Iracionalios lygtys ir jų sprendimo būdai. Iracionalios lygtys

Atsakymas: x = 3.

8 metodas. Išvestinės taikymas sprendžiant iracionaliąsias lygtis

Dažniausiai, sprendžiant lygtis išvestiniu metodu, naudojamas įvertinimo metodas.

15 PAVYZDYS:

Išspręskite lygtį: (1)

Sprendimas: nuo https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> arba (2). Apsvarstykite funkciją ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> ir todėl didėja. Todėl lygtis yra lygiavertis lygčiai, kurios šaknis yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

16 PAVYZDYS:

Išspręskite neracionaliąją lygtį:

Funkcijos apibrėžimo sritis yra segmentas. Raskite didžiausią ir mažiausia vertėšios funkcijos reikšmės intervale . Norėdami tai padaryti, randame funkcijos išvestinę f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Raskime funkcijos reikšmes f(x) segmento galuose ir taške: Taigi, bet ir todėl lygybė įmanoma tik esant sąlygai https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > Patikrinimas rodo, kad skaičius 3 yra šios lygties šaknis.

Atsakymas: x = 3.

9 metodas. Funkcinis

Egzaminuose jie kartais siūlo išspręsti lygtis, kurios gali būti parašytos forma , kur yra tam tikra funkcija.

Pavyzdžiui, kai kurios lygtys: 1) 2) . Tiesa, pirmuoju atveju , antruoju atveju . Todėl neracionalias lygtis spręskite naudodami šį teiginį: jei funkcija aibėje griežtai didėja X ir bet kuriam , tada lygtys ir pan. yra lygiavertės aibėje X .

Išspręskite neracionaliąją lygtį: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> rinkinyje griežtai didėja R, ir https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > kuri turi unikalią šaknį Todėl ekvivalentinė lygtis (1) taip pat turi unikalią šaknį

Atsakymas: x = 3.

18 PAVYZDYS:

Išspręskite neracionaliąją lygtį: (1)

Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą gauname, kad jei (1) lygtis turi šaknis, tada jos priklauso aibei DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Apsvarstykite, kad funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> griežtai didėja šiame rinkinyje bet kokiam ..gif" width="100" aukštis ="41">, kuris turi vieną šaknį Todėl ir lygiavertis jam rinkinyje X(1) lygtis turi vieną šaknį

Atsakymas: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Sprendimas: ši lygtis yra lygiavertė mišriai sistemai

Jei lygtyje yra kintamasis po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis vadinama neracionalia.
Apsvarstykite neracionalią lygtį

Ši lygybė pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą reiškia, kad 2x + 1 = 32. Tiesą sakant, mes perėjome nuo pateiktos neracionalios lygties prie racionalios lygties 2x + 1 = 9, padėdami abi neracionalios lygties puses kvadratu. Abiejų lygties pusių kvadratūros metodas yra pagrindinis neracionalių lygčių sprendimo būdas. Tačiau tai suprantama: kaip kitaip atsikratyti kvadratinės šaknies ženklo? Iš lygties 2x + 1 = 9 randame x = 4.
Tai yra ir lygties 2x + 1 = 9 šaknis, ir pateiktoji neracionali lygtis.
Kvadratavimo metodas yra techniškai paprastas, tačiau kartais sukelia problemų. Apsvarstykite, pavyzdžiui, neracionaliąją lygtį

Padalinus abi puses kvadratu, gauname

Toliau turime:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Tačiau reikšmė x - 1, būdama racionalios lygties 2x - 5 = 4x - 7 šaknis, nėra pateiktos neracionalios lygties šaknis. Kodėl? Pateiktoje neracionalioje lygtyje vietoj x pakeitę 1, gauname . Kaip galime kalbėti apie skaitinės lygybės išsipildymą, jei ir kairėje, ir dešinėje jos dalyse yra prasmės neturinčių posakių? Tokiais atvejais jie sako: x \u003d 1 yra pašalinė tam tikros neracionalios lygties šaknis. Pasirodo, kad pateikta neracionali lygtis neturi šaknų.
Išspręskime neracionaliąją lygtį

-
Šios lygties šaknis galima rasti žodžiu, kaip tai padarėme ankstesnės pastraipos pabaigoje: jų sandauga yra – 38, o suma – 17; nesunku atspėti, kad tai yra skaičiai 2
ir - 19. Taigi, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Pateiktoje neracionalioje lygtyje vietoj x pakeitę reikšmę 2, gauname

Tai netiesa.
Pateiktoje neracionalioje lygtyje vietoj x pakeitę reikšmę - 19, gauname

Tai taip pat neteisinga.
Kokia išvada? Abi rastos vertės yra pašalinės šaknys. Kitaip tariant, pateikta neracionali lygtis, kaip ir ankstesnė, neturi šaknų.
Pašalinė šaknis jums nėra nauja sąvoka, su pašalinėmis šaknimis jau teko susidurti sprendžiant racionalias lygtis, tikrinimas padeda jas aptikti. Iracionalioms lygtims tikrinimas yra privalomas lygties sprendimo veiksmas, kuris padės aptikti pašalines šaknis, jei tokių yra, ir jas išmesti (dažniausiai sakoma „išravėti“).

Taigi, neracionali lygtis išspręsta padalijus abi jos dalis kvadratu; išsprendus gautą racionaliąją lygtį, būtina atlikti patikrinimą, pašalinant galimas pašalines šaknis.

Naudodamiesi šiuo dariniu, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Padėkime kvadratu abi (1) lygties puses:

Toliau iš eilės turime

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Apžiūra. Pakeitę x \u003d 5 į (1) lygtį, gauname teisingą lygybę. Pakeitę x \u003d 4 į (1) lygtį, gauname teisingą lygybę. Taigi abi rastos reikšmės yra (1) lygties šaknys.
O n e t: 4; penkios.

2 pavyzdys išspręsti lygtį
(Mes susidūrėme su šia lygtimi 22 paragrafe ir jos sprendimą „atidėjome“ iki geresnių laikų.) neracionalią lygtį gauname
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Tada mes turime
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 – 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Apžiūra. Į duotąją neracionaliąją lygtį pakeitę x = 80, gauname

Akivaizdu, kad tai neteisinga lygybė, nes jos dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, o kairėje – teigiamas skaičius. Taigi x = 80 yra pašalinė šios lygties šaknis.

Pakeitę x = 12 į pateiktą neracionalią lygtį, gauname

t.y. . = 20, yra teisinga lygybė. Todėl x = 12 yra šios lygties šaknis.
Atsakymas: 12.

Abi paskutinės lygties dalies dalis dalijame iš 2:

Apžiūra. Pakeitę reikšmę x = 14 į (2) lygtį, gauname yra neteisinga lygybė, todėl x = 14 yra pašalinė šaknis.
Pakeitę reikšmę x = -1 į (2) lygtį, gauname
- tikra lygybė. Todėl x = - 1 yra (2) lygties šaknis.
A n t e t: - 1.

4 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Žinoma, šią lygtį galite išspręsti taip pat, kaip naudojome ankstesniuose pavyzdžiuose: perrašykite lygtį kaip

Padėkite abi šios lygties puses kvadratu, išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir patikrinkite rastas šaknis pakeisdami jas į
pradinė iracionalioji lygtis.

Bet mes naudosime elegantiškesnį būdą: įvesime naują kintamąjį y = . Tada gauname 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - kvadratinę lygtį kintamojo y atžvilgiu. Raskime jo šaknis: y 1 = 1, y 2 = -. Taigi užduotis buvo sumažinta iki dviejų

Iš pirmosios lygties randame x \u003d 1, antroji lygtis neturi šaknų (atminkite, kad reikia tik neneigiamų verčių).
Atsakymas: 1.
Šį skyrių užbaigiame gana rimta teorine diskusija. Esmė tokia. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, neracionaliąją. Jūs žinote, kad sprendžiant lygtis atliekamos įvairios transformacijos,
pvz.: lygties narys perkeliamas iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu; abi lygties pusės dauginamos arba dalijamos iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio; atsikratykite vardiklio, t.y., lygtį = 0 pakeiskite lygtimi p (x) = 0; Abi lygties pusės yra kvadratinės.

Žinoma, pastebėjote, kad dėl kai kurių transformacijų gali atsirasti pašalinių šaknų, todėl reikėjo būti budriems: patikrinti visas rastas šaknis. Taigi dabar pabandysime visa tai suvokti teoriniu požiūriu.

Apibrėžimas. Dvi lygtys f (x) = g (x) ir r (x) = s (x) vadinamos lygiavertėmis, jei jų šaknys yra vienodos (arba ypač jei abi lygtys neturi šaknų).

Dažniausiai sprendžiant lygtį bandoma šią lygtį pakeisti paprastesne, bet jai lygiaverte. Toks pokytis vadinamas lygiaverte lygties transformacija.

Šios transformacijos yra lygiavertės lygties transformacijos:

1. Lygties narių perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą su priešingais ženklais.
Pavyzdžiui, lygties 2x + 5 = 7x - 8 pakeitimas lygtimi 2x - 7x = - 8 - 5 yra lygiavertė lygties transformacija. Tai reiškia kad

lygtys 2x + 5 = 7x -8 ir 2x - 7x = -8 - 5 yra lygiavertės.

2. Abiejų lygties pusių dauginimas arba dalijimas iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio.
Pavyzdžiui, lygtį 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 pakeičiant lygtimi 5x 2 - Zx \u003d 20
(abi lygties dalys terminas buvo padaugintas iš 10) yra lygiavertė lygties transformacija.

Neekvivalenčios lygties transformacijos yra šios transformacijos:

1. Atleidimas nuo vardiklių, kuriuose yra kintamųjų.
Pavyzdžiui, lygties pakeitimas lygtimi x 2 \u003d 4 yra neekvivalentiška lygties transformacija. Faktas yra tas, kad lygtis x 2 \u003d 4 turi dvi šaknis: 2 ir - 2, ir duota lygtis reikšmė x = 2 negali patenkinti (vardiklis išnyksta). Tokiais atvejais sakėme taip: x \u003d 2 yra pašalinė šaknis.

2. Abiejų lygties pusių kvadratūra.
Mes nepateiksime pavyzdžių, nes šioje pastraipoje jų buvo gana daug.
Jei sprendžiant lygtį buvo naudojama viena iš nurodytų neekvivalentiškų transformacijų, tada visos rastos šaknys turi būti patikrintos pakeičiant pradinę lygtį, nes tarp jų gali būti pašalinių šaknų.

Tema: „Iracionalios formos lygtys , .»

(Metodologinis tobulinimas.)

Pagrindinės sąvokos

Iracionalios lygtys vadinamos lygtimis, kuriose kintamasis yra po šaknies (radikalo) arba didinimo iki trupmeninės laipsnio ženklu.

Formos f(x)=g(x) lygtis, kurioje bent viena iš reiškinių f(x) arba g(x) yra neracionali neracionali lygtis.

Pagrindinės radikalų savybės:

• Visi radikalai lygus laipsnis yra aritmetika, tie. jei radikali išraiška neigiama, tai radikalas neturi prasmės (neegzistuoja); jei šaknies išraiška lygi nuliui, tada radikalas taip pat yra nulis; jei radikalo išraiška yra teigiama, tai radikalo reikšmė egzistuoja ir yra teigiama.
• Visi radikalai nelyginis laipsnis yra apibrėžti bet kuriai radikalios išraiškos reikšmei. Be to, radikalas yra neigiamas, jei radikalo išraiška yra neigiama; yra nulis, jei šaknies išraiška lygi nuliui; yra teigiamas, jei pajungta išraiška yra teigiama.

Iracionaliųjų lygčių sprendimo būdai

Išspręskite neracionalią lygtį - reiškia surasti visas tikrąsias kintamojo reikšmes, pakeičiant jas į pradinę lygtį, ji virsta teisinga skaitine lygybe arba įrodyti, kad tokių reikšmių nėra. Iracionaliosios lygtys sprendžiamos realiųjų skaičių R aibėje.

Galiojančių lygties verčių diapazonas susideda iš tų kintamojo reikšmių, kurioms visos išraiškos po lyginio laipsnio radikalų ženklu yra neneigiamos.

Pagrindiniai neracionalių lygčių sprendimo būdai yra:

a) abiejų lygties dalių pakėlimo ta pačia galia metodas;

b) naujų kintamųjų įvedimo metodas (pakeitimų metodas);

c) dirbtiniai iracionaliųjų lygčių sprendimo metodai.

Šiame straipsnyje mes sutelksime dėmesį į aukščiau apibrėžtos formos lygčių svarstymą ir pateiksime 6 tokių lygčių sprendimo būdus.

1 metodas. kubas.

Šis metodas reikalauja naudoti sutrumpintas daugybos formules ir neturi „spąstų“, t.y. nesukelia pašalinių šaknų atsiradimo.

1 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas:

Perrašome lygtį į formą ir supjaustykite kubu iš abiejų pusių. Gauname lygtį, lygiavertę šiai lygčiai,

Atsakymas: x=2, x=11.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Perrašykime lygtį į formą ir iškelkime abi jos puses į kubą. Gauname lygtį, lygiavertę šiai lygčiai

ir gautą lygtį laikykite kvadratine vienos iš šaknų atžvilgiu

todėl diskriminantas yra 0, o lygtis gali turėti sprendinį x=-2.

Egzaminas:

Atsakymas: x=-2.

komentuoti: Patikrinimas gali būti praleistas, jei kvadratinė lygtis yra užpildyta.

2 metodas. Kubas naudojant formulę.

Mes ir toliau kubuosime lygtį, bet tuo pat metu naudosime modifikuotas formules sutrumpintai daugybai.

Naudokime formules:

(nedidelė modifikacija žinoma formulė), tada

3 pavyzdys. išspręsti lygtį .

Sprendimas:

Suskaidykime lygtį kubu naudodami aukščiau pateiktas formules.

Bet išraiška turi būti lygus dešinei pusei. Todėl mes turime:

.

Dabar, supjaustę kubu, gauname įprastą kvadratinę lygtį:

, ir dvi jo šaknys

Abi vertės, kaip rodo testas, yra teisingos.

Atsakymas: x=2, x=-33.

Bet ar visos transformacijos čia lygiavertės? Prieš atsakydami į šį klausimą, išspręskime dar vieną lygtį.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pakeldami, kaip ir anksčiau, abi dalis į trečią laipsnį, turime:

Iš kur (atsižvelgiant į tai, kad išraiška skliausteliuose yra ), gauname:

Gauname .Patikrinkime ir įsitikinkime, kad x=0 yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: .

Atsakykime į klausimą: „Kodėl atsirado pašalinės šaknys?

Lygybė veda į lygybę . Pakeitę iš -s, gauname:

Patikrinti tapatybę paprasta

Taigi, jei , tada arba , arba . Lygtį galima pavaizduoti kaip , .

Pakeitę iš -s, gauname: jei , tada arba , arba

Todėl, naudojant šį sprendimo būdą, būtina patikrinti ir įsitikinti, kad nėra pašalinių šaknų.

3 metodas. Sisteminis metodas.

5 pavyzdys išspręsti lygtį .

Sprendimas:

Leisti būti , . Tada:

Kaip tai akivaizdu

Antroji sistemos lygtis gaunama taip, kad radikalių išraiškų tiesinė kombinacija nepriklauso nuo pradinio kintamojo.

Nesunku pastebėti, kad sistema neturi sprendimo, todėl pradinė lygtis neturi sprendinio.

Atsakymas: Nėra šaknų.

6 pavyzdys išspręsti lygtį .

Sprendimas:

Įvedame pakaitalą, sudarome ir išsprendžiame lygčių sistemą.

Leisti būti , . Tada

Grįžę prie pradinio kintamojo, turime:

Atsakymas: x=0.

4 metodas. Naudojant funkcijų monotoniškumą.

Prieš naudodami šį metodą, pereikime prie teorijos.

Mums reikės šių savybių:

7 pavyzdys išspręsti lygtį .

Sprendimas:

Kairė lygties pusė yra didėjanti funkcija, o dešinė – skaičius, t.y. konstanta, todėl lygtis turi ne daugiau kaip vieną šaknį, kurią pasirenkame: x \u003d 9. Patikrinkite, ar šaknis tinka.

Lygtys vadinamos iracionaliosiomis, jei jose yra nežinomas dydis po šaknies ženklu. Tai, pavyzdžiui, lygtys

Daugeliu atvejų vieną ar pakartotinai pritaikius abiejų lygties dalių eksponenciją, galima neracionaliąją lygtį redukuoti iki vieno ar kito laipsnio algebrinės lygties (tai yra pirminės lygties pasekmė). Kadangi pakeliant lygtį į laipsnį gali atsirasti pašalinių sprendinių, tai išsprendę algebrinę lygtį, į kurią redukavome šią neracionaliąją lygtį, turėtume patikrinti rastas šaknis pakeisdami į pradinę lygtį ir išsaugoti tik tas, kurios ją tenkina, o likusius – pašalinius išmesti.

Spręsdami neracionalias lygtis, apsiribojame tik tikrosiomis jų šaknimis; visos lyginio laipsnio šaknys lygčių žymėjime suprantamos aritmetine prasme.

Apsvarstykite kai kuriuos tipiniai pavyzdžiai neracionalios lygtys.

A. Lygtys, kuriose yra nežinomasis po kvadratinės šaknies ženklu. Jei šioje lygtyje yra tik vienas Kvadratinė šaknis, po kurio ženklu yra nežinomasis, tada ši šaknis turi būti izoliuota, tai yra, patalpinta į vieną lygties dalį, o visi kiti terminai perkelti į kitą dalį. Padėję abi lygties puses kvadratu, mes jau išsivadavome nuo neracionalumo ir gauname algebrinę lygtį

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Išskiriame šaknį kairėje lygties pusėje;

Gautą lygtį padalijame kvadratu:

Mes randame šios lygties šaknis:

Patikrinimas rodo, kad tenkina tik pradinę lygtį.

Jei lygtis apima dvi ar daugiau šaknų, kuriose yra x, tada kvadratas turi būti kartojamas keletą kartų.

2 pavyzdys. Išspręskite šias lygtis:

Sprendimas, a) Abi lygties puses padalijame kvadratu:

Atskiriame šaknį:

Gauta lygtis vėl pakeliama kvadratu:

Po transformacijų gauname tokią kvadratinę lygtį:

Išspręsk:

Pakeisdami į pradinę lygtį, įsitikiname, kad yra jos šaknis, bet tai yra pašalinė šaknis.

b) Pavyzdį galima išspręsti taip pat, kaip buvo išspręstas a pavyzdys. Tačiau pasinaudodami tuo, kad dešinėje šios lygties pusėje nėra nežinomo dydžio, elgsimės kitaip. Lygtį padauginame iš išraiškos konjugato į kairę pusę; mes gauname

Dešinėje yra sumos ir skirtumo sandauga, tai yra kvadratų skirtumas. Iš čia

Kairėje šios lygties pusėje buvo kvadratinių šaknų suma; kairėje dabar gautos lygties pusėje yra tų pačių šaknų skirtumas. Užrašykime duotas ir gautas lygtis:

Paėmę šių lygčių sumą, gauname

Paskutinę lygtį statome kvadratu ir supaprastinus gauname

Iš čia randame. Patikrinę įsitikiname, kad šios lygties šaknis yra tik skaičius. 3 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Čia jau po radikaliu ženklu turime kvadratinius trinamenis.

Sprendimas. Lygtį padauginame iš išraiškos, konjuguotos su jos kairiąja puse:

Atimkite paskutinę lygtį iš pateiktos:

Padėkime šią lygtį kvadratu:

Iš paskutinės lygties randame . Patikrinę esame įsitikinę, kad šios lygties šaknis yra tik skaičius x \u003d 1.

B. Lygtys, kuriose yra trečiojo laipsnio šaknys. Iracionaliųjų lygčių sistemos. Mes apsiribojame atskirais tokių lygčių ir sistemų pavyzdžiais.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Parodykime du (70.1) lygties sprendimo būdus. Pirmas būdas. Supjaustykime abi šios lygties puses kubu (žr. (20.8) formulę):

(čia mes pakeitėme sumą kubo šaknys skaičius 4, naudojant lygtį).

Taigi mes turime

y., supaprastinus,

iš kur Abi šaknys tenkina pradinę lygtį.

Antras būdas. Padėkime

Lygtis (70.1) bus parašyta kaip . Be to, aišku, kad. Iš (70.1) lygties perėjome į sistemą

Pirmąją sistemos termino lygtį padalinę iš termino iš antrosios, randame

Iracionalioji lygtis yra bet kokia lygtis, kurios šaknies ženklu yra funkcija. Pavyzdžiui:

Tokios lygtys visada sprendžiamos 3 etapais:

1. Atskirkite šaknį. Kitaip tariant, jei lygybės ženklo kairėje, be šaknies, yra kiti skaičiai ar funkcijos, visa tai keičiant ženklą reikia perkelti į dešinę. Tuo pačiu metu kairėje turėtų likti tik radikalas – be jokių koeficientų.
2. 2. Abi lygties puses padalijame kvadratu. Tuo pačiu metu atminkite, kad šaknies diapazonas yra neneigiami skaičiai. Taigi funkcija dešinėje neracionali lygtis taip pat turi būti neneigiamas: g (x) ≥ 0.
3. Trečias žingsnis logiškai seka iš antrojo: reikia atlikti patikrinimą. Faktas yra tas, kad antrajame žingsnyje galime turėti papildomų šaknų. O norint juos nupjauti, reikia gautus kandidatų skaičius pakeisti pradine lygtimi ir patikrinti: ar tikrai gauta teisinga skaitinė lygybė?

Iracionalios lygties sprendimas

Panagrinėkime mūsų neracionalią lygtį, pateiktą pačioje pamokos pradžioje. Čia šaknis jau nuošali: lygybės ženklo kairėje nėra nieko, išskyrus šaknį. Palyginkime abi puses:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Gautą kvadratinę lygtį išsprendžiame per diskriminantą:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Belieka tik šiuos skaičius pakeisti pradinėje lygtyje, t.y. atlikti patikrinimą. Tačiau net ir čia galite pasielgti teisingai, kad supaprastintumėte galutinį sprendimą.

Kaip supaprastinti sprendimą

Pagalvokime: kodėl mes net tikriname neracionalios lygties sprendimo pabaigoje? Norime įsitikinti, kad keičiant savo šaknis lygybės ženklo dešinėje bus neneigiamas skaičius. Juk jau tikrai žinome, kad tai neneigiamas skaičius kairėje, nes aritmetinė kvadratinė šaknis (dėl kurios mūsų lygtis vadinama neracionalia) pagal apibrėžimą negali būti mažesnė už nulį.

Todėl tereikia patikrinti, ar funkcija g ( x ) = 5 − x , esanti į dešinę nuo lygybės ženklo, yra neneigiama:

g(x) ≥ 0

Mes pakeičiame savo šaknis į šią funkciją ir gauname:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

Iš gautų reikšmių matyti, kad šaknis x 1 = 6 mums netinka, nes pakeisdami į dešinę pradinės lygties pusę, gauname neigiamą skaičių. Tačiau šaknis x 2 \u003d −2 mums visai tinka, nes:

1. Ši šaknis yra kvadratinės lygties, gautos pakėlus abi puses, sprendimas neracionali lygtisį aikštę.
2. Pradinės iracionaliosios lygties dešinioji pusė, pakeitus šaknį x 2 = −2, virsta teigiamu skaičiumi, t.y. diapazonas aritmetinė šaknis nesulaužytas.

Štai visas algoritmas! Kaip matote, lygtis su radikalais išspręsti nėra taip sunku. Svarbiausia nepamiršti patikrinti gautų šaknų, kitaip labai tikėtina, kad gausite papildomų atsakymų.