포물선 함수의 그래프 속성을 설명하는 방법. 이차 함수와 그 그래프

학교 수학 수업에서 당신은 이미 가장 단순한 속성과 함수의 그래프에 대해 알게 되었습니다. y=x2. 지식을 넓히자 이차 함수.

연습 1.

함수 플로팅 y=x2. 눈금: 1 = 2cm Oy 축에 점 표시 에프(0, 1/4). 나침반이나 종이 조각을 사용하여 점으로부터의 거리를 측정합니다. 에프어떤 지점으로 중포물선. 그런 다음 스트립을 M 지점에 고정하고 이 지점을 중심으로 회전시켜 수직이 되도록 합니다. 스트립의 끝은 x축보다 약간 아래로 떨어집니다. (그림 1). 스트립에 x축을 넘어 얼마나 멀리 있는지 표시합니다. 이제 포물선의 다른 점을 잡고 측정을 다시 반복하십시오. 이제 스트립의 가장자리가 x축 너머로 얼마나 떨어졌습니까?

결과:포물선 y \u003d x 2의 어떤 점을 취하든이 점에서 점 F (0; 1/4)까지의 거리는 동일한 점에서 x 축까지의 거리보다 항상 동일합니다. 수 - 1/4.

다르게 말할 수 있습니다. 포물선의 임의의 점에서 점 (0; 1/4)까지의 거리는 포물선의 동일한 점에서 선 y = -1/4까지의 거리와 같습니다. 이 멋진 점 F(0; 1/4)는 집중하다포물선 y \u003d x 2 및 직선 y \u003d -1/4 - 여자 교장이 포물선. 각 포물선에는 방향과 초점이 ​​있습니다.

포물선의 흥미로운 속성:

1. 포물선의 임의의 점은 포물선의 초점이라고 하는 어떤 점과 그 직선이라고 하는 어떤 선에서 등거리에 있습니다.

2. 대칭 축을 중심으로 포물선을 회전하면(예: Oy 축을 중심으로 포물선 y \u003d x 2) 회전 포물면이라고 하는 매우 흥미로운 표면을 얻게 됩니다.

회전하는 용기의 액체 표면은 회전 포물면 모양입니다. 불완전한 차 한잔에 숟가락으로 세게 저은 다음 숟가락을 제거하면이 표면을 볼 수 있습니다.

3. 수평선과 일정한 각도로 공허에 돌을 던지면 포물선을 따라 날아갑니다. (그림 2).

4. 원뿔의 표면을 생성기 중 하나와 평행한 평면과 교차하면 단면에서 포물선을 얻습니다. (그림 3).

5. 놀이동산에서는 때때로 불가사의의 포물선이라는 재미있는 어트랙션을 마련합니다. 회전하는 포물면 안에 서 있는 사람들 각자에게 그는 바닥에 서 있는 것처럼 보이고 나머지 사람들은 기적적으로 벽에 붙어 있습니다.

6. 반사 망원경에서 포물선 거울도 사용됩니다. 평행 광선으로 여행하고 망원경 거울에 떨어지는 먼 별의 빛이 초점을 맞춥니다.

7. 스포트라이트의 경우 미러는 일반적으로 포물면 형태로 만들어집니다. 포물면의 초점에 광원을 놓으면 포물면 거울에서 반사된 광선이 평행 빔을 형성합니다.

2차 함수 플로팅

수학 수업에서 함수 y \u003d x 2의 그래프에서 형식의 함수 그래프를 얻는 방법을 연구했습니다.

1) y=ax2– |a|의 Oy 축을 따라 그래프 y = x 2 확장 시간(|a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, 쌀. 4).

2) y=x2+n– Oy 축을 따라 n 단위로 그래프 이동, n > 0이면 이동이 위쪽이고 n이면 이동< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– Ox 축을 따라 m 단위로 그래프 이동: m인 경우< 0, то вправо, а если m >0, 왼쪽으로, (그림 5).

4) y=-x2- 그래프 y = x 2 의 Ox 축에 대한 대칭 표시.

함수 그래프를 그리는 방법에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다. y = a(x - m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c 형식의 2차 함수는 항상 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

y \u003d a (x - m) 2 + n, 여기서 m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

증명해 봅시다.

정말로,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

새로운 표기법을 소개합니다.

하자 m = -b/(2a), ㅏ n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

그러면 y = a(x - m) 2 + n 또는 y - n = a(x - m) 2 가 됩니다.

좀 더 치환해 봅시다: y - n = Y, x - m = X (*).

그런 다음 그래프가 포물선인 함수 Y = aX 2 를 얻습니다.

포물선의 꼭짓점은 원점에 있습니다. x=0; Y = 0.

(*)의 꼭짓점 좌표를 대입하면 그래프 y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n의 꼭짓점 좌표를 얻습니다.

따라서 다음과 같이 표현되는 2차 함수를 플롯하기 위해

y = a(x - m) 2 + n

변환을 통해 다음과 같이 진행할 수 있습니다.

ㅏ)함수 y = x 2 의 그래프 작성 ;

비) Ox 축을 따라 m 단위로, Oy 축을 따라 n 단위로 평행 이동 - 포물선의 상단을 원점에서 좌표(m, n)가 있는 점으로 이동 (그림 6).

쓰기 변환:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

예시.

변환을 사용하여 데카르트 좌표계에서 함수 y = 2(x - 3) 2의 그래프를 구성합니다. – 2.

결정.

변환 체인:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

그래프의 구성은 다음과 같습니다. 쌀. 7.

스스로 2차 함수 플로팅을 연습할 수 있습니다. 예를 들어, 변환을 사용하여 하나의 좌표계에서 함수 y = 2(x + 3) 2 + 2의 그래프를 작성합니다.궁금한 사항이 있거나 교사에게 조언을 얻고 싶다면 다음을 수행할 기회가 있습니다. 온라인 튜터와의 무료 25분 수업후에 . 선생님과의 추가 작업을 위해 자신에게 맞는 것을 선택할 수 있습니다.

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