로그를 줄이는 공식. 자연 로그, ln x 함수

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 대수와 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼).

a를 밑으로 하는 b(b > 0)의 로그(a > 0, a ≠ 1) b를 얻기 위해 숫자를 올려야 하는 지수입니다.

b의 밑이 10인 로그는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 로그(b), 그리고 밑 e에 대한 로그(자연 로그) - 인(나).

로그 문제를 풀 때 자주 사용됩니다.

로그의 속성

네 가지 주요 로그의 속성.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 및 y > 0으로 설정합니다.

속성 1. 곱의 로그

제품의 로그로그의 합과 같습니다.

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

속성 2. 몫의 로그

몫의 로그로그의 차이와 같습니다.

log a (x / y) = log a x – log a y

속성 3. 차수의 로그

차수 로그차수와 로그의 곱과 같습니다.

로그의 밑이 지수에 있으면 다른 공식이 적용됩니다.

속성 4. 근의 로그

이 속성은 n차의 근이 1/n의 거듭제곱과 같기 때문에 차수의 로그 속성에서 얻을 수 있습니다.

한 밑의 로그에서 다른 밑의 로그로 가는 공식

이 공식은 로그에 대한 다양한 작업을 해결할 때도 자주 사용됩니다.

특별한 경우:

로그(부등식)의 비교

밑이 같은 로그 아래에 2개의 함수 f(x)와 g(x)가 있고 그 사이에 부등호가 있다고 가정합니다.

그것들을 비교하려면 먼저 로그 a의 밑을 살펴봐야 합니다.

• a > 0이면 f(x) > g(x) > 0
• 0이면< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

로그 문제를 해결하는 방법: 예

로그가 있는 작업작업 5 및 작업 7의 11학년 수학 사용에 포함된 해당 섹션의 우리 웹사이트에서 솔루션이 있는 작업을 찾을 수 있습니다. 또한 로그가 있는 작업은 수학의 작업 은행에서 찾을 수 있습니다. 사이트를 검색하면 모든 예제를 찾을 수 있습니다.

로그란 무엇인가

로그는 학교 수학 과정에서 항상 어려운 주제로 간주되어 왔습니다. 로그에 대한 다양한 정의가 있지만 어떤 이유로 대부분의 교과서에서는 가장 복잡하고 불행한 로그를 사용합니다.

로그를 간단하고 명확하게 정의하겠습니다. 이를 위한 테이블을 생성해 보겠습니다.

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다.

로그 - 속성, 공식, 해결 방법

맨 아래 줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2를 4승해야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 해야 합니다. 이것은 표에서 알 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실, 로그의 정의:

인수 x의 밑은 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x \u003d b, 여기서 a는 밑수, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2 로그는 3임). 2 6 = 64이므로 log 2 64 = 6일 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 세그먼트의 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 절대 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5, log 3 8, log 5 100과 같이 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하기 위해 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 힘이다, 인수를 얻으려면 기반을 높여야합니다. 그것은 힘으로 제기 된 기초입니다-그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 바닥은 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 이 훌륭한 규칙을 제 학생들에게 말합니다. 그리고 혼란은 없습니다.

로그를 계산하는 방법

우리는 정의를 알아 냈습니다. 대수를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선, 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

1. 인수와 기수는 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 축소되는 합리적인 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
2. 어떤 힘에 대한 단위는 여전히 단위이기 때문에 기본은 화합과 달라야합니다. 이 때문에 “둘을 얻으려면 하나가 어떤 힘을 가져야 하는가”라는 질문은 무의미하다. 그런 학위는 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다. log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어, 로그는 음수일 수 있습니다. log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 지금은 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 숫자 표현만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 대수 방정식과 부등식이 작용할 때 DHS 요구 사항은 필수 사항이 됩니다. 실제로, 근거와 논거에는 반드시 위의 제한 사항에 해당하지 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 로그 계산을 위한 일반적인 계획을 고려하십시오. 다음 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑수와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수점 이하 자릿수와 유사하게: 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 적습니다.

이 체계가 특정 예에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

작업. 로그 계산: log 5 25

1. 밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
로그 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. 받은 답변: 2.

작업. 로그 계산:

작업. 로그 계산: log 4 64

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. 답변을 받았습니다: 3.

작업. 로그 계산: log 16 1

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. 응답을 받았습니다: 0.

작업. 로그 계산: log 7 14

1. 밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표현되지 않습니다. 왜냐하면 7 1< 14 < 7 2 ;
2. 이전 단락에서 로그는 고려되지 않습니다.
3. 대답은 변화가 없습니다: 기록 7 14.

마지막 예에 대한 작은 메모. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하기만 하면 됩니다. 확장에 최소 두 개의 개별 요인이 있는 경우 숫자는 정확한 검정력이 아닙니다.

작업. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오. 8; 48; 81; 35; 십사.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - 정확한 정도, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 요인이 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 5 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 자신의 정확한 거듭제곱입니다.

십진 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 기본 10 로그, 즉 x를 얻기 위해 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lgx.

예를 들어, 로그 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

앞으로 교과서에 'Find lg 0.01'과 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 이것은 자연 로그입니다.

x 인수의 기본 e에 대한 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lnx.

많은 사람들이 물을 것입니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이것은 무리수이며 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459…

우리는 이 숫자가 무엇이며 왜 필요한지 조사하지 않을 것입니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; 로그 e 2 = 2; ln e 16 = 16 - 등 한편, ln2는 무리수이다. 일반적으로 모든 유리수의 자연 로그는 비합리적입니다. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 대해 참인 모든 규칙이 유효합니다.

또한보십시오:

로그. 로그의 속성(로그의 거듭제곱)입니다.

숫자를 로그로 표현하는 방법은 무엇입니까?

우리는 로그의 정의를 사용합니다.

로그는 로그의 부호 아래에 있는 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱의 척도입니다.

따라서 어떤 수 c를 밑수 a에 대한 로그로 나타내기 위해서는 로그의 밑수와 같은 밑수를 갖는 로그 기호 아래에 차수를 넣고 이 숫자 c를 지수에 써야 합니다. :

로그 형식으로 양수, 음수, 정수, 분수, 유리수, 무리수 등 절대적으로 모든 숫자를 나타낼 수 있습니다.

시험이나 시험의 스트레스가 많은 조건에서 와 c를 혼동하지 않기 위해 다음 규칙을 사용하여 기억할 수 있습니다.

아래에 있는 것은 내려가고 위에 있는 것은 올라갑니다.

예를 들어, 숫자 2를 밑이 3인 로그로 나타내려고 합니다.

우리는 2와 3의 두 가지 숫자를 가지고 있습니다. 이 숫자는 밑수와 지수이며 로그 기호 아래에 쓸 것입니다. 이 숫자들 중 어느 것을 도의 기준으로, 어떤 숫자를 지수로 기록해야 하는지 결정해야 합니다.

로그 기록에서 밑수 3은 맨 아래에 있습니다. 즉, 듀스를 밑수 3에 대한 로그로 나타낼 때 밑수에도 3을 씁니다.

2는 3보다 높습니다. 그리고 차수의 표기법에서 우리는 3보다 높은 2, 즉 지수에 씁니다.

로그. 첫 번째 수준입니다.

로그

로그정수 비이유에 의해 ㅏ, 어디 a > 0, a ≠ 1, 숫자를 올려야 하는 지수입니다. ㅏ, 얻기 위해 비.

로그의 정의다음과 같이 간략하게 쓸 수 있습니다.

이 평등은 유효합니다. b > 0, a > 0, a ≠ 1.그는 일반적으로 로그 아이덴티티.
숫자의 로그를 찾는 작업을 로그.

로그의 속성:

제품의 로그:

나누기 몫의 로그:

로그의 밑을 바꾸기:

차수 로그:

루트 로그:

거듭제곱이 있는 로그:

10진수 및 자연 로그.

십진 로그숫자는 해당 숫자의 밑이 10인 로그를 호출하고   lg를 씁니다. 비
자연 로그숫자는 이 숫자의 밑수에 대한 로그를 호출합니다. 이자형, 어디 이자형는 대략 2.7과 같은 무리수입니다. 동시에 그들은 ln을 씁니다. 비.

대수 및 기하학에 대한 기타 참고 사항

로그의 기본 속성

로그의 기본 속성

모든 숫자와 마찬가지로 로그는 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 아주 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이 규칙을 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 극히 일부가 있습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그를 고려하십시오. log a x와 log a y. 그런 다음 더하고 뺄 수 있습니다.

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 요점은 - 같은 근거. 베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑은 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

작업. 다음 식의 값을 찾습니다. log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2(48:3) = 로그 2 16 = 4.

작업. 다음 식의 값을 찾습니다. log 3 135 - log 3 5.

다시 말하지만, 기본은 동일하므로 다음을 얻습니다.
로그 3 135 - 로그 3 5 = 로그 3 (135:5) = 로그 3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜"로그로 구성되며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후에 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 통제 - 모든 진지함에서 유사한 표현(가끔 - 거의 변경 없음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 해 보겠습니다. 로그의 밑수나 인수에 차수가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 차수의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 빼낼 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따른다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 그것을 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이 모든 규칙은 ODZ 로그가 관찰되면 의미가 있습니다: a > 0, a ≠ 1, x > 0. 그리고 한 가지 더: 모든 공식을 왼쪽에서 오른쪽으로 뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞의 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수의 차수를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑수와 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 분모로만 작업합니다. 그들은 거기에 서있는 대수의 기초와 인수를 학위 형태로 제시하고 지표를 꺼냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 같은 수를 가집니다. log 2 7. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남습니다. 산술 규칙에 따르면 4는 분자로 옮겨질 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니면 어떻게 합니까?

새로운 기지로의 전환 공식이 구출됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

로그 로그 x가 주어집니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 밑과 로그의 인수를 교환하는 것이 가능하지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 찾아볼 수 없습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

하지만 새 재단으로 옮기는 것 외에는 전혀 풀 수 없는 과제가 있다. 다음 중 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 제거합시다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집습니다.

곱은 요인의 순열로 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

작업. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등

종종 푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 합니다.

이 경우 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에 숫자 n은 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그 값일 뿐이므로 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 호출됩니다.

실제로, 숫자 b가 이 거듭제곱에 해당하는 숫자가 되는 그런 거듭제곱으로 올라가면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 가능한 솔루션입니다.

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

log 25 64 = log 5 8 - 밑수와 로그 인수에서 제곱을 제거했습니다. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

누군가가 알지 못한다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 줄 것이다. 오히려 이것들은 로그 정의의 결과이다. 그들은 문제에서 끊임없이 발견되며 놀랍게도 "상급"학생에게도 문제를 만듭니다.

1. 로그 a = 1입니다. 한 번만 기억하십시오. 해당 밑수 자체에서 밑수에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 a 1 = 0입니다. 밑은 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하여 문제를 해결하십시오.

정의에서 파생되었습니다. 따라서 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ숫자를 올려야 하는 지수로 정의 ㅏ번호를 얻기 위해 비(로그는 양수에 대해서만 존재합니다).

이 공식으로부터 계산은 다음과 같습니다. x=로그 b, 방정식을 푸는 것과 같습니다. 도끼=나.예를 들어, 로그 2 8 = 3왜냐하면 8 = 2 3 . 로그의 공식화를 통해 다음을 정당화할 수 있습니다. b=a c, 다음 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ같음 와 함께. 또한 로그의 주제가 숫자의 거듭제곱이라는 주제와 밀접하게 관련되어 있음도 분명합니다.

다른 숫자와 마찬가지로 로그를 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 더하기, 빼기 연산가능한 모든 방법으로 변형합니다. 그러나 로그가 아주 평범한 숫자가 아니라는 사실을 고려하여 여기에 고유한 규칙이 적용됩니다. 기본 속성.

로그의 덧셈과 뺄셈.