Kv lygčių sprendimas per diskriminantą. Kvadratinės lygtys
Diskriminantas yra dviprasmiškas terminas. Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio bus skiriama daugianario diskriminantui, kuris leidžia nustatyti, ar tam tikras daugianomas turi realius sprendimus. Kvadratinio daugianario formulė randama mokykliniame algebros ir analizės kurse. Kaip rasti diskriminantą? Ko reikia lygčiai išspręsti?
Vadinamas kvadratinis daugianomas arba antrojo laipsnio lygtis i * w ^ 2 + j * w + k lygus 0, kur "i" ir "j" yra atitinkamai pirmasis ir antrasis koeficientai, "k" yra konstanta, kartais vadinama "pertrauka" ir "w" yra kintamasis. Jo šaknys bus visos kintamojo, kuriam esant jis virsta tapatybe, reikšmės. Tokią lygybę galima perrašyti kaip i, (w - w1) ir (w - w2) sandaugą, lygią 0. Šiuo atveju akivaizdu, kad jei koeficientas "i" neišnyksta, tada funkcija kairioji pusė taps nuliu tik tada, jei x įgis reikšmę w1 arba w2. Šios reikšmės yra polinomo nustatymo į nulį rezultatas.
Norint rasti kintamojo, kuriam esant kvadratinis daugianomas išnyksta, reikšmę, naudojama pagalbinė konstrukcija, pagrįsta jos koeficientais ir vadinama diskriminantu. Ši konstrukcija apskaičiuojama pagal formulę D lygi j * j - 4 * i * k. Kodėl jis naudojamas?
- Ji sako, jei yra tinkamų rezultatų.
- Ji padeda juos apskaičiuoti.
Kaip ši vertė parodo tikrų šaknų buvimą:
- Jei jis teigiamas, realiųjų skaičių srityje galite rasti dvi šaknis.
- Jei diskriminantas lygus nuliui, tai abu sprendiniai yra vienodi. Galima sakyti, kad yra tik vienas sprendimas, ir jis yra iš realiųjų skaičių srities.
- Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai daugianomas neturi tikrųjų šaknų.
Medžiagos tvirtinimo skaičiavimo galimybės
Jei suma (7 * w^2; 3 * w; 1) lygi 0 D apskaičiuojame pagal formulę 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 gauname -19. Diskriminacinė reikšmė žemiau nulio rodo, kad realioje eilutėje rezultatų nėra.
Jei laikysime 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1, atitinkančius 0, tada D apskaičiuojamas kaip (-3) kvadratas atėmus skaičių sandaugą (4; 2; 1) ir yra lygus 9 - 8, tai yra, 1. Teigiama reikšmė rodo du realiosios linijos rezultatus.
Jei imsime sumą (w^2; 2 * w; 1) ir prilygsime 0, D apskaičiuojamas kaip du kvadratai atėmus skaičių sandaugą (4; 1; 1). Ši išraiška supaprastės iki 4–4 ir pavirs iki nulio. Pasirodo, rezultatai tokie patys. Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, tada paaiškės, kad tai yra „pilnas kvadratas“. Tai reiškia, kad lygybę galima perrašyti į formą (w + 1) ^ 2 = 0. Tapo akivaizdu, kad šios problemos rezultatas yra „-1“. Esant situacijai, kai D lygus 0, kairę lygybės pusę visada galima sutraukti pagal formulę „sumos kvadratas“.
Diskriminanto naudojimas šaknims apskaičiuoti
Ši pagalbinė konstrukcija ne tik parodo realių sprendimų skaičių, bet ir padeda juos rasti. Bendroji formulė antrojo laipsnio lygtis apskaičiuojama taip:
w = (-j +/- d) / (2 * i), kur d yra 1/2 laipsnio diskriminantas.
Tarkime, kad diskriminantas yra žemiau nulio, tada d yra įsivaizduojamas, o rezultatai yra įsivaizduojami.
D yra nulis, tada d lygus D laipsniui 1/2 taip pat yra nulis. Sprendimas: -j / (2 * i). Dar kartą įvertinę 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, rasime rezultatus, lygiaverčius -2 / (2 * 1) = -1.
Tarkime, D > 0, taigi d yra tikrasis skaičius, o atsakymas čia padalijamas į dvi dalis: w1 = (-j + d) / (2 * i) ir w2 = (-j - d) / (2 * i) . Abu rezultatai galios. Pažvelkime į 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Čia diskriminantas ir d yra vienodi. Taigi w1 yra (3 + 1) padalintas iš (2 * 2) arba 1, o w2 yra (3 - 1) padalintas iš 2 * 2 arba 1/2.
Kvadratinės išraiškos prilyginimo nuliui rezultatas apskaičiuojamas pagal algoritmą:
- Galiojančių sprendimų skaičiaus nustatymas.
- Skaičiavimas d = D^(1/2).
- Rezultato radimas pagal formulę (-j +/- d) / (2 * i).
- Gauto rezultato pakeitimas pradine lygybe čekiu.
Kai kurie ypatingi atvejai
Atsižvelgiant į koeficientus, sprendimas gali būti šiek tiek supaprastintas. Akivaizdu, kad jei koeficientas prieš kintamąjį iki antrosios laipsnio yra lygus nuliui, tada gaunama tiesinė lygybė. Kai koeficientas prieš kintamąjį yra lygus nuliui iki pirmosios laipsnio, galimi du variantai:
- daugianaris išsiplečia į kvadratų skirtumą su neigiamu laisvuoju nariu;
- teigiamai konstantai realių sprendimų rasti nepavyksta.
Jei laisvasis narys yra nulis, tada šaknys bus (0; -j)
Tačiau yra ir kitų ypatingų atvejų, kurie supaprastina sprendimo paiešką.
Sumažinta antrojo laipsnio lygtis
Duota vadinama toks kvadratinis trinaris, kur koeficientas prieš didžiausią narį yra vienas. Šiai situacijai taikytina Vieta teorema, kuri sako, kad šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui iki pirmosios laipsnio, padaugintam iš -1, o sandauga atitinka konstantą "k".
Todėl w1 + w2 yra lygus -j, o w1 * w2 lygus k, jei pirmasis koeficientas yra vienas. Norėdami patikrinti tokio vaizdavimo teisingumą, galime išreikšti w2 = -j - w1 iš pirmosios formulės ir pakeisti ją į antrąją lygybę w1 * (-j - w1) = k. Rezultatas yra pradinė lygybė w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Svarbu pažymėti kad i * w ^ 2 + j * w + k = 0 galima sumažinti padalijus iš "i". Rezultatas bus toks: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kur j1 lygus j/i, o k1 lygus k/i.
Pažiūrėkime į jau išspręstą 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 su rezultatais w1 = 1 ir w2 = 1/2. Reikia padalyti per pusę, ko pasekoje w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Patikrinkime, ar teoremos sąlygos yra teisingos rastiems rezultatams: 1 + 1/2 = 3/2 ir 1 * 1/2 = 1/2.
Net antrasis veiksnys
Jei kintamojo koeficientas iki pirmosios laipsnio (j) dalijasi iš 2, tada bus galima supaprastinti formulę ir ieškoti sprendimo per ketvirtadalį diskriminanto D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. pasirodo w = (-j +/- d/2) / i, kur d/2 = D/4 iki 1/2 laipsnio.
Jei i = 1, o koeficientas j lygus, tada sprendimas yra -1 ir pusės koeficiento sandauga kintamajame w, plius/atėmus šios pusės kvadrato šaknį, atėmus konstantą "k". Formulė: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.
Aukštesnės eilės diskriminatorius
Aukščiau aptartas antrojo laipsnio trinalio diskriminantas yra dažniausiai naudojamas ypatinga byla. Bendruoju atveju daugianario diskriminantas yra šio daugianario šaknų skirtumų padauginti kvadratai. Todėl diskriminantas nulis rodo, kad yra bent du keli sprendimai.
Apsvarstykite i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.
D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.
Tarkime, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. Tai reiškia, kad realiųjų skaičių srityje yra trys šaknys. Esant nuliui, yra keli sprendimai. Jeigu D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Vaizdo įrašas
Mūsų vaizdo įrašas išsamiai papasakos apie diskriminanto skaičiavimą.
Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.
Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.
Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.
Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:
- Neturi šaknų;
- Jie turi tiksliai vieną šaknį;
- Jie turi dvi skirtingas šaknis.
Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.
Diskriminuojantis
Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .
Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:
- Jeigu D< 0, корней нет;
- Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
- Jei D > 0, bus dvi šaknys.
Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:
Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.
Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai nelabai.
Kvadratinės lygties šaknys
Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:
Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė
Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:
Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos
\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:
Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nupieškite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.
Nebaigtos kvadratinės lygtys
Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:
- x2 + 9x = 0;
- x2 – 16 = 0.
Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:
Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.
Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.
Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma yra ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:
Nes aritmetika Kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a ) ≥ 0. Išvada:
- Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
- Jei (-c / a )< 0, корней нет.
Kaip matote, diskriminanto neprireikė - neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.
Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:
Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustųProduktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:
Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Faktorizacija kvadratinis trinaris. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.
Pagrindinės formulės
Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1)
.
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
;
.
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.
Be to, manome, kad - realūs skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
;
.
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
Faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
;
.
Tada
.
Grafinis interpretavimas
Jei pastatyti funkcijų grafikas
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.
Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.
Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas
Atliekame transformacijas ir taikome formules (f.1) ir (f.3):
,
kur
;
.
Taigi antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis
atliktas
ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.
Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai
1 pavyzdys
(1.1)
.
Sprendimas
.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.
Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:
.
Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.
Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.
Atsakymas
;
;
.
2 pavyzdys
Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1)
.
Sprendimas
Įrašome kvadratinę lygtį bendras vaizdas:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugkartines (lygias) šaknis:
;
.
Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.
Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.
Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.
Atsakymas
;
.
3 pavyzdys
Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1)
.
Sprendimas
Kvadratinę lygtį rašome bendra forma:
(1)
.
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.
Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.
Tada
.
Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.
Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.
Atsakymas
Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.
Dirbkime su kvadratines lygtis. Tai labai populiarios lygtys! Paprasčiausia kvadratinė lygtis atrodo taip:
Pavyzdžiui:
čia a =1; b = 3; c = -4
čia a =2; b = -0,5; c = 2,2
čia a =-3; b = 6; c = -18
Na, supranti...
Kaip išspręsti kvadratines lygtis? Jei turite šios formos kvadratinę lygtį, tada viskas paprasta. Prisiminkite stebuklingą žodį diskriminuojantis . Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Tai paprasta ir be problemų naudoti. Taigi, kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:
Išraiška po šaknies ženklu yra tokia pati diskriminuojantis. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir apsvarstykite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, pirmajai lygčiai a =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:
Pavyzdys beveik išspręstas:
Tai viskas.
Kokie atvejai galimi naudojant šią formulę? Yra tik trys atvejai.
1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.
2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau tai turi įtakos nelygybei, kur mes šią problemą išnagrinėsime išsamiau.
3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.
Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...
Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne su jų ženklais (kur čia susipainioti?), Bet su pakeitimu neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!
Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:
čia a = -6; b = -5; c=-1
Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.
Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:
Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis piktas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!
Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėme. Arba išmoko, o tai irgi gerai. Ar galite teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos šaknies formule ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįčia - dėmesingai?
Tačiau kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:
Tai yra nepilnos kvadratinės lygtys . Jas taip pat galima išspręsti naudojant diskriminantą. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.
Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime su, a b !
Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokios diskriminacijos. Apsvarstykite pirmąjį nepilna lygtis. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.
Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x = 0, arba x = 4
Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei per diskriminantą.
Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:
Belieka ištraukti šaknį iš 9, ir viskas. Gaukite:
taip pat dvi šaknys . x = +3 ir x = -3.
Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimdami x iš skliaustų, arba paprastas perkėlimas skaičiai į dešinę, po to šaknies ištraukimas.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...
Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...
Pirmas priėmimas. Netingėkite prieš išspręsdami kvadratinę lygtį Standartinė forma. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:
Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:
Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:
O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.
Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu
. Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos. Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b su priešingas
ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Viskas mažiau klaidų valios.
Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta ankstesnis skyrius. Kai dirbate su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...
Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Sveiki atvykę! Štai kur jis.
Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:
Tai viskas! Spręsti yra smagu!
Taigi, pakartokime temą.
1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.
2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.
3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.
4. Jei x kvadratas yra švarus, jo koeficientas lygus vienam, sprendimas gali būti lengvai patikrintas Vietos teorema. Daryk!
Trupmenų lygtys. ODZ.
Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Lieka paskutinis vaizdas trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug tvirtesniais - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats.
Trupmenų lygtys.
Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklyje nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:
Leiskite jums priminti, jei tik vardikliuose numeriai, tai tiesinės lygtys.
Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Žemiau paminėsiu.
Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant visas tas pačias identiškas transformacijas.
Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai sumažėtų! Viskas iš karto taps lengviau. Paaiškinu pavyzdžiu. Tarkime, kad turime išspręsti lygtį:
Kaip jie buvo mokomi pradinėje mokykloje? Viską perkeliame į vieną pusę, sumažiname iki bendro vardiklio ir t.t. Pamiršk kaip baisus sapnas! Taip darote pridėdami arba atimdami trupmeninės išraiškos. Arba dirbti su nelygybėmis. Ir lygtyse mes iš karto padauginame abi dalis iš išraiškos, kuri suteiks mums galimybę sumažinti visus vardiklius (ty iš esmės iš bendro vardiklio). Ir kas yra ši išraiška?
Kairėje pusėje, norėdami sumažinti vardiklį, turite padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2. Taigi lygtį reikia padauginti iš 2 (x+2). Mes dauginame:
Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet aš parašysiu išsamiai:
Atkreipkite dėmesį, kad skliaustų dar neatidarau. (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:
Kairėje pusėje jis visiškai sumažintas (x+2), o dešinėje 2. Pagal poreikį! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:
Kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.
Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:
Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1 galima parašyti:
Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – nuo trupmenų.
Matome, kad norint sumažinti vardiklį su x, reikia trupmeną padauginti iš (x - 2). Ir vienetai mums nėra kliūtis. Na, padauginkime. Visi kairėje pusėje ir visi dešinioji pusė:
Vėl skliausteliuose (x - 2) Aš neatskleidžiu. Aš dirbu su visu skliaustu, tarsi tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.
Su gilaus pasitenkinimo jausmu pjauname (x - 2) ir lygtį gauname be jokių trupmenų, liniuote!
O dabar atidarome skliaustus:
Pateikiame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:
Klasikinė kvadratinė lygtis. Bet minusas į priekį nėra geras. Visada galite jo atsikratyti padauginę arba padalydami iš -1. Bet jei atidžiai pažvelgsite į pavyzdį, pastebėsite, kad geriausia šią lygtį padalyti iš -2! Vienu ypu minusas dings, o koeficientai gražės! Daliname iš -2. Kairėje pusėje - terminas po termino, o dešinėje - tiesiog padalinkite nulį iš -2, nulį ir gaukite:
Sprendžiame per diskriminantą ir tikriname pagal Vietos teoremą. Mes gauname x = 1 ir x = 3. Dvi šaknys.
Kaip matote, pirmuoju atveju lygtis po transformacijos tapo tiesinė, o čia kvadratinė. Būna, kad atsikračius trupmenų visi x sumažinami. Kažkas liko, pavyzdžiui, 5=5. Tai reiškia kad x gali būti bet kas. Kad ir kas tai būtų, jis vis tiek bus sumažintas. Ir gaukite gryną tiesą, 5 = 5. Bet, atsikračius trupmenų, tai gali pasirodyti visiškai netiesa, pavyzdžiui, 2=7. O tai reiškia, kad jokių sprendimų! Su bet kuriuo x jis pasirodo klaidingas.
Supratau pagrindinis būdas sprendimus trupmenines lygtis ? Tai paprasta ir logiška. Pakeičiame pradinę išraišką, kad dingtų viskas, kas mums nepatinka. Arba trukdyti. Šiuo atveju tai trupmenos. Tą patį darysime su visais sudėtingų pavyzdžių su logaritmais, sinusais ir kitais baisumais. Mes visada mes viso šito atsikratysime.
Tačiau turime pakeisti pradinę išraišką mums reikalinga kryptimi pagal taisykles, taip ... Kurio kūrimas yra pasiruošimas matematikos egzaminui. Čia mes mokomės.
Dabar išmoksime apeiti vieną iš pagrindinės pasalos egzamino metu! Bet pirmiausia pažiūrėkime, ar jūs į jį patenkate, ar ne?
Paimkime paprastą pavyzdį:
Reikalas jau pažįstamas, abi dalis padauginame iš (x - 2), mes gauname:
Atminkite, su skliausteliuose (x - 2) dirbame kaip su viena integralia išraiška!
Čia aš jau neberašiau tos vardikliuose, neorus... Ir vardikliuose nebraižiau skliaustų, išskyrus x - 2 nieko nėra, negalima piešti. Sutrumpiname:
Atidarome skliaustus, perkeliame viską į kairę, pateikiame panašius:
Išsprendžiame, patikriname, gauname dvi šaknis. x = 2 ir x = 3. gerai.
Tarkime, užduotyje nurodyta užrašyti šaknį arba jų sumą, jei šaknų yra daugiau nei viena. Ką rašysime?
Jei nuspręsite, kad atsakymas yra 5, jūs buvo užpulti pasaloje. Ir užduotis jums nebus įskaityta. Jie dirbo veltui... Teisingas atsakymas yra 3.
Kas nutiko?! Ir tu pabandyk patikrinti. Nežinomo reikšmes pakeiskite į originalus pavyzdys. O jei at x = 3 viskas nuostabiai auga kartu, gauname 9 = 9, tada su x = 2 padalinti iš nulio! Ko visiškai negalima padaryti. Reiškia x = 2 nėra sprendimas ir į jį neatsižvelgiama atsakant. Tai vadinamoji pašalinė arba papildoma šaknis. Mes tiesiog jį išmetame. Yra tik viena galutinė šaknis. x = 3.
Kaip tai?! Girdžiu pasipiktinusius šūksnius. Mus mokė, kad lygtį galima padauginti iš išraiškos! Tai yra tapatybės transformacija!
Taip, identiškas. Esant nedidelei sąlygai - išraiška, iš kurios mes dauginame (daliname) - skiriasi nuo nulio. BET x - 2 adresu x = 2 lygus nuliui! Taigi viskas sąžininga.
O dabar ką aš galiu padaryti?! Nedauginti pagal išraišką? Ar tikrinate kiekvieną kartą? Ir vėl neaišku!
ramiai! Jokios panikos!
Šioje sudėtingoje situacijoje mus išgelbės trys stebuklingos raidės. Aš žinau, ką tu galvoji. Teisingai! Tai yra ODZ . Galiojančių vertybių sritis.
Taip pat rekomenduojame
Didvyrių pionieriai Didžiojo Tėvynės karo herojai Tėvynės karo pionieriai pristatymas
Pristatymas „Ikimokyklinio amžiaus vaikų laikysenos formavimas Vaikų taisyklingos laikysenos pristatymo higiena
Žmogaus kūno mokslai
Pristatymas „Robotikos raidos istorija ir perspektyvos“
Rusijos kovos su Polovciais vertė
Azija ir Afrika po Antrojo pasaulinio karo
Įkeliama...