0, gå till motsvarande reducerade andragradsekvation.

Lösning.

Det räcker för oss att utföra divisionen av båda delarna av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 3, den är icke-noll, så vi kan utföra denna åtgärd. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , vilket är samma som (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , och så vidare (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , varifrån . Så vi fick den reducerade andragradsekvationen, som motsvarar den ursprungliga.

Svar:

Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer

Det finns ett villkor a≠0 i definitionen av en andragradsekvation. Detta villkor är nödvändigt för att ekvationen a x 2 +b x+c=0 ska vara exakt kvadratisk, eftersom den med a=0 faktiskt blir en linjär ekvation av formen b x+c=0 .

När det gäller koefficienterna b och c kan de vara lika med noll, både separat och tillsammans. I dessa fall kallas andragradsekvationen ofullständig.

Definition.

Andragradsekvationen a x 2 +b x+c=0 kallas Ofullständig, om åtminstone en av koefficienterna b , c är lika med noll.

I sin tur

Definition.

Komplett andragradsekvationenär en ekvation där alla koefficienter skiljer sig från noll.

Dessa namn ges inte av en slump. Detta kommer att framgå av följande diskussion.

Om koefficienten b är lika med noll, antar andragradsekvationen formen a x 2 +0 x+c=0 , och den är ekvivalent med ekvationen a x 2 +c=0 . Om c=0, det vill säga andragradsekvationen har formen a x 2 +b x+0=0 , så kan den skrivas om som en x 2 +b x=0 . Och med b=0 och c=0 får vi andragradsekvationen a·x 2 =0. De resulterande ekvationerna skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabeln x, eller en fri term, eller båda. Därav deras namn - ofullständiga andragradsekvationer.

Så ekvationerna x 2 +x+1=0 och −2 x 2 −5 x+0,2=0 är exempel på kompletta andragradsekvationer, och x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 är ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Av uppgifterna i föregående stycke följer att det finns tre typer av ofullständiga andragradsekvationer:

a x 2 =0, koefficienterna b=0 och c=0 motsvarar det;
a x2 +c=0 när b=0;
och a x 2 + b x=0 när c=0.

Låt oss analysera i ordning hur ofullständiga andragradsekvationer av var och en av dessa typer löses.

a x 2 \u003d 0

Låt oss börja med att lösa ofullständiga andragradsekvationer där koefficienterna b och c är lika med noll, det vill säga med ekvationer av formen a x 2 =0. Ekvationen a·x 2 =0 är ekvivalent med ekvationen x 2 =0, som erhålls från originalet genom att dividera dess båda delar med ett icke-nolltal a. Uppenbarligen är roten av ekvationen x 2 \u003d 0 noll, eftersom 0 2 \u003d 0. Denna ekvation har inga andra rötter, vilket förklaras, ja, för alla icke-nolltal p, sker olikheten p 2 >0, vilket innebär att för p≠0 uppnås aldrig likheten p 2 =0.

Så den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 \u003d 0 har en enda rot x \u003d 0.

Som ett exempel ger vi lösningen av en ofullständig andragradsekvation −4·x 2 =0. Det motsvarar ekvationen x 2 \u003d 0, dess enda rot är x \u003d 0, därför har den ursprungliga ekvationen en enda rotnoll.

En kort lösning i detta fall kan utfärdas enligt följande:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x2 +c=0

Betrakta nu hur ofullständiga andragradsekvationer löses, där koefficienten b är lika med noll, och c≠0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 +c=0. Vi vet att överföringen av en term från en sida av ekvationen till den andra med motsatt tecken, liksom divisionen av båda sidor av ekvationen med ett tal som inte är noll, ger en ekvivalent ekvation. Därför kan följande ekvivalenta transformationer av den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + c=0 utföras:

flytta c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 =−c,
och dividera båda dess delar med a får vi .

Den resulterande ekvationen låter oss dra slutsatser om dess rötter. Beroende på värdena för a och c kan uttryckets värde vara negativt (till exempel om a=1 och c=2 då ) eller positivt (till exempel om a=−2 och c=6 , alltså ), är det inte lika med noll , eftersom c≠0 . Vi kommer att analysera fallen separat och .

Om , då har ekvationen inga rötter. Detta påstående följer av det faktum att kvadraten på ett tal är ett icke-negativt tal. Det följer av detta att när , då för vilket tal p som helst kan inte likheten vara sann.

Om , då är situationen med rötterna till ekvationen annorlunda. I det här fallet, om vi minns om, så blir roten av ekvationen omedelbart uppenbar, det är numret, eftersom. Det är lätt att gissa att talet också är roten till ekvationen, faktiskt. Denna ekvation har inga andra rötter, vilket kan visas till exempel genom motsägelse. Vi gör det.

Låt oss beteckna ekvationens just röstade rötter som x 1 och −x 1 . Antag att ekvationen har en annan rot x 2 som skiljer sig från de angivna rötterna x 1 och −x 1 . Det är känt att substitution i ekvationen istället för x av dess rötter förvandlar ekvationen till en sann numerisk likhet. För x 1 och −x 1 har vi , och för x 2 har vi . Egenskaperna för numeriska likheter gör att vi kan subtraktera term-för-term subtraktion av sanna numeriska likheter, så att subtrahera motsvarande delar av likheterna ger x 1 2 − x 2 2 =0. Egenskaperna för operationer med tal gör att vi kan skriva om den resulterande likheten som (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vi vet att produkten av två tal är lika med noll om och endast om minst ett av dem är lika med noll. Därför följer det av den erhållna likheten att x 1 −x 2 =0 och/eller x 1 +x 2 =0 , vilket är detsamma, x 2 =x 1 och/eller x 2 = −x 1 . Så vi har kommit till en motsägelse, eftersom vi i början sa att roten till ekvationen x 2 skiljer sig från x 1 och −x 1 . Detta bevisar att ekvationen inte har andra rötter än och .

Låt oss sammanfatta informationen i detta stycke. Den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 +c=0 är ekvivalent med ekvationen , som

har inga rötter om ,
har två rötter och om .

Betrakta exempel på att lösa ofullständiga andragradsekvationer av formen a·x 2 +c=0 .

Låt oss börja med andragradsekvationen 9 x 2 +7=0 . Efter att ha överfört den fria termen till höger sida av ekvationen kommer den att ha formen 9·x 2 =−7. Om vi dividerar båda sidor av den resulterande ekvationen med 9 kommer vi fram till . Eftersom ett negativt tal erhålls på höger sida har denna ekvation inga rötter, därför har den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 +7=0 inga rötter.

Låt oss lösa ytterligare en ofullständig andragradsekvation −x 2 +9=0. Vi överför de nio till höger sida: -x 2 \u003d -9. Nu dividerar vi båda delarna med −1, vi får x 2 =9. Den högra sidan innehåller ett positivt tal, från vilket vi drar slutsatsen att eller . Efter att vi skrivit ner det slutliga svaret: den ofullständiga andragradsekvationen −x 2 +9=0 har två rötter x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det återstår att ta itu med lösningen av den sista typen av ofullständiga andragradsekvationer för c=0 . Ofullständiga andragradsekvationer av formen a x 2 +b x=0 låter dig lösa faktoriseringsmetod. Uppenbarligen kan vi, som ligger på vänster sida av ekvationen, för vilket det räcker att ta den gemensamma faktorn x ur parentes. Detta tillåter oss att gå från den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till en ekvivalent ekvation av formen x·(a·x+b)=0 . Och denna ekvation är ekvivalent med mängden av två ekvationer x=0 och a x+b=0 , varav den sista är linjär och har en rot x=−b/a .

Så den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 +b x=0 har två rötter x=0 och x=−b/a.

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen av ett specifikt exempel.

Exempel.

Lös ekvationen.

Lösning.

Vi tar x inom parentes, detta ger ekvationen. Det motsvarar två ekvationer x=0 och . Vi löser den resulterande linjära ekvationen: , och efter att ha dividerat det blandade talet med ett vanligt bråktal finner vi . Därför är rötterna till den ursprungliga ekvationen x=0 och .

Efter att ha fått den nödvändiga övningen kan lösningarna av sådana ekvationer skrivas kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel för rötterna till en andragradsekvation

För att lösa andragradsekvationer finns det en rotformel. Låt oss skriva ner formeln för andragradsekvationens rötter: , var D=b 2 −4 a c- så kallade diskriminant av en andragradsekvation. Notationen betyder i huvudsak att .

Det är användbart att veta hur rotformeln erhölls och hur den används för att hitta rötterna till andragradsekvationer. Låt oss ta itu med det här.

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Låt oss behöva lösa andragradsekvationen a·x 2 +b·x+c=0 . Låt oss utföra några likvärdiga transformationer:

Vi kan dividera båda delarna av denna ekvation med ett icke-nolltal a, som ett resultat får vi den reducerade andragradsekvationen.
Nu välj en hel ruta på dess vänstra sida: . Efter det kommer ekvationen att ha formen .
I detta skede är det möjligt att utföra överföringen av de två sista termerna till höger sida med motsatt tecken, vi har .
Och låt oss också omvandla uttrycket på höger sida: .

Som ett resultat kommer vi fram till ekvationen , som är ekvivalent med den ursprungliga andragradsekvationen a·x 2 +b·x+c=0 .

Vi har redan löst ekvationer liknande form i de föregående styckena när vi analyserade . Detta gör att vi kan dra följande slutsatser om ekvationens rötter:

om , då har ekvationen inga riktiga lösningar;
om , då ekvationen har formen , därför , från vilken dess enda rot är synlig;
om , då eller , vilket är detsamma som eller , det vill säga att ekvationen har två rötter.

Således beror närvaron eller frånvaron av ekvationens rötter, och därmed den ursprungliga andragradsekvationen, på uttryckets tecken på höger sida. I sin tur bestäms tecknet för detta uttryck av täljarens tecken, eftersom nämnaren 4 a 2 alltid är positiv, det vill säga tecknet för uttrycket b 2 −4 a c . Detta uttryck b 2 −4 a c kallas diskriminant av en andragradsekvation och märkt med bokstaven D. Härifrån är essensen av diskriminanten tydlig - genom dess värde och tecken dras slutsatsen om den andragradsekvationen har reella rötter, och i så fall vad är deras nummer - en eller två.

Vi återgår till ekvationen , skriver om den med notationen av diskriminanten: . Och vi avslutar:

om D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
om D=0, så har denna ekvation en enda rot;
slutligen, om D>0, så har ekvationen två rötter eller , som kan skrivas om i formen eller , och efter att ha utökat och reducerat bråken till en gemensam nämnare får vi .

Så vi härledde formlerna för rötterna till andragradsekvationen, de ser ut som , där diskriminanten D beräknas med formeln D=b 2 −4 a c .

Med deras hjälp, med en positiv diskriminant, kan du beräkna båda de verkliga rötterna till en andragradsekvation. När diskriminanten är lika med noll ger båda formlerna samma rotvärde som motsvarar den enda lösningen av andragradsekvationen. Och med en negativ diskriminant, när vi försöker använda formeln för rötterna till en andragradsekvation, ställs vi inför att extrahera kvadratroten från ett negativt tal, vilket tar oss utanför skolans läroplan. Med en negativ diskriminant har andragradsekvationen inga egentliga rötter, utan har ett par komplext konjugat rötter, som kan hittas med samma rotformler som vi fick.

Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler

I praktiken, när du löser en andragradsekvation, kan du omedelbart använda rotformeln för att beräkna deras värden. Men det här handlar mer om att hitta komplexa rötter.

Men i en skolalgebrakurs pratar vi vanligtvis inte om komplex, utan om verkliga rötter till en andragradsekvation. I det här fallet är det tillrådligt att först hitta diskriminanten innan du använder formlerna för rötterna i den andragradsekvationen, se till att den är icke-negativ (annars kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och efter det beräkna rötternas värden.

Ovanstående resonemang tillåter oss att skriva algoritm för att lösa en andragradsekvation. För att lösa andragradsekvationen a x 2 + b x + c \u003d 0 behöver du:

med hjälp av diskriminantformeln D=b 2 −4 a c beräkna dess värde;
dra slutsatsen att andragradsekvationen inte har några reella rötter om diskriminanten är negativ;
beräkna den enda roten av ekvationen med formeln om D=0 ;
hitta två reella rötter till en andragradsekvation med hjälp av rotformeln om diskriminanten är positiv.

Här noterar vi bara att om diskriminanten är lika med noll kan formeln också användas, den ger samma värde som .

Du kan gå vidare till exempel på tillämpning av algoritmen för att lösa andragradsekvationer.

Exempel på att lösa andragradsekvationer

Betrakta lösningar av tre andragradsekvationer med positiv, negativ och noll diskriminant. Efter att ha behandlat deras lösning kommer det analogt att vara möjligt att lösa vilken annan kvadratisk ekvation som helst. Låt oss börja.

Exempel.

Hitta rötterna till ekvationen x 2 +2 x−6=0 .

Lösning.

I det här fallet har vi följande koefficienter för andragradsekvationen: a=1 , b=2 och c=−6 . Enligt algoritmen måste du först beräkna diskriminanten, för detta ersätter vi de angivna a, b och c i diskriminantformeln, vi har D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Eftersom 28>0, det vill säga diskriminanten är större än noll, har andragradsekvationen två reella rötter. Låt oss hitta dem med formeln för rötter , vi får , här kan vi förenkla uttrycken som erhålls genom att göra ta bort rotens tecken följt av bråkreduktion:

Svar:

Låt oss gå vidare till nästa typiska exempel.

Exempel.

Lös andragradsekvationen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lösning.

Vi börjar med att hitta diskriminanten: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Därför har denna andragradsekvation en enda rot, som vi finner som , det vill säga,

Svar:

x=3,5.

Det återstår att överväga lösningen av andragradsekvationer med negativ diskriminant.

Exempel.

Lös ekvationen 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lösning.

Här är koefficienterna för andragradsekvationen: a=5 , b=6 och c=2 . Att ersätta dessa värden i den diskriminerande formeln har vi D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanten är negativ, därför har denna andragradsekvation inga egentliga rötter.

Om du behöver specificera komplexa rötter, så använder vi den välkända formeln för rötter till andragradsekvationen, och utför operationer med komplexa tal:

Svar:

det finns inga riktiga rötter, de komplexa rötterna är: .

Återigen noterar vi att om diskriminanten i andragradsekvationen är negativ, så skriver skolan vanligtvis omedelbart ner svaret, där de indikerar att det inte finns några riktiga rötter, och de hittar inte komplexa rötter.

Rotformel för jämna andrakoefficienter

Formeln för rötterna till en andragradsekvation , där D=b 2 −4 a c gör att du kan få en mer kompakt formel som låter dig lösa andragradsekvationer med en jämn koefficient vid x (eller helt enkelt med en koefficient som ser ut som 2 n t.ex. eller 14 ln5=2 7 ln5 ). Låt oss ta ut henne.

Låt oss säga att vi behöver lösa en andragradsekvation av formen a x 2 +2 n x + c=0 . Låt oss hitta dess rötter med hjälp av formeln som vi känner till. För att göra detta beräknar vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), och sedan använder vi rotformeln:

Beteckna uttrycket n 2 −a c som D 1 (ibland betecknas det D ") Sedan tar formeln för rötterna till den betraktade andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n formen , där D 1 =n 2 −a c .

Det är lätt att se att D=4·D 1 eller D 1 =D/4 . D 1 är med andra ord den fjärde delen av diskriminanten. Det är tydligt att tecknet för D 1 är detsamma som tecknet för D . Det vill säga, tecknet D 1 är också en indikator på närvaron eller frånvaron av andragradsekvationens rötter.

Så för att lösa en andragradsekvation med den andra koefficienten 2 n behöver du

Beräkna D 1 =n 2 −a·c ;
Om D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Om D 1 =0, beräkna den enda roten av ekvationen med hjälp av formeln;
Om D 1 >0, hitta två reella rötter med hjälp av formeln.

Överväg lösningen i exemplet med hjälp av rotformeln som erhålls i detta stycke.

Exempel.

Lös andragradsekvationen 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lösning.

Den andra koefficienten i denna ekvation kan representeras som 2·(−3) . Det vill säga, du kan skriva om den ursprungliga andragradsekvationen i formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , här a=5 , n=−3 och c=−32 , och beräkna den fjärde delen av diskriminerande: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Eftersom dess värde är positivt har ekvationen två reella rötter. Vi hittar dem med hjälp av motsvarande rotformel:

Observera att det var möjligt att använda den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle mer beräkningsarbete behöva göras.

Svar:

Förenkling av andragradsekvationers form

Ibland, innan man påbörjar beräkningen av rötterna till en andragradsekvation med formler, skadar det inte att ställa frågan: "Är det möjligt att förenkla formen av denna ekvation"? Håll med om att det beräkningsmässigt blir lättare att lösa andragradsekvationen 11 x 2 −4 x −6=0 än 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Vanligtvis uppnås en förenkling av formen av en andragradsekvation genom att multiplicera eller dividera båda sidor av den med något tal. Till exempel, i föregående stycke, lyckades vi uppnå en förenkling av ekvationen 1100 x 2 −400 x −600=0 genom att dividera båda sidor med 100 .

En liknande transformation utförs med andragradsekvationer, vars koefficienter inte är . I det här fallet delas båda delarna av ekvationen vanligtvis med de absoluta värdena för dess koefficienter. Låt oss till exempel ta andragradsekvationen 12 x 2 −42 x+48=0. absoluta värden för dess koefficienter: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Om vi dividerar båda delarna av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 kommer vi fram till den ekvivalenta andragradsekvationen 2 x 2 −7 x+8=0 .

Och multiplikationen av båda delarna av andragradsekvationen görs vanligtvis för att bli av med bråkkoefficienter. I detta fall utförs multiplikationen på nämnare av dess koefficienter. Till exempel, om båda delarna av en andragradsekvation multipliceras med LCM(6, 3, 1)=6, kommer den att ha en enklare form x 2 +4 x−18=0 .

Som avslutning av detta stycke noterar vi att nästan alltid bli av med minus vid den högsta koefficienten i andragradsekvationen genom att ändra tecknen på alla termer, vilket motsvarar att multiplicera (eller dividera) båda delarna med −1. Till exempel, vanligtvis från andragradsekvationen −2·x 2 −3·x+7=0, gå till lösningen 2·x 2 +3·x−7=0 .

Förhållandet mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation

Formeln för rötterna till en andragradsekvation uttrycker rötterna till en ekvation i termer av dess koefficienter. Utifrån rötternas formel kan man få andra samband mellan rötterna och koefficienterna.

De mest kända och tillämpliga formlerna från Vieta-satsen för formen och . Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 x 2 −7 x+22=0, kan vi omedelbart säga att summan av dess rötter är 7/3 och produkten av rötterna är 22/3.

Med hjälp av de redan skrivna formlerna kan du få ett antal andra samband mellan andragradsekvationens rötter och koefficienter. Till exempel kan du uttrycka summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation i termer av dess koefficienter: .

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

I fortsättningen av ämnet "Lösa ekvationer" kommer materialet i den här artikeln att introducera dig till andragradsekvationer.

Låt oss överväga allt i detalj: essensen och notationen av en andragradsekvation, ställ in de medföljande termerna, analysera schemat för att lösa ofullständiga och fullständiga ekvationer, bekanta oss med formeln för rötter och diskriminant, upprätta kopplingar mellan rötter och koefficienter, och kurs vi kommer att ge en visuell lösning av praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Andragradsekvationen, dess typer

Definition 1

Andragradsekvation skrivs ekvationen som a x 2 + b x + c = 0, var x– variabel, a , b och cär några siffror, medan aär inte noll.

Ofta kallas andragradsekvationer också för ekvationer av andra graden, eftersom en andragradsekvation i själva verket är en algebraisk ekvation av andra graden.

Låt oss ge ett exempel för att illustrera den givna definitionen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. är andragradsekvationer.

Definition 2

Siffrorna a, b och cär koefficienterna för andragradsekvationen a x 2 + b x + c = 0, medan koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b - den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, a c kallas gratis medlem.

Till exempel i andragradsekvationen 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 den högsta koefficienten är 6, den andra koefficienten är − 2 , och fritiden är lika med − 11 . Låt oss uppmärksamma det faktum att när koefficienterna b och/eller c är negativa, då används förkortningsformen 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, men inte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Låt oss också klargöra denna aspekt: om koefficienterna a och/eller b likvärdig 1 eller − 1 , då får de inte ta en explicit del i att skriva andragradsekvationen, vilket förklaras av särdragen med att skriva de angivna numeriska koefficienterna. Till exempel i andragradsekvationen y 2 − y + 7 = 0 seniorkoefficienten är 1 och den andra koefficienten är − 1 .

Reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer

Enligt värdet på den första koefficienten delas andragradsekvationer in i reducerade och icke-reducerade.

Definition 3

Reducerad andragradsekvationär en andragradsekvation där den ledande koefficienten är 1 . För andra värden på den ledande koefficienten är andragradsekvationen oreducerad.

Här är några exempel: andragradsekvationer x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduceras, i var och en av dem är den ledande koefficienten 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- oreducerad andragradsekvation, där den första koefficienten skiljer sig från 1 .

Varje oreducerad andragradsekvation kan omvandlas till en reducerad ekvation genom att dividera båda dess delar med den första koefficienten (ekvivalent transformation). Den transformerade ekvationen kommer att ha samma rötter som den givna icke-reducerade ekvationen eller kommer inte heller att ha några rötter alls.

Övervägande av ett specifikt exempel kommer att tillåta oss att tydligt demonstrera övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad.

Exempel 1

Givet ekvationen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det är nödvändigt att konvertera den ursprungliga ekvationen till den reducerade formen.

Lösning

Enligt ovanstående schema dividerar vi båda delarna av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 6 . Då får vi: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, och det här är samma sak som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 och vidare: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Härifrån: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Sålunda erhålls en ekvation motsvarande den givna.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss gå över till definitionen av en andragradsekvation. I den specificerade vi det a ≠ 0. Ett liknande villkor är nödvändigt för ekvationen a x 2 + b x + c = 0 var exakt fyrkantig, sedan a = 0 den förvandlas i huvudsak till en linjär ekvation b x + c = 0.

I det fall där koefficienterna b och cär lika med noll (vilket är möjligt, både individuellt och gemensamt), kallas andragradsekvationen ofullständig.

Definition 4

Ofullständig andragradsekvationär en andragradsekvation a x 2 + b x + c \u003d 0, där minst en av koefficienterna b och c(eller båda) är noll.

Komplett andragradsekvationenär en andragradsekvation där alla numeriska koefficienter inte är lika med noll.

Låt oss diskutera varför typerna av andragradsekvationer ges just sådana namn.

För b = 0 tar andragradsekvationen formen a x 2 + 0 x + c = 0, vilket är detsamma som a x 2 + c = 0. På c = 0 andragradsekvationen skrivs som a x 2 + b x + 0 = 0, vilket är likvärdigt a x 2 + b x = 0. På b = 0 och c = 0 ekvationen kommer att ta formen a x 2 = 0. Ekvationerna som vi har erhållit skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabeln x, eller en fri term, eller båda samtidigt. Egentligen gav detta faktum namnet till den här typen av ekvationer - ofullständiga.

Till exempel är x 2 + 3 x + 4 = 0 och − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 fullständiga andragradsekvationer; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 är ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Definitionen ovan gör det möjligt att särskilja följande typer av ofullständiga andragradsekvationer:

a x 2 = 0, koefficienter motsvarar en sådan ekvation b = 0 och c = O;
a x 2 + c \u003d 0 för b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 för c = 0 .

Betrakta successivt lösningen av varje typ av ofullständig andragradsekvation.

Lösning av ekvationen a x 2 \u003d 0

Som redan nämnts ovan motsvarar en sådan ekvation koefficienterna b och c, lika med noll. Ekvationen a x 2 = 0 kan omvandlas till en ekvivalent ekvation x2 = 0, vilket vi får genom att dividera båda sidor av den ursprungliga ekvationen med talet a, inte lika med noll. Det uppenbara faktum är att roten till ekvationen x2 = 0är noll eftersom 0 2 = 0 . Denna ekvation har inga andra rötter, vilket förklaras av gradens egenskaper: för vilket tal som helst p , inte lika med noll, är ojämlikheten sann p2 > 0, varav följer att när p ≠ 0 jämlikhet p2 = 0 kommer aldrig att nås.

Definition 5

Således, för den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 = 0, finns det en enda rot x=0.

Exempel 2

Låt oss till exempel lösa den ofullständiga andragradsekvationen − 3 x 2 = 0. Det motsvarar ekvationen x2 = 0, dess enda rot är x=0, då har den ursprungliga ekvationen en enda rot - noll.

Lösningen sammanfattas enligt följande:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösning av ekvationen a x 2 + c \u003d 0

Nästa i raden är lösningen av ofullständiga andragradsekvationer, där b \u003d 0, c ≠ 0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 + c = 0. Låt oss omvandla denna ekvation genom att överföra termen från den ena sidan av ekvationen till den andra, ändra tecknet till det motsatta och dividera båda sidorna av ekvationen med ett tal som inte är lika med noll:

stå ut med c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 = − c;
dividera båda sidor av ekvationen med a, får vi som ett resultat x = - c a .

Våra transformationer är likvärdiga respektive, den resulterande ekvationen är också likvärdig med den ursprungliga, och detta faktum gör det möjligt att dra en slutsats om ekvationens rötter. Från vilka är värdena a och c beror på uttryckets värde - c a: det kan ha ett minustecken (till exempel if a = 1 och c = 2, sedan - c a = - 2 1 = - 2) eller ett plustecken (till exempel if a = -2 och c=6 sedan -ca = -6 - 2 = 3); det är inte lika med noll eftersom c ≠ 0. Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid situationer när - c a< 0 и - c a > 0 .

I fallet när - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа sid likhet p 2 = - c a kan inte vara sant.

Allt är annorlunda när - c a > 0: kom ihåg kvadratroten, och det kommer att bli uppenbart att roten av ekvationen x 2 \u003d - c a kommer att vara talet - c a, eftersom - c a 2 \u003d - c a. Det är lätt att förstå att talet - - c a - också är roten till ekvationen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a .

Ekvationen kommer inte att ha några andra rötter. Vi kan visa detta med den motsatta metoden. Låt oss först ställa in notationen för rötterna ovan som x 1 och − x 1. Låt oss anta att ekvationen x 2 = - c a också har en rot x2, som skiljer sig från rötterna x 1 och − x 1. Det vet vi genom att ersätta in i ekvationen istället för x dess rötter omvandlar vi ekvationen till en rättvis numerisk likhet.

För x 1 och − x 1 skriv: x 1 2 = - c a , och för x2- x 2 2 \u003d - c a. Baserat på egenskaperna hos numeriska likheter subtraherar vi en sann likhet från en annan term för term, vilket ger oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Använd egenskaperna för taloperationer för att skriva om den senaste likheten som (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Det är känt att produkten av två tal är noll om och endast om minst ett av talen är noll. Av det sagda följer att x1 − x2 = 0 och/eller x1 + x2 = 0, vilket är detsamma x2 = x1 och/eller x 2 = − x 1. En uppenbar motsägelse uppstod, eftersom man först var överens om att roten till ekvationen x2 skiljer sig från x 1 och − x 1. Så vi har bevisat att ekvationen inte har några andra rötter än x = - c a och x = - - c a .

Vi sammanfattar alla argument ovan.

Definition 6

Ofullständig andragradsekvation a x 2 + c = 0är ekvivalent med ekvationen x 2 = - c a , som:

kommer inte att ha rötter vid - c a< 0 ;
kommer att ha två rötter x = - c a och x = - - c a när - c a > 0 .

Låt oss ge exempel på att lösa ekvationer a x 2 + c = 0.

Exempel 3

Givet en andragradsekvation 9 x 2 + 7 = 0 . Det är nödvändigt att hitta sin lösning.

Lösning

Vi överför den fria termen till höger sida av ekvationen, sedan får ekvationen formen 9 x 2 \u003d - 7.
Vi dividerar båda sidor av den resulterande ekvationen med 9 , kommer vi till x 2 = - 7 9 . På höger sida ser vi ett tal med ett minustecken, vilket betyder: den givna ekvationen har inga rötter. Sedan den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 + 7 = 0 kommer inte att ha rötter.

Svar: ekvationen 9 x 2 + 7 = 0 har inga rötter.

Exempel 4

Det är nödvändigt att lösa ekvationen − x2 + 36 = 0.

Lösning

Låt oss flytta 36 till höger sida: − x 2 = − 36.
Låt oss dela upp båda delarna i − 1 , vi får x2 = 36. På höger sida finns ett positivt tal, från vilket vi kan dra slutsatsen att x = 36 eller x = -36.
Vi extraherar roten och skriver det slutliga resultatet: en ofullständig andragradsekvation − x2 + 36 = 0 har två rötter x=6 eller x = -6.

Svar: x=6 eller x = -6.

Lösning av ekvationen a x 2 +b x=0

Låt oss analysera den tredje typen av ofullständiga andragradsekvationer, när c = 0. Att hitta en lösning på en ofullständig andragradsekvation a x 2 + b x = 0, använder vi faktoriseringsmetoden. Låt oss faktorisera polynomet, som är på vänster sida av ekvationen, och ta den gemensamma faktorn ur parentes x. Detta steg kommer att göra det möjligt att omvandla den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till dess motsvarighet x (a x + b) = 0. Och denna ekvation är i sin tur ekvivalent med ekvationsuppsättningen x=0 och a x + b = 0. Ekvationen a x + b = 0 linjär och dess rot: x = − b a.

Definition 7

Alltså den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + b x = 0 kommer att ha två rötter x=0 och x = − b a.

Låt oss konsolidera materialet med ett exempel.

Exempel 5

Det är nödvändigt att hitta lösningen av ekvationen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Lösning

Låt oss ta ut x utanför parentesen och få ekvationen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denna ekvation motsvarar ekvationerna x=0 och 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nu ska du lösa den resulterande linjära ekvationen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kortfattat skriver vi lösningen av ekvationen enligt följande:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, formel för rötterna till en andragradsekvation

För att hitta en lösning på andragradsekvationer finns en rotformel:

Definition 8

x = - b ± D2a, där D = b 2 − 4 a cär den så kallade diskriminanten för en andragradsekvation.

Att skriva x \u003d - b ± D 2 a betyder i huvudsak att x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Det kommer att vara användbart att förstå hur den angivna formeln härleddes och hur man tillämpar den.

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Antag att vi står inför uppgiften att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0. Låt oss utföra ett antal motsvarande transformationer:

dividera båda sidor av ekvationen med talet a, annorlunda än noll, får vi den reducerade andragradsekvationen: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
välj hela kvadraten på vänster sida av den resulterande ekvationen:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Efter detta kommer ekvationen att ha formen: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
nu är det möjligt att överföra de två sista termerna till höger sida, ändra tecknet till det motsatta, varefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
slutligen transformerar vi uttrycket skrivet på höger sida av den sista jämlikheten:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Vi har alltså kommit till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , vilket är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen a x 2 + b x + c = 0.

Vi diskuterade lösningen av sådana ekvationer i de föregående styckena (lösningen av ofullständiga andragradsekvationer). De erfarenheter som redan vunnits gör det möjligt att dra en slutsats om rötterna till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

för b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
för b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 har ekvationen formen x + b 2 · a 2 = 0, sedan x + b 2 · a = 0.

Härifrån är den enda roten x = - b 2 · a uppenbar;

för b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 är den korrekta: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , vilket är samma som x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, d.v.s. ekvationen har två rötter.

Det är möjligt att dra slutsatsen att närvaron eller frånvaron av rötterna till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (och därmed den ursprungliga ekvationen) beror på tecknet för uttrycket b 2 - 4 a c 4 · en 2:a skriven på höger sida. Och tecknet för detta uttryck ges av täljarens tecken, (nämnaren 4 a 2 kommer alltid att vara positivt), det vill säga uttryckets tecken b 2 − 4 a c. Detta uttryck b 2 − 4 a c ett namn ges - diskriminanten för en andragradsekvation och bokstaven D definieras som dess beteckning. Här kan du skriva ner essensen av diskriminanten - genom dess värde och tecken drar de slutsatsen om andragradsekvationen kommer att ha verkliga rötter, och i så fall hur många rötter - en eller två.

Låt oss återgå till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Låt oss skriva om det med diskriminantnotationen: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Låt oss sammanfatta slutsatserna:

Definition 9

på D< 0 ekvationen har inga egentliga rötter;
på D=0 ekvationen har en enda rot x = - b 2 · a ;
på D > 0 ekvationen har två rötter: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 eller x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Baserat på egenskaperna hos radikaler kan dessa rötter skrivas som: x \u003d - b 2 a + D 2 a eller - b 2 a - D 2 a. Och när vi öppnar modulerna och reducerar bråken till en gemensam nämnare får vi: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Så resultatet av vårt resonemang var härledningen av formeln för rötterna till andragradsekvationen:

x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminant D beräknas med formeln D = b 2 − 4 a c.

Dessa formler gör det möjligt att, när diskriminanten är större än noll, bestämma båda reella rötter. När diskriminanten är noll, kommer tillämpning av båda formlerna att ge samma rot som den enda lösningen till andragradsekvationen. I fallet när diskriminanten är negativ, när vi försöker använda kvadratisk rotformel, kommer vi att ställas inför behovet av att extrahera kvadratroten ur ett negativt tal, vilket tar oss bortom reella tal. Med en negativ diskriminant kommer andragradsekvationen inte att ha reella rötter, men ett par komplexa konjugerade rötter är möjliga, bestämt av samma rotformler som vi fick.

Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler

Det är möjligt att lösa en andragradsekvation genom att omedelbart använda rotformeln, men i princip görs detta när det är nödvändigt att hitta komplexa rötter.

I de flesta fall är sökningen vanligtvis inte avsedd för komplexa, utan efter verkliga rötter av en andragradsekvation. Då är det optimalt, innan du använder formlerna för andragradsekvationens rötter, att först bestämma diskriminanten och se till att den inte är negativ (annars drar vi slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och fortsätter sedan med att beräkna rötternas värde.

Resonemanget ovan gör det möjligt att formulera en algoritm för att lösa en andragradsekvation.

Definition 10

Att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, nödvändigt:

enligt formeln D = b 2 − 4 a c hitta värdet av diskriminanten;
på D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
för D = 0 finn den enda roten av ekvationen med formeln x = - b 2 · a ;
för D > 0, bestäm två reella rötter av andragradsekvationen med formeln x = - b ± D 2 · a.

Observera att när diskriminanten är noll kan du använda formeln x = - b ± D 2 · a , det kommer att ge samma resultat som formeln x = - b 2 · a .

Tänk på exempel.

Exempel på att lösa andragradsekvationer

Vi presenterar lösningen av exempel för olika värderingar av diskriminanten.

Exempel 6

Det är nödvändigt att hitta rötterna till ekvationen x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lösning

Vi skriver de numeriska koefficienterna för andragradsekvationen: a \u003d 1, b \u003d 2 och c = − 6. Därefter agerar vi enligt algoritmen, d.v.s. Låt oss börja beräkna diskriminanten, för vilken vi ersätter koefficienterna a , b och c i diskriminantformeln: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi fick D > 0, vilket betyder att den ursprungliga ekvationen kommer att ha två reella rötter.
För att hitta dem använder vi rotformeln x \u003d - b ± D 2 · a och, ersätter de lämpliga värdena, får vi: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Vi förenklar det resulterande uttrycket genom att ta faktorn ur rotens tecken, följt av reduktion av bråket:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = -1 + 7, x = -1 - 7.

Exempel 7

Det är nödvändigt att lösa en andragradsekvation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lösning

Låt oss definiera diskriminanten: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Med detta värde på diskriminanten kommer den ursprungliga ekvationen bara att ha en rot, bestämd av formeln x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Svar: x = 3, 5.

Exempel 8

Det är nödvändigt att lösa ekvationen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Lösning

De numeriska koefficienterna för denna ekvation kommer att vara: a = 5 , b = 6 och c = 2 . Vi använder dessa värden för att hitta diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beräknade diskriminanten är negativ, så den ursprungliga andragradsekvationen har inga egentliga rötter.

I det fall då uppgiften är att indikera komplexa rötter, tillämpar vi rotformeln genom att utföra operationer med komplexa tal:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 eller x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i eller x = - 3 5 - 1 5 i.

Svar: det finns inga riktiga rötter; de komplexa rötterna är: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

I skolans läroplan finns det som standard inget krav på att leta efter komplexa rötter, därför, om diskriminanten definieras som negativ under lösningen, registreras svaret omedelbart att det inte finns några riktiga rötter.

Rotformel för jämna andrakoefficienter

Rotformeln x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) gör det möjligt att få en annan formel, mer kompakt, som låter dig hitta lösningar på andragradsekvationer med en jämn koefficient vid x (eller med en koefficient av formen 2 a n, till exempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Låt oss visa hur denna formel härleds.

Anta att vi står inför uppgiften att hitta en lösning på andragradsekvationen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Vi agerar enligt algoritmen: vi bestämmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , och använder sedan rotformeln:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Låt uttrycket n 2 − a c betecknas som D 1 (ibland betecknas det D "). Då kommer formeln för rötterna till den betraktade andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n att ha formen:

x \u003d - n ± D 1 a, där D 1 \u003d n 2 - a c.

Det är lätt att se att D = 4 · D 1 , eller D 1 = D 4 . D 1 är med andra ord en fjärdedel av diskriminanten. Uppenbarligen är tecknet för D 1 detsamma som tecknet för D, vilket betyder att tecknet för D 1 också kan fungera som en indikator på närvaron eller frånvaron av rötterna till en andragradsekvation.

Definition 11

För att hitta en lösning på en andragradsekvation med en andra koefficient på 2 n är det alltså nödvändigt:

hitta D 1 = n 2 − a c ;
vid D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
för D 1 = 0, bestäm den enda roten av ekvationen med formeln x = - n a ;
för D 1 > 0, bestäm två reella rötter med formeln x = - n ± D 1 a.

Exempel 9

Det är nödvändigt att lösa andragradsekvationen 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lösning

Den andra koefficienten i den givna ekvationen kan representeras som 2 · (− 3) . Sedan skriver vi om den givna andragradsekvationen till 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , där a = 5 , n = − 3 och c = − 32 .

Låt oss beräkna den fjärde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Det resulterande värdet är positivt, vilket betyder att ekvationen har två reella rötter. Vi definierar dem med motsvarande formel för rötterna:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det skulle vara möjligt att utföra beräkningar med den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle lösningen vara mer besvärlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Förenkling av andragradsekvationers form

Ibland är det möjligt att optimera formen på den ursprungliga ekvationen, vilket kommer att förenkla processen för att beräkna rötterna.

Till exempel är andragradsekvationen 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 klart mer bekväm att lösa än 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Oftare utförs förenklingen av formen av en kvadratisk ekvation genom att multiplicera eller dividera dess båda delar med ett visst tal. Till exempel visade vi ovan en förenklad representation av ekvationen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, erhållen genom att dividera båda dess delar med 100.

En sådan transformation är möjlig när koefficienterna för andragradsekvationen inte är relativt primtal. Sedan delas vanligtvis båda delarna av ekvationen med den största gemensamma divisorn av de absoluta värdena för dess koefficienter.

Som ett exempel använder vi andragradsekvationen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Låt oss definiera gcd för de absoluta värdena för dess koefficienter: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Låt oss dividera båda delarna av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 och få den ekvivalenta andragradsekvationen 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Genom att multiplicera båda sidor av andragradsekvationen elimineras vanligtvis bråkkoefficienter. I det här fallet multiplicerar du med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dess koefficienter. Till exempel, om varje del av andragradsekvationen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 multipliceras med LCM (6, 3, 1) \u003d 6, kommer den att skrivas i en enklare form x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Slutligen noterar vi att nästan alltid bli av med minus vid den första koefficienten i andragradsekvationen, genom att ändra tecknen för varje term i ekvationen, vilket uppnås genom att multiplicera (eller dividera) båda delarna med − 1. Till exempel, från andragradsekvationen - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, kan du gå till dess förenklade version 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Samband mellan rötter och koefficienter

Den redan kända formeln för rötterna till andragradsekvationer x = - b ± D 2 · a uttrycker ekvationens rötter i termer av dess numeriska koefficienter. Baserat på denna formel har vi möjlighet att ställa in andra beroenden mellan rötterna och koefficienterna.

De mest kända och tillämpliga är formlerna för Vieta-satsen:

x 1 + x 2 \u003d - b a och x 2 \u003d c a.

Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, är det möjligt att omedelbart bestämma att summan av dess rötter är 7 3 och produkten av rötterna är 22 3.

Du kan också hitta ett antal andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Till exempel kan summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation uttryckas i termer av koefficienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

I det moderna samhället kan förmågan att arbeta med ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel vara användbar inom många verksamhetsområden och används flitigt i praktiken inom vetenskaplig och teknisk utveckling. Detta kan bevisas av utformningen av sjö- och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hjälp av sådana beräkningar bestäms banorna för rörelsen av olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med lösning av andragradsekvationer används inte bara i ekonomiska prognoser, vid design och konstruktion av byggnader, utan också i de vanligaste vardagliga omständigheterna. De kan behövas på campingturer, på sportevenemang, i butiker när du handlar och i andra mycket vanliga situationer.

Låt oss dela upp uttrycket i komponentfaktorer

Graden av en ekvation bestäms av maxvärdet för graden av variabeln som det givna uttrycket innehåller. Om det är lika med 2, så kallas en sådan ekvation en andragradsekvation.

Om vi talar på formlerspråk, så kan dessa uttryck, oavsett hur de ser ut, alltid föras till formen när den vänstra sidan av uttrycket består av tre termer. Bland dem: axe 2 (det vill säga en variabel kvadratisk med sin koefficient), bx (en okänd utan en kvadrat med sin koefficient) och c (fri komponent, det vill säga ett vanligt tal). Allt detta är lika med 0 på höger sida. I fallet när ett sådant polynom inte har en av sina beståndsdelar, med undantag för axel 2, kallas det en ofullständig andragradsekvation. Exempel på lösning av sådana problem, där värdet av variabler inte är svårt att hitta, bör övervägas först.

Om uttrycket ser ut att ha två termer på höger sida av uttrycket, närmare bestämt ax 2 och bx, är det lättast att hitta x genom att placera variabeln inom parentes. Nu kommer vår ekvation att se ut så här: x(ax+b). Vidare blir det uppenbart att antingen x=0, eller så reduceras problemet till att hitta en variabel från följande uttryck: ax+b=0. Detta dikteras av en av egenskaperna för multiplikation. Regeln säger att produkten av två faktorer resulterar i 0 endast om en av dem är noll.

Exempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som ett resultat får vi två rötter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationer av detta slag kan beskriva kroppars rörelse under gravitationens inverkan, som började röra sig från en viss punkt, taget som ursprung. Här har den matematiska notationen följande form: y = v 0 t + gt 2 /2. Genom att ersätta de nödvändiga värdena, likställa den högra sidan med 0 och hitta möjliga okända, kan du ta reda på tiden som förflutit från det ögonblick kroppen stiger till det ögonblick den faller, såväl som många andra storheter. Men vi kommer att prata om detta senare.

Faktorering av ett uttryck

Regeln som beskrivs ovan gör det möjligt att lösa dessa problem i mer komplexa fall. Betrakta exempel med lösningen av andragradsekvationer av denna typ.

X2 - 33x + 200 = 0

Detta kvadratiska trinomium är komplett. Först omvandlar vi uttrycket och bryter ner det i faktorer. Det finns två av dem: (x-8) och (x-25) = 0. Som ett resultat har vi två rötter 8 och 25.

Exempel med lösningen av andragradsekvationer i årskurs 9 gör att denna metod kan hitta en variabel i uttryck inte bara av andra, utan även av tredje och fjärde ordningen.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. När man faktoriserar höger sida i faktorer med en variabel, finns det tre av dem, det vill säga (x + 1), (x-3) och (x + 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att denna ekvation har tre rötter: -3; -ett; 3.

Extrahera kvadratroten

Ett annat fall av en ofullständig andra ordningens ekvation är ett uttryck skrivet på bokstävernas språk på ett sådant sätt att den högra sidan är uppbyggd av komponenterna ax 2 och c. Här, för att få värdet på variabeln, överförs den fria termen till höger sida, och därefter extraheras kvadratroten från båda sidor av likheten. Det bör noteras att i detta fall finns det vanligtvis två rötter till ekvationen. De enda undantagen är likheter som inte alls innehåller termen c, där variabeln är lika med noll, samt varianter av uttryck när den högra sidan visar sig vara negativ. I det senare fallet finns det inga lösningar alls, eftersom ovanstående åtgärder inte kan utföras med rötter. Exempel på lösningar till andragradsekvationer av denna typ bör övervägas.

I det här fallet kommer rötterna till ekvationen att vara talen -4 och 4.

Beräkning av arean av land

Behovet av denna typ av beräkningar dök upp i antiken, eftersom utvecklingen av matematik i dessa avlägsna tider till stor del berodde på behovet av att bestämma områdena och omkretsen av tomter med största noggrannhet.

Vi bör också överväga exempel med lösning av andragradsekvationer sammanställda på basis av problem av detta slag.

Så låt oss säga att det finns ett rektangulärt stycke land, vars längd är 16 meter mer än bredden. Du bör hitta webbplatsens längd, bredd och omkrets, om det är känt att dess yta är 612 m 2.

För att börja med kommer vi att göra den nödvändiga ekvationen. Låt oss beteckna sektionens bredd som x, då blir dess längd (x + 16). Det följer av det som har skrivits att arean bestäms av uttrycket x (x + 16), som, enligt tillståndet för vårt problem, är 612. Det betyder att x (x + 16) \u003d 612.

Lösningen av kompletta andragradsekvationer, och detta uttryck är just det, kan inte göras på samma sätt. Varför? Även om den vänstra sidan av den fortfarande innehåller två faktorer, är produkten av dem inte alls lika med 0, så andra metoder används här.

Diskriminerande

Först och främst kommer vi att göra de nödvändiga transformationerna, sedan kommer utseendet på detta uttryck att se ut så här: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder att vi har fått ett uttryck i den form som motsvarar den tidigare angivna standarden, där a=1, b=16, c= -612.

Detta kan vara ett exempel på att lösa andragradsekvationer genom diskriminanten. Här görs de nödvändiga beräkningarna enligt schemat: D = b 2 - 4ac. Detta hjälpvärde gör det inte bara möjligt att hitta de önskade värdena i andra ordningens ekvation, det bestämmer antalet möjliga alternativ. I fallet D>0 finns det två av dem; för D=0 finns en rot. I fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rötter och deras formel

I vårt fall är diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Detta indikerar att vårt problem har ett svar. Om du vet, måste lösningen av andragradsekvationer fortsätta med formeln nedan. Det låter dig beräkna rötterna.

Detta betyder att i det presenterade fallet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andra alternativet i detta dilemma kan inte vara en lösning, eftersom storleken på tomten inte kan mätas i negativa värden, vilket innebär att x (det vill säga bredden på tomten) är 18 m. Härifrån beräknar vi längden: 18+16=34, och omkretsen 2(34+18) = 104 (m2).

Exempel och uppgifter

Vi fortsätter studiet av andragradsekvationer. Exempel och en detaljerad lösning av flera av dem kommer att ges nedan.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Låt oss överföra allt till vänster sida av likheten, göra en transformation, det vill säga att vi får formen av ekvationen, som brukar kallas standarden, och likställa den till noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Efter att ha lagt till liknande, bestämmer vi diskriminanten: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så vår ekvation kommer att ha två rötter. Vi beräknar dem enligt ovanstående formel, vilket innebär att den första av dem kommer att vara lika med 4/3 och den andra 1.

2) Nu ska vi avslöja gåtor av ett annat slag.

Låt oss ta reda på om det överhuvudtaget finns rötter x 2 - 4x + 5 = 1 här? För att få ett uttömmande svar tar vi polynomet till motsvarande välbekanta form och beräknar diskriminanten. I det här exemplet är det inte nödvändigt att lösa andragradsekvationen, eftersom kärnan i problemet inte alls ligger i detta. I det här fallet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, vilket betyder att det verkligen inte finns några rötter.

Vietas sats

Det är bekvämt att lösa andragradsekvationer genom formlerna ovan och diskriminanten, när kvadratroten extraheras från värdet av den senare. Men detta händer inte alltid. Det finns dock många sätt att få värdena för variabler i det här fallet. Exempel: lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas sats. Den är uppkallad efter en man som levde i 1500-talets Frankrike och hade en lysande karriär tack vare sin matematiska talang och förbindelser vid hovet. Hans porträtt kan ses i artikeln.

Mönstret som den berömda fransmannen lade märke till var följande. Han bevisade att summan av ekvationens rötter är lika med -p=b/a, och deras produkt motsvarar q=c/a.

Låt oss nu titta på specifika uppgifter.

3x2 + 21x - 54 = 0

För enkelhetens skull, låt oss omvandla uttrycket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Med hjälp av Vieta-satsen kommer detta att ge oss följande: summan av rötterna är -7, och deras produkt är -18. Härifrån får vi att rötterna till ekvationen är talen -9 och 2. Efter att ha gjort en kontroll kommer vi att se till att dessa värden på variablerna verkligen passar in i uttrycket.

Graf och ekvation av en parabel

Begreppen en andragradsfunktion och andragradsekvationer är nära besläktade. Exempel på detta har redan givits tidigare. Låt oss nu titta på några matematiska pussel lite mer detaljerat. Vilken ekvation som helst av den beskrivna typen kan representeras visuellt. Ett sådant beroende, ritat i form av en graf, kallas en parabel. Dess olika typer visas i figuren nedan.

Varje parabel har en vertex, det vill säga en punkt från vilken dess grenar kommer ut. Om a>0 går de högt till oändlighet, och när a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella representationer av funktioner hjälper till att lösa alla ekvationer, inklusive kvadratiska. Denna metod kallas grafisk. Och värdet på x-variabeln är abskisskoordinaten vid de punkter där graflinjen skär 0x. Koordinaterna för vertex kan hittas med formeln som just ges x 0 = -b / 2a. Och genom att ersätta det resulterande värdet i den ursprungliga ekvationen för funktionen, kan du ta reda på y 0, det vill säga den andra koordinaten för parabelns vertex som hör till y-axeln.

Skärningen av parabelns grenar med abskissaxeln

Det finns många exempel på lösning av andragradsekvationer, men det finns också generella mönster. Låt oss överväga dem. Det är tydligt att skärningen av grafen med 0x-axeln för a>0 endast är möjlig om y 0 tar negativa värden. Och för en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Från grafen för en parabel kan du också bestämma rötterna. Det omvända är också sant. Det vill säga, om det inte är lätt att få en visuell representation av en kvadratisk funktion, kan du likställa den högra sidan av uttrycket med 0 och lösa den resulterande ekvationen. Och genom att känna till skärningspunkterna med 0x-axeln är det lättare att plotta.

Från historien

Med hjälp av ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel, i gamla dagar, gjorde inte bara matematiska beräkningar och bestämde arean av geometriska former. De gamla behövde sådana beräkningar för storslagna upptäckter inom fysik och astronomi, såväl som för att göra astrologiska prognoser.

Som moderna vetenskapsmän föreslår var invånarna i Babylon bland de första att lösa andragradsekvationer. Det hände fyra århundraden före vår tideräknings tillkomst. Naturligtvis var deras beräkningar fundamentalt annorlunda än de som för närvarande accepteras och visade sig vara mycket mer primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om förekomsten av negativa tal. De var också obekanta med andra subtiliteter av dem som någon student i vår tid kände till.

Kanske till och med tidigare än Babylons vetenskapsmän tog vismannen från Indien, Baudhayama, upp lösningen av andragradsekvationer. Detta hände ungefär åtta århundraden före Kristi era. Det är sant att andra ordningens ekvationer, de metoder för att lösa som han gav, var de enklaste. Förutom honom var kinesiska matematiker också intresserade av liknande frågor förr i tiden. I Europa började andragradsekvationer lösas först i början av 1200-talet, men senare användes de i deras arbete av så stora vetenskapsmän som Newton, Descartes och många andra.

Andragradsekvation - lätt att lösa! *Vidare i texten "KU". Vänner, det verkar som om det i matematik kan vara lättare än att lösa en sådan ekvation. Men något sa mig att många har problem med honom. Jag bestämde mig för att se hur många visningar Yandex ger per begäran per månad. Här är vad som hände, ta en titt:

Vad betyder det? Det betyder att cirka 70 000 personer i månaden söker den här informationen, och det här är sommar, och vad som kommer att hända under läsåret – det kommer att finnas dubbelt så många förfrågningar. Detta är inte förvånande, eftersom de killar och tjejer som länge har tagit examen från skolan och förbereder sig för provet letar efter denna information, och skolbarn försöker också fräscha upp minnet.

Trots att det finns en hel del sajter som berättar hur man löser denna ekvation så bestämde jag mig för att även bidra och publicera materialet. För det första vill jag att besökare ska komma till min sida på denna begäran; för det andra, i andra artiklar, när talet "KU" kommer upp, kommer jag att ge en länk till denna artikel; för det tredje kommer jag att berätta lite mer om hans lösning än vad som brukar anges på andra sajter. Låt oss börja! Innehållet i artikeln:

En andragradsekvation är en ekvation av formen:

där koefficienterna a,boch med godtyckliga tal, med a≠0.

I skolkursen ges materialet i följande form - uppdelningen av ekvationer i tre klasser görs villkorligt:

1. Har två rötter.

2. * Har bara en rot.

3. Har inga rötter. Det är värt att notera här att de inte har riktiga rötter

Hur beräknas rötter? Bara!

Vi beräknar diskriminanten. Under detta "hemska" ord ligger en mycket enkel formel:

Rotformlerna är följande:

*Dessa formler måste vara kända utantill.

Du kan omedelbart skriva ner och bestämma:

Exempel:

1. Om D > 0 har ekvationen två rötter.

2. Om D = 0, så har ekvationen en rot.

3. Om D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Låt oss titta på ekvationen:

Vid detta tillfälle, när diskriminanten är noll, säger skolkursen att en rot erhålls, här är den lika med nio. Det stämmer, det är det, men...

Denna framställning är något felaktig. I själva verket finns det två rötter. Ja, ja, bli inte förvånad, det visar sig två lika stora rötter, och för att vara matematiskt korrekt bör två rötter skrivas i svaret:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det är så - en liten utvikning. I skolan kan man skriva ner och säga att det bara finns en rot.

Nu följande exempel:

Som vi vet extraheras inte roten av ett negativt tal, så det finns ingen lösning i det här fallet.

Det är hela beslutsprocessen.

Kvadratisk funktion.

Så här ser lösningen ut geometriskt. Detta är extremt viktigt att förstå (i framtiden, i en av artiklarna, kommer vi att analysera i detalj lösningen av en kvadratisk ojämlikhet).

Detta är en funktion av formuläret:

där x och y är variabler

a, b, c ges tal, där a ≠ 0

Grafen är en parabel:

Det vill säga, det visar sig att genom att lösa en andragradsekvation med "y" lika med noll, hittar vi parabelns skärningspunkter med x-axeln. Det kan finnas två av dessa punkter (diskriminanten är positiv), en (diskriminanten är noll) eller ingen (diskriminanten är negativ). Mer om den kvadratiska funktionen Du kan se artikel av Inna Feldman.

Tänk på exempel:

Exempel 1: Bestäm dig 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = -12

* Du kan direkt dividera vänster och höger sida av ekvationen med 2, det vill säga förenkla den. Beräkningarna blir lättare.

Exempel 2: Besluta x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fick det x 1 \u003d 11 och x 2 \u003d 11

I svaret är det tillåtet att skriva x = 11.

Svar: x = 11

Exempel 3: Besluta x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten är negativ, det finns ingen lösning i reella tal.

Svar: ingen lösning

Diskriminanten är negativ. Det finns en lösning!

Här kommer vi att prata om att lösa ekvationen i fallet när en negativ diskriminant erhålls. Kan du något om komplexa tal? Jag kommer inte att gå in i detalj här om varför och var de uppstod och vad deras specifika roll och nödvändighet i matematik är, detta är ett ämne för en stor separat artikel.

Begreppet ett komplext tal.

Lite teori.

Ett komplext tal z är ett tal av formen

z = a + bi

där a och b är reella tal, i är den så kallade imaginära enheten.

a+bi är ett ENKELTAL, inte ett tillägg.

Den imaginära enheten är lika med roten av minus ett:

Tänk nu på ekvationen:

Få två konjugerade rötter.

Ofullständig andragradsekvation.

Tänk på speciella fall, det är när koefficienten "b" eller "c" är lika med noll (eller båda är lika med noll). De löses enkelt utan diskriminering.

Fall 1. Koefficient b = 0.

Ekvationen tar formen:

Låt oss förvandla:

Exempel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koefficient c = 0.

Ekvationen tar formen:

Förvandla, faktorisera:

*Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Exempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koefficienter b = 0 och c = 0.

Här är det tydligt att lösningen till ekvationen alltid kommer att vara x = 0.

Användbara egenskaper och mönster av koefficienter.

Det finns egenskaper som tillåter att lösa ekvationer med stora koefficienter.

ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a + b+ c = 0, sedan

— om för ekvationens koefficienter ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a+ med =b, sedan

Dessa egenskaper hjälper till att lösa en viss typ av ekvation.

Exempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summan av koefficienterna är 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, alltså

Exempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jämlikhet a+ med =b, betyder att

Regelbundenheter av koefficienter.

1. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Om i ekvationen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" är lika med (en 2 – 1), och koefficienten "c" numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx - c \u003d 0 är lika med (a 2 - 1), och koefficienten c är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas sats.

Vietas teorem är uppkallad efter den berömde franske matematikern Francois Vieta. Med hjälp av Vietas teorem kan man uttrycka summan och produkten av rötterna till en godtycklig KU i termer av dess koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sammanfattningsvis ger talet 14 bara 5 och 9. Dessa är rötterna. Med en viss skicklighet, med hjälp av den presenterade satsen, kan du lösa många andragradsekvationer omedelbart muntligt.

Vietas sats dessutom. bekvämt eftersom efter att ha löst andragradsekvationen på vanligt sätt (genom diskriminanten) kan de resulterande rötterna kontrolleras. Jag rekommenderar att du gör detta hela tiden.

ÖVERFÖRINGSMETOD

Med denna metod multipliceras koefficienten "a" med den fria termen, som om den "överförs" till den, varför den kallas överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Om en a± b+c≠ 0, då används överföringstekniken, till exempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Enligt Vieta-satsen i ekvation (2) är det lätt att bestämma att x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De erhållna rötterna av ekvationen måste delas med 2 (eftersom de två "kastades" från x 2), får vi

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Vad är motiveringen? Se vad som händer.

Diskriminanterna i ekvationerna (1) och (2) är:

Om du tittar på rötterna till ekvationerna erhålls bara olika nämnare, och resultatet beror exakt på koefficienten vid x 2:

De andra (modifierade) rötterna är 2 gånger större.

Därför delar vi resultatet med 2.

*Om vi slår tre lika delar vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kvm ur-ie och tentamen.

Jag kommer att säga kort om dess betydelse - DU BÖR KUNNA BESLUTA snabbt och utan att tänka, du måste kunna formlerna för rötterna och diskriminanten utantill. Många av uppgifterna som ingår i USE-uppgifterna handlar om att lösa en andragradsekvation (inklusive geometriska).

Vad är värt att notera!

1. Formen på ekvationen kan vara "implicit". Till exempel är följande post möjlig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du måste ta det till en standardform (för att inte bli förvirrad när du löser).

2. Kom ihåg att x är ett okänt värde och det kan betecknas med vilken bokstav som helst - t, q, p, h och andra.

Diskriminanten, såväl som andragradsekvationer, börjar studeras i algebrakursen i årskurs 8. Du kan lösa en andragradsekvation genom diskriminanten och med hjälp av Vieta-satsen. Metodiken för att studera andragradsekvationer, såväl som den diskriminerande formeln, är ganska misslyckat ingjutna i skolbarn, som mycket i verklig utbildning. Därför går skolåren, utbildning i årskurs 9-11 ersätter "högre utbildning" och alla söker återigen - "Hur löser man en andragradsekvation?", "Hur hittar man rötterna till en ekvation?", "Hur hittar man diskriminanten?" och...

Diskriminerande formel

Diskriminanten D i andragradsekvationen a*x^2+bx+c=0 är D=b^2–4*a*c.
Rötterna (lösningarna) till andragradsekvationen beror på tecknet för diskriminanten (D):
D>0 - ekvationen har 2 olika reella rötter;
D=0 - ekvationen har 1 rot (2 sammanfallande rötter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formeln för att beräkna diskriminant är ganska enkel, så många sajter erbjuder en diskriminerande miniräknare online. Vi har inte kommit på den här typen av skript än, så vem vet hur man implementerar detta, vänligen skriv till mejlet Den här e-postadressen skyddas från spambots. Du måste ha JavaScript aktiverat för att kunna se. .

Allmän formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation:

Rötterna till ekvationen hittas av formeln
Om koefficienten för variabeln i kvadrat är parad, är det tillrådligt att inte beräkna diskriminanten utan dess fjärde del
I sådana fall hittas ekvationens rötter av formeln

Det andra sättet att hitta rötter är Vietas sats.

Satsen är formulerad inte bara för andragradsekvationer, utan även för polynom. Du kan läsa detta på Wikipedia eller andra elektroniska resurser. Men för att förenkla, tänk på den del av den som rör de reducerade andragradsekvationerna, det vill säga ekvationer av formen (a=1)
Kärnan i Vieta-formlerna är att summan av rötterna i ekvationen är lika med koefficienten för variabeln, taget med motsatt tecken. Produkten av ekvationens rötter är lika med den fria termen. Formlerna i Vietas sats har en notation.
Härledningen av Vieta-formeln är ganska enkel. Låt oss skriva andragradsekvationen i termer av primtalsfaktorer
Som du kan se är allt genialt enkelt på samma gång. Det är effektivt att använda Vieta-formeln när skillnaden i rötternas modul eller skillnaden i rötternas modul är 1, 2. Till exempel har följande ekvationer, enligt Vieta-satsen, rötter

Upp till 4 ekvationsanalyser bör se ut så här. Produkten av ekvationens rötter är 6, så rötterna kan vara värdena (1, 6) och (2, 3) eller par med motsatt tecken. Summan av rötterna är 7 (koefficienten för variabeln med motsatt tecken). Härifrån drar vi slutsatsen att lösningarna av andragradsekvationen är lika med x=2; x=3.
Det är lättare att välja ekvationens rötter bland delarna av den fria termen, korrigera deras tecken för att uppfylla Vieta-formlerna. I början verkar detta vara svårt att göra, men med övning på ett antal andragradsekvationer kommer denna teknik att vara mer effektiv än att beräkna diskriminanten och hitta rötter till andragradsekvationen på klassiskt sätt.
Som du kan se saknar skolans teori om att studera diskriminanten och sätt att hitta lösningar på ekvationen praktisk betydelse - "Varför behöver skolbarn en andragradsekvation?", "Vad är den fysiska innebörden av diskriminanten?".

Låt oss försöka lista ut det vad beskriver diskriminanten?

Under algebra studerar de funktioner, scheman för att studera funktioner och plotta funktioner. Av alla funktioner upptas en viktig plats av en parabel, vars ekvation kan skrivas i formen
Så den fysiska betydelsen av andragradsekvationen är nollorna i parabeln, det vill säga skärningspunkterna för grafen för funktionen med abskissaxeln Ox
Jag ber dig komma ihåg egenskaperna hos paraboler som beskrivs nedan. Det är dags att göra prov, prov eller antagningsprov och du kommer att vara tacksam för referensmaterialet. Tecknet för variabeln i kvadraten motsvarar om grenarna av parabeln på grafen kommer att gå upp (a>0),

eller en parabel med grenar nedåt (a<0) .

Spetsen på parabeln ligger mitt emellan rötterna

Den fysiska betydelsen av diskriminanten:

Om diskriminanten är större än noll (D>0) har parabeln två skärningspunkter med Ox-axeln.
Om diskriminanten är lika med noll (D=0) så rör parabeln överst vid x-axeln.
Och det sista fallet, när diskriminanten är mindre än noll (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).