Kas yra trupmenos išvestinė. Kaip rasti trupmenos išvestinę

Matematikoje visiškai neįmanoma išspręsti fizikinių uždavinių ar pavyzdžių, neturint žinių apie išvestinę ir jos skaičiavimo metodus. Darinys yra viena iš svarbiausių sąvokų matematinė analizė. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai esminei temai. Kas yra darinys, koks jo fizinis ir geometrine prasme kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , pateikta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento kaita – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pokytis arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinis apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Bet kuris:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

fizinę reikšmę išvestinė: kelio laiko išvestinė lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra privatus kelias. x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis tam tikrą laiką:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį vienu metu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: išimkite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinės ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, laikykitės kaip taisyklė - jei galite supaprastinti išraišką, būtinai supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečioji taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu pasakyti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės tarpinio argumento sandaugai ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia atsižvelgiame į išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai yra spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sudėtingiausią kontrolę ir susidoroti su užduotimis, net jei anksčiau niekada nesusidūrėte su išvestinių priemonių skaičiavimu.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0 \). Padidinkime \(\Delta x \) iki argumento, kad nepaliktume šio intervalo. Raskite atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (einant iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jei \(\Delta x \rightarrow 0 \) yra šio ryšio riba, tada nurodyta riba vadinama išvestinė funkcija\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Išvestinei žymėti dažnai naudojamas simbolis y. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, bet natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba. Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y \u003d f (x) išvestinė.

Išvestinės geometrinė reikšmė susideda iš toliau nurodytų dalykų. Jei liestinė, kuri nėra lygiagreti y ašiai, gali būti nubrėžta į funkcijos y \u003d f (x) grafiką taške, kurio abscisė x \u003d a, tada f (a) išreiškia liestinės nuolydį:
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), lygybė \(f"(a) = tg(a) \) yra teisinga.

O dabar išvestinės apibrėžimą interpretuojame apytikslėmis lygybėmis. Tegul funkcija \(y = f(x) \) turi išvestinę tam tikrame taške \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad šalia taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. duotas taškas X. Pavyzdžiui, funkcijos \(y = x^2 \) apytikslė lygybė \(\Delta y \apytiksliai 2x \cdot \Delta x \) yra teisinga. Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y \u003d f (x) išvestinę?

1. Pataisykite reikšmę \(x \), raskite \(f(x) \)
2. Padidinkite \(x \) argumentą \(\Delta x \), pereikite į naują tašką \(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y \u003d f (x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip yra susiję funkcijos tęstinumas ir diferencijuotumas taške?

Tegul funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x. Tada funkcijos grafiko taške M (x; f (x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės nuolydis yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "lūžti" ties taškas M, ty funkcija turi būti ištisinė ties x.

Tai buvo samprotavimai „ant pirštų“. Pateikime griežtesnį argumentą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, tai apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) yra lygi nuliui, tada \(\Delta y \) ) taip pat bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuota taške x, tai tame taške ji taip pat yra tolydi.

Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "jungties taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės nubrėžti neįmanoma, tai išvestinės šiuo metu nėra.

Dar vienas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 . Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, tai yra, ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x \u003d 0. Tokiai tiesei nėra nuolydžio, o tai reiškia, kad \ ( f „(0) \) taip pat neegzistuoja

Taigi, mes susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip galite pasakyti, ar funkcija skiriasi nuo funkcijos grafiko?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu funkcijos grafike galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena x ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, palengvinančias šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tai teisinga diferenciacijos taisyklės:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sudėtinės funkcijos išvestinė:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Išvestinis skaičiavimas yra viena iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo operacijų. Žemiau yra lentelė, skirta išvestinėms priemonėms rasti paprastos funkcijos. Sudėtingesnių diferenciacijos taisyklių ieškokite kitose pamokose:

• Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė

Naudokite pateiktas formules kaip atskaitos reikšmes. Jie padės išspręsti diferencialines lygtis ir uždavinius. Paveikslėlyje paprastų funkcijų išvestinių lentelėje yra pagrindinių išvestinės radimo atvejų „cheat sheet“ vartojimui suprantama forma, šalia kiekvieno atvejo paaiškinimai.

Paprastų funkcijų dariniai

1. Skaičiaus išvestinė nulis
с´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0

Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus argumentui. Kadangi skaičius niekaip nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.

2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1

Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.

3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą funkcijos argumentas ( X) jo vertė (y) auga iš kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis argumento kitimo greičio atžvilgiu yra tiksliai lygus reikšmei iš.

Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
tai tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus kampo koeficientas tiesės nuolydis (k).

4. Modulinė kintamojo išvestinė yra lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienetui, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (bandyk nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Tai yra tiksliai reikšmė ir grąžinama išraiška x / |x| Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, prie neigiamos reikšmės kintamasis x su kiekvienu argumento pokyčio padidėjimu funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o teigiamų, atvirkščiai, didėja, bet lygiai tokia pat reikšme.

5. Kintamojo galios išvestinė yra lygus šios galios skaičiaus ir galios kintamojo sandaugai, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami įsiminti formulę:
Paimkite kintamojo „žemyn“ rodiklį kaip daugiklį, o tada sumažinkite patį rodiklį vienu. Pavyzdžiui, x 2 - du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog suteikė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - sumažiname trigubą, sumažiname jį vienu, o vietoj kubo turime kvadratą, tai yra 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengvai įsimenama.

6.Trupmenų darinys 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip kėlimas į neigiamą galią
(1/x)" = (x -1)" , tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Trupmenų darinys su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1/x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. šaknies vedinys(kintamojo išvestinė pagal kvadratinė šaknis)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)", kad galėtumėte taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Kintamojo pagal savavališko laipsnio šaknį išvestinė
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)