가 호출되는 형식의 기능 이차 함수.

이차 함수의 그래프 - 포물선.

다음과 같은 경우를 고려하십시오.

사례 I, 고전 포물선

즉 , ,

작성하려면 x 값을 공식에 ​​대입하여 표를 채우십시오.

마크 포인트(0;0); (1;1); (-1;1) 등 좌표 평면에서 (x 값을 취하는 단계가 작아지고(이 경우 1단계) x 값이 많을수록 곡선이 더 부드러워짐) 포물선을 얻습니다.

, , , 즉, 축(소)에 대해 대칭인 포물선을 얻는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 유사한 표를 작성하여 이를 쉽게 확인할 수 있습니다.

II 사례, "a"는 하나와 다름

, , 를 취하면 어떻게 될까요? 포물선의 동작은 어떻게 변경됩니까? title="(!LANG:QuickLaTeX.com에서 렌더링됨)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

첫 번째 그림(위 참조)은 포물선 (1;1), (-1;1)에 대한 표의 점이 점 (1;4), (1;-4)로 변환되었음을 명확하게 보여줍니다. 즉, 동일한 값으로 각 포인트의 세로 좌표에 4를 곱합니다. 이것은 원본 테이블의 모든 키 포인트에 발생합니다. 우리는 그림 2와 3의 경우에도 유사하게 주장합니다.

그리고 포물선이 "넓어지면" 포물선:

요약하자면:

1)계수의 부호는 가지의 방향을 나타냅니다. title="(!LANG:QuickLaTeX.com에서 렌더링됨)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) 절대값계수(모듈러스)는 포물선의 "팽창", "압축"을 담당합니다. 클수록 포물선이 좁고 |a|가 작을수록 포물선이 넓어집니다.

사례 III, "C"가 나타남

이제 (즉, 인 경우를 고려) 형식의 포물선을 고려할 것입니다. 기호에 따라 포물선이 축을 따라 위 또는 아래로 이동할 것이라고 추측하기 쉽습니다(항상 표를 참조할 수 있음).

IV 케이스, "b"가 나타남

포물선은 언제 축에서 "찢어지고" 마침내 전체 좌표 평면을 따라 "걸을" 것입니까? 평등하지 않을 때.

여기서 포물선을 구성하려면 다음이 필요합니다. 정점 계산 공식: , .

따라서 이 지점에서 (지점 (0; 0)에서와 같이 새로운 시스템좌표) 우리는 이미 우리 힘 안에 있는 포물선을 만들 것입니다. 우리가 사건을 다루고 있다면, 위에서 우리는 하나의 단위 세그먼트를 오른쪽으로, 하나는 위로 따로 둡니다. - 결과 지점은 우리 것입니다(마찬가지로 왼쪽으로 한 단계, 한 단계 위로는 우리의 지점입니다). 예를 들어, 우리가 다루고 있다면 위에서 하나의 단일 세그먼트를 오른쪽, 두 개 등으로 따로 설정합니다.

예를 들어, 포물선의 꼭짓점은 다음과 같습니다.

이제 이해해야 할 주요 사항은 이 정점에서 우리의 경우 포물선 템플릿에 따라 포물선을 만들 것이라는 것입니다.

포물선을 만들 때 정점의 좌표를 찾은 후다음 사항을 고려하는 것이 편리합니다.

1) 포물선 점을 통과해야 합니다 . 실제로 x=0을 공식에 ​​대입하면 . 즉, 포물선과 축(oy)의 교차점의 세로 좌표는 이것이다. 위의 예에서 포물선은 에서 y축과 교차합니다.

2) 대칭축 포물선 는 직선이므로 포물선의 모든 점은 그것에 대해 대칭입니다. 이 예에서 우리는 즉시 점 (0; -2)을 취하고 대칭 축에 대해 대칭인 포물선을 만들고 포물선이 통과할 점 (4; -2)를 얻습니다.

3) 와 동일하게 포물선과 축(소)의 교차점을 찾습니다. 이를 위해 방정식을 풉니다. 판별식에 따라 하나(, ), 둘( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . 이전 예에서 판별식의 근이 있습니다. 정수가 아닙니다. 빌드할 때 근을 찾는 것이 거의 의미가 없지만 (oh) 축(제목 = "(!LANG: QuickLaTeX.com에서 렌더링됨)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

그럼 운동하자

다음 형식으로 주어진 경우 포물선을 구성하는 알고리즘

1) 가지의 방향을 결정합니다(a>0 - up, a<0 – вниз)

2) 공식에 의해 포물선의 꼭짓점 좌표를 찾습니다.

3) 우리는 자유 항에 의해 포물선과 축 (oy)의 교차점을 찾고 포물선의 대칭 축에 대해 주어진 점에 대칭 점을 만듭니다 (다음과 같이 발생한다는 점에 유의해야합니다 예를 들어 값이 크기 때문에 이 지점을 표시하는 것은 무익합니다... 우리는 이 지점을 건너뜁니다...)

4) 찾은 지점 - 포물선의 상단 (새 좌표계의 지점 (0; 0)에서와 같이)에서 포물선을 만듭니다. title="(!LANG:QuickLaTeX.com에서 렌더링한 경우)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) 포물선과 축(oy)의 교차점(자체가 아직 "표면화"되지 않은 경우)을 찾아 방정식을 풉니다.

실시예 1

실시예 2

비고 1.포물선이 처음에 형식으로 제공되면(예: ) 일부 숫자는 이미 정점 좌표를 받았기 때문에 구축하기가 훨씬 더 쉬울 것입니다. 왜요?

제곱 삼항식을 취하고 그 안에 완전한 제곱을 선택합시다: 보세요, 여기 우리가 , . 우리는 이전에 포물선의 꼭대기, 즉 지금이라고 불렀습니다.

예를 들어, . 우리는 평면에서 포물선의 상단을 표시하고 가지가 아래쪽으로 향하고 포물선이 (상대적으로) 확장된다는 것을 이해합니다. 즉, 1단계를 수행합니다. 삼; 4; 포물선을 구성하기 위한 알고리즘에서 5(위 참조).

비고 2.포물선이 이와 유사한 형태로 주어지면(즉, 두 선형 요인의 곱으로 표시됨) 포물선과 (x) 축의 교차점이 즉시 표시됩니다. 이 경우 - (0;0) 및 (4;0). 나머지는 알고리즘에 따라 대괄호를 엽니다.

모두 포물선이 무엇인지 알고 있습니다. 그러나 다양한 실제 문제를 해결하는 데 능숙하고 올바르게 사용하는 방법은 아래에서 이해할 것입니다.

먼저, 대수와 기하학이 이 용어에 부여하는 기본 개념을 표시하겠습니다. 모든 것을 고려하십시오 가능한 유형이 차트.

우리는 이 기능의 모든 주요 특성을 배웁니다. 곡선(기하학)을 구성하는 기초를 이해합시다. 이 유형의 그래프의 상위, 기타 기본 값을 찾는 방법을 알아보겠습니다.

필요한 곡선이 방정식에 따라 올바르게 구성되는 방법, 주의해야 할 사항을 알아보겠습니다. 메인을 보자 실용인간의 삶에서 이 독특한 가치.

포물선이란 무엇이며 어떻게 생겼습니까?

대수학: 이 용어는 2차 함수의 그래프를 나타냅니다.

기하학: 이것은 여러 가지 특정 기능을 가진 2차 곡선입니다.

정준 포물선 방정식

그림은 횡좌표 축을 따라 함수를 그리는 방향의 극값인 직교 좌표계(XOY)를 보여줍니다.

정규 방정식은 다음과 같습니다.

y 2 \u003d 2 * p * x,

여기서 계수 p는 포물선(AF)의 초점 매개변수입니다.

대수학에서는 다르게 작성됩니다.

y = a x 2 + b x + c(인식 가능한 패턴: y = x 2).

이차 함수의 속성과 그래프

함수에는 대칭축과 중심(극단값)이 있습니다. 정의 영역은 x축의 모든 값입니다.

함수 값의 범위 - (-∞, M) 또는 (M, +∞)는 곡선 분기의 방향에 따라 다릅니다. 여기서 매개변수 M은 줄 맨 위에 있는 함수의 값을 의미합니다.

포물선의 가지가 어디로 향하는지 결정하는 방법

표현식에서 이러한 유형의 곡선 방향을 찾으려면 첫 번째 매개변수 앞에 부호를 지정해야 합니다. 대수식. ˃ 0이면 위쪽을 향합니다. 그렇지 않으면 아래로.

공식을 사용하여 포물선의 꼭짓점을 찾는 방법

극값을 찾는 것은 많은 실제 문제를 해결하는 주요 단계입니다. 물론 특별하게 열 수 있습니다. 온라인 계산기하지만 스스로 할 수 있는 것이 더 좋습니다.

그것을 정의하는 방법? 특별한 공식이 있습니다. b가 0과 같지 않으면 이 점의 좌표를 찾아야 합니다.

정상을 찾는 공식:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y(x 0).

예시.

y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25라는 함수가 있습니다. 이 함수의 꼭짓점을 찾아봅시다.

이러한 라인의 경우:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

정점의 좌표를 얻습니다(-2, -41).

포물선 오프셋

고전적인 경우는 이차 함수 y = a x 2 + b x + c에서 두 번째 및 세 번째 매개변수가 0이고 = 1 - 정점이 점(0, 0)에 있을 때입니다.

가로축 또는 세로축을 따라 이동하는 것은 각각 매개변수 b 및 c의 변경으로 인한 것입니다.평면의 선 이동은 매개 변수 값과 동일한 단위 수만큼 정확하게 수행됩니다.

예시.

b = 2, c = 3이 있습니다.

이것은 곡선의 고전적 보기가 가로축을 따라 2단위 세그먼트만큼, 세로축을 따라 3단위로 이동한다는 것을 의미합니다.

이차 방정식을 사용하여 포물선을 만드는 방법

학생들이 주어진 매개변수에 따라 포물선을 올바르게 그리는 방법을 배우는 것이 중요합니다.

식과 방정식을 분석하면 다음을 알 수 있습니다.

1. 좌표 벡터와 원하는 선의 교차점은 c와 같은 값을 갖습니다.
2. 그래프의 모든 점(x축을 따라)은 함수의 주 극값을 기준으로 대칭입니다.

또한 OX와의 교집합은 다음과 같은 함수의 판별식(D)을 알면 찾을 수 있습니다.

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

이렇게 하려면 표현식을 0으로 동일시해야 합니다.

포물선 뿌리의 존재는 결과에 따라 다릅니다.

• D ˃ 0, x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D \u003d 0, x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0이면 벡터 OX와 교차점이 없습니다.

포물선을 구성하는 알고리즘을 얻습니다.

• 가지의 방향을 결정하십시오.
• 정점의 좌표를 찾습니다.
• y축과의 교차점을 찾습니다.
• x축과의 교점을 찾습니다.

실시예 1

주어진 함수 y \u003d x 2 - 5 * x + 4. 포물선을 만드는 것이 필요합니다. 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다:

1. a \u003d 1 따라서 가지가 위쪽으로 향합니다.
2. 극한 좌표: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. 값 y = 4에서 y축과 교차합니다.
4. 판별식 찾기: D = 25 - 16 = 9;
5. 뿌리를 찾고

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5-3) / 2 \u003d 1; (십).

실시예 2

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 함수의 경우 포물선을 만들어야 합니다. 우리는 위의 알고리즘에 따라 행동합니다:

1. a \u003d 3 따라서 가지가 위쪽으로 향합니다.
2. 극한 좌표: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y 축은 y \u003d -1 값에서 교차합니다.
4. 판별식을 찾으십시오: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. 따라서 근은 다음과 같습니다.

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3, 0).

얻은 점에서 포물선을 만들 수 있습니다.

Directrix, 편심, 포물선의 초점

표준 방정식에 따라 초점 F는 좌표(p/2, 0)를 갖습니다.

직선 AB는 directrix(특정 길이의 포물선 현의 일종)입니다. 그녀의 방정식은 x = -p/2입니다.

편심률(상수) = 1.

결론

우리는 학생들이 공부하는 주제를 고려했습니다. 고등학교. 이제 포물선의 2차 함수를 보고 정점을 찾는 방법, 가지가 향할 방향, 축을 따라 오프셋이 있는지 여부, 구성 알고리즘이 있으면 그래프를 그릴 수 있습니다.

그만큼 체계적인 자료참조용이며 광범위한 주제를 다룹니다. 이 기사는 주요 기본 기능의 그래프에 대한 개요를 제공하고 가장 중요한 문제를 고려합니다. 그래프를 정확하고 빠르게 작성하는 방법. 공부하는 동안 고등 수학기본 기본 함수의 그래프를 모르면 어려울 것이므로 포물선, 쌍곡선, 사인, 코사인 등의 그래프가 어떻게 생겼는지 몇 가지 함수 값을 기억하는 것이 매우 중요합니다. 우리는 또한 주요 기능의 몇 가지 속성에 대해서도 이야기할 것입니다.

나는 자료의 완전성과 과학적 완전성을 가장하지 않으며, 무엇보다도 실천에 중점을 둘 것입니다. 고등 수학의 모든 주제에서 문자 그대로 모든 단계에서 직면해야 합니다.. 인형용 차트? 그렇게 말할 수 있습니다.

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그리고 바로 시작합니다.

좌표축을 올바르게 구축하는 방법은 무엇입니까?

실제로 시험은 거의 항상 학생들이 새장에 줄 지어 별도의 공책에 작성합니다. 왜 체크 무늬 표시가 필요합니까? 결국 작업은 원칙적으로 A4 용지에서 수행 할 수 있습니다. 그리고 케이지는 도면의 고품질 및 정확한 설계를 위해서만 필요합니다.

함수 그래프의 모든 그림은 좌표축으로 시작합니다..

그림은 2차원과 3차원입니다.

먼저 2차원의 경우를 생각해보자 데카르트 좌표계:

1) 좌표축을 그립니다. 축이라고 합니다 x축 , 그리고 축 y축 . 우리는 항상 그들을 그리려고 노력합니다. 깔끔하고 비뚤어지지 않은. 화살은 또한 파파 카를로의 수염을 닮아서는 안됩니다.

2) 축에 서명합니다. 대문자"x"와 "y". 축에 서명하는 것을 잊지 마십시오..

3) 축을 따라 축척을 설정합니다. 0과 2를 그리다. 그림을 그릴 때 가장 편리하고 일반적인 척도는 1단위 = 2칸(왼쪽 그림) - 가능하면 그대로 두는 것입니다. 그러나 때때로 그림이 노트북 시트에 맞지 않는 경우가 있습니다. 그런 다음 1 단위 = 1 셀 (오른쪽 그림)으로 축척을 줄입니다. 드물지만 도면의 축척을 더 줄여야(또는 늘려야) 하는 경우가 있습니다.

기관총에서 낙서하지 마십시오 ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....좌표 평면은 데카르트의 기념비가 아니며 학생은 비둘기가 아닙니다. 우리는 영그리고 축을 따라 두 개의 단위. 때때로 대신에단위의 경우 가로축에서 "2", 세로축에서 "3"과 같은 다른 값을 "감지"하는 것이 편리하며 이 시스템(0, 2 및 3)도 좌표 그리드를 고유하게 설정합니다.

도면을 그리기 전에 도면의 예상 치수를 추정하는 것이 좋습니다.. 따라서 예를 들어 작업에 꼭짓점이 있는 삼각형을 그려야 하는 경우 , , , 인기 있는 척도 1 단위 = 2 셀이 작동하지 않을 것이 분명합니다. 왜요? 요점을 살펴보겠습니다. 여기에서 15센티미터 아래로 측정해야 하며, 분명히 그림은 노트북 시트에 맞지 않거나 거의 맞지 않습니다. 따라서 우리는 즉시 더 작은 규모의 1 unit = 1 cell을 선택합니다.

그건 그렇고, 약 센티미터와 노트북 셀. 공책 셀 30개에 15센티미터가 있다는 것이 사실입니까? 자로 15 센티미터의 관심을 갖는 노트북에서 측정하십시오. 소련에서는 아마도 이것이 사실이었을 것입니다 ...이 동일한 센티미터를 수평 및 수직으로 측정하면 결과 (셀)가 다를 것이라는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다! 엄밀히 말하면 현대 노트북은 체크 무늬가 아니라 직사각형입니다. 말도 안되는 소리처럼 보일 수 있지만, 예를 들어 그러한 상황에서 나침반으로 원을 그리는 것은 매우 불편합니다. 솔직히 말해서, 그러한 순간에 국내 자동차 산업, 추락하는 비행기 또는 폭발하는 발전소는 말할 것도없고 생산 해킹 작업을 위해 캠프에 파견 된 스탈린 동지의 정확성에 대해 생각하기 시작합니다.

품질에 대해 이야기하거나 짧은 추천편지지로. 현재까지 판매되고 있는 대부분의 노트북은 욕설 없이 완전 도깨비다. 젤펜뿐만 아니라 볼펜에서도 젖는 이유! 종이에 저장합니다. 통관용 제어 작업 Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 매, 케이지) 또는 Pyaterochka의 노트북을 사용하는 것이 좋지만 더 비싸지 만 사용하는 것이 좋습니다. 젤 펜을 선택하는 것이 좋습니다. 가장 저렴한 중국 젤 리필이라도 종이가 번지거나 찢어지는 볼펜보다 훨씬 낫습니다. 내 기억에 있는 유일한 "경쟁적인" 볼펜은 Erich Krause입니다. 그녀는 전체 줄기 또는 거의 비어있는 줄기로 명확하고 아름답고 안정적으로 씁니다.

추가적으로: 해석 기하학의 눈을 통한 직교 좌표계의 비전은 기사에서 다룹니다. 벡터의 선형(비) 종속성. 벡터 기초, 자세한 정보좌표 분기에 대한 내용은 수업의 두 번째 단락에서 찾을 수 있습니다. 선형 부등식.

3D 케이스

여기도 거의 비슷합니다.

1) 좌표축을 그립니다. 기준: 축 적용 – 위쪽 방향, 축 – 오른쪽 방향, 축 – 왼쪽 아래 방향 엄격하게 45도 각도로.

2) 축에 서명합니다.

3) 축을 따라 스케일을 설정합니다. 축을 따라 축척 - 다른 축을 따라 축척보다 2배 작음. 또한 오른쪽 그림에서 축을 따라 비표준 "세리프"를 사용했습니다. (이 가능성은 이미 위에서 언급했습니다). 내 관점에서 볼 때 더 정확하고 빠르며 미학적으로 더 만족스럽습니다. 현미경으로 세포의 중간을 찾아 원점까지 유닛을 "조각"할 필요가 없습니다.

3D도면 다시 할 때 - 스케일 우선
1 유닛 = 2 셀(왼쪽 그림).

이 모든 규칙은 무엇입니까? 규칙은 깨지기 위해 존재합니다. 내가 지금 무엇을 할거야. 사실은 기사의 후속 도면은 내가 Excel로 작성하고 좌표 축이 관점에서 볼 때 부정확하게 보입니다. 올바른 디자인. 모든 그래프를 손으로 그릴 수는 있지만 Excel에서는 훨씬 더 정확하게 그리기를 꺼려하기 때문에 그리기가 정말 무섭습니다.

기본 함수의 그래프 및 기본 속성

선형 함수는 방정식으로 제공됩니다. 선형 함수 그래프는 직접. 직선을 그리려면 두 점만 알면 됩니다.

실시예 1

함수를 플로팅합니다. 두 점을 찾아보자. 포인트 중 하나로 0을 선택하는 것이 유리합니다.

그렇다면

우리는 예를 들어 1과 같은 다른 점을 취합니다.

그렇다면

작업을 준비할 때 점의 좌표는 일반적으로 표에 요약되어 있습니다.

그리고 값 자체는 구두 또는 초안, 계산기에서 계산됩니다.

두 개의 점이 발견되었습니다. 그려봅시다:

도면을 그릴 때 우리는 항상 그래픽에 서명합니다.

선형 함수의 특별한 경우를 기억하는 것은 불필요하지 않습니다.

내가 캡션을 어떻게 배치했는지 주목하세요. 도면을 연구할 때 서명이 모호하지 않아야 합니다.. 이 경우 선이 교차하는 지점 옆이나 그래프 사이의 오른쪽 하단에 서명을 넣는 것은 매우 바람직하지 않습니다.

1) () 형식의 선형 함수를 직접 비례라고 합니다. 예를 들어, . 직접 비례 그래프는 항상 원점을 통과합니다. 따라서 직선의 구성이 단순화됩니다. 한 점만 찾는 것으로 충분합니다.

2) 형태의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식으로 주어진다. 함수의 그래프는 점을 찾지 않고 즉시 작성됩니다. 즉, 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "y는 x 값에 대해 항상 -4와 같습니다."

3) 형태의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식으로 주어진다. 함수의 그래프도 즉시 빌드됩니다. 항목은 다음과 같이 이해해야 합니다. "x는 항상 y 값에 대해 1과 같습니다."

어떤 사람들은 왜 6학년을 기억하느냐고 물을 것입니다. 그것이 아마도 그렇게 될 것입니다. 나는 몇 년 동안 연습하는 동안 또는 와 같은 그래프를 구성하는 작업에 당황한 수십 명의 학생들을 만났습니다.

직선을 그리는 것은 그림을 그릴 때 가장 많이 하는 행동입니다.

직선은 해석기하학 과정에서 자세히 다루며, 희망하시는 분들은 해당 기사를 참고하시면 됩니다. 평면 위의 직선 방정식.

2차 함수 그래프, 3차 함수 그래프, 다항식 그래프

포물선. 이차 함수의 그래프 ()은 포물선입니다. 유명한 경우를 생각해 보십시오.

함수의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.

그래서, 우리 방정식에 대한 해법: - 포물선의 꼭짓점이 이 지점에 있습니다. 이것이 그 이유는 미분에 대한 이론적인 기사와 함수의 극한에 대한 교훈에서 배울 수 있습니다. 그 동안 "y"의 해당 값을 계산합니다.

따라서 꼭짓점은 점에 있습니다.

이제 포물선의 대칭을 뻔뻔하게 사용하면서 다른 점을 찾습니다. 기능은 다음과 같습니다. – 조차, 그러나 그럼에도 불구하고 아무도 포물선의 대칭을 취소하지 않았습니다.

나머지 포인트를 찾는 순서는 최종 테이블에서 명확해질 것이라고 생각합니다.

이 알고리즘건설은 비유적으로 "셔틀" 또는 Anfisa Chekhova와 함께 "앞뒤로"의 원리라고 부를 수 있습니다.

그림을 만들어 봅시다.

고려한 그래프에서 또 다른 유용한 기능이 떠오릅니다.

2차 함수의 경우 () 다음이 참입니다.

이면 포물선의 가지가 위쪽으로 향합니다..

이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다..

곡선에 대한 심층적인 지식은 쌍곡선 및 포물선 단원에서 얻을 수 있습니다.

3차 포물선은 함수로 제공됩니다. 다음은 학교에서 친숙한 그림입니다.

함수의 주요 속성을 나열합니다.

함수 그래프

포물선의 가지 중 하나를 나타냅니다. 그림을 만들어 봅시다.

함수의 주요 속성:

이 경우 축은 수직 점근선 의 쌍곡선 그래프에 대해 .

그림을 그릴 때 과실로 그래프가 점근선과 교차하도록 허용하면 큰 실수가 됩니다.

또한 일방적인 한계, 과장법 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음.

무한대에서 함수를 살펴보겠습니다. 즉, 축을 따라 무한대로 왼쪽(또는 오른쪽)으로 이동하기 시작하면 "게임"이 가느다란 단계가 될 것입니다. 끝없이 가까운 0에 접근하고 따라서 쌍곡선의 가지 끝없이 가까운축에 접근합니다.

따라서 축은 수평 점근선 함수 그래프의 경우 "x"가 무한대를 더하거나 빼는 경향이 있는 경우.

기능은 이상한, 이는 쌍곡선이 원점에 대해 대칭임을 의미합니다. 이 사실도면에서 분명하며 분석적으로 쉽게 확인할 수 있습니다. .

() 형식의 함수 그래프는 쌍곡선의 두 가지를 나타냅니다..

인 경우 쌍곡선은 첫 번째 및 세 번째 좌표 사분면에 있습니다.(위 그림 참조).

인 경우 쌍곡선은 두 번째 및 네 번째 좌표 사분면에 있습니다..

그래프의 기하학적 변환의 관점에서 쌍곡선 거주 장소의 지정된 규칙성을 분석하는 것은 어렵지 않습니다.

실시예 3

쌍곡선의 오른쪽 가지 구성

우리는 pointwise 구성 방법을 사용하지만 값을 선택하여 완전히 나누도록 하는 것이 유리합니다.

그림을 만들어 봅시다.

쌍곡선의 왼쪽 분기를 구성하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 여기서 함수의 기이함이 도움이 될 것입니다. 대략적으로 말하면 점별 구성표에서 정신적으로 각 숫자에 마이너스를 추가하고 해당 점을 넣고 두 번째 분기를 그립니다.

고려된 선에 대한 자세한 기하학적 정보는 쌍곡선 및 포물선 문서에서 찾을 수 있습니다.

지수 함수의 그래프

이 단락에서는 95%의 경우에 더 높은 수학 문제에서 발생하는 지수이기 때문에 지수 함수를 즉시 고려할 것입니다.

나는 이것을 상기시킨다 무리수: , 이것은 그래프를 작성할 때 필요합니다. 실제로는 의식 없이 작성할 것입니다. 세 가지 점으로 충분합니다.

지금은 함수의 그래프를 그대로 두겠습니다. 나중에 설명하겠습니다.

함수의 주요 속성:

기본적으로 함수의 그래프는 동일하게 보입니다.

두 번째 경우는 실제로 덜 일반적이지만 발생하므로 이 기사에 포함할 필요가 있다고 느꼈습니다.

로그 함수의 그래프

다음과 같은 기능을 고려하십시오. 자연 로그.
선 그리기를 해보자:

로그가 무엇인지 잊은 경우 학교 교과서를 참조하십시오.

함수의 주요 속성:

도메인:

값 범위: .

기능은 위에서 제한되지 않습니다. , 느리긴 하지만 로그의 분기는 무한대까지 올라갑니다.
오른쪽에서 0에 가까운 함수의 동작을 살펴보겠습니다. . 따라서 축은 수직 점근선 오른쪽에서 "x"가 0에 가까워지는 함수의 그래프입니다.

로그의 일반적인 값을 알고 기억하십시오.: .

기본적으로 밑수에서 로그의 플롯은 , , (밑수 10에 대한 10진 로그) 등으로 동일하게 보입니다. 동시에 베이스가 클수록 차트가 더 평평해집니다.

우리는 그러한 기반으로 그래프를 마지막으로 구축한 것이 언제인지 기억나지 않는 경우를 고려하지 않을 것입니다. 예, 로그는 고등 수학 문제에서 매우 드문 손님인 것 같습니다.

단락의 결론에서 나는 한 가지 사실을 더 말할 것입니다. 지수 함수 및 로그 함수두 개의 상호 역함수 . 로그의 그래프를 자세히 보면 이것이 같은 지수임을 알 수 있습니다. 단지 약간 다른 위치에 있을 뿐입니다.

삼각 함수의 그래프

삼각법의 고통은 학교에서 어떻게 시작됩니까? 바르게. 사인에서

함수를 플로팅하자

이 라인은 정현파.

나는 "pi"가 무리수라는 것을 상기시킵니다. 삼각법에서는 눈을 현혹시킵니다.

함수의 주요 속성:

이 기능은 정기 간행물기간이 있습니다. 무슨 뜻인가요? 컷을 봅시다. 왼쪽과 오른쪽으로 정확히 같은 그래프 조각이 끝없이 반복됩니다.

도메인: , 즉, "x"의 값에 대해 사인 값이 있습니다.

값 범위: . 기능은 제한된: , 즉 모든 "게임"이 세그먼트에 엄격하게 포함됩니다.
이것은 발생하지 않습니다. 또는 더 정확하게는 발생하지만 이러한 방정식에는 솔루션이 없습니다.

중요 참고 사항!
1. 수식 대신 abracadabra가 표시되면 캐시를 지웁니다. 브라우저에서 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 내비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 리소스~을 위한

여기에 쓰여질 내용을 이해하려면 2차 함수가 무엇인지, 무엇과 함께 먹는지 잘 알아야 합니다. 자신이 이차 함수의 전문가라고 생각한다면 환영합니다. 그러나 그렇지 않은 경우 스레드를 읽어야 합니다.

작은 것부터 시작하자 체크 무늬:

1. 일반 형식(공식)에서 이차 함수는 어떻게 생겼습니까?
2. 이차 함수의 그래프 이름은 무엇입니까?
3. 선행 계수는 이차 함수의 그래프에 어떤 영향을 줍니까?

이 질문에 즉시 답할 수 있다면 계속 읽으십시오. 하나 이상의 질문으로 인해 어려움이 발생한 경우 로 이동하십시오.

따라서 이차 함수를 처리하고 그래프를 분석하고 점별로 그래프를 작성하는 방법을 이미 알고 있습니다.

자, 여기 있습니다: .

그들이 하는 일을 간단히 살펴보겠습니다. 승산.

1. 시니어 계수는 포물선의 "가파름", 즉 포물선의 너비에 대한 책임이 있습니다.
2. 자유 항은 포물선과 y축의 교차점 좌표입니다.
3. 그리고 계수는 좌표 중심에서 포물선의 변위를 어떻게 든 담당합니다. 이제 이에 대해 자세히 알아보겠습니다.

왜 우리는 항상 포물선을 만들기 시작합니까? 그녀의 차별화 포인트는?

이것은 꼭지점. 그리고 꼭짓점의 좌표를 찾는 방법을 기억하십니까?

가로 좌표는 다음 공식으로 검색됩니다.

이렇게: 뭐 더, 주제 왼쪽으로포물선의 상단이 움직입니다.

정점의 세로 좌표는 다음 함수에 대입하여 찾을 수 있습니다.

자신을 교체하고 계산합니다. 무슨 일이에요?

모든 것을 올바르게 수행하고 결과 표현식을 최대한 단순화하면 다음을 얻을 수 있습니다.

더 많은 것으로 밝혀졌습니다. 모듈로, 주제 더 높은~ 할 것이다 꼭지점포물선.

마지막으로 플로팅으로 넘어갑시다.
가장 쉬운 방법은 위에서부터 포물선을 만드는 것입니다.

예시:

함수를 플로팅합니다.

결정:

먼저 계수를 정의해 보겠습니다.

이제 꼭짓점 좌표를 계산해 보겠습니다.

그리고 이제 기억하십시오. 동일한 선행 계수를 가진 모든 포물선은 동일하게 보입니다. 따라서 포물선을 만들고 정점을 한 점으로 이동하면 필요한 그래프를 얻을 수 있습니다.

간단하죠?

남은 질문은 하나뿐입니다. 포물선을 빠르게 그리는 방법은 무엇입니까? 꼭지점을 원점으로 하여 포물선을 그리더라도 1점씩 쌓아야 하므로 길고 불편합니다. 그러나 모든 포물선 모양이 똑같습니다. 그림 속도를 높이는 방법이 있을까요?

내가 학교에 다닐 때 수학 선생님은 모두가 빨리 그릴 수 있도록 판지에서 포물선 모양의 스텐실을 오려내라고 말했습니다. 그러나 스텐실을 가지고 아무데나 걸을 수 없으며 시험장에 가져가는 것도 허용되지 않습니다. 따라서 우리는 이물질을 사용하지 않고 패턴을 찾을 것입니다.

가장 단순한 포물선을 고려하십시오. 포인트로 구축해 보겠습니다.

여기의 규칙은 이것입니다. 위쪽에서 오른쪽으로(축을 따라) 이동하고 위쪽으로(축을 따라) 이동하면 포물선의 점에 도달합니다. 더 나아가: 이 지점에서 오른쪽으로 조금씩 위로 이동하면 다시 포물선 지점에 도달하게 됩니다. 다음: 바로 계속. 무엇 향후 계획? 바로 계속. 등등: 오른쪽으로 이동하고 다음으로 이동 홀수위로. 그런 다음 왼쪽 가지와 동일하게 수행합니다(결국 포물선은 대칭입니다. 즉, 가지가 동일하게 보입니다).

좋습니다. 이것은 가장 높은 계수를 가진 꼭짓점에서 포물선을 만드는 데 도움이 됩니다. 예를 들어, 포물선의 꼭짓점이 한 점에 있다는 것을 배웠습니다. 이 포물선을 (직접 종이에) 구성하십시오.

세워짐?

다음과 같이 표시되어야 합니다.

이제 얻은 포인트를 연결합니다.

그게 다야.

자, 이제 포물선만 만들까요?

당연히 아니지. 이제 그들로 무엇을 해야할지 알아 봅시다.

몇 가지 전형적인 경우를 생각해 봅시다.

좋습니다. 포물선을 그리는 방법을 배웠습니다. 이제 실제 함수를 연습해 보겠습니다.

따라서 다음과 같은 함수의 그래프를 그립니다.

대답:

3. 상단: .

시니어 계수가 적으면 어떻게 해야 하는지 기억하십니까?

우리는 분수의 분모를 봅니다. 그것은 같음입니다. 따라서 다음과 같이 이동합니다.

• 바로
• 바로
• 바로

또한 왼쪽:

4. 상단: .

오, 그것으로 무엇을 할 수 있습니까? 꼭짓점이 선 사이 어딘가에있는 경우 셀을 측정하는 방법은 무엇입니까?..

그리고 우리는 속입니다. 먼저 포물선을 그린 다음 정점을 한 점으로 이동합니다. 아니요, 더 까다롭게 해 봅시다. 포물선을 그리고 다음 축 이동:- 에 아래에, ~에 오른쪽:

이 기술은 포물선의 경우 매우 편리합니다. 기억하십시오.

다음 형식으로 함수를 나타낼 수 있음을 상기시켜 드리겠습니다.

예를 들어: .

이것은 우리에게 무엇을 제공합니까?

사실 대괄호()안에서 뺀 숫자는 포물선 꼭짓점의 가로축이고, ()밖의 항은 꼭짓점의 세로좌표이다.

즉, 포물선을 만든 후 다음을 수행하면 됩니다. 축을 왼쪽으로 이동하고 축을 아래로 이동합니다.

예: 함수 그래프를 그려봅시다.

완전한 정사각형을 선택합시다.

몇 번째 빼다괄호 안에? 이것은 (생각하지 않고 결정할 수있는 방법이 아닙니다).

그래서 우리는 포물선을 만듭니다:

이제 축을 아래로, 즉 위로 이동합니다.

그리고 지금 - 왼쪽, 즉 오른쪽으로 :

그게 다야. 이것은 꼭지점이 있는 포물선을 원점에서 점으로 이동하는 것과 같으며 직선 축만 구부러진 포물선보다 이동하기가 훨씬 쉽습니다.

이제 평소와 같이 나 자신:

그리고 지우개로 오래된 축을 지우는 것을 잊지 마십시오!

나는 그대로 대답확인을 위해 이 포물선 정점의 세로 좌표를 쓰겠습니다.

모든 것이 맞았습니까?

그렇다면 당신은 훌륭합니다! 포물선을 다루는 방법을 아는 것은 매우 중요하고 유용하며 여기서 우리는 그것이 전혀 어렵지 않다는 것을 발견했습니다.

2차 함수를 그래프로 나타내기. 메인에 대해 간략히

이차 함수 는 형식의 함수입니다. 여기서, 는 임의의 숫자(계수)이며 자유 멤버입니다.

이차 함수의 그래프는 포물선입니다.

포물선의 상단:
, 즉. \displaystyle b 가 클수록 포물선의 위쪽이 왼쪽으로 더 많이 이동합니다.
함수를 대체하고 다음을 얻습니다.
, 즉. \displaystyle b modulo가 클수록 포물선의 상단이 더 높아집니다.

자유 항은 포물선과 y축의 교차점 좌표입니다.

자, 주제가 끝났습니다. 당신이 이 라인들을 읽고 있다면, 당신은 매우 멋진 것입니다.

5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽었다면 당신은 5%에 속합니다!

이제 가장 중요한 것입니다.

당신은 이 주제에 대한 이론을 알아냈습니다. 그리고 반복합니다. 그것은 ... 그냥 최고입니다! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 낫습니다.

문제는 이것이 충분하지 않을 수 있다는 것입니다 ...

무엇을 위해?

성공적인 시험에 합격, 예산으로 연구소에 입학하기 위해 그리고 가장 중요하게는 평생 동안.

나는 당신에게 아무것도 확신시키지 않을 것이고, 나는 단지 한 가지만 말할 것입니다 ...

받은 사람들 좋은 교육, 받지 않은 사람보다 훨씬 더 많이 벌 수 있습니다. 이것은 통계입니다.

그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.

가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 훨씬 더 많은 기회가 그들 앞에 열리고 삶이 더 밝아지기 때문이 아닐까요? 몰라...

그러나 스스로 생각하십시오 ...

시험에서 다른 사람보다 뛰어나고 궁극적으로 ... 더 행복하기 위해 필요한 것은 무엇입니까?

이 주제에 대한 문제를 해결하십시오.

시험에서는 이론을 묻지 않습니다.

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