Mažiausias trijų skaičių kartotinis pavyzdžiai. Mažiausio bendro kartotinio radimas: metodai, LCM suradimo pavyzdžiai

Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turėtumėte nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.

A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 15, 20, 25 ir tt gali būti laikomi 5 kartotiniais.

Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.

Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų be liekanos.

Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš visų šių skaičių.

Norėdami rasti NOC, galite naudoti kelis metodus.

Mažiems skaičiams patogu į eilutę įrašyti visus šių skaičių kartotinius, kol tarp jų bus rastas bendras. Keletai įraše žymimi didžiąja K raide.

Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis įrašas atliekamas taip:

LCM(4; 6) = 24

Jei skaičiai dideli, suraskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada LCM apskaičiavimui geriau naudoti kitą būdą.

Norint atlikti užduotį, reikia išskaidyti siūlomus skaičius į pirminius veiksnius.

Pirmiausia reikia įrašyti didžiausio iš eilutės skaičių išplėtimą, o po juo - likusius.

Išplečiant kiekvieną skaičių gali būti skirtingų veiksnių.

Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.

Išplečiant mažesnį skaičių, reikėtų pabrėžti veiksnius, kurių trūksta pirmojo didžiausio skaičiaus išplėtimui, ir tada juos pridėti prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta deuce.

Dabar galime apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Taigi didesnio skaičiaus pirminių ir antrojo skaičiaus veiksnių sandauga, neįtraukta į didesnio skaičiaus skaidymą, bus mažiausias bendras kartotinis.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, visi jie turėtų būti išskaidyti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrą skaičių 16, 24, 36 kartotinį.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Taigi iš šešiolikos išskaidymo tik du dvejetai nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus faktorizaciją (vienas yra dvidešimt keturių skaidyme).

Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus skaidymo.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.

Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių NOC būtų dvidešimt keturi.

Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi tų pačių daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.

Pavyzdžiui, LCM(10, 11) = 110.

Apsvarstykite tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Faktoringo nustatymas

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, įtraukiant pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių išskaidome į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nėra tolygiai dalijamas iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, turite juos išskaidyti į pirminius veiksnius, tada paimkite kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu rodikliu, su kuriuo jis atsiranda, ir padauginkite šiuos veiksnius kartu.

Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir 33 yra pirminiai. Taigi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikėtų daryti ir ieškant mažiausio bendro įvairių pirminių skaičių kartotinio. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Rasti atrankos būdu

Antrasis būdas – derinant surasti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų duotųjų skaičių, tai šių skaičių LCM yra lygus didesniajam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:

Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar likę pateikti skaičiai dalijasi iš gautos sandaugos.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatykite didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Tada raskite 24 kartotinius, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir iš 3:

24 1 = 24 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.

24 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 3 \u003d 72 - dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ieškoti pagal nuoseklųjį radinį LCM

Trečias būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, paeiliui surandant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8) = 24.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, naudojama tokia procedūra:

Pirmiausia randamas bet kurių dviejų pateiktų skaičių LCM.
Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir pan.
Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią bendrą 24 kartotinį ir trečiąjį duotąjį skaičių – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: gcd (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8, 9) = 72.

Apsvarstykite šios problemos sprendimą. Berniuko žingsnis – 75 cm, o mergaitės – 60 cm.Reikia rasti mažiausią atstumą, kuriuo abu nueis sveiką žingsnių skaičių.

Sprendimas. Visas kelias, kurį vaikinai eis, turi dalytis iš 60 ir 70 be liekanos, nes kiekvienas turi žengti sveiką skaičių žingsnių. Kitaip tariant, atsakymas turi būti 75 ir 60 kartotinis.

Pirmiausia išrašysime visus skaičiaus 75 kartotinius. Gausime:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Dabar išrašykime skaičius, kurie bus 60 kartotiniai. Gauname:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Dabar randame skaičius, esančius abiejose eilutėse.

Bendrieji skaičių kartotiniai bus skaičiai, 300, 600 ir kt.

Mažiausias iš jų yra skaičius 300. Šiuo atveju jis bus vadinamas mažiausiu bendruoju skaičių 75 ir 60 kartotiniu.

Grįžtant prie problemos būklės, mažiausias atstumas, kuriuo vaikinai nueina sveiką žingsnių skaičių bus 300 cm.Vaikinas šiuo keliu eis per 4 žingsnius, o merginai reikės žengti 5 žingsnius.

Mažiausių bendrų kelių radimas

Mažiausias dviejų natūraliųjų skaičių a ir b kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra ir a, ir b kartotinis.

Norint rasti mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį, nebūtina rašyti visų šių skaičių kartotinių iš eilės.

Galite naudoti šį metodą.

Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį

Pirmiausia turite išskaidyti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Dabar surašykime visus veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus (2,2,3,5) išplėtime, ir pridėkime prie jo visus trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus (5) išplėtimo.

Dėl to gauname pirminių skaičių eilę: 2,2,3,5,5. Šių skaičių sandauga bus mažiausiai bendras šių skaičių veiksnys. 2*2*3*5*5 = 300.

Bendra mažiausiojo bendro kartotinio suradimo schema

1. Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius.
2. Užrašykite pirminius veiksnius, kurie yra vieno iš jų dalis.
3. Prie šių faktorių pridėkite visus tuos, kurie yra likusių skaidyme, bet ne pasirinktame.
4. Raskite visų užrašytų faktorių sandaugą.

Šis metodas yra universalus. Jis gali būti naudojamas norint rasti bet kokio natūraliųjų skaičių mažiausią bendrą kartotinį.

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis (gcd)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai bus skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 bus skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami koprime.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami koprime jei jų didžiausias bendras daliklis (gcd) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du dvejetus).
Lieka koeficientai 2 * 2 * 3. Jų sandauga yra 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias bendras trijų ar daugiau skaičių daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra 15, nes jis padalija visus kitus skaičius: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra ir a, ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neišrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, išskaidome 75 ir 60 į paprastus veiksnius: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ir 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (t. y. veiksnius sujungiame).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Taip pat suraskite mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) išskaidyti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras 12, 15, 20 ir 60 kartotinis būtų 60, nes jis dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Skaičius, lygus visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), jie vadino tobulą skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobuluosius skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau iki šiol mokslininkai nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulasis skaičius.
Senovės matematikų susidomėjimas pirminiais skaičiais kyla dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, tai yra, pirminiai skaičiai yra tarsi plytos, iš kurių pastatyti likę natūralieji skaičiai.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai tampa retesni. Kyla klausimas: ar egzistuoja paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Pradžia“, kuri du tūkstančius metų buvo pagrindinis matematikos vadovėlis, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, tai yra už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi lyginis. didesnis pirminis skaičius.
Pirminiams skaičiams surasti tokį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vienetą, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, ty 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų buvo perbraukti visi skaičiai po 3 (skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.). pabaigoje liko neperbraukti tik pirminiai skaičiai.

Mokiniams pateikiama daug matematikos užduočių. Tarp jų labai dažnai yra užduočių su tokia formuluote: yra dvi reikšmės. Kaip rasti mažiausią bendrąjį duotųjų skaičių kartotinį? Būtina mokėti atlikti tokias užduotis, nes įgyti įgūdžiai naudojami dirbant su trupmenomis su skirtingais vardikliais. Straipsnyje analizuosime, kaip rasti LCM ir pagrindines sąvokas.

Prieš rasdami atsakymą į klausimą, kaip rasti LCM, turite apibrėžti terminą "daugelis".. Dažniausiai šios sąvokos formuluotė yra tokia: kokios nors reikšmės A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris be liekanos dalijasi iš A. Taigi 4, 8, 12, 16, 20 ir pan. būtina riba.

Šiuo atveju tam tikros reikšmės daliklių skaičius gali būti ribojamas, o kartotinių yra be galo daug. Ta pati vertė yra ir gamtos vertybėms. Tai rodiklis, kurį jie padalija be liekanos. Išnagrinėję tam tikrų rodiklių mažiausios reikšmės sąvoką, pereikime prie to, kaip ją rasti.

NOC radimas

Mažiausias dviejų ar daugiau eksponentų kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris visiškai dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Yra keletas būdų, kaip rasti tokią vertę. Panagrinėkime šiuos metodus:

Jei skaičiai maži, įrašykite į eilutę, kuri dalijasi iš jo. Tęskite tai, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Įraše jie žymimi raide K. Pavyzdžiui, 4 ir 3 mažiausias kartotinis yra 12.
Jei jie yra dideli arba jums reikia rasti 3 ar daugiau reikšmių kartotinį, čia turėtumėte naudoti kitą metodą, kuris apima skaičių skaidymą į pirminius veiksnius. Pirmiausia išdėliokite didžiausią iš nurodytų, tada visus likusius. Kiekvienas iš jų turi savo skaičių daugiklių. Pavyzdžiui, išskaidykime 20 (2*2*5) ir 50 (5*5*2). Mažesniems iš jų pabraukite veiksnius ir pridėkite prie didžiausio. Rezultatas bus 100, o tai bus mažiausias pirmiau minėtų skaičių bendras kartotinis.
Radus 3 skaičius (16, 24 ir 36), principai yra tokie patys kaip ir kitų dviejų. Išplėskime kiekvieną iš jų: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Į didžiausių išskaidymą nepateko tik du dvejetai iš skaičiaus 16 išplėtimo. Sudedame juos ir gauname 144, tai yra mažiausias rezultatas pagal anksčiau nurodytas skaitines reikšmes.

Dabar žinome, kokia yra bendra metodika, leidžianti rasti mažiausią dviejų, trijų ar daugiau verčių reikšmę. Tačiau yra ir privačių metodų, padeda ieškoti NOC, jei ankstesni nepadeda.

Kaip rasti GCD ir NOC.

Privatūs radimo būdai

Kaip ir bet kurioje matematinėje dalyje, yra ypatingų atvejų, kai galima rasti LCM, kurie padeda konkrečiose situacijose:

jei vienas iš skaičių dalijasi iš kitų be liekanos, tai mažiausias šių skaičių kartotinis jam lygus (NOC 60 ir 15 lygus 15);
Kopirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių. Mažiausia jų reikšmė lygi šių skaičių sandaugai. Taigi skaičiams 7 ir 8 tai bus 56;
ta pati taisyklė galioja ir kitais atvejais, įskaitant specialiuosius, apie kuriuos galima pasiskaityti specializuotoje literatūroje. Tai taip pat turėtų apimti sudėtinių skaičių išskaidymo atvejus, kurie yra atskirų straipsnių ir net daktaro disertacijų tema.

Ypatingi atvejai yra mažiau paplitę nei standartiniai pavyzdžiai. Tačiau jų dėka galite išmokti dirbti su įvairaus sudėtingumo trupmenomis. Tai ypač pasakytina apie trupmenas., kur yra skirtingi vardikliai.

Kai kurie pavyzdžiai

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kurių dėka galite suprasti mažiausio kartotinio radimo principą:

Randame LCM (35; 40). Iš pradžių išdėstome 35 = 5 * 7, tada 40 = 5 * 8. Prie mažiausio skaičiaus pridedame 8 ir gauname NOC 280.
NOC (45; 54). Išdėliojame kiekvieną iš jų: 45 = 3*3*5 ir 54 = 3*3*6. Prie 45 pridedame skaičių 6. Gauname NOC lygų 270.
Na, paskutinis pavyzdys. Yra 5 ir 4. Paprastų jų kartotinių nėra, todėl mažiausias bendras kartotinis šiuo atveju bus jų sandauga, lygi 20.

Pavyzdžių dėka galite suprasti, kaip yra NOC, kokie yra niuansai ir kokia yra tokių manipuliacijų prasmė.

Rasti NOC yra daug lengviau, nei gali atrodyti iš pradžių. Tam naudojamas ir paprastas išplėtimas, ir paprastų reikšmių dauginimas viena iš kitos.. Gebėjimas dirbti su šia matematikos dalimi padeda toliau tirti matematines temas, ypač įvairaus sudėtingumo trupmenas.

Nepamirškite periodiškai spręsti pavyzdžių įvairiais metodais, tai lavina loginį aparatą ir leidžia atsiminti daugybę terminų. Išmokite metodus, kaip rasti tokį rodiklį, ir galėsite gerai dirbti su likusiais matematiniais skyriais. Sėkmės mokantis matematikos!