Formule za korenine kvadratne enačbe. Upoštevani so primeri resničnih, večkratnih in kompleksnih korenin. Faktorizacija kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenin in faktorizacije.

Osnovne formule

Razmislite o kvadratni enačbi:
(1) .
Korenine kvadratne enačbe(1) so določene s formulami:
; .
Te formule je mogoče kombinirati na naslednji način:
.
Ko so korenine kvadratne enačbe znane, lahko polinom druge stopnje predstavimo kot produkt faktorjev (faktoriziranih):
.

Nadalje predpostavljamo, da so to resnične številke.
Razmislite diskriminanta kvadratne enačbe:
.
Če je diskriminanta pozitivna, ima kvadratna enačba (1) dve različni realni koreni:
; .
Potem ima faktorizacija kvadratnega trinoma obliko:
.
Če je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba (1) dva večkratna (enaka) realna korena:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminanta negativna, ima kvadratna enačba (1) dva kompleksna konjugirana korena:
;
.
Tukaj je namišljena enota, ;
in so resnični in namišljeni deli korenin:
; .
Potem

.

Grafična interpretacija

Če grafično prikažemo funkcijo
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko , graf seka abscisno os (os) v dveh točkah.
Ko se graf na eni točki dotakne osi x.
Ko , graf ne prečka osi x.

Spodaj so primeri takšnih grafov.

Uporabne formule, povezane s kvadratno enačbo

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe

Izvedemo transformacije in uporabimo formule (f.1) in (f.3):




,
kje
; .

Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
Iz tega je razvidno, da je enačba

izvajal pri
in .
To je in so korenine kvadratne enačbe
.

Primeri določanja korenin kvadratne enačbe

Primer 1

(1.1) .

Odločitev

.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Ker je diskriminanta pozitivna, ima enačba dve dejanski koreni:
;
;
.

Od tu dobimo razgradnjo kvadratnega trinoma na faktorje:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prečka os x v dveh točkah.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Prečka x-os (os) v dveh točkah:
in .
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primer 2

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1) .

Odločitev

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Ker je diskriminanta nič, ima enačba dva večkratna (enaka) korena:
;
.

Potem ima faktorizacija trinoma obliko:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 na eni točki se dotakne osi x.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Na eni točki se dotakne osi x (os):
.
Ta točka je koren prvotne enačbe (2.1). Ker je ta koren razložen dvakrat:
,
potem se tak koren imenuje večkratnik. To pomeni, da menijo, da obstajata dve enaki korenini:
.

Odgovori

;
.

Primer 3

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1) .

Odločitev

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
(1) .
Prepišimo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativen, . Zato pravih korenin ni.

Najdete lahko zapletene korenine:
;
;
.

Potem


.

Graf funkcije ne prečka osi x. Pravih korenin ni.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne prečka abscise (os). Zato pravih korenin ni.

Odgovori

Pravih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za reševanje kvadratnih enačb // Mladi znanstvenik. - 2016. - Št. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Naš projekt je posvečen načinom reševanja kvadratnih enačb. Namen projekta: naučiti se reševati kvadratne enačbe na načine, ki niso vključeni v šolski kurikulum. Naloga: poiščite vse možne načine reševanja kvadratnih enačb in se naučite, kako jih sami uporabljati in sošolce seznaniti s temi metodami.

Kaj so "kvadratne enačbe"?

Kvadratna enačba- enačba obrazca sekira2 + bx + c = 0, kje a, b, c- nekaj številk ( a ≠ 0), x- neznano.

Številke a, b, c imenujemo koeficienti kvadratne enačbe.

• a se imenuje prvi koeficient;
• b se imenuje drugi koeficient;
• c - prosti član.

In kdo je prvi »izumil« kvadratne enačbe?

Nekatere algebraične tehnike za reševanje linearnih in kvadratnih enačb so bile znane že pred 4000 leti v starodavnem Babilonu. Najdene starodavne babilonske glinene tablice, datirane nekje med letoma 1800 in 1600 pr.n.št., so najzgodnejši dokaz preučevanja kvadratnih enačb. Iste tablice vsebujejo metode za reševanje določenih vrst kvadratnih enačb.

Potrebo po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje v starih časih je povzročila potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin kopnega in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi z razvojem astronomije in sama matematika.

Pravilo za reševanje teh enačb, navedeno v babilonskih besedilih, v bistvu sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila dajejo le težave z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene. Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu v klinopisnih besedilih manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

Babilonski matematiki iz približno 4. stoletja pr. uporabil metodo kvadratnega komplementa za reševanje enačb s pozitivnimi koreni. Okoli 300 pr.n.št. Euclid je prišel do splošnejše metode geometrijske rešitve. Prvi matematik, ki je našel rešitve enačbe z negativnimi koreninami v obliki algebraične formule, je bil indijski znanstvenik. Brahmagupta(Indija, 7. stoletje n.št.).

Brahmagupta je orisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

ax2 + bx = c, a>0

V tej enačbi so lahko koeficienti negativni. Brahmaguptino pravilo v bistvu sovpada z našim.

V Indiji so bila javna tekmovanja pri reševanju težkih problemov običajna. V eni od starih indijskih knjig o takih tekmovanjih piše takole: »Kakor sonce zasenči zvezde s svojim sijajem, tako bo učen človek zasenčil slavo na javnih srečanjih, predlagal in reševal algebraične probleme.« Naloge so bile pogosto oblečene v poetično obliko.

V algebraični razpravi Al-Khwarizmi podana je klasifikacija linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb in jih izrazi takole:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", to je ax2 = bx.

2) "Kvadrati so enaki številu", to je ax2 = c.

3) "Koreni so enaki številu", to je ax2 = c.

4) "Kvadrati in števila so enaki koreninam", to je ax2 + c = bx.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", to je ax2 + bx = c.

6) "Korene in števila so enaki kvadratom", to je bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, so izrazi vsake od teh enačb seštevanja in ne odštevanja. V tem primeru se enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, očitno ne upoštevajo. Avtor opisuje metode za reševanje teh enačb z uporabo metod al-jabr in al-muqabala. Njegova odločitev seveda ne sovpada povsem z našo. Da ne omenjam dejstva, da gre zgolj za retorično, je treba na primer opozoriti, da Al-Khwarizmi, tako kot vsi matematiki pred 17. stoletjem, pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste ne upošteva ničle. rešitev, verjetno zato, ker pri konkretnih praktičnih nalogah ni pomembna. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb Al-Khwarizmi določi pravila za njihovo reševanje s posebnimi številčnimi primeri in nato z njihovimi geometrijskimi dokazi.

Oblike za reševanje kvadratnih enačb po modelu Al-Khwarizmija v Evropi so bile prvič opisane v "Knjigi Abacus", napisani leta 1202. italijanski matematik Leonard Fibonacci. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in je prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil.

Ta knjiga je pripomogla k širjenju algebraičnega znanja ne le v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz te knjige so bile prenesene v skoraj vse evropske učbenike 14.-17. stoletja. Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reduciranih na eno samo kanonično obliko x2 + bx = c z vsemi možnimi kombinacijami predznakov in koeficientov b, c, je bilo oblikovano v Evropi leta 1544. M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta prepoznal le pozitivne korene. italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli med prvimi v 16. stoletju. upoštevajte poleg pozitivnih in negativne korenine. Šele v XVII stoletju. zahvaljujoč delu Girard, Descartes, Newton in drugih znanstvenikov, način reševanja kvadratnih enačb dobi sodobno obliko.

Razmislite o več načinih reševanja kvadratnih enačb.

Standardni načini reševanja kvadratnih enačb iz šolskega učnega načrta:

1. Faktorizacija leve strani enačbe.
2. Metoda izbire polnega kvadrata.
3. Rešitev kvadratnih enačb po formuli.
4. Grafična rešitev kvadratne enačbe.
5. Rešitev enačb z uporabo Vietinega izreka.

Podrobneje se zadržimo na rešitvi reduciranih in nereduciranih kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Spomnimo se, da je za rešitev dane kvadratne enačbe dovolj poiskati dve števili, katerih produkt je enak prostemu členu, vsota pa je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom.

Primer.x 2 -5x+6=0

Najti morate števila, katerih zmnožek je 6 in vsota 5. Ti številki bosta 3 in 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Toda to metodo lahko uporabite za enačbe, pri katerih prvi koeficient ni enak eni.

Primer.3x 2 +2x-5=0

Vzamemo prvi koeficient in ga pomnožimo s prostim členom: x 2 +2x-15=0

Korenine te enačbe bodo števila, katerih zmnožek je enak - 15, vsota pa je enaka - 2. Ti števili sta 5 in 3. Da poiščemo korenine prvotne enačbe, dobljene korenine delimo s prvim koeficientom .

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rešitev enačb po metodi "prenosa".

Razmislite o kvadratni enačbi ax 2 + bx + c = 0, kjer je a≠0.

Če oba njena dela pomnožimo z a, dobimo enačbo a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Naj bo ax = y, od koder je x = y/a; potem pridemo do enačbe y 2 + by + ac = 0, ki je enakovredna dani. Njegove korenine pri 1 in 2 najdemo z uporabo Vietinega izreka.

Končno dobimo x 1 = y 1 /a in x 2 = y 2 /a.

Pri tej metodi se koeficient a pomnoži s prostim izrazom, kot da bi bil nanj "prenesen", zato se imenuje metoda "prenosa". Ta metoda se uporablja, kadar je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietinega izreka in, kar je najpomembneje, kadar je diskriminanta natančen kvadrat.

Primer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 "prenesemo" na prosti člen in z zamenjavo dobimo enačbo y 2 - 11y + 30 = 0.

Po Vietinem inverznem izreku

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe.

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Če je a + b + c \u003d 0 (tj. vsota koeficientov enačbe je nič), potem je x 1 \u003d 1.

2. Če je a - b + c \u003d 0 ali b \u003d a + c, potem je x 1 \u003d - 1.

Primer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ker je a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 = 0), potem je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Ker a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), nato x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Obstajajo še druge lastnosti koeficientov kvadratne enačbe. vendar je njihova uporaba bolj zapletena.

8. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo nomograma.

Slika 1. Nomogram

To je stara in trenutno pozabljena metoda za reševanje kvadratnih enačb, umeščena na 83. stran zbirke: Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele. - M., Izobraževanje, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za reševanje enačb z2 + pz + q = 0. Ta nomogram omogoča, da brez reševanja kvadratne enačbe določimo korenine enačbe z njenimi koeficienti.

Krivilinearna lestvica nomograma je zgrajena po formulah (slika 1):

Ob predpostavki OS = p, ED = q, OE = a(vse v cm), iz slike 1 podobnost trikotnikov SAN in CDF dobimo delež

od koder po zamenjavah in poenostavitvah sledi enačba z 2 + pz + q = 0, in pismo z pomeni oznako katere koli točke na ukrivljeni lestvici.

riž. 2 Reševanje kvadratne enačbe z nomogramom

Primeri.

1) Za enačbo z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korena z 1 = 8,0 in z 2 = 1,0

Odgovor: 8,0; 1.0.

2) Rešite enačbo z uporabo nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Koeficiente te enačbe delimo z 2, dobimo enačbo z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje korena z 1 = 4 in z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0,5

9. Geometrijska metoda za reševanje kvadratnih enačb.

Primer.X 2 + 10x = 39.

V izvirniku je ta problem formuliran na naslednji način: "Kvadrat in deset korenov sta enaka 39."

Razmislite o kvadratu s stranico x, na njegovih straneh so zgrajeni pravokotniki, tako da je druga stran vsakega od njih 2,5, zato je površina vsakega 2,5x. Nastala številka se nato dopolni z novim kvadratom ABCD, pri čemer se v vogalih izpolnijo štirje enaki kvadrati, stranica vsakega od njih je 2,5, površina pa 6,25

riž. 3 Grafični način reševanja enačbe x 2 + 10x = 39

Območje S kvadrata ABCD lahko predstavimo kot vsoto površin: prvotnega kvadrata x 2, štirih pravokotnikov (4 ∙ 2,5x = 10x) in štirih pritrjenih kvadratov (6,25 ∙ 4 = 25), t.j. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Če zamenjamo x 2 + 10x s številom 39, dobimo, da je S = 39 + 25 \u003d 64, kar pomeni, da je stranica kvadrata ABCD, t.j. segment AB \u003d 8. Za želeno stran x prvotnega kvadrata dobimo

10. Rešitev enačb z uporabo Bezoutovega izreka.

Bezoutov izrek. Preostanek po delitvi polinoma P(x) z binomom x - α je enak P(α) (to je vrednost P(x) pri x = α).

Če je število α koren polinoma P(x), potem je ta polinom brez ostanka deljiv z x -α.

Primer.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) delimo z (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 ali x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

zaključek: Sposobnost hitrega in racionalnega reševanja kvadratnih enačb je preprosto nujna za reševanje bolj zapletenih enačb, na primer frakcijskih racionalnih enačb, enačb višjih potenk, bikvadratnih enačb ter v srednji šoli trigonometričnih, eksponentnih in logaritmičnih enačb. Po preučevanju vseh najdenih metod za reševanje kvadratnih enačb lahko sošolcem svetujemo, da poleg standardnih metod rešujejo po metodi prenosa (6) in rešujejo enačbe z lastnostjo koeficientov (7), saj so bolj dostopne za razumevanje .

Literatura:

1. Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele. - M., Izobraževanje, 1990.
2. Algebra 8. razred: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba ustanove Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky, 15. izd., revidirano. - M.: Razsvetljenje, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. Vodnik za učitelje. / Ed. V.N. Mlajši. - M.: Razsvetljenje, 1964.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Enačbe je človek uporabljal že od antičnih časov in od takrat se je njihova uporaba le povečala. Diskriminant vam omogoča reševanje vseh kvadratnih enačb s splošno formulo, ki ima naslednjo obliko:

Diskriminantna formula je odvisna od stopnje polinoma. Zgornja formula je primerna za reševanje kvadratnih enačb naslednje oblike:

Diskriminant ima naslednje lastnosti, ki jih morate vedeti:

* "D" je 0, če ima polinom več korenin (enake korenine);

* "D" je simetričen polinom glede na korenine polinoma in je zato polinom v svojih koeficientih; poleg tega so koeficienti tega polinoma cela števila, ne glede na razširitev, v kateri so vzeti koreni.

Recimo, da imamo kvadratno enačbo naslednje oblike:

1 enačba

Po formuli imamo:

Ker ima \, potem ima enačba 2 korena. Opredelimo jih:

Kje lahko rešim enačbo prek diskriminantnega spletnega reševalca?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletno enačbo katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Na naši spletni strani si lahko ogledate tudi video navodila in se naučite reševati enačbo, če pa imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Kvadratne enačbe. Diskriminantno. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
gradivo v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ni zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega je v enačbi lahko (ali pa tudi ne!) samo x (do prve stopnje) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti x v stopinji, večji od dveh.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba v obliki:

tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vsak, ampak a- vse prej kot nič. Na primer:

tukaj a =1; b = 3; c = -4

tukaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

tukaj a =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš idejo...

V teh kvadratnih enačbah je na levi strani polni setčlani. x na kvadrat s koeficientom a, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član

Takšne kvadratne enačbe se imenujejo dokončan.

In če b= 0, kaj bomo dobili? Imamo X bo izginil v prvi stopnji. To se zgodi z množenjem z nič.) Izkazalo se je, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še enostavneje:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takšne enačbe, kjer nekaj manjka, se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede zakaj a ne more biti nič? In namesto tega zamenjaš a nič.) X v kvadratu bo izginil! Enačba bo postala linearna. In to se naredi drugače ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.

Rešitev kvadratnih enačb.

Rešitev popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasnih preprostih pravilih. Na prvi stopnji je potrebno dano enačbo spravimo v standardno obliko, t.j. na pogled:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba narediti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, a, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminatorno. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c. tiste. koeficienti iz kvadratne enačbe. Previdno zamenjajte vrednosti a, b in c v to formulo in štejte. Nadomestek s svojimi znaki! Na primer, v enačbi:

a =1; b = 3; c= -4. Tukaj pišemo:

Primer skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj mislite, da ne morete zgrešiti? No ja, kako...

Najpogostejše napake so zamenjava z znaki vrednot a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje je zamenjevati?), ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formulo za izračun korenin. Tukaj se shrani podroben zapis formule z določenimi številkami. Če obstajajo težave z izračuni, torej naredi!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da prvič le redko dobite odgovore.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice bo trajalo 30 sekund in število napak bo močno padel. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je tako skrbno slikati neverjetno težko. Ampak se samo zdi. Poskusi. No, ali pa izberi. Kaj je bolje, hitro ali prav? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba vsega tako skrbno barvati. Samo prav se bo izkazalo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kopico minusov bo rešen enostavno in brez napak!

Toda pogosto so kvadratne enačbe videti nekoliko drugače. Na primer, takole:

Ali ste vedeli?) Da! to je nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev nepopolnih kvadratnih enačb.

Rešimo jih lahko tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate ugotoviti, kaj je tukaj enako a, b in c.

Uresničeno? V prvem primeru a = 1; b = -4; a c? Sploh ne obstaja! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite nič c, in vse se nam bo izšlo. Podobno z drugim primerom. Samo nič tukaj nimamo z, a b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnih koli formul. Razmislite o prvi nepopolni enačbi. Kaj je mogoče storiti na levi strani? X lahko vzamete iz oklepajev! Vzemimo ga ven.

In kaj od tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli faktor enak nič! Ne verjameš? No, potem si izmislite dve številki, ki ni nič, ki bosta po množenju dali nič!
Ne deluje? nekaj ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko katero koli od njih nadomestimo v izvirno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot vidite, je rešitev veliko enostavnejša od splošne formule. Mimogrede ugotavljam, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - je popolnoma brezbrižno. Enostavno pisati po vrstnem redu x 1- kar je manj x 2- tisto, kar je več.

Tudi drugo enačbo je mogoče enostavno rešiti. Premikamo 9 na desno stran. Dobimo:

Ostaja še izvleči koren iz 9 in to je to. Pridobite:

tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešujejo vse nepopolne kvadratne enačbe. Tako, da vzamete X iz oklepajev, ali pa preprosto prenesete številko na desno, čemur sledi izvleček korena.
Te metode je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste morali v prvem primeru izvleči koren iz X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni ničesar vzeti iz oklepajev ...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna beseda diskriminatorno ! Redki srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "odloči se prek diskriminatorja" je pomirjujoča in pomirjujoča. Ker ni treba čakati na trike diskriminantov! Uporaba je preprosta in brez težav.) Spomnim vas na najbolj splošno formulo za reševanje kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminant. Diskriminant je običajno označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako posebnega pri tem izrazu? Zakaj si zasluži posebno ime? Kaj pomen diskriminanta? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli ne poimenujejo posebej ... Črke in črke.

Bistvo je to. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče samo trije primeri.

1. Diskriminant je pozitiven. To pomeni, da lahko iz njega izvlečete koren. Ali je koren dobro ali slabo izvlečen, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma ekstrahira. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminant je nič. Potem imate eno rešitev. Ker seštevanje ali odštevanje nič v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni en sam koren, ampak dva enaka. Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o ena rešitev.

3. Diskriminant je negativen. Negativno število ne vzame kvadratnega korena. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Iskreno povedano, s preprosto rešitvijo kvadratnih enačb koncept diskriminanta v resnici ni potreben. V formulo nadomestimo vrednosti koeficientov in upoštevamo. Tam se vse izkaže samo od sebe, in dve korenini, in ena in ne ena sama. Vendar pri reševanju zahtevnejših nalog, brez znanja pomen in diskriminantna formula ne dovolj. Še posebej - v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za GIA in enotni državni izpit!)

torej kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminant, ki si ga zapomnil. Ali naučeno, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno prepoznati a, b in c. Ali veste kako pozorno jih nadomestimo v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Ali ste razumeli, da je ključna beseda tukaj - pozorno?

Zdaj si oglejte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Prav tiste, ki so posledica nepazljivosti ... za kar je potem boleče in žaljivo ...

Prvi sprejem . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo, da jo spravite v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po kateri koli transformaciji dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem formule korenin! Skoraj zagotovo boste pomešali možnosti a, b in c. Zgradite primer pravilno. Najprej x na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti član. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred x na kvadrat vas lahko zelo razburi. Pozabiti je enostavno ... Znebite se minusa. Kako? Ja, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

In zdaj lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanto in dokončate primer. Odločite se sami. Na koncu bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite svoje korenine! Po Vietinem izreku. Brez skrbi, vse ti bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačbo. tiste. tisti, s katerim smo zapisali formulo korenin. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, enostavno preverite korenine. Dovolj je, da jih pomnožimo. Dobiti bi moral brezplačen termin, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! brezplačni član s svojim znakom . Če se ni izšlo, pomeni, da so se že nekje zapletli. Poiščite napako.

Če se je izšlo, morate zložiti korenine. Zadnji in končni pregled. Moralo bi biti razmerje b z nasprotno znak. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred x, je enako -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je tako preprosto le za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Toda vsaj preverite takšne enačbe! Manj bo napak.

Sprejem tretji . Če ima vaša enačba ulomne koeficiente, se znebite ulomkov! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identitetne transformacije". Pri delu z ulomki se napake iz nekega razloga vzpenjajo ...

Mimogrede, obljubil sem zlobni primer s kopico minusov za poenostavitev. Ni za kaj! Tukaj je.

Da se ne bi zmedli v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Odločanje je zabavno!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Pred reševanjem pripeljemo kvadratno enačbo v standardno obliko, jo zgradimo prav.

2. Če je pred x v kvadratu negativen koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, koeficient zanj je enak eni, rešitev zlahka preverimo z Vietovim izrekom. Naredi!

Zdaj se lahko odločite.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

nobenih rešitev

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ali vse ustreza? V redu! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so se izkazali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne deluje čisto? Ali pa sploh ne deluje? Potem vam bo pomagal razdelek 555. Tam so vsi ti primeri razvrščeni po kosteh. Prikazujem glavni napake v rešitvi. Seveda je opisana tudi uporaba enakih transformacij pri reševanju različnih enačb. Pomaga veliko!

Če vam je to spletno mesto všeč...

Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Preobrazba popolne kvadratne enačbe v nepopolno izgleda takole (za primer \(b=0\)):

Za primere, ko \(c=0\) ali ko sta oba koeficienta enaka nič, je vse podobno.

Upoštevajte, da \(a\) ni enako nič, ne more biti enako nič, saj se v tem primeru spremeni v:

Rešitev nepopolnih kvadratnih enačb.

Najprej morate razumeti, da je nepopolna kvadratna enačba še vedno, zato jo je mogoče rešiti na enak način kot običajno kvadratno enačbo (skozi). Za to preprosto dodamo manjkajočo komponento enačbe z ničelnim koeficientom.

Primer : Poiščite korenine enačbe \(3x^2-27=0\)
Odločitev :

		Imamo nepopolno kvadratno enačbo s koeficientom \(b=0\). To pomeni, da lahko enačbo zapišemo v naslednji obliki:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Pravzaprav je tu enaka enačba kot na začetku, zdaj pa jo je mogoče rešiti kot navaden kvadrat. Najprej zapišemo koeficiente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajte diskriminanto s formulo \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Poiščimo korenine enačbe s formulami \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) in \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapišite odgovor

Odgovori : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primer : Poiščite korenine enačbe \(-x^2+x=0\)
Odločitev :

		Spet nepopolna kvadratna enačba, zdaj pa je koeficient \(c\) enak nič. Enačbo zapišemo kot popolno.