namai > Matematika

Laipsnis su racionalaus rodiklio parinktimi 3. Skaičiaus laipsnis: apibrėžimai, žymėjimas, pavyzdžiai

Iš sveikųjų skaičiaus a rodiklių perėjimas prie racionalaus eksponento rodo save. Žemiau apibrėžiame laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir padarysime tai taip, kad būtų išsaugotos visos laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės. Tai būtina, nes sveikieji skaičiai yra racionaliųjų skaičių dalis.

Yra žinoma, kad racionaliųjų skaičių aibė susideda iš sveikųjų ir trupmeninių skaičių ir kiekvieno trupmeninis skaičius gali būti pavaizduotas kaip teigiamas arba neigiamas bendroji trupmena. Ankstesnėje pastraipoje laipsnį apibrėžėme sveikuoju rodikliu, todėl norint užbaigti laipsnio apibrėžimą racionaliuoju rodikliu, reikia skaičiaus laipsniui suteikti reikšmę a su trupmena m/n, kur m yra sveikasis skaičius ir n- natūralus. Padarykime tai.

Apsvarstykite laipsnį su formos trupmeniniu rodikliu. Kad laipsnio savybė laipsnyje išliktų galioti, turi galioti lygybė . Jei atsižvelgsime į gautą lygybę ir į tai, kaip nustatėme n-ojo laipsnio šaknį, tai logiška priimti, jei su duomenimis m, n ir a posakis turi prasmę.

Nesunku patikrinti, ar visos laipsnio savybės su sveikuoju rodikliu galioja as (tai daroma skyriuje apie laipsnio su racionaliuoju rodikliu savybes).

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums padaryti šiuos dalykus išvada: jei duota m, n ir a išraiška turi prasmę, tada skaičiaus galia a su trupmena m/n vadinama šaknimi n laipsnis a tiek, kiek m.

Šis teiginys priartina mus prie laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimo. Belieka tik aprašyti, pagal ką m, n ir a posakis turi prasmę. Priklausomai nuo taikomų apribojimų m, n ir a yra du pagrindiniai požiūriai.

1. Lengviausias būdas yra nustatyti apribojimą a, priimant a≥0 už teigiamą m ir a>0 už neigiamą m(nes val m≤0 laipsnį 0 m nepatikslinta). Tada gauname tokį laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Teigiamo skaičiaus laipsnis a su trupmena m/n , kur m yra visuma ir n yra natūralusis skaičius, vadinamas šaknimi n– iš tarpo a tiek, kiek m, t.y, .



Trupmeninis nulio laipsnis taip pat apibrėžiamas su vieninteliu įspėjimu, kad eksponentas turi būti teigiamas.

Apibrėžimas.

Nulio laipsnis su trupmeniniu teigiamu eksponentu m/n , kur m yra teigiamas sveikasis skaičius ir n yra natūralusis skaičius, apibrėžtas kaip .
Kai laipsnis neapibrėžtas, tai yra, skaičiaus nulio laipsnis su trupmeniniu neigiamu eksponentu neturi prasmės.

Reikėtų pažymėti, kad su tokiu laipsnio apibrėžimu su trupmeniniu rodikliu yra vienas niuansas: kai kuriems neigiamiems a ir kai kurie m ir n posakis yra prasmingas, ir mes atmetėme šiuos atvejus įvesdami sąlygą a≥0. Pavyzdžiui, prasminga rašyti arba , o aukščiau pateiktas apibrėžimas verčia teigti, kad laipsniai su formos trupmeniniu rodikliu yra beprasmiai, nes pagrindas neturi būti neigiamas.

2. Kitas būdas nustatyti laipsnį su trupmeniniu rodikliu m/n susideda iš atskiro šaknies lyginių ir nelyginių rodiklių svarstymo. Šis požiūris reikalauja papildoma sąlyga: laipsnis a, kurio rodiklis yra sumažinta paprastoji trupmena, laikomas skaičiaus laipsniu a, kurio rodiklis yra atitinkama neredukuojama trupmena (šios sąlygos svarba bus paaiškinta toliau). Tai yra, jei m/n yra neredukuojama trupmena, tada bet kuriam natūraliajam skaičiui k laipsnis preliminariai pakeičiamas .

Netgi n ir teigiamas m išraiška turi prasmę bet kokiam neneigiamam a(neigiamo skaičiaus lyginio laipsnio šaknis neturi prasmės), su neigiamu m numerį a vis tiek turi skirtis nuo nulio (kitaip tai bus dalijimas iš nulio). Ir dėl keisto n ir teigiamas m numerį a gali būti bet kas (nelyginio laipsnio šaknis apibrėžiama bet kuriam realiajam skaičiui), ir neigiamas m numerį a turi skirtis nuo nulio (kad nebūtų dalijimosi iš nulio).

Pirmiau pateiktas samprotavimas veda prie tokio laipsnio apibrėžimo su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Leisti būti m/n- neredukuojama trupmena m yra visuma ir n- natūralusis skaičius. Bet kurios redukuojamos paprastosios trupmenos laipsnis pakeičiamas . Laipsnis a su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m/n- tai už

o bet koks tikrasis skaičius a, teigiamas sveikasis skaičius m ir keistas natūralus n, Pavyzdžiui, ;

o bet koks realusis skaičius, kuris nėra nulis a, sveikasis neigiamas skaičius m ir nelyginis n, pavyzdžiui, ;

o bet koks neneigiamas skaičius a, teigiamas sveikasis skaičius m Ir netgi n, Pavyzdžiui, ;

o bet koks teigiamas a, sveikasis neigiamas skaičius m Ir netgi n, pavyzdžiui, ;

o kitais atvejais laipsnis su trupmeniniu rodikliu neapibrėžiamas, nes, pavyzdžiui, laipsniai neapibrėžiami .a įrašams neteikiame jokios reikšmės, mes apibrėžiame nulio laipsnį teigiamiems trupmeniniams rodikliams m/n kaip , neigiamiems trupmeniniams eksponentams skaičiaus nulis laipsnis neapibrėžtas.

Baigdami šią pastraipą, atkreipkime dėmesį į tai, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainė trupmena arba mišrus skaičius, pavyzdžiui, . Norėdami apskaičiuoti tokio pobūdžio išraiškų reikšmes, laipsnį turite parašyti kaip paprastą trupmeną, o tada naudoti laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Šiems pavyzdžiams mes turime ir


Nustačius skaičiaus laipsnį, logiška apie tai kalbėti laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus laipsnio savybes, paliesdami visus galimus eksponentus. Čia pateiksime visų laipsnio savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės taikomos sprendžiant pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Laipsnių savybės su natūraliais rodikliais

Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju rodikliu, laipsnis a n yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a . Remiantis šiuo apibrėžimu ir naudojant daugybos savybės realūs skaičiai , galime gauti ir pagrįsti šiuos dalykus laipsnio savybės su natūraliuoju rodikliu:

  1. pagrindinė laipsnio savybė a m ·a n =a m+n , jos apibendrinimas ;
  2. dalinių laipsnių su vienodomis bazėmis savybė a m:a n =a m−n ;
  3. sandaugos laipsnio savybė (a b) n =a n b n , jos išplėtimas ;
  4. dalinis turtas natūra (a:b) n =a n:b n ;
  5. eksponencija (a m) n =a m n , jo apibendrinimas (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. lyginant laipsnį su nuliu:
    • jei a>0 , tai a n >0 bet kuriam natūraliam n ;
    • jei a=0, tai a n=0;
    • jeigu<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jei a<0 и показатель степени есть nelyginis skaičius 2 m-1, tada 2 m-1<0 ;
  7. jei a ir b yra teigiami skaičiai ir a
  8. jei m ir n yra tokie natūralūs skaičiai, kad m>n , tada esant 0 0 nelygybė a m >a n yra teisinga.

Iš karto pažymime, kad visos rašytinės lygybės yra identiški nurodytomis sąlygomis, o jų dešinė ir kairė dalys gali būti keičiamos. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė a m a n = a m + n su posakių supaprastinimas dažnai vartojama forma a m+n = a m a n .

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiai.

    Pradėkime nuo dviejų laipsnių su vienodomis bazėmis sandaugos savybės, kuri vadinama pagrindinė laipsnio savybė: bet kurio realaus skaičiaus a ir bet kokių natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n yra teisinga.

    Įrodykime pagrindinę laipsnio savybę. Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju rodikliu, laipsnių sandauga su vienodais formos a m a n pagrindais gali būti užrašoma sandauga. Dėl daugybos savybių gautą išraišką galima parašyti kaip , o ši sandauga yra laipsnio a su natūraliuoju rodikliu m+n , tai yra a m+n . Tai užbaigia įrodymą.

    Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Paimkime laipsnius su tomis pačiomis bazėmis 2 ir natūraliosiomis laipsniais 2 ir 3, pagal pagrindinę laipsnio savybę galime užrašyti lygybę 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Patikrinkime jo galiojimą, kuriam apskaičiuojame reiškinių 2 2 · 2 3 ir 2 5 reikšmes. Atliekant eksponentiškumą, mes turime 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ir 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, nes gaunamos vienodos reikšmės, tada lygybė 2 2 2 3 \u003d 2 5 yra teisinga ir patvirtina pagrindinę laipsnio savybę.

    Pagrindinę laipsnio savybę, pagrįstą daugybos savybėmis, galima apibendrinti iki trijų ar daugiau laipsnių sandauga su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais. Taigi bet kuriam natūraliųjų skaičių k n 1 , n 2 , …, n k lygybė a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Pavyzdžiui, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Galite pereiti prie kitos laipsnių savybės naudodami natūralų indikatorių - dalinių įgaliojimų su tais pačiais pagrindais nuosavybė: bet kuriam nuliui neprilygstančiam realiajam skaičiui a ir savavališkiems natūraliems skaičiams m ir n, tenkinantiems sąlygą m>n , lygybė a m:a n =a m−n yra teisinga.

    Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime teiginio papildomų sąlygų reikšmę. Sąlyga a≠0 reikalinga tam, kad būtų išvengta dalybos iš nulio, nes 0 n =0, o susipažinę su dalyba sutarėme, kad dalinti iš nulio neįmanoma. Sąlyga m>n įvedama tam, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Iš tiesų, m>n rodiklis a m−n yra natūralusis skaičius, kitu atveju jis bus arba nulis (kas atsitinka, kai m − n ) arba neigiamas skaičius (kas atsitinka, kai m

    Įrodymas. Pagrindinė trupmenos savybė leidžia parašyti lygybę a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Iš gautos lygybės a m−n ·a n =a m ir iš to išplaukia, kad m−n yra a m ir a n laipsnių koeficientas. Tai įrodo dalinių galių, turinčių tuos pačius pagrindus, savybę.

    Paimkime pavyzdį. Paimkime du laipsnius su tomis pačiomis bazėmis π ir natūraliaisiais rodikliais 5 ir 2, nagrinėjamoji laipsnio savybė atitinka lygybę π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Dabar apsvarstykite produkto laipsnio savybė: bet kurių dviejų realiųjų skaičių a ir b sandaugos natūralusis laipsnis n yra lygus laipsnių a n ir b n sandaugai, tai yra, (a b) n =a n b n .

    Iš tiesų, pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu, mes turime . Paskutinį sandaugą, remiantis daugybos savybėmis, galima perrašyti kaip , kuri lygi a n b n .

    Štai pavyzdys: .

    Ši savybė apima trijų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnį. Tai yra, k faktorių sandaugos natūraliosios galios savybė n parašyta kaip (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Aiškumo dėlei šią savybę parodome pavyzdžiu. Trijų veiksnių sandaugai iki 7 laipsnio turime .

    Kitas turtas yra gamtos turtas: realiųjų skaičių a ir b , b≠0 santykis su natūraliąja galia n yra lygus laipsnių a n ir b n daliniui, tai yra (a:b) n =a n:b n .

    Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Taigi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, o lygybė (a:b) n b n =a n reiškia, kad (a:b) n yra a n, padalytos iš b n, koeficientas.

    Parašykime šią savybę naudodami konkrečių skaičių pavyzdį: .

    Dabar pakalbėkime eksponencijos savybė: bet kuriam realiajam skaičiui a ir bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n laipsnio a m laipsnio n laipsnis yra lygus laipsniui a, kurio eksponentas m·n , tai yra, (a m) n =a m·n .

    Pavyzdžiui, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Galios savybės laipsniu įrodymas yra tokia lygybių grandinė: .

    Nagrinėjama savybė gali būti išplėsta iki laipsnio laipsnio viduje ir pan. Pavyzdžiui, bet kokių natūraliųjų skaičių p, q, r ir s lygybė . Siekiant didesnio aiškumo, pateikiamas pavyzdys su konkrečiais skaičiais: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Belieka pasilikti ties laipsnių palyginimo su natūraliu eksponentu ypatybėmis.

    Pradedame įrodydami nulio ir galios palyginimo savybę natūraliuoju eksponentu.

    Pirmiausia pateisinkime, kad a n >0 bet kuriam a>0 .

    Dviejų teigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius, kaip matyti iš daugybos apibrėžimo. Šis faktas ir daugybos savybės leidžia teigti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. O laipsnis a su natūraliuoju rodikliu n pagal apibrėžimą yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Šie argumentai leidžia teigti, kad bet kuriai teigiamai bazei a n laipsnis yra teigiamas skaičius. Pagal įrodytą savybę 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ir .

    Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo n, kurio a=0, a n laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0 n =0·0·…·0=0 . Pavyzdžiui, 0 3 =0 ir 0 762 =0 .

    Pereikime prie neigiamų pagrindų.

    Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkite jį kaip 2 m , kur m yra natūralusis skaičius. Tada . Kiekvienam iš a·a formos sandaugų yra lygus skaičių a ir a modulių sandaugai, todėl yra teigiamas skaičius. Todėl produktas taip pat bus teigiamas. ir laipsnis a 2 m . Štai pavyzdžiai: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ir .

    Galiausiai, kai a bazė yra neigiamas skaičius, o eksponentas yra nelyginis skaičius 2 m−1, tada . Visi sandaugai a·a yra teigiami skaičiai, šių teigiamų skaičių sandauga taip pat yra teigiama, o padauginus iš likusio neigiamo skaičiaus a gaunamas neigiamas skaičius. Dėl šios savybės (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Mes kreipiamės į laipsnių palyginimo su tais pačiais natūraliaisiais rodikliais savybę, kurios formuluotė yra tokia: dviejų laipsnių su tais pačiais natūraliaisiais rodikliais n yra mažesnis už tą, kurio bazė yra mažesnė, ir daugiau už tą, kurio bazė yra didesnė. Įrodykime tai.

    Nelygybė a n nelygybių savybėsįrodoma a n formos nelygybė (2,2) 7 ir .

    Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių natūraliaisiais rodikliais. Suformuluokime. Iš dviejų laipsnių su natūraliais rodikliais ir tomis pačiomis teigiamomis bazėmis, mažesniu už vieną, laipsnis yra didesnis, kurio rodiklis yra mažesnis; o dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir tie patys pagrindai yra didesni už vieną, laipsnis yra didesnis, kurio rodiklis yra didesnis. Mes kreipiamės į šio turto įrodymą.

    Įrodykime, kad m>n ir 0 0 dėl pradinės sąlygos m>n , iš kur išplaukia, kad esant 0

    Belieka įrodyti antrąją turto dalį. Įrodykime, kad m>n ir a>1 atveju a m >a n yra teisinga. Skirtumas a m −a n po n išėmimo iš skliaustų įgauna formą a n ·(a m−n −1) . Ši sandauga yra teigiama, nes esant a>1, a n laipsnis yra teigiamas skaičius, o skirtumas a m-n -1 yra teigiamas skaičius, nes m-n>0 dėl pradinės sąlygos, o esant a>1, a m−n laipsnis yra didesnis už vieną . Todėl a m − a n >0 ir a m >a n , kurį reikėjo įrodyti. Šią savybę iliustruoja nelygybė 3 7 >3 2 .

Laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės

Kadangi teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, visos laipsnių, turinčių teigiamus sveikųjų skaičių rodiklius, savybės tiksliai sutampa su laipsnių savybėmis su natūraliaisiais rodikliais, išvardytomis ir įrodytomis ankstesnėje pastraipoje.

Laipsnį su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu, taip pat laipsnį su nuliniu rodikliu apibrėžėme taip, kad visos laipsnių savybės su natūraliaisiais rodikliais, išreikštos lygybėmis, išliktų galioti. Todėl visos šios savybės galioja ir nuliniams, ir neigiamiems rodikliams, tuo tarpu, žinoma, laipsnių bazės yra nulinės.

Taigi bet kokiems realiems ir nuliniams skaičiams a ir b, taip pat bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n yra teisinga laipsnių savybės su sveikaisiais rodikliais:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a mn;
  6. jei n yra teigiamas sveikasis skaičius, a ir b yra teigiami skaičiai, o a b-n;
  7. jei m ir n yra sveikieji skaičiai, o m>n , tada 0 1 nelygybė a m >a n įvykdyta.

Jei a = 0, laipsniai a m ir a n turi prasmę tik tada, kai ir m, ir n yra teigiami sveikieji skaičiai, tai yra natūralūs skaičiai. Taigi ką tik parašytos savybės galioja ir tais atvejais, kai a=0, o skaičiai m ir n yra teigiami sveikieji skaičiai.

Įrodyti kiekvieną iš šių savybių nėra sunku, tam pakanka naudoti laipsnio apibrėžimus su natūraliuoju ir sveikuoju rodikliu, taip pat veiksmų su realiaisiais skaičiais savybes. Pavyzdžiui, įrodykime, kad galios savybė galioja ir teigiamiems, ir neteigiamiems sveikiesiems skaičiams. Norėdami tai padaryti, turime parodyti, kad jei p yra nulis arba natūralusis skaičius, o q yra nulis arba natūralusis skaičius, tai lygybės (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ir (a-p)-q =a (-p) (-q). Padarykime tai.

Teigiamų p ir q lygybė (a p) q =a p·q buvo įrodyta ankstesniame poskyryje. Jei p=0, tai turime (a 0) q =1 q =1 ir a 0 q =a 0 =1, iš kur (a 0) q =a 0 q. Panašiai, jei q=0, tai (a p) 0 =1 ir a p 0 =a 0 =1, iš kur (a p) 0 =a p 0 . Jei ir p=0, ir q=0, tai (a 0) 0 =1 0 =1 ir a 0 0 =a 0 =1, iš kur (a 0) 0 =a 0 0.

Dabar įrodykime, kad (a −p) q =a (−p) q . Pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu sveikojo skaičiaus eksponentu , tada . Pagal laipsnio koeficiento savybę turime . Kadangi 1 p =1·1·…·1=1 ir , tada . Paskutinė išraiška pagal apibrėžimą yra a −(p q) formos laipsnis, kuris, remiantis daugybos taisyklėmis, gali būti parašytas kaip (−p) q .

Panašiai .

Ir .

Tuo pačiu principu visas kitas laipsnio savybes galima įrodyti sveikuoju rodikliu, užrašytu lygybių forma.

Priešpaskutinėje iš užrašytų savybių verta pasilikti ties nelygybės a −n >b −n įrodymu, kuris yra teisingas bet kuriam neigiamam sveikajam skaičiui −n ir bet kuriam teigiamam a ir b, kurių sąlyga a . Kadangi pagal sąlygą a 0 . Produktas a n ·b n taip pat yra teigiamas kaip teigiamų skaičių a n ir b n sandauga. Tada gauta trupmena yra teigiama kaip teigiamų skaičių b n − a n ir a n b n koeficientas. Vadinasi, iš kur a −n >b −n , kuris turėjo būti įrodytas.

Paskutinė laipsnių savybė su sveikaisiais rodikliais įrodoma taip pat, kaip ir analogiška laipsnių savybė su natūraliaisiais rodikliais.

Galių su racionaliais rodikliais savybės

Laipsnį apibrėžėme trupmeniniu rodikliu, išplėsdami laipsnio savybes sveikuoju rodikliu. Kitaip tariant, laipsniai su trupmeniniais rodikliais turi tokias pačias savybes kaip ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtent:

Laipsnių savybių su trupmeniniais rodikliais įrodymas grindžiamas laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimu, laipsnio su sveikuoju rodikliu savybėmis. Pateikime įrodymą.

Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir , Tada . Aritmetinės šaknies savybės leidžia parašyti tokias lygybes. Be to, naudojant laipsnio savybę su sveikuoju rodikliu, gauname , iš kur pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu gauname , o gauto laipsnio eksponentą galima paversti taip: . Tai užbaigia įrodymą.

Antroji laipsnių su trupmeniniais rodikliais savybė įrodoma lygiai taip pat:

Likusios lygybės įrodomos panašiais principais:

Kreipiamės į kito turto įrodymą. Įrodykime, kad bet kurio teigiamo a ir b atveju a b p . Užsirašykime racionalus skaičius p kaip m/n , kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Sąlygos p<0 и p>0 šiuo atveju bus lygiavertis sąlygoms m<0 и m>0 atitinkamai. Jei m>0 ir a

Panašiai ir m<0 имеем a m >b m , iš kur , tai yra, ir a p >b p .

Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų savybių. Įrodykime, kad racionaliesiems skaičiams p ir q p>q, kai 0 0 – nelygybė a p >a q . Racionalius skaičius p ir q visada galime sumažinti iki bendro vardiklio, gaukime paprastąsias trupmenas ir, kur m 1 ir m 2 yra sveikieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m 1 >m 2, kuri išplaukia iš . Tada, lyginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais eksponentais, esančius 0 1 – nelygybė a m 1 >a m 2 . Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip ir . O laipsnio apibrėžimas su racionaliuoju rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai. Iš to darome galutinę išvadą: kai p>q ir 0 0 – nelygybė a p >a q .

Laipsnių su neracionaliais rodikliais savybės

Iš to, kaip apibrėžiamas laipsnis su neracionaliuoju rodikliu, galima daryti išvadą, kad jis turi visas laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes. Taigi bet kokiems a>0 , b>0 ir neracionaliesiems skaičiams p ir q yra teisingi šie dalykai laipsnių savybės su neracionalūs rodikliai :

  1. a p a q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p-q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b , a 0 nelygybė a p b p ;
  7. iracionaliesiems skaičiams p ir q , p>q esant 0 0 – nelygybė a p >a q .

Iš to galime daryti išvadą, kad laipsniai su bet kuriais realiaisiais eksponentais p ir q, kai a>0 turi tas pačias savybes.

Bibliografija.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos Zh vadovėlis 5 langeliams. švietimo įstaigos.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 langeliams. švietimo įstaigos.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigos.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 langeliams. švietimo įstaigos.
  • Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnitsyn Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
  • Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).

MBOU „Sidorskaja

Bendrojo lavinimo mokyklos»

Plano-metmenų rengimas atvira pamoka

algebroje 11 klasėje tema:

Parengta ir atlikta

matematikos mokytojas

Iskhakova E.F.

Atviros algebros pamokos metmenys 11 klasėje.

Tema : "Laipsnis su racionaliuoju rodikliu".

Pamokos tipas : naujos medžiagos mokymasis

Pamokos tikslai:

    Supažindinti studentus su laipsnio su racionaliu rodikliu samprata ir pagrindinėmis jo savybėmis, remiantis anksčiau studijuota medžiaga (laipsnis su sveikuoju rodikliu).

    Ugdykite skaičiavimo įgūdžius ir gebėjimą konvertuoti ir palyginti skaičius su racionaliuoju rodikliu.

    Ugdyti mokinių matematinį raštingumą ir matematinį susidomėjimą.

Įranga : Užduočių kortelės, studento pristatymas apie laipsnį su sveikuoju rodikliu, dėstytojo pristatymas apie laipsnį su racionaliu indikatoriumi, nešiojamas kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas.

Užsiėmimų metu:

    Laiko organizavimas.

Atskirose užduočių kortelėse nagrinėjamos temos įsisavinimo tikrinimas.

Užduotis numeris 1.

=2;

B) = x + 5;

Išspręskite sistemą neracionalios lygtys: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Užduotis numeris 2.

Išspręskite neracionaliąją lygtį: = - 3;

B) = x - 2;

Išspręskite neracionaliųjų lygčių sistemą: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Pamokos temos ir uždavinių pristatymas.

Mūsų šios dienos pamokos tema Laipsnis su racionaliuoju rodikliu».

    Naujos medžiagos paaiškinimas anksčiau išnagrinėtu pavyzdžiu.

Jūs jau esate susipažinę su laipsnio sąvoka su sveikuoju rodikliu. Kas gali padėti man juos prisiminti?

Kartojimas su pristatymu Laipsnis su sveikuoju rodikliu».

Bet kokiems skaičiams a , b ir bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n lygybės yra teisingos:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);

a 1 = a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Šiandien apibendrinsime skaičiaus laipsnio sąvoką ir įprasminsime išraiškas, turinčias trupmeninį rodiklį. Supažindinkime apibrėžimas laipsniai su racionaliu rodikliu (Pristatymas „Laipsnis su racionaliu rodikliu“):

Laipsnis a > 0 su racionaliuoju rodikliu r = , kur m yra sveikasis skaičius ir n - natūralus ( n > 1), skambino numeriu m .

Taigi, pagal apibrėžimą, mes tai gauname = m .

Pabandykime taikyti šį apibrėžimą atlikdami užduotį.

1 PAVYZDYS

Išreiškiu kaip skaičiaus šaknį išraišką:

BET) B) AT) .

Dabar pabandykime taikyti šį apibrėžimą atvirkščiai

II Išreikškite išraišką kaip laipsnį su racionaliu rodikliu:

BET) 2 B) AT) 5 .

0 laipsnis apibrėžiamas tik teigiamiems eksponentams.

0 r= 0 bet kuriam r> 0.

Naudojant šį apibrėžimą, Namai užpildysite #428 ir #429.

Dabar parodykime, kad aukščiau pateiktas laipsnio su racionaliuoju rodikliu apibrėžimas išsaugo pagrindines laipsnių savybes, kurios yra teisingos bet kuriam rodikliui.

Bet kokių racionalių skaičių r ir s bei bet kurių teigiamų a ir b lygybės yra teisingos:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PAVYZDYS: *

20 . a r: a s =a r-s ;

PAVYZDYS: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

PAVYZDYS: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PAVYZDYS: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

Kelių savybių naudojimo vienu metu PAVYZDYS: * : .

    Fizkultminutka.

Ant stalo pasidėjome rašiklius, ištiesinome nugaras, o dabar tiesiame į priekį, norime paliesti lentą. O dabar pakėlėme ir palinkome į dešinę, į kairę, į priekį, atgal. Jie man parodė rašiklius, o dabar parodykite, kaip tavo pirštai gali šokti.

    Darbas su medžiaga

Atkreipiame dėmesį į dar dvi galių savybes su racionaliais eksponentais:

60 . Leisti būti r yra racionalus skaičius ir 0< a < b . Тогда

a r < b r adresu r> 0,

a r < b r adresu r< 0.

7 0 . Bet kokiems racionaliems skaičiamsr ir s nuo nelygybės r> s seka tuo

a r> a r už > 1,

a r < а r 0 val< а < 1.

PAVYZDYS: palyginkite skaičius:

Ir ; 2 300 ir 3 200 .

    Pamokos santrauka:

Šiandien pamokoje prisiminėme laipsnio su sveikuoju rodikliu savybes, sužinojome laipsnio su racionaliuoju rodikliu apibrėžimą ir pagrindines savybes, svarstėme šio laipsnio taikymą. teorinė medžiaga praktikoje mankštos metu. Noriu atkreipti jūsų dėmesį į tai, kad tema „Laipsnis su racionaliu rodikliu“ yra privaloma NAUDOTI užduotis. Pasiruošime namų darbai ( Nr.428 ir Nr.429

Vaizdo pamokoje „Laipsnis su racionaliu rodikliu“ pateikiama vaizdinė medžiaga mokomoji medžiaga dėstyti šia tema. Vaizdo pamokoje pateikiama informacija apie laipsnio su racionaliuoju rodikliu sampratą, tokių laipsnių savybes, taip pat pavyzdžių, aprašančių mokomosios medžiagos panaudojimą sprendžiant praktines problemas. Šios video pamokos užduotis – vaizdžiai ir aiškiai pateikti mokomąją medžiagą, palengvinti mokiniams ją kurti ir įsiminti, formuoti gebėjimą spręsti problemas naudojant išmoktas sąvokas.

Pagrindiniai video pamokos privalumai – galimybė atlikti vaizdines transformacijas ir skaičiavimus, galimybė panaudoti animacijos efektus mokymosi efektyvumui gerinti. Balso akompanimentas padeda ugdyti taisyklingą matematinę kalbą, taip pat leidžia pakeisti mokytojo paaiškinimą, išlaisvinant jį individualiam darbui.

Vaizdo įrašo pamoka prasideda įvadu į temą. Susiejimo tyrimas nauja tema su anksčiau ištirta medžiaga, siūloma prisiminti, kad n √ a kitu atveju žymimas a 1/n natūraliam n ir teigiamam a. Šis n-šaknies vaizdas rodomas ekrane. Be to, siūloma apsvarstyti, ką reiškia išraiška a m / n, kurioje a yra teigiamas skaičius, o m / n yra trupmena. Laukelyje paryškinto laipsnio apibrėžimas pateikiamas su racionaliuoju rodikliu kaip a m/n = n √ a m . Pažymima, kad n gali būti natūralusis skaičius, o m – sveikas skaičius.

Nustačius laipsnį racionaliuoju rodikliu, jo reikšmė atskleidžiama pavyzdžiais: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Taip pat parodytas pavyzdys, kuriame laipsnis, pavaizduotas dešimtainiu skaičiumi, konvertuojamas į bendrąją trupmeną, kuri turi būti pavaizduota kaip šaknis: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ir pavyzdys iš neigiama reikšmė laipsniai: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Atskirai nurodoma konkretaus atvejo ypatybė, kai laipsnio pagrindas yra nulis. Pažymima, kad šis laipsnis prasmingas tik esant teigiamam trupmeniniam eksponentui. Šiuo atveju jo reikšmė lygi nuliui: 0 m/n =0.

Pastebima dar viena laipsnio su racionaliuoju rodikliu ypatybė – laipsnis su trupmeniniu rodikliu negali būti laikomas trupmeniniu rodikliu. Pateikiami neteisingo laipsnio žymėjimo pavyzdžiai: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Toliau vaizdo pamokoje nagrinėjamos laipsnio savybės su racionaliuoju rodikliu. Pažymima, kad laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės galios ir laipsniui su racionaliuoju rodikliu. Siūloma priminti savybių, kurios galioja ir šiuo atveju, sąrašą:

  1. Dauginant laipsnius iš tų pačių bazių, jų rodikliai sumuojami: a p a q \u003d a p + q.
  2. Laipsnių su vienodomis bazėmis padalijimas sumažinamas iki laipsnio su duotu pagrindu ir rodiklių skirtumu: a p:a q =a p-q .
  3. Jei laipsnį pakeliame iki tam tikro laipsnio, tai rezultate gauname galią su duota baze ir rodiklių sandauga: (a p) q =a pq .

Visos šios savybės galioja laipsniams, kurių racionalieji rodikliai p, q ir teigiama bazė a>0. Be to, laipsnio transformacijos išlieka teisingos atidarant skliaustus:

  1. (ab) p =a p b p - dviejų skaičių sandaugą padidinus iki tam tikro laipsnio su racionaliuoju rodikliu, redukuojama į skaičių sandaugą, kurių kiekvienas pakeliamas tam tikra laipsniu.
  2. (a/b) p =a p /b p - eksponencija su racionaliuoju trupmenos rodikliu sumažinama iki trupmenos, kurios skaitiklis ir vardiklis pakeliami iki duotosios laipsnio.

Vaizdo pamokoje aptariamas pavyzdžių, kuriuose naudojamos nagrinėjamos laipsnių savybės su racionaliuoju rodikliu, sprendimas. Pirmajame pavyzdyje siūloma rasti išraiškos, kurioje yra kintamieji x, reikšmę trupmenos laipsniui: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Nepaisant išraiškos sudėtingumo, naudojant laipsnių savybes, ji išspręsta gana paprastai. Užduoties sprendimas pradedamas supaprastinus išraišką, kuriai taikoma laipsnio didinimo su racionaliu laipsnio laipsniu, taip pat laipsnių dauginimo iš laipsnio taisyklė. ta pati bazė. Pakeitus nurodytą reikšmę x=8 į supaprastintą išraišką x 1/3 +48, ​​nesunku gauti reikšmę - 50.

Antrajame pavyzdyje reikia sumažinti trupmeną, kurios skaitiklis ir vardiklis turi laipsnius su racionaliuoju rodikliu. Naudodamiesi laipsnio savybėmis, iš skirtumo parenkame koeficientą x 1/3, kuris vėliau sumažinamas skaitiklyje ir vardiklyje, o naudojant kvadratų skirtumo formulę, skaitiklis išskaidomas į veiksnius, o tai suteikia daugiau sumažinimų tie patys veiksniai skaitiklyje ir vardiklyje. Tokių transformacijų rezultatas yra trumpoji trupmena x 1/4 +3.

Vietoj to, kai mokytojas aiškintų naują pamokos temą, galima naudoti video pamoką „Laipsnis su racionaliu rodikliu“. Be to, šiame vadove yra pakankamai informacijos savarankiškas mokymasis studentas. Medžiaga gali būti naudinga nuotoliniam mokymuisi.

Taip pat rekomenduojame

Įkeliama...Įkeliama...