Funkcijų didinimas ir mažinimas pagal grafiką. Funkcijų grafikas

„Didėjanti ir mažėjanti funkcija“

Pamokos tikslai:

1. Išmokite rasti monotonijos intervalus.

2. Protinių gebėjimų ugdymas, suteikiantis situacijos analizę ir adekvačių veikimo metodų (analizė, sintezė, palyginimas) kūrimą.

3. Susidomėjimo dalyku formavimas.

Per užsiėmimus

Šiandien mes toliau nagrinėjame išvestinės taikymą ir svarstome jo taikymo funkcijoms tirti klausimą. Darbas priekyje

O dabar pateikime keletą funkcijos „Protų audra“ savybių apibrėžimų

1. Kas vadinama funkcija?

2. Koks yra x kintamojo pavadinimas?

3. Koks yra Y kintamojo pavadinimas?

4. Kokia yra funkcijos apimtis?

5. Kas yra funkcijos reikšmių rinkinys?

6. Kas yra lygi funkcija?

7. Kuri funkcija vadinama nelygine?

8. Ką galima pasakyti apie lyginės funkcijos grafiką?

9. Ką galima pasakyti apie nelyginės funkcijos grafiką?

10. Kas yra didėjanti funkcija?

11. Kas yra mažėjimo funkcija?

12. Kas yra periodinė funkcija?

Matematika tiria matematinius modelius. Vienas iš svarbiausių matematiniai modeliai yra funkcija. Egzistuoti Skirtingi keliai funkcijų aprašymai. Kuris iš jų yra akivaizdžiausias?

– Grafika.

– Kaip sudaryti grafiką?

– Pagal taškus.

Tai kelias geras, jei iš anksto žinote, kaip apytiksliai atrodo grafikas. Pavyzdžiui, kas yra grafikas kvadratinė funkcija, tiesinė funkcija, atvirkštinis proporcingumas, funkcija y = sinx? (Parodomos atitinkamos formulės, mokiniai įvardija kreives, kurios yra grafikai.)

Bet ką daryti, jei norite pavaizduoti funkciją ar dar sudėtingesnę? Galite rasti kelis taškus, bet kaip funkcija veikia tarp šių taškų?

Ant lentos uždėkite du taškus, paprašykite mokinių parodyti, kaip galėtų atrodyti grafikas „tarp jų“:

Norint sužinoti, kaip veikia funkcija, padeda jos išvestinė.

Atsiverskite sąsiuvinius, užsirašykite numerį, klasės darbą.

Pamokos tikslas: sužinokite, kaip funkcijos grafikas yra susijęs su jos išvestinės grafiku, ir išmokite išspręsti dviejų tipų uždavinius:

1. Pagal išvestinės grafiką raskite pačios funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus bei funkcijos ekstremalinius taškus;

2. Pagal išvestinės intervalų ženklų schemą raskite pačios funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus bei funkcijos ekstremalinius taškus.

Panašių užduočių mūsų vadovėliuose nėra, tačiau jos randamos vieningo valstybinio egzamino testuose (A ir B dalys).

Šiandien pamokoje apžvelgsime nedidelį antrojo proceso tyrimo etapo darbo elementą, vienos iš funkcijos savybių tyrimą - monotoniškumo intervalų apibrėžimą.

Norėdami išspręsti problemą, turime prisiminti kai kuriuos anksčiau aptartus klausimus.

Taigi, užsirašykime šios dienos pamokos temą: Funkcijų didėjimo ir mažėjimo požymiai.

Veikimo padidėjimo ir mažėjimo požymiai:

Jei šios funkcijos išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms intervale (a; c), ty f "(x)\u003e 0, tada funkcija šiame intervale didėja.
Jei šios funkcijos išvestinė yra neigiama visoms x reikšmėms intervale (a; b), ty f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Monotoniškumo intervalų nustatymo tvarka:

Raskite funkcijos apimtį.

1. Raskite pirmąją funkcijos išvestinę.

2. nuspręsti dėl valdybos

Raskite kritinius taškus, ištirkite pirmosios išvestinės ženklą intervaluose, į kuriuos rasti kritiniai taškai padalija funkcijos sritį. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus:

a) apibrėžimo sritis,

b) rasti pirmąją išvestinę:,

c) rasti kritinius taškus: ; , Ir

3. Gautuose intervaluose tiriame išvestinės ženklą, sprendimas pateikiamas lentelės pavidalu.

nurodyti kraštutinius taškus

Pažvelkime į kelis didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimo pavyzdžius.

Pakankama maksimumo egzistavimo sąlyga yra pakeisti išvestinės ženklą einant per kritinį tašką iš „+“ į „-“, o minimumo iš „-“ į „+“. Jei išvestinė nekeičia ženklo, eidama per kritinį tašką, tai šiame taške ekstremumo nėra

1. Raskite D(f).

2. Raskite f "(x).

3. Raskite stacionarius taškus, t.y. taškai, kuriuose f"(x) = 0 arba f"(x) neegzistuoja.
(Išvestinė yra 0 ties skaitiklio nuliais, išvestinė neegzistuoja ties vardiklio nuliais)

4. Raskite D(f) ir šiuos taškus koordinačių tiesėje.

5. Nustatykite išvestinės požymius kiekviename intervale

6. Taikyti ženklus.

7. Užsirašykite atsakymą.

Naujos medžiagos konsolidavimas.

Mokiniai dirba poromis ir sprendimus rašo į sąsiuvinius.

a) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

Prie lentos dirba du žmonės.

a) y \u003d 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y \u003d x4-2 x³

3.Pamokos santrauka

Namų darbas: testas (diferencijuotas)

Funkcijų kraštutinumai

2 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas funkcijos $f(x)$ maksimumo tašku, jei yra šio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\le f(x_0 )$ patenkintas.

3 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ tašku, jei yra tokio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\ge f(x_0) $ patenkintas.

Funkcijos ekstremumo sąvoka glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibrėžimą.

4 apibrėžimas

$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:

1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.

Ekstremo sąvokai galima suformuluoti teoremas dėl pakankamų ir būtinų jo egzistavimo sąlygų.

2 teorema

Pakankama ekstremalių būklė

Tegul taškas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja išvestinė $f"(x)$ ir išlaiko pastovų ženklą. Tada:

1) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\ dešinėje)

2) Jei išvestinė $f"\left(x\right)0$ yra intervale $(a,x_0)$, tai taškas $x_0$ yra mažiausias šios funkcijos taškas.

3) Jei ir intervale $(a,x_0)$ ir intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\right) >0$ arba išvestinė $f"\left(x) \dešinė)

Ši teorema pavaizduota 1 paveiksle.

1 pav. Pakankama sąlyga ekstremumams egzistuoti

Kraštutinybių pavyzdžiai (2 pav.).

2 pav. Ekstremumo taškų pavyzdžiai

Ekstremo funkcijos tyrimo taisyklė

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

7) Pagal 2 teoremą padarykite išvadas apie maksimumų ir minimumų buvimą kiekviename intervale.

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Pirmiausia pristatykime didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimus.

5 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama didėjančia, jei bet kuriuose $x_1 taškuose $x_1,x_2\in X$

6 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama mažėjančia, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ taškuose $x_1,x_2\in X$.

Didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimas

Galite ištirti didinimo ir mažinimo funkcijas naudodami išvestinę.

Norėdami ištirti didėjimo ir mažėjimo intervalų funkciją, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) Raskite funkcijos $f(x)$ sritį;

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

3) Raskite taškus, kur lygybė $f"\left(x\right)=0$;

4) Raskite taškus, kuriuose $f"(x)$ nėra;

5) Koordinačių tiesėje pažymėkite visus rastus taškus ir duotosios funkcijos sritį;

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename gautame intervale;

7) Padarykite išvadą: intervaluose, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija didėja.

Didinimo, mažinimo ir ekstremalių taškų buvimo funkcijų tyrimo problemų pavyzdžiai

1 pavyzdys

Ištirkite didinimo ir mažinimo funkciją bei maksimumų ir minimumų taškų buvimą: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kadangi pirmieji 6 taškai yra vienodi, juos ištrauksime pirmiausia.

1) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;

5) Koordinačių linija:

3 pav

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename intervale:

\ \}