Neigiamų šaknų pridėjimas. Kas yra kvadratinės šaknys ir kaip jos sujungiamos?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stiprūs „nelabai. »
Ir tiems, kurie „labai tolygiai. "")

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kas yra šaknų formulės, kas yra šaknų savybės ir ką dėl viso to galima padaryti.

Šakninės formulės, šaknų savybės ir veiksmų su šaknimis taisyklės iš esmės yra tas pats dalykas. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas, žinoma, džiugina! Greičiau galima rašyti daug visokių formulių, bet praktiniam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis užtenka vos trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis nuklysta trijose šaknų formulėse, taip.

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ji:

Primenu (iš ankstesnės pamokos): a ir b yra neneigiami skaičiai! Priešingu atveju formulė neturi prasmės.

Tai šaknų savybė , kaip matote, paprastas, trumpas ir nekenksmingas. Tačiau naudodami šią šaknies formulę galite padaryti daug naudingų dalykų! Pažiūrėkime pavyzdžių visi šie naudingi dalykai.

Naudingas dalykas Pirmas. Ši formulė mums leidžia padauginti šaknis.

Kaip padauginti šaknis?

Taip, labai paprasta. Tiesiai į formulę. Pavyzdžiui:

Atrodytų, kad jų padaugėjo, o kas? Ar daug džiaugsmo? Sutinku, šiek tiek. Bet kaip tau tai patinka pavyzdys?

Šaknys nėra tiksliai išgaunamos iš veiksnių. Ir rezultatas puikus! Jau geriau, tiesa? Tik tuo atveju informuosiu, kad daugiklių gali būti tiek, kiek norite. Šaknies daugybos formulė vis dar veikia. Pavyzdžiui:

Taigi dauginant viskas aišku, kam to reikia šaknų savybė– taip pat suprantama.

Naudingas dalykas antras. Įveskite skaičių po šaknies ženklu.

Kaip įvesti skaičių po šaknimi?

Tarkime, kad turime tokią išraišką:

Ar įmanoma paslėpti dvikovą šaknies viduje? Lengvai! Jei padarysite šaknį iš dviejų, tiks šaknų dauginimo formulė. O kaip iš dvikočio pasidaryti šaknį? Taip, tai irgi ne klausimas! Dvigubas yra kvadratinė šaknis iš keturių!

Šaknis, beje, gali būti padaryta iš bet kurio neneigiamo skaičiaus! Tai bus kvadratinė šaknis iš šio skaičiaus kvadrato. 3 yra 9 šaknis. 8 yra 64 šaknis. 11 yra 121 šaknis. Na, ir taip toliau.

Žinoma, taip detaliai dažyti nereikia. Išskyrus pradedantiesiems. Užtenka suvokti, kad po šaknimis galima atsivesti bet kokį neneigiamą skaičių, padaugintą iš šaknies. Bet nepamiršk! - pagal šaknį šis skaičius taps kvadratas pats. Šis veiksmas – skaičiaus įvedimas po šaknimi – taip pat gali būti vadinamas skaičiaus padauginimu iš šaknies. Apskritai galima rašyti:

Procesas yra paprastas, kaip matote. Kam ji reikalinga?

Kaip ir bet kuri transformacija, ši procedūra išplečia mūsų galimybes. Galimybės žiaurią ir nepatogią išraišką paversti švelnia ir puria). Štai jums paprastas pavyzdys:

Kaip matai šakninė nuosavybė, leidžiantis įvesti veiksnį po šaknies ženklu, yra gana tinkamas supaprastinimui.

Be to, pridėjus daugiklį po šaknimi, lengva ir paprasta palyginti skirtingų šaknų reikšmes. Be jokių skaičiavimų ir skaičiuoklės! Trečias naudingas dalykas.

Kaip palyginti šaknis?

Šis įgūdis labai svarbus atliekant solidžias misijas, atrakinant modulius ir kitus šaunius dalykus.

Palyginkite šias išraiškas. Kuris yra daugiau? Be skaičiuoklės! Kiekvienas su skaičiuotuvu. oi. Trumpai tariant, kiekvienas gali tai padaryti!)

Tu to nepasakei iš karto. O jei skaičius įvesite po šaknies ženklu?

Prisiminkite (staiga, nežinojote?): jei skaičius po šaknies ženklu yra didesnis, tada pati šaknis yra didesnė! Taigi iš karto teisingas atsakymas, be jokių sudėtingų skaičiavimų ir skaičiavimų:

Tai puiku, tiesa? Bet tai dar ne viskas! Prisiminkite, kad visos formulės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Iki šiol naudojome šaknų dauginimo iš kairės į dešinę formulę. Paleiskite šią šakninę nuosavybę atgal, iš dešinės į kairę. Kaip šitas:

Ir koks skirtumas? Ar tai tau ką nors duoda!? tikrai! Dabar pamatysite patys.

Tarkime, mums reikia išgauti (be skaičiuotuvo!) kvadratinę šaknį iš skaičiaus 6561. Kai kurie žmonės šiame etape kris nelygioje kovoje su užduotimi. Bet mes esame užsispyrę, nepasiduodame! Ketvirtasis naudingas dalykas.

Kaip išgauti šaknis iš didelio skaičiaus?

Primename šaknų išgavimo iš produkto formulę. Tą, kurį paskelbiau aukščiau. Bet kur mūsų darbas? Turime didžiulį skaičių 6561 ir viskas. Taip, meno nėra. Bet jei mums to reikia, mes Padarykim! Paskaičiuokime šį skaičių. Mes turime teisę.

Pirmiausia išsiaiškinkime, iš ko tiksliai šis skaičius dalijasi? Ką, tu nežinai!? Ar pamiršote dalijimosi ženklus!? Veltui. Eiti į Specialusis skyrius 555, tema yra „Trupmenos“, jos yra. Šis skaičius dalijasi iš 3 ir 9. Nes skaitmenų suma (6+5+6+1=18) dalijasi iš šių skaičių. Tai vienas iš padalijimo požymių. Mums nereikia dalyti iš trijų (dabar suprasite kodėl), bet dalinsime iš 9. Bent jau kampe. Gauname 729. Taigi radome du veiksnius! Pirmas – devynetas (patys išsirinkome), o antrasis – 729 (taip išėjo). Jau galite rašyti:

Suvok idėją? Tą patį padarykime su skaičiumi 729. Jis taip pat dalijasi iš 3 ir 9. Vėlgi, mes nesidalijame iš 3, dalijame iš 9. Gauname 81. Ir mes žinome šį skaičių! Užrašome:

Viskas pasirodė paprasta ir elegantiška! Šaknį reikėjo po gabalėlį pašalinti, na, gerai. Tai galima padaryti su bet kokiu dideli skaičiai. Padauginkite juos ir pirmyn!

Beje, kodėl nereikėjo dalyti iš 3, ar atspėjai? Taip, nes trijų šaknis nėra tiksliai išgauta! Prasminga suskaidyti į tokius veiksnius, kad būtų galima gerai išgauti bent vieną šaknį. Tai 4, 9, 16 gerai ir pan. Padalinkite savo didžiulį skaičių iš šių skaičių, pamatysite, ir jums pasisekė!

Bet nebūtinai. Gal nepasisekė. Tarkime, kad skaičius 432, paskaičiuotas ir naudojant produkto šaknies formulę, duos tokį rezultatą:

Na, gerai. Mes vis tiek supaprastinome išraišką. Matematikoje įprasta palikti daugiausia mažas skaičius iš galimų. Sprendžiant viskas priklauso nuo pavyzdžio (galbūt viskas sumažinama be supaprastinimo), tačiau atsakyme reikia pateikti rezultatą, kurio negalima toliau supaprastinti.

Beje, ar žinote, ką dabar padarėme su 432 šaknimi?

Mes paimti faktoriai iš po šaknies ženklo ! Taip ši operacija vadinama. Ir tada užduotis kris - " išimkite faktorių iš po šaknies ženklo„Bet vyrai net nežino.) Štai tau dar vienas panaudojimas šaknų savybės. Naudingas dalykas, penktas.

Kaip ištraukti daugiklį iš po šaknies?

Lengvai. Sureguliuokite šaknų išraišką ir ištraukite išgautas šaknis. Mes žiūrime:

Nieko antgamtiško. Svarbu pasirinkti tinkamus daugiklius. Čia mes išskaidėme 72 į 36 2. Ir viskas pasirodė gerai. Arba jie galėjo jį suskaidyti kitaip: 72 = 6 12. Tai kas!? Nei nuo 6, nei nuo 12 šaknis išgaunama. Ką daryti?!

Viskas gerai. Arba ieškokite kitų skaidymo variantų arba toliau viską išdėliokite iki galo! Kaip šitas:

Kaip matote, viskas pavyko. Beje, tai ne greičiausia, o daugiausia patikimu būdu. Išskaidykite skaičių į mažiausius veiksnius ir surinkite tuos pačius į krūvas. Metodas sėkmingai taikomas ir dauginant nepatogias šaknis. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti:

Padauginkite viską – gausite beprotišką skaičių! Ir kaip tada iš jo išgauti šaknį ?! Vėl dauginti? Ne, mums nereikia papildomo darbo. Iš karto suskaidome į faktorius ir surenkame į krūvas:

Tai viskas. Žinoma, nebūtina išsidėstyti iki sustojimo. Viską lemia jūsų asmeniniai sugebėjimai. Atnešė pavyzdį į valstybę, kur tau viskas aišku taigi jau gali skaičiuoti. Svarbiausia nedaryti klaidų. Ne žmogus matematikai, o matematika žmogui!)

Pritaikykime žinias praktikoje? Pradėkime nuo paprasto:

Kvadratinių šaknų pridėjimo taisyklė

Kvadratinių šaknų savybės

Iki šiol su skaičiais atlikome penkias aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugyba, dalyba ir eksponencija, o įvairios šių operacijų savybės buvo aktyviai naudojamos skaičiavimuose, pavyzdžiui, a + b = b + a, o n -b n = (ab) n ir kt.

Šiame skyriuje pristatoma nauja operacija – neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis. Norėdami sėkmingai jį naudoti, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis, kurias mes atliksime šiame skyriuje.

Įrodymas. Įveskime tokį žymėjimą:
Turime įrodyti, kad neneigiamiems skaičiams x, y, z lygybė x = yz yra teisinga.

Taigi x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tada x 2 \u003d y 2 z 2, t. y. x 2 \u003d (yz) 2.

Jeigu kvadratai du neneigiami skaičiai yra lygūs, tada patys skaičiai yra lygūs, o tai reiškia, kad iš lygybės x 2 \u003d (yz) 2 išplaukia, kad x \u003d yz, ir tai reikėjo įrodyti.

Pateikiame trumpą teoremos įrodymo įrašą:

1 pastaba. Teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų veiksnių sandauga.

2 pastaba. Teorema 1 galima parašyti naudojant „jei. , tada“ (kaip įprasta matematikos teoremoms). Pateikiame atitinkamą formuluotę: jei a ir b yra neneigiami skaičiai, tai lygybė .

Taip suformuluojame tokią teoremą.

(Trumpa formuluotė, kurią patogiau naudoti praktikoje: frakcijos šaknis lygus trupmenai iš šaknų arba dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.)

Šį kartą pateiksime tik trumpą įrodymo įrašą, o jūs galite pabandyti pateikti atitinkamas pastabas, panašias į tas, kurios sudarė 1 teoremos įrodymo esmę.

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite .
Sprendimas. Pirmosios nuosavybės naudojimas kvadratinių šaknų(1 teorema), gauname

3 pastaba. Žinoma, šį pavyzdį galima išspręsti kitaip, ypač jei po ranka turite skaičiuotuvą: padauginkite skaičius 36, 64, 9 ir paimkite gautos sandaugos kvadratinę šaknį. Tačiau sutiksite, kad aukščiau pasiūlytas sprendimas atrodo kultūringesnis.

4 pastaba. Pirmuoju metodu atlikome tiesioginius skaičiavimus. Antrasis būdas yra elegantiškesnis:
kreipėmės formulę a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) ir panaudojo kvadratinių šaknų savybę.

5 pastaba. Kai kurios „karštosios galvos“ kartais siūlo tokį „sprendimą“ 3 pavyzdžiui:

Tai, žinoma, netiesa: matote - rezultatas nėra toks pat kaip mūsų 3 pavyzdyje. Faktas yra tas, kad nėra nuosavybės kaip ne ir savybės Yra tik savybės, susijusios su kvadratinių šaknų dauginimu ir padalijimu. Būkite atsargūs ir atsargūs, negalvokite apie norus.

4 pavyzdys. Apskaičiuokite: a)
Sprendimas. Bet kuri algebros formulė naudojama ne tik „iš dešinės į kairę“, bet ir „iš kairės į dešinę“. Taigi pirmoji kvadratinių šaknų savybė reiškia, kad, jei reikia, ją galima pavaizduoti kaip , ir atvirkščiai, kurią galima pakeisti išraiška Tas pats pasakytina ir apie antrąją kvadratinių šaknų savybę. Turėdami tai omenyje, išspręskime siūlomą pavyzdį.

Baigdami skyrių atkreipiame dėmesį į dar vieną gana paprastą ir tuo pačiu metu svarbus turtas:
jei a > 0 ir n - natūralusis skaičius , tada

5 pavyzdys Apskaičiuoti , nenaudojant skaičių kvadratų lentelės ir skaičiuotuvo.

Sprendimas. Išskaidykime šakninį skaičių į pirminius veiksnius:

6 pastaba. Šį pavyzdį galima išspręsti taip pat, kaip ir panašų pavyzdį § 15. Nesunku atspėti, kad atsakymas bus „80 su uodega“, nes 80 2 2 . Raskime „uodegą“, t.y. paskutinį norimo skaičiaus skaitmenį. Kol kas žinome, kad ištraukus šaknį, atsakymas gali būti 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 arba 89. Reikia patikrinti tik du skaičius: 84 ir 86, nes tik jie, kai kvadratas, duos kaip rezultatas keturių skaitmenų skaičius, kuris baigiasi 6, t.y. tas pats skaitmuo, kuris baigiasi skaičiumi 7056. Turime 84 2 \u003d 7056 - štai ko mums reikia. Reiškia,

Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė: proc. bendrajam lavinimui institucijos – 3 leid., baigtas. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: iliustr.

Atsisiunčiamos knygos, matematikos vadovėliai, santrauka, padedanti mokytojui ir mokiniams mokytis internete

Jei turite pataisymų ar pasiūlymų šiai pamokai, rašykite mums.

Jei norite pamatyti kitus pamokų taisymus ir pasiūlymus, žiūrėkite čia – Švietimo forumas.

Kaip pridėti kvadratines šaknis

Skaičiaus kvadratinė šaknis X paskambino numeriu A, kuris daugindamasis iš savęs ( A*A) gali pateikti skaičių X.
Tie. A * A = A 2 = X, Ir √X = A.

Virš kvadratinių šaknų ( √x), kaip ir su kitais skaičiais, galite atlikti aritmetines operacijas, pvz., atimti ir sudėti. Norint atimti ir pridėti šaknis, jos turi būti sujungtos naudojant šiuos veiksmus atitinkančius ženklus (pavyzdžiui √x - √y ).
Ir tada atneškite jiems šaknis paprasčiausia forma- jei tarp jų yra panašių, reikia daryti gipsą. Tai susideda iš to, kad panašių dėmenų koeficientai imami su atitinkamų terminų ženklais, tada jie yra skliausteliuose, o bendra šaknis rodoma už daugiklio skliaustų. Koeficientas, kurį gavome, yra supaprastintas pagal įprastas taisykles.

1 veiksmas. Kvadratinių šaknų ištraukimas

Pirma, norėdami pridėti kvadratinių šaknų, pirmiausia turite išgauti šias šaknis. Tai galima padaryti, jei skaičiai po šaknies ženklu yra tobuli kvadratai. Pavyzdžiui, paimkite pateiktą išraišką √4 + √9 . Pirmas numeris 4 yra skaičiaus kvadratas 2 . Antras numeris 9 yra skaičiaus kvadratas 3 . Taigi galima gauti tokią lygybę: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Viskas, pavyzdys išspręstas. Bet ne visada taip nutinka.

2 veiksmas. Skaičiaus daugiklio ištraukimas iš po šaknies

Jei po šaknies ženklu nėra pilnų kvadratų, galite pabandyti paimti skaičiaus daugiklį iš po šaknies ženklo. Pavyzdžiui, paimkite išraišką √24 + √54 .

Išskaidykime skaičius:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Sąraše 24 mes turime daugiklį 4 , jį galima išimti iš po kvadratinės šaknies ženklo. Sąraše 54 mes turime daugiklį 9 .

Gauname lygybę:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Atsižvelgdami į šį pavyzdį, gauname faktoriaus pašalinimą iš po šaknies ženklo, taip supaprastindami pateiktą išraišką.

3 veiksmas. Vardiklio sumažinimas

Apsvarstykite tokią situaciją: dviejų kvadratinių šaknų suma yra trupmenos vardiklis, pavyzdžiui, A / (√a + √b).
Dabar mūsų laukia užduotis „atsikratyti vardiklyje esančio neracionalumo“.
Naudokime tokį metodą: trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš išraiškos √a - √b.

Dabar gauname sutrumpintą daugybos formulę vardiklyje:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Panašiai, jei vardiklyje yra šaknų skirtumas: √a - √b, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš išraiškos √a + √b.

Kaip pavyzdį paimkime trupmeną:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Sudėtingo vardiklio mažinimo pavyzdys

Dabar pasvarstykime pakankamai sudėtingas pavyzdys neracionalumo atsikratymas vardiklyje.

Kaip pavyzdį paimkime trupmeną: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Turite paimti jo skaitiklį ir vardiklį ir padauginti iš išraiškos √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4 veiksmas. Skaičiuoklėje apskaičiuokite apytikslę reikšmę

Jei reikia tik apytikslės reikšmės, tai galima padaryti skaičiuotuvu apskaičiuojant kvadratinių šaknų vertę. Atskirai kiekvienam skaičiui apskaičiuojama vertė ir įrašoma reikiamu tikslumu, kuris nustatomas pagal kablelio skaičių. Toliau atliekamos visos reikalingos operacijos, kaip ir su įprastais skaičiais.

Numatomo skaičiavimo pavyzdys

Būtina apskaičiuoti apytikslę šios išraiškos reikšmę √7 + √5 .

Dėl to gauname:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Atkreipkite dėmesį: jokiu būdu negalima pridėti kvadratinių šaknų kaip pirminių skaičių, tai visiškai nepriimtina. Tai yra, jei pridėsite kvadratinę šaknį iš penkių ir trijų, negalėsime gauti kvadratinės šaknies iš aštuonių.

Naudingas patarimas: jei nuspręsite padalyti skaičių faktoriais, norėdami gauti kvadratą iš po šaknies ženklo, turite atlikti atvirkštinį patikrinimą, ty padauginti visus veiksnius, gautus atlikus skaičiavimus, ir galutinį šio rezultato rezultatą. matematinis skaičiavimas turėtų būti skaičius, kurį mums iš pradžių suteikėme.

Veiksmas su šaknimis: sudėjimas ir atėmimas

Skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas nėra vienintelė operacija, kurią galima atlikti naudojant šį matematinį reiškinį. Kaip ir įprasti skaičiai kvadratinių šaknų pridėti ir atimti.

Kvadratinių šaknų pridėjimo ir atėmimo taisyklės

Veiksmai, tokie kaip kvadratinės šaknies pridėjimas ir atėmimas, galimi tik tuo atveju, jei šaknies išraiška yra tokia pati.

Galite pridėti arba atimti išraiškas 2 3 ir 6 3, bet ne 56 Ir 9 4 . Jei įmanoma supaprastinti išraišką ir privesti ją prie šaknų su tuo pačiu šaknies skaičiumi, tada supaprastinkite, tada pridėkite arba atimkite.

Pagrindiniai veiksmai: pagrindai

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Supaprastinkite šaknies išraišką. Norėdami tai padaryti, šaknies išraišką reikia išskaidyti į 2 veiksnius, iš kurių vienas yra kvadratinis skaičius (skaičius, iš kurio išgaunama visa kvadratinė šaknis, pavyzdžiui, 25 arba 9).
2. Tada reikia ištraukti šaknį iš kvadratinis skaičius ir gautą reikšmę parašykite prieš šaknies ženklą. Atkreipkite dėmesį, kad antrasis veiksnys įvedamas po šaknies ženklu.
3. Atlikus supaprastinimo procesą, būtina pabraukti šaknis tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis – tik jas galima pridėti ir atimti.
4. Šaknims su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis būtina pridėti arba atimti veiksnius, einančius prieš šaknies ženklą. Šaknies išraiška lieka nepakitusi. Nepridėkite ir neatimkite šakninių skaičių!

Jei turite pavyzdį su didelė suma identiškas radikalias išraiškas, tada pabraukite tokias išraiškas viengubomis, dvigubomis ir trigubomis eilutėmis, kad palengvintumėte skaičiavimo procesą.

Pabandykime šį pavyzdį:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Pirmiausia reikia išskaidyti 50 į 2 faktorius 25 ir 2, tada paimti 25 šaknį, kuris yra 5, ir iš po šaknies paimti 5. Po to reikia padauginti 5 iš 6 (daugiklis šaknyje) ir gauti 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pirmiausia reikia išskaidyti 8 į 2 faktorius: 4 ir 2. Tada iš 4 ištraukite šaknį, kuri yra lygi 2, ir iš po šaknies išimkite 2. Po to reikia padauginti 2 iš 2 (koeficientas prie šaknies) ir gauti 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pirmiausia reikia išskaidyti 12 į 2 faktorius: 4 ir 3. Tada iš 4 ištraukite šaknį, kuri yra 2, ir išimkite iš po šaknies. Po to reikia padauginti 2 iš 5 (koeficientas prie šaknies) ir gauti 10 3 .

Supaprastinimo rezultatas: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Dėl to pamatėme, kiek identiškų radikalių posakių yra šis pavyzdys. Dabar pasipraktikuokime su kitais pavyzdžiais.

• Supaprastinti (45) . Padaliname koeficientą 45: (45) = (9 × 5) ;
• Iš po šaknies išimame 3 (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Sudedame veiksnius prie šaknų: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Supaprastinimas 6 40 . Padaliname koeficientą 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Iš po šaknies išimame 2 (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Dauginame veiksnius, kurie yra prieš šaknį: 12 10;
• Išraišką rašome supaprastinta forma: 12 10 - 3 10 + 5;
• Kadangi pirmieji du nariai turi tuos pačius šaknies skaičius, galime juos atimti: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kaip matome, radikalių skaičių supaprastinti neįmanoma, todėl pavyzdyje ieškome narių su tais pačiais radikaliais skaičiais, atliekame matematinius veiksmus (sudėti, atimti ir pan.) ir rašome rezultatą:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Patarimas:

• Prieš pridedant ar atimant, būtina supaprastinti (jei įmanoma) radikaliąsias išraiškas.
• Griežtai draudžiama pridėti ir atimti šaknis su skirtingomis šaknų išraiškomis.
• Nepridėkite ir neatimkite sveikojo skaičiaus arba kvadratinės šaknies: 3 + (2 x) 1/2 .
• Atliekant veiksmus su trupmenomis, reikia rasti skaičių, kuris visiškai dalijasi iš kiekvieno vardiklio, tada suvesti trupmenas į bendrą vardiklį, tada sudėti skaitiklius, o vardiklius palikti nepakeistus.

Aritmetinės kvadratinės šaknies savybės. Aritmetinės kvadratinės šaknies galia

Aritmetinių kvadratinių šaknų konvertavimas. Aritmetinių kvadratinių šaknų perskaičiavimas

Norėdami išgauti daugianario kvadratinė šaknis, reikia apskaičiuoti daugianarį ir iš gauto skaičiaus išskirti šaknį.

Dėmesio! Neįmanoma ištraukti šaknies iš kiekvieno termino (sumažinto ir atimto) atskirai.

Shchob laimėti daugianario kvadratinė šaknis, reikia apskaičiuoti turtingą terminą ir iš atimto skaičiaus paimti šaknį.

Pagarba! Neįmanoma išgauti šaknies iš odos priedo (pakitusio ir matomo) OKremo.

Išskirti sandaugos kvadratinę šaknį (dalytuvą), galite apskaičiuoti kiekvieno koeficiento (daliklio ir daliklio) kvadratinę šaknį ir gauti gautas reikšmes pagal sandaugą (dalytuvą).

Norėdami laimėti dobutkos kvadratinę šaknį (dalis), galite apskaičiuoti odos daugiklio kvadratinę šaknį (padalytas ir dilnik), o reikšmę pašalinti imdami papildomą (dažną).

Paimti trupmenos kvadratinę šaknį, turite atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio kvadratinę šaknį ir palikti gautas reikšmes kaip trupmeną arba apskaičiuoti kaip koeficientą (jei įmanoma, pagal sąlygą).

Norėdami laimėti trupmenos kvadratinę šaknį, reikia paimti kvadratinę šaknį iš skaičių knygos ir okremo reklamjuostės ir atimti trupmenos reikšmę su trupmena arba suskaičiuoti kaip dalį (kaip tai įmanoma protui).

Veiksnį galima išimti iš po šaknies ženklo, o faktorių galima įvesti po šaknies ženklu. Išėmus faktorių, iš jo išgaunama šaknis, o įvedus pakeliama iki atitinkamos galios.

3 šaknies ženklą galima padauginti, o šaknies ženklą galima padauginti. Dėl daugintojo kaltės šaknys susuktos, o su introdukcijos šaknys statomos prie aukštesnių pėdų.

Pavyzdžiai. Taikyti

Norėdami konvertuoti kvadratinių šaknų sumą (skirtumą), šaknies išraiškas reikia perkelti į vieną laipsnio pagrindą, jei įmanoma, ištraukti šaknis iš laipsnių ir įrašyti jas prieš šaknų ženklus, o likusias kvadratines šaknis su galima pridėti tas pačias šaknies išraiškas, kurių koeficientai pridedami prieš ženklo šaknį ir pridedama ta pati kvadratinė šaknis.

Norint perdaryti kvadratinių šaknų sumą (kainą), reikia šaknies šaknis atvesti į vieną iš žingsnio pagrindų, kaip įmanoma, paimti žingsnių šaknį ir užrašyti prieš žymes. šaknys, ir kvadratinių šaknų sprendimas su tais pačiais šaknies žodžiais, kuriuos galiu sudėti, ką galiu pridėti ir pridėti tą pačią kvadratinę šaknį.

Visas radikalias išraiškas perkeliame į 2 bazę.

Iš lyginio laipsnio šaknis išgaunama visiškai, nuo nelyginio – po šaknies ženklu paliekama 1 laipsnio pagrindo šaknis.

Pateikiame panašius sveikuosius skaičius ir pridedame koeficientus su tomis pačiomis šaknimis. Binomį rašome kaip skaičiaus sandaugą ir sumos dvinarį.

Suveskite visas virazi šaknis į pagrindą 2.

Iš porinio tarpsnio iš eilės brėžiamos šaknys, iš neporinės – 1 stadijos pagrindo šaknys užpildomos po šaknies ženklu.

Siūloma prie tų pačių šaknų pridėti panašius skaičius ir koeficientus. Binomį rašome kaip sumi dvinario skaičiaus i priedą.

Radikaliąsias išraiškas perkeliame į mažiausią bazę arba galių sandaugą su mažiausiomis bazėmis. Šaknį ištraukiame iš lyginių radikalių išraiškų laipsnių, likučius paliekame laipsnio pagrindo su rodikliu 1 arba tokių bazių sandauga po šaknies ženklu. Pateikiame panašius terminus (pridedame tų pačių šaknų koeficientus).

Mes vedame virazi šaknį iki mažiausio pagrindo arba pridedame žingsnius su mažiausiomis bazėmis. Iš garų laiptelių po virazo šaknimis imamos šaknys, laiptelio pagrindo perteklius su indikatoriumi 1 arba tokių bazių papildymas užpildomas po šaknies ženklu. Siūlome panašius terminus (sudedame tų pačių šaknų koeficientus).

Trupmenų padalijimą pakeiskime daugyba (antrosios trupmenos pakeitimu reciprokine). Padauginkite skaitiklius ir vardiklius atskirai. Po kiekvienu šaknies ženklu paryškiname laipsnius. Panaikinkime tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Iš lygiųjų galių išgauname šaknis.

Trupmenų padalijimą pakeičiame daugyba (kitą trupmeną pakeičiant grąža). Padauginkite okremo skaičius ir trupmenų reklamjuostes. Žingsniai matomi po šaknies odos ženklu. Tuos pačius daugiklius paspartinsime skaičių knygoje ir reklamjuoste. Kaltinkite dvynių žingsnių šaknį.

Palyginti dvi kvadratines šaknis, jų radikalios išraiškos turi būti sumažintos iki laipsnio su ta pačia baze, tada kuo daugiau rodomi radikalios išraiškos laipsniai, tuo didesnė kvadratinės šaknies reikšmė.

Šiame pavyzdyje radikalios išraiškos negali būti sumažintos iki vienos bazės, nes pirmoji bazė yra 3, o antroje - 3 ir 7.

Antrasis palyginimo būdas yra įvesti šaknies koeficientą radikalinėje išraiškoje ir palyginti radikalių išraiškų skaitines reikšmes. Kvadratinės šaknies atveju kuo didesnė šaknies išraiška, tuo didesnė šaknies reikšmė.

Kad atitiktų dvi kvadratines šaknis, jų šaknys turi būti lygios tuo pačiu pagrindu, tuo tarpu kuo didesnis viruso šaknies laipsnio rodiklis, tuo didesnė kvadratinės šaknies reikšmė.

Šiuo atveju negalima į vieną pagrindą įtraukti virazi šaknų, nes pirmajame pagrindas yra 3, o kitame - 3 ir 7.

Kitas išlyginimo būdas yra pridėti šaknies koeficientą prie šaknies virazės ir išlyginti šaknies virazės skaitines reikšmes. Kvadratinė šaknis turi daugiau pošaknio viraz, tuo didesnė šaknies reikšmė.

Pasitelkę daugybos paskirstymo dėsnį ir šaknų dauginimo taisyklę su tais pačiais rodikliais (mūsų atveju – kvadratinėmis šaknimis), gavome dviejų kvadratinių šaknų sumą su sandauga po šaknies ženklu. Mes išskaidome 91 į pirminius veiksnius ir išimame šaknį iš skliaustų su bendrais radikaliais veiksniais (13 * 5).

Gavome šaknies ir dvinario sandaugą, kurioje vienas iš mononario yra sveikas skaičius (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny daugybos dėsnis ir šaknų dauginimo taisyklė su tais pačiais rodikliais (mūsų atveju - kvadratinės šaknys), paėmė dviejų kvadratinių šaknų sumą su papildoma šaknimi po šaknies ženklu. Galime paprastais žodžiais išdėstyti 91 daugiklį ir paimti arkų šaknį iš šaknų daugiklių (13 * 5).

Pridėjome šaknį ir dvejetainį, kurio vienas iš mononomų yra sveikas skaičius (1).

9 pavyzdys:

Radikaliose išraiškose pagal veiksnius parenkame skaičius, iš kurių galime išgauti visą kvadratinę šaknį. Iš laipsnių išimame kvadratines šaknis ir sudedame skaičius pagal kvadratinių šaknų koeficientus.

Šio daugianario sąlygos turi bendrą koeficientą √3, kurį galima išimti iš skliaustų. Pateiksime panašius terminus.

Pošaknių virusų atveju jis matomas kaip skaičiaus daugiklis, iš kurio galima paimti kvadratinę šaknį. Kaltiname laiptelių kvadratines šaknis ir pateikiame skaičius pagal kvadratinių šaknų koeficientus.

Šio daugianario sąlygos turi bendrą daugiklį √3, dėl kurio galima kaltinti rankas. Siūlome panašius papildymus.

Dviejų sumos ir skirtumo sandauga tos pačios bazės(3 ir √5), naudojant sutrumpintą daugybos formulę, gali būti parašytas kaip pagrindų kvadratų skirtumas.

Kvadratinė šaknis kvadratu visada lygi radikaliajai išraiškai, todėl reiškinyje atsikratysime radikalo (šaknies ženklo).

Dviejų vienodų bazių (3 і √5) Dobutok suma ir skirtumas iš greitojo daugybos formulės gali būti parašytas kaip kvadratinių bazių skirtumas.

Kvadratinės zavzhd kvadratinė šaknis yra lygi pošaknies virazei, todėl virazės radikalą (šaknies ženklą) vadinsime.

Atgal į mokyklą. Šaknų papildymas

Mūsų laikais, šiuolaikiniai elektroniniai kompiuteriai, skaičiaus šaknies apskaičiavimas nėra atstovaujamas sudėtinga užduotis. Pavyzdžiui, √2704=52, bet kuris skaičiuotuvas tai apskaičiuos už jus. Laimei, skaičiuoklė yra ne tik Windows, bet ir įprastame, net paprasčiausiame telefone. Tiesa, jei staiga (su nedidele tikimybe, į kurią, beje, įtraukiamos ir šaknys) atsidursite be turimų lėšų, tada, deja, teks pasikliauti tik savo smegenimis.

Proto lavinimas niekada nepasiseka. Ypač tiems, kurie ne taip dažnai dirba su skaičiais, o juo labiau su šaknimis. Šaknų pridėjimas ir atėmimas yra gera treniruotė nuobodžiam protui. Ir aš jums parodysiu šaknų pridėjimą žingsnis po žingsnio. Išraiškų pavyzdžiai gali būti tokie.

Lygtis, kurią reikia supaprastinti, yra tokia:

Tai neracionali išraiška. Norėdami tai supaprastinti, turite sumažinti visas radikalias išraiškas į bendras vaizdas. Mes tai darome etapais:

Pirmojo numerio nebegalima supaprastinti. Pereikime prie antrosios kadencijos.

3√48 koeficientuojame 48: 48=2×24 arba 48=3×16. Kvadratinė šaknis iš 24 nėra sveikasis skaičius, t.y. turi trupmeninę likutį. Kadangi mums reikia tiksli vertė, tada apytikslės šaknys mums netinka. Kvadratinė šaknis iš 16 yra 4, išimkite ją iš po šaknies ženklo. Gauname: 3×4×√3=12×√3

Kitas mūsų posakis yra neigiamas, t.y. parašytas minuso ženklu -4×√(27.) Faktoringas 27. Gauname 27 = 3 × 9. Nenaudojame trupmeninių koeficientų, nes iš trupmenų kvadratinę šaknį apskaičiuoti sunkiau. Iš po ženklo išimame 9, t.y. apskaičiuokite kvadratinę šaknį. Gauname tokią išraišką: -4×3×√3 = -12×√3

Kitas narys √128 apskaičiuoja dalį, kurią galima ištraukti iš po šaknies. 128=64×2, kur √64=8. Jei jums lengviau, šią išraišką galite pavaizduoti taip: √128=√(8^2×2)

Perrašome išraišką supaprastintais terminais:

Dabar pridedame skaičius su ta pačia radikalia išraiška. Negalite pridėti ar atimti išraiškų su skirtingomis radikaliomis išraiškomis. Pridedant šaknis, reikia laikytis šios taisyklės.

Gauname tokį atsakymą:

√2=1×√2 – Tikiuosi, kad algebroje yra įprasta praleisti tokius elementus, jums nebus naujiena.

Išraiškas galima pavaizduoti ne tik kvadratinėmis šaknimis, bet ir kubinėmis ar n-osiomis šaknimis.

Šaknų su skirtingais rodikliais, bet su lygiaverte šaknies išraiška, sudėjimas ir atėmimas vyksta taip:

Jei turime tokią išraišką kaip √a+∛b+∜b, tai galime supaprastinti šią išraišką taip:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Mes sumažinome du panašius terminus į bendrą šaknies eksponentą. Čia buvo panaudota šaknų savybė, kuri sako: jei radikalinės išraiškos laipsnio skaičius ir šaknies eksponento skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, tai jo skaičiavimas išliks nepakitęs.

Pastaba: eksponentai pridedami tik padauginus.

Apsvarstykite pavyzdį, kai išraiškoje yra trupmenų.

Išspręskime tai žingsnis po žingsnio:

5√8=5*2√2 - ištrauktą dalį išimame iš po šaknies.

Jei šaknies kūnas pavaizduotas trupmena, tai dažnai ši trupmena nepasikeis, jei imama dividendo ir daliklio kvadratinė šaknis. Dėl to mes gavome aukščiau aprašytą lygybę.

Štai atsakymas.

Svarbiausia atsiminti, kad šaknis su lyginiu rodikliu nėra išskiriama iš neigiamų skaičių. Jei lyginio laipsnio radikalų išraiška yra neigiama, tada išraiška yra neišsprendžiama.

Šaknų pridėjimas galimas tik tuo atveju, jei radikalios išraiškos sutampa, nes tai yra panašūs terminai. Tas pats pasakytina ir apie skirtumus.

Šaknų su skirtingais skaitiniais rodikliais pridėjimas atliekamas sumažinant abu terminus iki bendro šaknies laipsnio. Šis dėsnis veikia taip pat, kaip sumažinimas iki bendro vardiklio, kai sudedama arba atimama trupmenos.

Jei radikaliojoje išraiškoje yra skaičius, padidintas iki laipsnio, tada šią išraišką galima supaprastinti, jei tarp šaknies ir laipsnio yra bendras vardiklis.

Produkto ir trupmenos kvadratinė šaknis

A kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas yra a. Pavyzdžiui, skaičiai -5 ir 5 yra skaičiaus 25 kvadratinės šaknys. Tai yra, lygties x^2=25 šaknys yra skaičiaus 25 kvadratinės šaknys. Dabar reikia išmokti dirbti su kvadratinės šaknies operacija: išstudijuokite pagrindines jo savybes.

Produkto kvadratinė šaknis

√(a*b)=√a*√b

Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi šių skaičių kvadratinių šaknų sandaugai. Pavyzdžiui, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Svarbu suprasti, kad ši savybė galioja ir tuo atveju, kai radikali išraiška yra sandauga iš trijų, keturių ir kt. neneigiami daugikliai.

Kartais yra ir kita šios savybės formuluotė. Jei a ir b yra neneigiami skaičiai, galioja tokia lygybė: √(a*b) =√a*√b. Tarp jų nėra visiškai jokio skirtumo, galite naudoti vieną arba kitą formuluotę (kurią patogiau atsiminti).

Trupmenos kvadratinė šaknis

Jei a>=0 ir b>0, tada yra teisinga ši lygybė:

√(a/b)=√a/√b.

Pavyzdžiui, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ši savybė taip pat turi skirtingą formuluotę, mano nuomone, patogiau įsiminti.
Dalinio kvadratinė šaknis yra lygi šaknų daliniui.

Verta paminėti, kad šios formulės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Tai yra, jei reikia, šaknų produktą galime pavaizduoti kaip produkto šaknį. Tas pats pasakytina ir apie antrąjį turtą.

Kaip matote, šios savybės yra labai patogios, todėl norėčiau turėti tas pačias sudėties ir atimties savybes:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Bet, deja, tokios savybės yra kvadratinės neturi šaknų, ir taip negalima atlikti skaičiavimuose..

• 13. Važiavimas per eismo sankryžas 2018 su komentarais internete 13.1. Sukdamas į dešinę arba į kairę vairuotojas privalo duoti kelią perėjoje einantiems pėstiesiems ir dviratininkams važiuojamoji dalis kelias, kuriuo jis virsta. Ši instrukcija taikoma visiems […]
• Tėvų susirinkimas "Tėvų teisės, pareigos ir atsakomybė" Pamokos pristatymas Parsisiųsti pristatymą (536,6 kB) Dėmesio! Skaidrių peržiūra yra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų […]
• Regioninė motinystės sostinė Orelio regione Regioninė motinystės sostinė (MC) Orel ir Oryol regione buvo įkurta 2011 m. Dabar tai yra papildoma priemonė socialinė parama daugiavaikės šeimos vienkartiniais pinigais [...]
• Vienkartinės pašalpos dydis registruojantis ankstyvos datos 2018 m. Puslapis, kurio prašėte, nerastas. Galbūt įvedėte neteisingą adresą arba puslapis buvo pašalintas. Naudokite […]
• Advokatas ūkinėms byloms ekonominė sfera yra gana plati sąvoka. Ši veikla apima sukčiavimą, nelegalaus verslo, legalizavimas Pinigai neteisėtai įgyta, neteisėta bankininkystė […]
• Centrinio banko spaudos tarnyba Rusijos Federacija(Rusijos bankas) Spaudos tarnyba 107016, Maskva, g. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Dėl laikinosios administracijos paskyrimo Rusijos banko Išorės ir viešųjų ryšių departamentas informuoja, kad pagal 2 dalį […]
• bendrosios charakteristikos Ir trumpa apžvalga vandens keliai.
• Kucherena = Viktoro Cojaus advokatas Ir tai yra išimtis: šios dienos Anatolijaus Kučerenos laiškas. Tęsiant temą. Šio laiško dar niekas nepaskelbė. Ir turėtų, manau. 1 dalis kol kas. Netrukus paskelbsiu antrąją dalį, kurią pasirašys garsus teisininkas. Kodėl tai svarbu? […]

Sveiki kačiukai! Praėjusį kartą išsamiai išanalizavome, kas yra šaknys (jei neprisimenate, rekomenduoju paskaityti). Pagrindinė tos pamokos išvada: yra tik vienas universalus šaknų apibrėžimas, kurį reikia žinoti. Visa kita yra nesąmonė ir laiko švaistymas.

Šiandien einame toliau. Išmoksime dauginti šaknis, išnagrinėsime kai kurias su daugyba susijusias problemas (jei šios problemos nebus išspręstos, jos gali tapti lemtingos egzamino metu) ir tinkamai praktikuosime. Taigi apsirūpinkite spragėsiais, įsitaisykite patogiai – ir pradėsime. :)

Jūs dar nerūkėte, ar ne?

Pamoka pasirodė gana didelė, todėl padalinau ją į dvi dalis:

1. Pirmiausia pažvelgsime į daugybos taisykles. Atrodo, kad dangtelis užsimena: tai yra tada, kai yra dvi šaknys, tarp jų yra ženklas „dauginti“ - ir mes norime su juo ką nors padaryti.
2. Tada analizuosime atvirkštinę situaciją: yra viena didelė šaknis, ir nekantravome jos pateikti kaip dviejų šaknų sandaugą paprasčiau. Su kokiu išgąsčiu to reikia – atskiras klausimas. Mes tik analizuosime algoritmą.

Tiems, kurie nekantrauja pereiti tiesiai į 2 dalį, kviečiame. Pradėkime nuo likusių eilės tvarka.

Pagrindinė daugybos taisyklė

Pradėkime nuo paprasčiausio – klasikinių kvadratinių šaknų. Tie, kurie pažymėti $\sqrt(a)$ ir $\sqrt(b)$. Jiems paprastai viskas aišku:

daugybos taisyklė. Norėdami padauginti vieną kvadratinę šaknį iš kitos, tereikia padauginti jų radikaliąsias išraiškas ir parašyti rezultatą po bendruoju radikalu:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Dešinėje ar kairėje esantiems skaičiams netaikomi jokie papildomi apribojimai: jei yra daugiklio šaknys, tada egzistuoja ir produktas.

Pavyzdžiai. Apsvarstykite keturis pavyzdžius su skaičiais vienu metu:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, pagrindinė šios taisyklės prasmė yra supaprastinti neracionalius posakius. Ir jei pirmame pavyzdyje būtume ištraukę šaknis iš 25 ir 4 be jokių naujų taisyklių, tada prasideda skarda: $\sqrt(32)$ ir $\sqrt(2)$ savaime nesiskaito, o jų sandauga pasirodo esanti tikslus kvadratas, todėl jo šaknis lygi racionaliajam skaičiui.

Atskirai norėčiau atkreipti dėmesį į paskutinę eilutę. Ten abi radikalios išraiškos yra trupmenos. Produkto dėka daugelis veiksnių atsisako, o visa išraiška virsta tinkamu skaičiumi.

Žinoma, ne visada viskas bus taip gražu. Kartais po šaknimis bus visiškas mėšlas – neaišku ką su juo daryti ir kaip transformuoti po dauginimo. Šiek tiek vėliau, kai pradėsi mokytis neracionalios lygtys ir nelygybės, paprastai bus visokių kintamųjų ir funkcijų. Ir labai dažnai problemų sudarytojai tik skaičiuoja, kad rasite tam tikras sutarties sąlygas ar veiksnius, po kurių užduotis labai supaprastės.

Be to, nebūtina padauginti tiksliai dviejų šaknų. Galite padauginti tris iš karto, keturis - taip, net dešimt! Tai taisyklės nepakeis. Pažiūrėk:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl nedidelė pastaba dėl antrojo pavyzdžio. Kaip matote, trečiajame daugiklyje po šaknimi yra dešimtainė trupmena - skaičiavimo metu ją pakeičiame įprastu, po kurio viskas lengvai sumažinama. Taigi: labai rekomenduoju atsisakyti dešimtainių trupmenų visose neracionaliose išraiškose (ty turinčiose bent vieną radikaliąją piktogramą). Taip ateityje sutaupysite daug laiko ir nervų.

Bet tai buvo lyrinis nukrypimas. Dabar panagrinėkime bendresnį atvejį – kai šakniniame rodiklyje yra savavališkas skaičius $n$, o ne tik „klasikiniai“ du.

Savavališko rodiklio atvejis

Taigi, mes supratome kvadratines šaknis. O ką daryti su kubeliais? Ar apskritai su savavališko laipsnio $n$ šaknimis? Taip, viskas tas pats. Taisyklė išlieka ta pati:

Norint padauginti dvi $n$ laipsnio šaknis, pakanka padauginti jų radikaliąsias išraiškas, po kurių rezultatas rašomas po vienu radikalu.

Apskritai nieko sudėtingo. Nebent skaičiavimų apimtis gali būti didesnė. Pažvelkime į porą pavyzdžių:

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= penki; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl atkreipkite dėmesį į antrą posakį. Padauginame kubo šaknis, atsikratome dešimtainės trupmenos ir dėl to gauname vardiklyje skaičių 625 ir 25 sandaugą. didelis skaičius– Asmeniškai aš ne iš karto svarstau, kam tai lygu.

Todėl mes tiesiog pasirinkome tikslų kubą skaitiklyje ir vardiklyje, o tada panaudojome vieną iš pagrindinių $n$-ojo laipsnio šaknies savybių (arba, jei norite, apibrėžimą):

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dešinė|. \\ \end(lygiuoti)\]

Tokios „aferos“ gali sutaupyti daug laiko per egzaminą arba kontrolinis darbas taigi prisimink:

Neskubėkite dauginti skaičių radikalioje išraiškoje. Pirmiausia patikrinkite: ką daryti, jei tikslus bet kurios išraiškos laipsnis yra „užšifruotas“?

Turėdamas visą šios pastabos akivaizdumą, turiu pripažinti, kad dauguma nepasiruošusių studentų nemato tikslių laipsnių. Vietoj to, jie daugina viską, kas yra į priekį, ir tada stebisi: kodėl jie gavo tokius žiaurius skaičius? :)

Tačiau visa tai yra vaikų žaidimas, palyginti su tuo, ką dabar mokysimės.

Šaknų dauginimas su skirtingais rodikliais

Na, dabar galime padauginti šaknis su tais pačiais eksponentais. O jei balai skiriasi? Sakykite, kaip padauginti įprastą $\sqrt(2)$ iš tokio mėšlo, kaip $\sqrt(23)$? Ar net įmanoma tai padaryti?

Taip, žinoma, galite. Viskas daroma pagal šią formulę:

Šaknų dauginimo taisyklė. Norėdami padauginti $\sqrt[n](a)$ iš $\sqrt[p](b)$, tiesiog atlikite šią transformaciją:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau ši formulė veikia tik tuo atveju, jei radikalios išraiškos yra neneigiamos. Tai labai svarbi pastaba, prie kurios grįšime kiek vėliau.

Kol kas pažvelkime į keletą pavyzdžių:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, nieko sudėtingo. Dabar išsiaiškinkime, iš kur atsirado neneigiamumo reikalavimas ir kas atsitiks, jei jį pažeisime. :)

Lengva padauginti šaknis.

Kodėl radikalios išraiškos turi būti neneigiamos?

Žinoma, tu gali būti toks mokyklos mokytojai ir sumaniai pacituokite vadovėlį:

Neneigiamumo reikalavimas siejamas su skirtingais lyginio ir nelyginio laipsnių šaknų apibrėžimais (atitinkamai skiriasi ir jų apibrėžimo sritys).

Na, tapo aiškiau? Asmeniškai, kai skaičiau šią nesąmonę 8 klasėje, aš pats supratau maždaug taip: „Neneigiamumo reikalavimas yra susijęs su *#&^@(*#@^#)~%“ - trumpai tariant, aš tuo metu nieko nesupratau :)

Taigi dabar viską paaiškinsiu normaliai.

Pirmiausia išsiaiškinkime, iš kur kilusi aukščiau pateikta daugybos formulė. Norėdami tai padaryti, leiskite man priminti vieną svarbią šaknies savybę:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Kitaip tariant, šaknies išraišką galime drąsiai pakelti iki bet kokios natūralios galios $k$ – tokiu atveju šaknies indeksą teks padauginti iš tos pačios galios. Todėl galime nesunkiai sumažinti bet kokias šaknis iki bendro rodiklio, po kurio padauginame. Iš čia kilusi daugybos formulė:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau yra viena problema, kuri labai riboja visų šių formulių taikymą. Apsvarstykite šį skaičių:

Pagal ką tik pateiktą formulę galime pridėti bet kokį laipsnį. Pabandykime pridėti $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Minusą pašalinome būtent todėl, kad kvadratas degina minusą (kaip ir bet kuris kitas lyginis laipsnis). O dabar atlikime atvirkštinę transformaciją: „sumažinkime“ du rodiklius ir laipsnius. Juk bet kokią lygybę galima skaityti ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rodyklė dešinėn \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(lygiuoti)\]

Bet tada atsitinka kažkas beprotiško:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Taip negali būti, nes $\sqrt(-5) \lt 0$ ir $\sqrt(5) \gt 0$. Tai reiškia, kad lyginiams laipsniams ir neigiamiems skaičiams mūsų formulė nebeveikia. Po to turime dvi galimybes:

1. Kovoti prieš sieną teigti, kad matematika yra kvailas mokslas, kur „yra taisyklės, bet tai netikslu“;
2. Įveskite papildomus apribojimus, pagal kuriuos formulė veiks 100 proc.

Pirmuoju variantu turėsime nuolat gaudyti „neveikiančius“ atvejus - tai sunku, ilga ir paprastai juokinga. Todėl matematikai pirmenybę teikė antrajam variantui. :)

Bet nesijaudink! Praktiškai šis apribojimas niekaip neįtakoja skaičiavimų, nes visos aprašytos problemos yra susijusios tik su nelyginio laipsnio šaknimis ir iš jų galima išimti minusus.

Todėl mes suformuluojame kitą taisyklę, kuri apskritai taikoma visiems veiksmams su šaknimis:

Prieš daugindami šaknis, įsitikinkite, kad radikalios išraiškos nėra neigiamos.

Pavyzdys. Skaičiuje $\sqrt(-5)$ galite išimti minusą iš po šaknies ženklo - tada viskas bus gerai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rodyklė dešinėn \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(lygiuoti)\]

Jausti skirtumą? Jei paliksite minusą po šaknimi, tada, kai radikali išraiška bus kvadratuota, ji išnyks ir prasidės šūdas. Ir jei pirmiausia išimsite minusą, tada netgi galite pakelti / pašalinti kvadratą, kol pamėlynsite veidą - skaičius liks neigiamas. :)

Taigi teisingiausias ir patikimiausias būdas padauginti šaknis yra toks:

1. Pašalinkite visus minusus iš po radikalų. Minusai yra tik nelyginio daugumo šaknyse – juos galima dėti priešais šaknį ir, jei reikia, sumažinti (pavyzdžiui, jei iš šių minusų yra du).
2. Atlikite dauginimą pagal aukščiau aptartas taisykles šios dienos pamokoje. Jei šaknų indeksai yra vienodi, tiesiog padauginkite šaknų išraiškas. Ir jei jie skiriasi, naudojame blogio formulę \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Džiaugiamės rezultatu ir gerais pažymiais. :)

Na? Praktikuosime?

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(lygiuoti)\]

Tai yra paprasčiausias variantas: šaknų rodikliai yra vienodi ir nelyginiai, problema yra tik antrojo daugiklio minuse. Ištveriam šį minus nafig, po kurio viskas nesunkiai apsvarstoma.

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( lygiuoti)\]

Čia daugelis būtų sumišę dėl to, kokia buvo produkcija neracionalus skaičius. Taip, atsitinka: mes negalėjome visiškai atsikratyti šaknies, bet bent jau žymiai supaprastinome išraišką.

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(lygiuoti)\]

Būtent į tai norėčiau atkreipti jūsų dėmesį. Čia yra du punktai:

1. Po šaknimi yra ne konkretus skaičius ar laipsnis, o kintamasis $a$. Iš pirmo žvilgsnio tai kiek neįprasta, tačiau iš tikrųjų sprendžiant matematinius uždavinius dažniausiai teks susidurti su kintamaisiais.
2. Galų gale mums pavyko „sumažinti“ radikalios išraiškos šaknies eksponentą ir laipsnį. Taip nutinka gana dažnai. O tai reiškia, kad buvo galima žymiai supaprastinti skaičiavimus, jei nenaudosite pagrindinės formulės.

Pavyzdžiui, galite tai padaryti:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \pabaiga (lygiuoti)\]

Tiesą sakant, visos transformacijos buvo atliekamos tik su antruoju radikalu. Ir jei nedažysite išsamiai visų tarpinių žingsnių, galų gale skaičiavimų kiekis žymiai sumažės.

Tiesą sakant, mes jau susidūrėme su panašia užduotimi aukščiau, spręsdami $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ pavyzdį. Dabar tai galima parašyti daug lengviau:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(lygiuoti)\]

Na, mes supratome šaknų dauginimą. Dabar apsvarstykite atvirkštinį veiksmą: ką daryti, kai po šaknimi yra darbas?

Matematikoje šaknys gali būti kvadratinės, kubinės arba turėti bet kokį kitą rodiklį (galią), kuris rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Išraiška po šaknies ženklu vadinama šaknies išraiška. Šaknies pridėjimas yra panašus į termino pridėjimą. algebrinė išraiška, tai yra, reikia apibrėžti panašias šaknis.

Žingsniai

1 dalis iš 2: Šaknų paieška

Šaknies žymėjimas. Posakis po šaknies ženklu () reiškia, kad iš šios išraiškos reikia išskirti tam tikro laipsnio šaknį.

• Šaknis žymima ženklu.
• Šaknies indeksas (laipsnis) rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Pavyzdžiui, 27 kubo šaknis rašoma taip: (27)
• Jei šaknies rodiklio (laipsnio) nėra, tada rodiklis laikomas lygiu 2, tai yra, tai yra kvadratinė šaknis (arba antrojo laipsnio šaknis).
• Skaičius, parašytas prieš šaknies ženklą, vadinamas daugikliu (ty šis skaičius padauginamas iš šaknies), pavyzdžiui, 5 (2)
• Jei prieš šaknį nėra koeficiento, tada jis yra lygus 1 (prisiminkime, kad bet koks skaičius, padaugintas iš 1, yra lygus sau pačiam).
• Jei su šaknimis dirbate pirmą kartą, pasidarykite atitinkamas pastabas apie šaknies daugiklį ir eksponentą, kad nesusipainiotumėte ir geriau suprastumėte jų paskirtį.

Prisiminkite, kurios šaknys gali būti sulankstytos, o kurios ne. Kaip negalite pridėti skirtingų išraiškos terminų, pvz., 2a + 2b 4ab, taip pat negalite pridėti skirtingų šaknų.

Negalite pridėti šaknų su skirtingomis šaknies išraiškomis, pavyzdžiui, (2) + (3) (5). Bet jūs galite pridėti skaičius po ta pačia šaknimi, pavyzdžiui, (2 + 3) = (5) (2 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,414, 3 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,732, o 5 kvadratinė šaknis yra maždaug 2,236 ).

Negalite pridėti šaknų su tomis pačiomis šaknies išraiškomis, bet skirtingais eksponentais, pavyzdžiui, (64) + (64) (ši suma nėra lygi (64), nes 64 kvadratinė šaknis yra 8, o 64 kubo šaknis yra 4, 8 + 4 = 12, kuris yra daug didesnis nei penktoji 64 šaknis, kuri yra maždaug 2,297).

2 dalis iš 2: Supaprastinimas ir šaknų pridėjimas

Nustatykite ir sugrupuokite panašias šaknis. Panašios šaknys yra šaknys, turinčios tuos pačius rodiklius ir tas pačias šaknų išraiškas. Pavyzdžiui, apsvarstykite posakį:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Pirmiausia perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu rodikliu būtų nuoseklios.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Tada perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu rodikliu ir ta pačia šaknies išraiška būtų nuosekliai.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Supaprastinkite savo šaknis. Norėdami tai padaryti, išskaidykite (kur įmanoma) radikaliąsias išraiškas į du veiksnius, iš kurių vienas išimamas iš po šaknies. Šiuo atveju pateiktas skaičius ir šaknies koeficientas padauginami.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje koeficientas 50 į 2*25 ir skaičius 32 į 2*16. Iš 25 ir 16 galite išskirti kvadratines šaknis (atitinkamai 5 ir 4) ir iš po šaknies paimti 5 ir 4, atitinkamai padauginus jas iš koeficientų 2 ir 1. Taigi, gausite supaprastintą išraišką: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaičius 81 gali būti paskaičiuotas į 3 * 27, o kubo šaknis iš 3 gali būti paimta iš skaičiaus 27. Šis skaičius 3 gali būti paimtas iš po šaknies. Taigi, jūs gaunate dar labiau supaprastintą išraišką: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pridėkite panašių šaknų veiksnius. Mūsų pavyzdyje yra panašios kvadratinės šaknys iš 2 (jas galima pridėti) ir panašios kvadratinės šaknys iš 3 (jas taip pat galima pridėti). At kubo šaknis iš 3 tokių šaknų nėra.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galutinė supaprastinta išraiška: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nėra visuotinai priimtų šaknų rašymo reiškinyje taisyklių. Todėl šaknis galite rašyti didėjančia jų rodiklių ir radikalių išraiškų didėjimo tvarka.

Dėmesio, tik ŠIANDIEN!

Viskas įdomu

Skaičius, esantis po šaknies ženklu, dažnai trukdo spręsti lygtį, su juo nepatogu dirbti. Net jei jis pakeltas iki laipsnio, trupmenos arba negali būti tam tikru laipsniu pavaizduotas kaip sveikasis skaičius, galima pabandyti jį išvesti iš…

Skaičiaus x šaknis yra skaičius, kuris, padidintas iki šaknies laipsnio, bus lygus x. Daugiklis yra dauginamas skaičius. Tai reiškia, kad tokioje išraiškoje kaip x*ª-&radic-y po šaknimi reikia pridėti x. 1 instrukcija Nustatykite laipsnį ...

Jei šakninėje išraiškoje yra matematinių operacijų su kintamaisiais rinkinys, tai kartais dėl jos supaprastinimo galima gauti gana paprastą reikšmę, kurios dalį galima išimti iš po šaknies. Šis supaprastinimas yra naudingas...

Aritmetiniai veiksmai su įvairaus laipsnio šaknimis gali labai supaprastinti fizikos ir technologijų skaičiavimus bei padaryti juos tikslesnius. Dauginant ir dalijant patogiau ne išskirti šaknį iš kiekvieno koeficiento ar dividendo ir daliklio, o pirmiausia ...

Skaičiaus x kvadratinė šaknis yra skaičius a, kurį padauginus iš savęs gaunamas skaičius x: a * a = a^2 = x, x = a. Kaip ir su bet kuriuo skaičiumi, su kvadratinėmis šaknimis galite atlikti sudėjimo ir atimties aritmetines operacijas. Instrukcija...

Matematikos šaknis gali turėti dvi reikšmes: tai aritmetinis veiksmas ir kiekvienas lygties sprendinys, algebrinis, parametrinis, diferencialinis ar bet kuris kitas. 1 instrukcija Skaičiaus a n-ojo laipsnio šaknis yra toks skaičius, kad ...

Atliekant įvairius aritmetinės operacijos su šaknimis dažnai reikia mokėti transformuoti radikalias išraiškas. Norint supaprastinti skaičiavimus, gali prireikti koeficientą išimti iš radikalo ženklo arba įdėti jį po juo. Šis veiksmas gali...

Šaknis yra piktograma, kuri atstovauja matematinis veiksmas radus tokį skaičių, kurio konstrukcija laipsniui, nurodytam prieš šaknies ženklą, turėtų duoti skaičių, nurodytą po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, kuriose yra ...

Šaknies ženklas matematiniuose moksluose vadinamas simbolis už šaknis. Skaičius po šaknies ženklu vadinamas radikaliąja išraiška. Jei nėra eksponento, šaknis yra kvadratas, kitu atveju figūra rodo ...

Aritmetika n-osios šaknis laipsnių nuo tikras numeris a yra toks neneigiamas skaičius x, n-asis laipsnis kuris lygus skaičiui a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Egzistuoti įvairių būdų papildymus aritmetinė šaknis ir racionalus skaičius...

Realiojo skaičiaus a n-oji šaknis yra skaičius b, kurio lygybė b^n = a yra teisinga. Nelyginės šaknys egzistuoja neigiamiems ir teigiamiems skaičiams, o lyginės – tik teigiamiems skaičiams.…

Skaičiaus x kvadratinė šaknis yra skaičius a, kurį padauginus iš savęs gaunamas skaičius x: a * a = a^2 = x, √x = a. Kaip ir su bet kuriuo skaičiumi, su kvadratinėmis šaknimis galite atlikti sudėjimo ir atimties aritmetines operacijas.

Instrukcija

• Pirmiausia, pridėdami kvadratines šaknis, pabandykite tas šaknis išgauti. Tai bus įmanoma, jei skaičiai po šaknies ženklu yra tobuli kvadratai. Pavyzdžiui, teikime išraišką √4 + √9. Pirmasis skaičius 4 yra skaičiaus 2 kvadratas. Antrasis skaičius 9 yra skaičiaus 3 kvadratas. Taip išeina, kad: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Jei po šaknies ženklu nėra pilnų kvadratų, pabandykite ištraukti skaičiaus daugiklį iš po šaknies ženklo. Pavyzdžiui, tarkime, kad duota √24 + √54. Padalinkite skaičius: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaičius 24 turi koeficientą 4, kurį galima paimti iš kvadratinės šaknies ženklo. Skaičius 54 turi koeficientą 9. Taigi išeina, kad: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Šiame pavyzdyje, paėmus daugiklį iš šaknies ženklo, paaiškėjo, kad pateikta išraiška buvo supaprastinta.
• Tegul dviejų kvadratinių šaknų suma yra trupmenos vardiklis, pavyzdžiui, A / (√a + √b). Ir tegul jūsų užduotis yra „atsikratyti vardiklyje esančio neracionalumo“. Tada galite naudoti šį metodą. Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš išraiškos √a - √b. Taigi, vardiklyje bus gauta sutrumpinto daugybos formulė: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analogiškai, jei vardiklyje pateikiamas šaknų skirtumas: √a - √b, tai trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš išraiškos √a + √b. Pavyzdžiui, duota trupmena 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kaip atsikratyti neracionalumo vardiklyje. Tegu duota trupmena 12 / (√2 + √3 + √5). Trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš išraiškos √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Ir galiausiai, jei jums reikia tik apytikslės vertės, tada skaičiuotuvu galite apskaičiuoti kvadratines šaknis. Apskaičiuokite kiekvieno skaičiaus reikšmes atskirai ir užsirašykite reikiamu tikslumu (pavyzdžiui, dviem skaitmenimis po kablelio). Ir tada atlikite reikiamus aritmetinius veiksmus, kaip su paprastais skaičiais. Pavyzdžiui, tarkime, kad norite sužinoti apytikslę išraiškos reikšmę √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešaisiais interesais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.