Funkcije kompleksne spremenljivke.
Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Ta članek odpira serijo lekcij, v katerih si bom ogledal tipične naloge povezana s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke. Če želite uspešno obvladati primere, jih morate imeti osnovno znanje o kompleksnih številkah. Za utrjevanje in ponovitev gradiva je dovolj, da obiščete stran. Za iskanje boste potrebovali tudi spretnosti delne izpeljanke drugega reda. Tukaj so, te delne izpeljanke ... tudi zdaj sem bil malo presenečen, kako pogosto se pojavljajo ...

Tema, ki jo začenjamo analizirati, ni posebej težka, v funkcijah kompleksne spremenljivke pa je načeloma vse jasno in dostopno. Glavna stvar je, da se držim osnovnega pravila, ki sem ga izpeljal empirično. Beri naprej!

Pojem funkcije kompleksne spremenljivke

Najprej osvežimo svoje znanje o šolski funkciji ene spremenljivke:

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, po katerem vsaki vrednosti neodvisne spremenljivke (iz domene definicije) ustreza ena in samo ena vrednost funkcije. Seveda sta "x" in "y" pravi številki.

V kompleksnem primeru je funkcionalna odvisnost podana podobno:

Enovrednostna funkcija kompleksne spremenljivke je pravilo, da vsi integrirano vrednost neodvisne spremenljivke (iz domene) ustreza eni in edini celovito vrednost funkcije. V teoriji se upoštevajo tudi večvrednostne in nekatere druge vrste funkcij, vendar se bom zaradi poenostavitve osredotočil na eno definicijo.

Kakšna je funkcija kompleksne spremenljivke?

Glavna razlika je v tem, da so številke zapletene. Nisem ironičen. Od takšnih vprašanj pogosto zapadejo v omamljenost, na koncu članka bom povedal kul zgodbo. Na lekciji Kompleksne številke za lutke obravnavali smo kompleksno število v obliki . Od zdaj je črka "Z" postala spremenljivka, potem ga bomo označili na naslednji način: , medtem ko sta "x" in "y" lahko različna veljaven vrednote. Grubo rečeno je funkcija kompleksne spremenljivke odvisna od spremenljivk in , ki imajo "običajne" vrednosti. Od to dejstvo logično sledi naslednja točka:

Funkcijo kompleksne spremenljivke lahko zapišemo kot:
, kjer sta in dve funkciji dveh veljaven spremenljivke.

Funkcija se kliče pravi del funkcije .
Funkcija se kliče namišljeni del funkcije .

To pomeni, da je funkcija kompleksne spremenljivke odvisna od dveh realnih funkcij in . Da končno vse razjasnimo, si oglejmo praktične primere:

Primer 1

Odločitev: Neodvisna spremenljivka "z", kot se spomnite, je zapisana kot , torej:

(1) Nadomeščeno v prvotno funkcijo.

(2) Za prvi člen je bila uporabljena reducirana formula za množenje. V mandatu so bili odprti oklepaji.

(3) Previdno kvadrirajte, da tega ne pozabite

(4) Preureditev izrazov: najprej prepiši izraze , v katerem ni namišljene enote(prva skupina), nato izrazi, kjer je (druga skupina). Treba je opozoriti, da ni treba premešati pogojev in tej fazi lahko preskočite (pravzaprav to storite ustno).

(5) Druga skupina je vzeta iz oklepaja.

Kot rezultat, se je izkazalo, da je naša funkcija predstavljena v obliki

odgovor:
je pravi del funkcije.
je imaginarni del funkcije.

Kakšne so te funkcije? Najbolj običajne funkcije dveh spremenljivk, iz katerih je mogoče najti tako priljubljene delne izpeljanke. Brez usmiljenja - našli bomo. Ampak malo kasneje.

Na kratko lahko algoritem rešenega problema zapišemo takole: zamenjamo v izvirno funkcijo, izvedemo poenostavitve in vse izraze razdelimo v dve skupini - brez imaginarne enote (realni del) in z imaginarno enoto (namišljeni del).

Primer 2

Poiščite dejanski in namišljeni del funkcije

To je primer "naredi sam". Preden se vržete v boj na zapletenem letalu z osnutki, naj vam dam največ pomemben nasvet na to temo:

BODI PREVIDEN! Seveda morate biti previdni povsod, a pri kompleksnih številkah bi morali biti previdni bolj kot kdaj koli prej! Ne pozabite, da previdno razširite oklepaje, ne izgubite ničesar. Po mojih opažanjih je najpogostejša napaka izguba znaka. Ne hitite!

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Zdaj kocka. Z uporabo skrajšane formule za množenje izpeljemo:
.

Formule so zelo priročne za uporabo v praksi, saj močno pospešijo proces reševanja.

Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Imam dve novici: dobro in slabo. Začel bom z dobrim. Za funkcijo kompleksne spremenljivke veljajo pravila diferenciacije in tabela izvodov elementarnih funkcij. Tako je izpeljanka vzeta na popolnoma enak način kot v primeru funkcije realne spremenljivke.

Slaba novica je, da za številne funkcije kompleksne spremenljivke sploh ni izpeljanke in morate ugotoviti je diferenciran eno ali drugo funkcijo. In »ugotavljanje«, kako se počuti vaše srce, je povezano z dodatnimi težavami.

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke. Za razlikovanje te funkcije je potrebno in zadostno, da:

1) Da obstajajo delni derivati ​​prvega reda. Takoj pozabite na te zapise, saj se v teoriji funkcije kompleksne spremenljivke tradicionalno uporablja druga različica zapisa: .

2) Za izvedbo t.i Cauchy-Riemannovi pogoji:

Samo v tem primeru bo izpeljanka obstajala!

Primer 3

Odločitev razdeljen na tri zaporedne stopnje:

1) Poiščite dejanski in namišljeni del funkcije. Ta naloga je bila analizirana v prejšnjih primerih, zato jo bom zapisal brez komentarja:

Od takrat:

Takole:

je imaginarni del funkcije.

Ustavil se bom še pri enem tehnični trenutek: v kakšnem vrstnem redu pisati izraze v realnih in namišljenih delih? Ja, v bistvu je vseeno. Na primer, pravi del je mogoče zapisati takole: , in namišljeno - takole: .

2) Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Dva sta.

Začnimo s preverjanjem stanja. Najdemo delne izpeljanke:

Tako je pogoj izpolnjen.

Nedvomno je dobra novica, da so delni izpeljanki skoraj vedno zelo preprosti.

Preverimo izpolnjevanje drugega pogoja:

Izkazalo se je isto, vendar z nasprotnimi znaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferencibilna.

3) Poiščite izvod funkcije. Izpeljanka je tudi zelo preprosta in jo najdemo po običajnih pravilih:

Imaginarna enota v diferenciaciji velja za konstanto.

odgovor: - pravi del je imaginarni del.
Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, .

Obstajata še dva načina za iskanje izpeljanke, ki se seveda uporabljata manj pogosto, vendar bodo informacije koristne za razumevanje druge lekcije - Kako najti funkcijo kompleksne spremenljivke?

Izvod je mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

Tako

Rešiti je treba inverzno težavo - v nastalem izrazu morate izolirati . Da bi to naredili, je treba izraziti in vzeti iz oklepajev:

Obratno dejanje je, kot so mnogi opazili, nekoliko težje izvesti; za preverjanje je vedno bolje vzeti izraz in na osnutku ali verbalno odpreti oklepaje nazaj in se prepričati, da se izkaže natančno

Zrcalna formula za iskanje izpeljanke:

V tem primeru: , Zato:

Primer 4

Določite dejanski in namišljeni del funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Če so izpolnjeni Cauchy-Riemannovi pogoji, poiščite izvod funkcije.

Hitra rešitev in zgledni vzorec zaključna dela na koncu lekcije.

Ali so Cauchy-Riemannovi pogoji vedno izpolnjeni? Teoretično pogosteje niso izpolnjeni kot so. Ampak v praktični primeri Ne spomnim se primera, ko ne bi bili izpolnjeni =) Torej, če se vaši delni izpeljanki "niso zbližali", lahko z zelo veliko verjetnostjo rečemo, da ste se nekje zmotili.

Zapletemo svoje funkcije:

Primer 5

Določite dejanski in namišljeni del funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj

Odločitev: Algoritem rešitve je v celoti ohranjen, na koncu pa je dodana nova muha: iskanje izpeljanke v točki. Za kocko je bila zahtevana formula že izpeljana:

Definirajmo dejanski in imaginarni del te funkcije:

Pozor in še enkrat pozornost!

Od takrat:


Takole:
je pravi del funkcije;
je imaginarni del funkcije.

Preverjanje drugega pogoja:

Izkazalo se je isto, vendar z nasprotnimi znaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferencibilna:

Izračunajte vrednost izpeljanke na zahtevani točki:

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni,

Funkcije s kockami so pogoste, zato primer za konsolidacijo:

Primer 6

Določite dejanski in namišljeni del funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj .

Odločitev in zaključek vzorca na koncu lekcije.

V teoriji kompleksne analize so opredeljene tudi druge funkcije kompleksnega argumenta: eksponentna, sinusna, kosinusna itd. Te funkcije imajo nenavadne in celo bizarne lastnosti – in to je res zanimivo! Resnično vam želim povedati, a tukaj se je tako zgodilo, ne referenčna knjiga ali učbenik, ampak rešitev, zato bom obravnaval isto nalogo z nekaterimi običajnimi funkcijami.

Najprej o t.i Eulerjeve formule:

Za vsakogar veljavenštevilk veljajo naslednje formule:

Lahko ga tudi kopirate v svoj zvezek kot referenco.

Strogo gledano, obstaja samo ena formula, običajno pa za udobje tudi pišejo poseben primer z indikatorjem minus. Ni nujno, da je parameter ena črka, lahko je zapleten izraz, funkcija, pomembno je le, da vzamejo velja samo vrednote. Pravzaprav bomo to zdaj videli:

Primer 7

Poiščite izpeljanko.

Odločitev: Splošna linija stranke ostaja neomajna - izpostaviti je treba resnične in namišljene dele funkcije. Podal bom podrobno rešitev in komentiral vsak korak spodaj:

Od takrat:

(1) Nadomestek za "z".

(2) Po zamenjavi je treba ločiti realni in namišljeni del prvi v eksponentu razstavljavci. Če želite to narediti, odprite oklepaje.

(3) Združimo imaginarni del indikatorja, tako da imaginarno enoto postavimo iz oklepajev.

(4) Uporaba šolska akcija z stopinjami.

(5) Za množitelj uporabljamo Eulerjevo formulo , medtem ko .

(6) Odpremo oklepaje, kot rezultat:

je pravi del funkcije;
je imaginarni del funkcije.

Nadaljnja dejanja so standardna, preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev:

Primer 9

Določite dejanski in namišljeni del funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Naj bo tako, izpeljanke ne bomo našli.

Odločitev: Algoritem rešitve je zelo podoben prejšnjima dvema primeroma, vendar jih je zelo pomembne točke, Zato Prva faza Ponovno bom komentiral korak za korakom:

Od takrat:

1) Namesto "z" zamenjamo.

(2) Najprej izberite resnični in namišljeni del znotraj sinusa. V ta namen odprite oklepaje.

(3) Uporabljamo formulo , medtem ko .

(4) Uporaba pariteta hiperboličnega kosinusa: in hiperbolična sinusna liha: . Hiperbolike, čeprav niso iz tega sveta, so v mnogih pogledih podobne podobnim trigonometričnim funkcijam.

na koncu:
je pravi del funkcije;
je imaginarni del funkcije.

Pozor! Znak minus se nanaša na namišljeni del in ga v nobenem primeru ne smemo izgubiti! Za vizualno ponazoritev lahko zgornji rezultat prepišemo na naslednji način:

Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev:

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni.

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni.

S kosinusom, dame in gospodje, sami razumemo:

Primer 10

Določite realni in namišljeni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

Namenoma sem pobral bolj zapletene primere, saj se vsak lahko spopade z olupljenimi arašidi. Hkrati trenirajte svojo pozornost! Hrestač na koncu lekcije.

No, za zaključek bom razmislil še o enem zanimiv primer ko je kompleksni argument v imenovalcu. Nekajkrat smo se srečali v praksi, analizirajmo nekaj preprostega. Joj, staram se...

Primer 11

Določite realni in namišljeni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

Odločitev: Ponovno je treba ločiti resnični in namišljeni del funkcije.
Če, potem

Postavlja se vprašanje, kaj storiti, ko je "Z" v imenovalcu?

Vse je preprosto - standard bo pomagal metoda množenja števca in imenovalca s konjugiranim izrazom, je bil že uporabljen v primerih lekcije Kompleksne številke za lutke. Spomnimo se šolske formule. V imenovalcu že imamo , tako da bo konjugirani izraz . Tako morate števec in imenovalec pomnožiti z: