동일하게 동일한 표현을 정의하는 방법. 식의 항등 변환

숫자의 덧셈과 곱셈의 기본 속성.

덧셈의 가환성: 항을 재배열해도 합은 변하지 않는다. 모든 숫자와 b에 대해 평등은 참입니다.

덧셈의 결합 속성: 두 수의 합에 세 번째 수를 더하려면 첫 번째 수에 두 번째와 세 번째 수의 합을 더하면 됩니다. 모든 숫자에 대해 b 및 c 평등은 참입니다.

곱셈의 교환 속성: 요소의 순열은 제품의 가치를 변경하지 않습니다. 모든 숫자, b 및 c에 대해 평등은 참입니다.

곱셈의 결합 속성: 두 숫자의 곱에 세 번째 숫자를 곱하려면 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 숫자의 곱을 곱하면 됩니다.

모든 숫자, b 및 c에 대해 평등은 참입니다.

분배 속성: 숫자에 합계를 곱하려면 해당 숫자에 각 항을 곱하고 결과를 더할 수 있습니다. 모든 숫자에 대해 b 및 c 평등은 참입니다.

덧셈의 가환성 및 연관 속성에 따라 원하는 대로 항을 재배열하고 임의의 방식으로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

예 1 합계 1.23+13.5+4.27을 계산해 보겠습니다.

이렇게 하려면 첫 번째 항과 세 번째 항을 결합하는 것이 편리합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

그것은 곱셈의 가환 및 연관 속성에서 따릅니다. 모든 제품에서 어떤 방식으로든 요소를 재배열하고 임의로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

예 2 곱 1.8 0.25 64 0.5의 값을 구해 봅시다.

첫 번째 요소를 네 번째 요소와 결합하고 두 번째 요소와 세 번째 요소를 결합하면 다음이 됩니다.

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

분포 속성은 숫자에 세 개 이상의 항의 합을 곱한 경우에도 유효합니다.

예를 들어, 임의의 숫자 a, b, c 및 d에 대해 같음은 참입니다.

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

빼기를 빼기에 반대 숫자를 빼기에 더함으로써 빼기를 덧셈으로 대체할 수 있다는 것을 알고 있습니다.

이것은 숫자 표현식을 허용합니다 AB를 입력숫자 a와 -b의 합을 고려하고 a + b-c-d 형식의 숫자 표현을 숫자 a, b, -c, -d 등의 합으로 간주합니다. 고려된 동작 속성은 이러한 합에도 유효합니다.

예제 3 표현식 3.27-6.5-2.5+1.73의 값을 구해 봅시다.

이 표현식은 숫자 3.27, -6.5, -2.5 및 1.73의 합입니다. 더하기 속성을 적용하면 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4가 됩니다.

예 4 곱 36·()을 계산해 봅시다.

승수는 숫자와 -의 합으로 생각할 수 있습니다. 곱셈의 분배 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

36()=36-36=9-10=-1.

신원

정의. 변수의 모든 값에 대해 해당 값이 동일한 두 표현식을 동일하게 같음이라고 합니다.

정의. 변수의 모든 값에 대해 참인 동등성을 항등성이라고 합니다.

x=5, y=4에 대해 표현식 3(x+y) 및 3x+3y의 값을 찾아보겠습니다.

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

우리는 같은 결과를 얻었습니다. 일반적으로 변수의 모든 값에 대해 3(x+y) 및 3x+3y 식의 해당 값이 동일하다는 분포 속성이 따릅니다.

이제 2x+y 및 2xy 표현식을 고려하십시오. x=1, y=2의 경우 동일한 값을 사용합니다.

그러나 이러한 표현식의 값이 같지 않도록 x 및 y 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 x=3, y=4인 경우

표현식 3(x+y) 및 3x+3y는 동일하지만 표현식 2x+y 및 2xy는 동일하지 않습니다.

등식 3(x+y)=x+3y, 모든 x 및 y 값에 대해 true는 항등식입니다.

진정한 수치 평등도 동일성으로 간주됩니다.

따라서 ID는 숫자에 대한 작업의 주요 속성을 나타내는 평등입니다.

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

신원의 다른 예는 다음과 같습니다.

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

식의 항등 변환

한 식을 동일하게 동일한 다른 식으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현식의 변환이라고 합니다.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

x, y, z 값이 주어지면 xy-xz 표현식의 값을 찾으려면 세 단계를 수행해야 합니다. 예를 들어 x=2.3, y=0.8, z=0.2일 때 다음을 얻습니다.

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

이 결과는 식 xy-xz와 동일하게 식 x(y-z)를 사용하여 단 두 단계로 얻을 수 있습니다.

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

표현식 xy-xz를 동일한 것으로 교체하여 계산을 단순화했습니다. 등식 x(y-z).

식의 항등 변환은 식의 값을 계산하고 다른 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 유사한 용어의 축소, 괄호 열기와 같은 일부 동일한 변환이 이미 수행되었습니다. 이러한 변환을 수행하기 위한 규칙을 기억하십시오.

유사한 용어를 가져오려면 해당 계수를 추가하고 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다.

대괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 대괄호를 생략하고 대괄호로 묶인 각 용어의 기호를 유지합니다.

대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 대괄호로 묶인 각 용어의 부호를 변경하여 대괄호를 생략할 수 있습니다.

예 1 합 5x+2x-3x에 같은 항을 추가해 봅시다.

다음과 같은 용어를 줄이는 규칙을 사용합니다.

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

이 변환은 곱셈의 분배 속성을 기반으로 합니다.

예 2 2a+(b-3c) 식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

더하기 기호가 앞에 오는 대괄호 여는 규칙 적용:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

수행된 변환은 덧셈의 연관 속성을 기반으로 합니다.

예 3 a-(4b-c) 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

빼기 기호가 앞에 오는 확장 대괄호 규칙을 사용해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a-4b+c.

수행된 변환은 곱셈의 분배 속성과 덧셈의 결합 속성을 기반으로 합니다. 보여줍시다. 이 식에서 두 번째 항 -(4b-c)를 곱(-1)(4b-c)으로 표현해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

이러한 작업 속성을 적용하면 다음을 얻습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. 신원 표현, 신원. 식의 ID 변환. 신분 증명

변수 x의 주어진 값에 대해 표현식 2(x - 1) 2x - 2의 값을 찾자. 결과를 테이블에 씁니다.

식 2(x - 1) 2x - 2의 값은 각각 주어진 가치변수 x는 서로 같습니다. 뺄셈에 대한 곱셈의 분배 속성에 따르면 2(x - 1) = 2x - 2. 따라서 변수 x의 다른 값에 대해 표현식 2(x - 1) 2x - 2의 값도 다음과 같습니다. 서로 동등합니다. 이러한 표현을 동일하게 같음이라고 합니다.

예를 들어, 표현식 2x + 3x 및 5x는 동의어입니다. 변수 x의 각 값에 대해 이러한 표현식은 다음을 얻습니다. 같은 값(이는 2x + 3x = 5x이기 때문에 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성에서 비롯됩니다.)

이제 3x + 2y 및 5xy 표현식을 고려하십시오. x \u003d 1 및 b \u003d 1이면 이러한 표현식의 해당 값은 서로 같습니다.

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

그러나 이러한 표현식의 값이 서로 같지 않은 x 및 y 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 x = 2인 경우; y = 0이면

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0

결과적으로 3x + 2y 및 5xy 표현식의 해당 값이 서로 같지 않은 변수 값이 있습니다. 따라서 표현식 3x + 2y와 5xy는 동일하지 않습니다.

전술한 내용을 기반으로 하여, 특히 ID는 같음: 2(x - 1) = 2x - 2 및 2x + 3x = 5x입니다.

정체성은 모든 평등입니다. 알려진 속성숫자에 대한 조치. 예를 들어,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = 바; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

ID와 같은 평등도 있습니다.

+ 0 = 에이; ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

+ (-a) = 0; a ∙ 1 = 에이; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

표현식 -5x + 2x - 9에서 유사한 용어를 줄이면 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9가 됩니다. 이 경우 표현식 5x + 2x - 9가 표현식 7x -로 대체되었다고 말합니다. 9와 동일합니다.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자에 대한 연산의 속성을 적용하여 수행됩니다. 특히 대괄호의 여는 것과 유사한 용어의 구성 등으로 동일한 변형.

표현식을 단순화할 때 동일한 변환을 수행해야 합니다. 즉, 일부 표현식을 더 짧아야 하는 동일하고 동일한 표현식으로 대체해야 합니다.

예 1. 식을 단순화합니다.

1) -0.3m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 엑스 - 8 - 1 2배+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - ㅏ + 2 비 + 3 비 - ㅏ= 3a + 5b + 2.

평등이 동일성임을 증명하기 위해(즉, 동일성을 증명하기 위해 식의 동일성 변환을 사용합니다.

다음 방법 중 하나로 신원을 증명할 수 있습니다.

왼쪽의 동일한 변형을 수행하여 오른쪽의 형태로 줄입니다.
오른쪽의 동일한 변환을 수행하여 왼쪽의 형태로 줄입니다.
두 부분에 대해 동일한 변환을 수행하여 두 부분을 동일한 표현식으로 만듭니다.

예 2. 신원 증명:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

개발

1) 이 평등의 좌변을 변환해 보겠습니다.

2x - (x + 5) - 11 = 2배 - 엑스- 5 - 11 = x - 16.

동일한 변환을 통해 등식의 좌변의 표현을 우변의 형태로 축소하여 이 항이 항등식임을 증명하였다.

2) 이 평등의 우변을 변환해 보겠습니다.

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 비 - 14a + 35 비= 20b - 4a.

동일한 변환을 통해 등식의 우변을 좌변의 형태로 축소하여 이 등식이 항등식임을 증명하였다.

3) 이 경우 등식의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분을 모두 단순화하고 결과를 비교하는 것이 편리합니다.

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6배 - 16 + 20배- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

동일한 변환을 통해 같음의 왼쪽 및 오른쪽 부분이 26x - 44와 같은 동일한 형태로 축소되었습니다. 따라서 이 같음은 항등식입니다.

어떤 표현을 동일하다고 합니까? 동일한 표현의 예를 들어 보십시오. 어떤 평등을 정체성이라고 합니까? 정체성의 예를 들어라. 식의 항등 변환이란 무엇입니까? 신원을 증명하는 방법?

(구두) 또는 동일하게 동일한 표현이 있습니다.

1) 2a + a 및 3a;

2) 7x + 6 및 6 + 7x;

3) x + x + x 및 x 3;

4) 2(x - 2) 및 2x - 4;

5) m - n 및 n - m;

6) 2a ∙ r 및 2p ∙ a?

표현식이 동일합니까?

1) 7x - 2x 및 5x;

2) 5a - 4 및 4 - 5a;

3) 4m + n 및 n + 4m;

4) a + a 및 a 2;

5) 3(a - 4) 및 3a - 12;

6) 5m ∙ n 및 5m + n?

(구두로) 평등의 정체성은 다음과 같습니다.

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

여는 괄호:

여는 괄호:

유사 용어 줄이기:

식 2a + 3a와 동일한 여러 식의 이름을 지정하십시오.
곱셈의 순열 및 결합 속성을 사용하여 표현식을 단순화합니다.

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3g);

4)- x ∙<-7у).

식을 단순화합니다.

1) -2p ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3y);

4) - 1m ∙ (-3n).

(구어) 표현을 단순화:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

유사 용어 줄이기:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8a + 1.9b + 2.8a - 2.9b;

4) 5 - 7초 + 1.9g + 6.9초 - 1.7g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

대괄호를 열고 다음과 같은 용어를 줄이십시오.

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) x = 2.4인 경우 0.6x + 0.4(x - 20);

2) 1.3 (2a - 1) - a = 10인 경우 16.4;

3) m = -3.7인 경우 1.2(m - 5) - 1.8(10 - m),

4) x = -1, y = 1인 경우 2x - 3(x + y) + 4y.

표현식을 단순화하고 값을 찾으십시오.

1) x = -0.7인 경우 0.7 x + 0.3(x - 4);

2) 1.7(y - 11) - 16.3(v \u003d 20인 경우)

3) a = -1인 경우 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1)

4) 5(m - n) - m = 1.8인 경우 4m + 7n; n = -0.9.

신원 증명:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

신원 증명:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

삼각형의 한 변의 길이는 1cm이고 다른 두 변의 길이는 각각 2cm 더 깁니다. 삼각형의 둘레를 식으로 쓰고 식을 단순화합니다.
직사각형의 너비는 xcm이고 길이는 너비보다 3cm 더 큽니다. 직사각형의 둘레를 식으로 쓰고 식을 단순화합니다.

1) x-(x-(2x-3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1))));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2.7m - 1.5n) + (2n - 0.48m).

대괄호를 확장하고 표현식을 단순화합니다.

1) a-(a-(3a-1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5년 - (6년 - (7년 - (8년 - 1)));

6) (2.1a-2.8b)-(1a-1b).

신원 증명:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2)-(-3p)-(-(8-5p)) \u003d 2 (4-g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

신원 증명:

1) 12a-((8a-16)) \u003d-4 (4-5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

식의 값을 증명

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m)는 변수 값에 의존하지 않습니다.

변수의 값에 대해 표현식의 값을 증명하십시오.

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

같은 숫자입니다.

세 개의 연속 짝수의 합이 6의 배수임을 증명하십시오.
n이 자연수이면 식 -2(2.5 n - 7) + 2(3n - 6)의 값이 짝수임을 증명하십시오.

반복 연습

무게가 1.6kg인 합금에는 15%의 구리가 포함되어 있습니다. 이 합금에는 몇 kg의 구리가 포함되어 있습니까?
다음 중 숫자 20은 몇 퍼센트입니까?

1) 정사각형;

관광객은 2시간 동안 걷고, 3시간 동안 자전거를 탔다. 총 56km를 여행했습니다. 여행자가 자전거를 탄 속도가 그가 걸은 속도보다 12km/h 더 높다면 그 속도를 구하십시오.

게으른 학생들을 위한 흥미로운 과제

11개 팀이 시티 축구 선수권 대회에 참가합니다. 각 팀은 다른 팀과 한 경기를 합니다. 경기의 어느 순간에도 짝수 경기를 치렀거나 아직 한 번도 치지 않은 팀이 있음을 증명하십시오.

두 가지 평등을 고려하십시오.

1. 12 * 3 = 7 * 8

이 평등은 변수의 모든 값에 대해 유지됩니다. 해당 평등에 대한 유효한 값의 범위는 전체 실수 집합입니다.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

이 부등식은 0을 제외하고 변수 a의 모든 값에 대해 유지됩니다. 이 불평등에 대해 허용되는 값의 범위는 0을 제외한 전체 실수 세트입니다.

이러한 각 평등에 대해 변수 a의 모든 허용 가능한 값에 대해 사실이라고 주장할 수 있습니다. 수학에서 이러한 방정식은 신원.

정체성의 개념

정체성은 변수의 허용 가능한 모든 값에 대해 참인 평등입니다. 유효한 값이 변수 대신 이 평등으로 대체되면 정확한 수치 평등을 얻어야 합니다.

진정한 수치 평등도 항등식이라는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, ID는 숫자에 대한 작업의 속성이 됩니다.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

허용 가능한 변수에 대한 두 표현식이 각각 같으면 그러한 표현식이 호출됩니다. 똑같이 평등하다. 다음은 동일하게 동일한 표현식의 몇 가지 예입니다.

1. (a 2) 4 및 a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) 및 -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) 및 x 10 .

우리는 항상 하나의 표현식을 첫 번째 표현식과 동일하게 동일한 다른 표현식으로 바꿀 수 있습니다. 이러한 교체는 동일한 변환이 됩니다.

아이덴티티 예시

예 1: 다음과 같은 동등성은 다음과 같습니다.

1. + 5 = 5 + 에이;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

위의 모든 표현이 ID가 되는 것은 아닙니다. 이러한 평등 중 1,2 및 3개의 평등만이 동일합니다. 변수와 b 대신 어떤 숫자로 대체하더라도 여전히 정확한 수치 평등을 얻습니다.

그러나 4 평등은 더 이상 정체성이 아닙니다. 모든 허용 가능한 값에 대해이 평등이 충족되는 것은 아니기 때문입니다. 예를 들어, a = 5 및 b = 2 값을 사용하면 다음 결과를 얻습니다.

숫자 3이 숫자 -3과 같지 않기 때문에 이 평등은 사실이 아닙니다.

ID 변환은 숫자 및 알파벳 표현식과 변수를 포함하는 표현식으로 수행하는 작업입니다. 문제 해결에 편리한 형식으로 원래 표현을 가져오기 위해 이러한 모든 변환을 수행합니다. 이 주제에서 동일한 변환의 주요 유형을 고려할 것입니다.

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식의 ID 변환. 그것은 무엇입니까?

처음으로 우리는 7학년 대수학 수업에서 우리가 동일하게 변형되었다는 개념을 만납니다. 그런 다음 우리는 먼저 동일하게 동일한 표현의 개념에 대해 알게 됩니다. 주제의 동화를 용이하게 하기 위해 개념과 정의를 다루겠습니다.

정의 1

식의 ID 변환원래 표현식을 원래 표현식과 동일하게 동일한 표현식으로 대체하기 위해 수행되는 작업입니다.

종종 이 정의는 "동일한"이라는 단어가 생략된 축약된 형태로 사용됩니다. 어쨌든 우리는 원래의 표현과 동일한 표현을 얻는 방식으로 표현의 변형을 수행한다고 가정하며, 이것은 별도로 강조할 필요가 없습니다.

예를 들어 이 정의를 설명하겠습니다.

실시예 1

표현을 바꾸면 x + 3 - 2동일하게 동일한 표현으로 x+1, 우리는 식의 동일한 변환을 수행합니다 x + 3 - 2.

실시예 2

표현식 2 a 6을 표현식으로 바꾸기 3식을 대체하는 동안 ID 변환은 엑스표현에 x2표현식이 동일하기 때문에 동일한 변환이 아닙니다. 엑스그리고 x2동일하게 동일하지 않습니다.

우리는 동일한 변형을 수행 할 때 표현을 쓰는 형태에주의를 기울입니다. 우리는 일반적으로 원래 표현식과 결과 표현식을 등식으로 씁니다. 따라서 x + 1 + 2 = x + 3 을 쓴다는 것은 x + 1 + 2 라는 표현이 x + 3 형식으로 축소되었음을 의미합니다.

행동의 순차적인 실행은 우리를 평등의 사슬로 이끕니다. 이것은 여러 개의 연속적인 동일한 변환입니다. 따라서 x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x 표기법을 두 가지 변환의 순차적 구현으로 이해합니다. 먼저 x + 1 + 2 표현식이 x + 3 형식으로 축소되었으며 다음으로 축소되었습니다. 형식 3 + x.

ID 변환 및 ODZ

우리가 8 학년 때 공부하기 시작한 많은 표현은 변수 값에 대해 의미가 없습니다. 이러한 경우에 동일한 변환을 수행하려면 변수의 허용 가능한 값(ODV) 영역에 주의를 기울여야 합니다. 동일한 변환을 수행하면 ODZ가 변경되지 않은 상태로 유지되거나 범위가 좁아질 수 있습니다.

실시예 3

표현식에서 트랜지션을 수행할 때 a + (-b)표현에 a-b변수의 허용 값 범위 ㅏ그리고 비동일하게 유지됩니다.

실시예 4

표현식 x에서 표현식으로의 전환 x 2 x모든 실수 집합에서 0이 제외된 모든 실수 집합으로 변수 x의 허용 가능한 값 범위가 좁아집니다.

실시예 5

식의 ID 변환 x 2 x표현식 x는 0을 제외한 모든 실수 집합에서 모든 실수 집합으로 변수 x의 유효한 값 범위를 확장합니다.

동일한 변환을 수행할 때 변수의 허용 가능한 값 범위를 좁히거나 확장하는 것은 계산의 정확도에 영향을 미치고 오류를 유발할 수 있기 때문에 문제를 해결하는 데 중요합니다.

기본 ID 변환

이제 동일한 변환이 무엇이며 어떻게 수행되는지 봅시다. 가장 자주 처리해야 하는 동일한 변환 유형을 주요 그룹으로 선택하겠습니다.

기본 ID 변환 외에도 특정 유형의 표현식과 관련된 여러 변환이 있습니다. 분수의 경우 새로운 분모로 축소 및 축소하는 방법입니다. 근과 거듭제곱이 있는 표현식의 경우 근과 거듭제곱의 속성을 기반으로 수행되는 모든 작업입니다. 로그 표현식의 경우 로그 속성을 기반으로 수행되는 작업입니다. 삼각 표현식의 경우 삼각 공식을 사용하는 모든 작업. 이러한 모든 특정 변환은 리소스에서 찾을 수 있는 별도의 주제에서 자세히 설명합니다. 이러한 이유로 우리는 이 기사에서 그것들에 대해 이야기하지 않을 것입니다.

주요 동일한 변환에 대한 고려를 진행하겠습니다.

용어, 요인의 재배열

용어를 재정렬하여 시작하겠습니다. 우리는 이 동일한 변환을 가장 자주 처리합니다. 그리고 다음 진술은 여기에서 주요 규칙으로 간주 될 수 있습니다. 요컨대 용어의 재배열은 결과에 영향을 미치지 않습니다.

이 규칙은 덧셈의 가환 및 연관 속성을 기반으로 합니다. 이러한 속성을 통해 용어를 제자리에 재정렬하고 동시에 원래의 것과 동일하게 동일한 표현을 얻을 수 있습니다. 이것이 합에서 항의 재배열이 동일한 변환인 이유입니다.

실시예 6

세 항의 합이 3 + 5 + 7 입니다. 용어 3과 5를 바꾸면 표현식은 5 + 3 + 7의 형식을 취합니다. 이 경우 용어를 재정렬하기 위한 몇 가지 옵션이 있습니다. 그들 모두는 원래 것과 동일하게 동일한 표현을 얻도록 합니다.

숫자뿐만 아니라 표현식도 합계에서 항으로 작용할 수 있습니다. 숫자와 마찬가지로 최종 계산 결과에 영향을 주지 않고 재정렬할 수 있습니다.

실시예 7

3개의 항 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 및 - 12 a 형식의 합에서 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) a 항은 예를 들어 다음과 같이 재배열될 수 있습니다. (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . 차례로, 분수 1 a + b의 분모에서 항을 재배열할 수 있지만 분수는 1 b + a 형식을 취합니다. 그리고 루트 기호 아래의 표현 에이 2 + 2 에이 + 5또한 용어를 교환할 수 있는 합계입니다.

항과 같은 방식으로 원래 표현에서 요인을 교환하고 똑같이 정확한 방정식을 얻을 수 있습니다. 이 작업에는 다음 규칙이 적용됩니다.

정의 2

제품에서 요인을 제자리에 재배열해도 계산 결과에 영향을 미치지 않습니다.

이 규칙은 동일한 변환의 정확성을 확인하는 곱셈의 가환 및 연관 속성을 기반으로 합니다.

실시예 8

일하다 3 5 7요인의 순열은 다음 형식 중 하나로 나타낼 수 있습니다. 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 또는 3 7 5.

실시예 9

곱 x + 1 x 2 - x + 1 x의 인수를 치환하면 x 2 - x + 1 x x + 1이 됩니다.

브래킷 확장

괄호에는 숫자 표현식의 항목과 변수가 있는 표현식이 포함될 수 있습니다. 이러한 표현식은 괄호가 전혀 없거나 원래 표현식보다 괄호가 적은 동일하게 동일한 표현식으로 변환될 수 있습니다. 이러한 식을 변환하는 방법을 괄호 확장이라고 합니다.

실시예 10

형식의 표현에서 대괄호를 사용하여 작업을 수행합시다. 3 + x − 1 x동일하게 참된 표현을 얻기 위해 3 + x − 1 x.

표현식 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x 는 대괄호 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x 없이 동일하게 동일한 표현식으로 변환될 수 있습니다.

리소스에 게시된 "대괄호 확장" 주제에서 대괄호가 있는 표현식을 변환하는 규칙에 대해 자세히 논의했습니다.

그룹화 용어, 요인

세 개 이상의 용어를 다루는 경우 용어 그룹과 같은 유형의 동일한 변환에 의존할 수 있습니다. 이 변환 방법은 여러 용어를 재정렬하고 괄호 안에 넣어 그룹으로 결합하는 것을 의미합니다.

그룹화할 때 그룹화된 용어가 서로 옆에 있는 표현식 레코드에 있는 방식으로 용어가 교환됩니다. 그런 다음 대괄호로 묶을 수 있습니다.

실시예 11

식을 가져라 5 + 7 + 1 . 첫 번째 항을 세 번째 항과 그룹화하면 다음을 얻습니다. (5 + 1) + 7 .

요인 그룹화는 용어 그룹화와 유사하게 수행됩니다.

실시예 12

진행 중 2 3 4 5첫 번째 요소를 세 번째 요소와 그룹화하고 두 번째 요소를 네 번째 요소와 그룹화하는 것이 가능합니다. 이 경우 표현식에 도달합니다. (2 4) (3 5). 첫 번째, 두 번째 및 네 번째 요소를 그룹화하면 다음 식을 얻을 수 있습니다. (2 3 5) 4.

그룹화되는 용어와 요소는 소수와 표현식으로 모두 나타낼 수 있습니다. 그룹화 규칙은 "그룹화 용어 및 요소" 항목에서 자세히 설명했습니다.

합계, 부분 곱으로 또는 그 반대로 차이 대체

반대 숫자를 아는 덕분에 차이를 합계로 대체하는 것이 가능해졌습니다. 이제 숫자에서 빼기 ㅏ숫자 비숫자에 추가로 볼 수 있습니다 ㅏ숫자 -b. 평등 a - b = a + (− b)공정한 것으로 간주될 수 있으며, 이를 기반으로 차액을 합계로 대체합니다.

실시예 13

식을 가져라 4 + 3 − 2 , 여기서 숫자의 차이 3 − 2 우리는 합계로 쓸 수 있습니다 3 + (− 2) . 얻다 4 + 3 + (− 2) .

실시예 14

표현의 모든 차이점 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2다음과 같은 합계로 대체될 수 있습니다. 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

모든 차이에서 합계를 구할 수 있습니다. 마찬가지로 역대입을 할 수 있습니다.

제수의 역수에 의한 곱셈에 의한 나눗셈의 대체는 역수의 개념에 의해 가능합니다. 이 변환은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. a: b = a (b − 1).

이 규칙은 일반 분수를 나누는 규칙의 기초였습니다.

실시예 15

사적인 1 2: 3 5 형태의 제품으로 대체 가능 1 2 5 3.

유사하게, 유추에 의해 나눗셈은 곱셈으로 대체될 수 있습니다.

실시예 16

표현의 경우 1+5:x:(x+3)나눗셈을 다음으로 대체 엑스곱할 수 있습니다 1 x. 나눗셈 기준 x + 3를 곱하여 대체할 수 있습니다. 1 x + 3. 변환을 통해 원래 표현과 동일한 표현을 얻을 수 있습니다: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

나누기에 의한 곱셈 대체는 계획에 따라 수행됩니다. a b = a: (b − 1).

실시예 17

5 x 2 + 1 - 3 표현식에서 곱셈은 5: x 2 + 1 x - 3과 같은 나눗셈으로 대체될 수 있습니다.

숫자로 작업 수행

숫자로 연산을 수행하는 것은 연산 순서의 규칙을 따릅니다. 첫째, 연산은 수의 거듭제곱과 수의 근을 사용하여 수행됩니다. 그런 다음 대수, 삼각 및 기타 함수를 해당 값으로 바꿉니다. 그런 다음 괄호 안의 작업이 수행됩니다. 그런 다음 이미 왼쪽에서 오른쪽으로 다른 모든 작업을 수행할 수 있습니다. 곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈보다 먼저 수행된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다.

숫자 연산을 사용하면 원래 표현식을 동일한 표현식으로 변환할 수 있습니다.

실시예 18

가능한 모든 연산을 숫자로 수행하여 식 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x를 변환해 보겠습니다.

결정

먼저 학위를 보자. 2 3 루트 4 및 해당 값을 계산합니다. 2 3 = 8 및 4 = 2 2 = 2 .

얻은 값을 원래 표현식에 대입하고 다음을 얻습니다. 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

이제 괄호를 수행해 보겠습니다. 8 − 1 = 7 . 그리고 식 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) 로 넘어갑시다.

곱하기만 하면 됩니다 3 그리고 7 . 우리는 다음을 얻습니다: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

답변: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

숫자를 사용한 연산은 숫자 그룹화 또는 괄호 확장과 같은 다른 종류의 동일한 변환이 선행될 수 있습니다.

실시예 19

식을 가져라 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

결정

먼저 괄호 안의 몫을 변경하겠습니다. 6: 3 그 의미에 2 . 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 을 얻습니다.

대괄호를 확장해 보겠습니다. 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

제품의 숫자 요소와 숫자 용어를 그룹화해 보겠습니다. (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

괄호를 해보자: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

답변:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

우리가 수치 표현으로 작업한다면, 우리 작업의 목적은 표현의 가치를 찾는 것입니다. 변수를 사용하여 표현식을 변환하는 경우 작업의 목표는 표현식을 단순화하는 것입니다.

공통 요소를 괄호로 묶기

표현식의 항이 동일한 요인을 갖는 경우 이 공통 요인을 대괄호에서 제외할 수 있습니다. 이를 위해서는 먼저 원래의 표현식을 공통인수와 괄호 안의 표현식의 곱으로 표현해야 합니다.

실시예 20

수치상 2 7 + 2 3우리는 공통 요소를 꺼낼 수 있습니다 2 대괄호 외부에서 양식의 동일하게 정확한 표현을 얻습니다. 2 (7 + 3).

리소스의 해당 섹션에서 공통 요소를 괄호 안에 넣는 규칙의 메모리를 새로 고칠 수 있습니다. 이 자료는 공통 요소를 대괄호에서 빼는 규칙에 대해 자세히 설명하고 수많은 예를 제공합니다.

유사한 용어의 감소

이제 같은 항을 포함하는 합계로 넘어 갑시다. 여기에는 동일한 항을 포함하는 합계와 수치 계수로 항이 다른 합계의 두 가지 옵션이 있습니다. 같은 항을 포함하는 합을 사용하는 연산을 같은 항의 축소라고 합니다. 다음과 같이 수행됩니다. 공통 문자 부분을 대괄호 안에 넣고 숫자 계수의 합을 대괄호로 계산합니다.

실시예 21

표현을 고려하십시오 1 + 4 x − 2 x. 대괄호에서 x의 리터럴 부분을 가져 와서 식을 얻을 수 있습니다. 1 + x (4 − 2). 괄호 안의 표현식의 값을 계산하고 1 + x · 2 형식의 합을 구합시다.

숫자와 표현식을 동일하게 동일한 표현식으로 바꾸기

원래 표현식을 구성하는 숫자와 표현식은 동일하게 동일한 표현식으로 대체할 수 있습니다. 이러한 원래 표현의 변형은 그것과 동일하게 동일한 표현으로 이어진다.

실시예 22 실시예 23

표현을 고려하십시오 1 + 에이5, 예를 들어 다음 형식과 같이 5도를 이와 동일한 제품으로 바꿀 수 있습니다. 4. 이것은 우리에게 표현을 줄 것입니다 1 + 4.

수행된 변환은 인공적입니다. 다른 변환을 준비할 때만 의미가 있습니다.

실시예 24

합계의 변환을 고려하십시오 4 x 3 + 2 x 2. 여기서 용어 4x3우리는 제품으로 나타낼 수 있습니다 2x2x2x. 결과적으로 원래 표현식은 다음 형식을 취합니다. 2 x 2 2 x + 2 x 2. 이제 공통 요소를 분리할 수 있습니다. 2x2대괄호에서 꺼내십시오. 2 x 2 (2 x + 1).

같은 수의 덧셈과 뺄셈

같은 숫자나 표현을 동시에 더하고 빼는 것은 인위적인 표현 변환 기법입니다.

실시예 25

표현을 고려하십시오 x 2 + 2 x. 여기에 하나를 더하거나 뺄 수 있습니다. 그러면 이항의 제곱을 선택하기 위해 다음과 같이 다른 동일한 변환을 수행할 수 있습니다. x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

정체성 에 대한 아이디어 를 얻었 으면 , 아는 사람 으로 이동 하는 것이 논리적 입니다 . 이 기사에서는 동일하게 동일한 표현이 무엇인지에 대한 질문에 답하고 예를 사용하여 동일하게 동일한 표현과 그렇지 않은 표현을 알아낼 것입니다.

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동일하게 동일한 표현은 무엇입니까?

동일하게 동일한 표현의 정의는 동일성의 정의와 병행하여 주어집니다. 이것은 7 학년 대수학 수업에서 발생합니다. 7개 수업을 위한 대수학 교과서에서 저자 Yu. N. Makarychev는 다음과 같은 표현을 제공합니다.

정의.

포함된 변수의 모든 값에 대해 값이 동일한 표현식입니다. 동일한 값에 해당하는 숫자 표현식을 동일하게 같음이라고도 합니다.

이 정의는 클래스 8까지 사용되며 정수 표현식에 유효합니다. 정수 표현식에 포함된 모든 변수 값에 대해 의미가 있기 때문입니다. 그리고 8 학년에서는 동일하게 동일한 표현의 정의가 지정됩니다. 어떤 관련이 있는지 설명하겠습니다.

8 학년에서는 정수 표현식과 달리 일부 변수 값에 대해 이해가되지 않을 수 있는 다른 유형의 표현식에 대한 연구가 시작됩니다. 따라서 변수의 허용 가능한 값과 유효하지 않은 값의 정의와 변수 ODV의 허용 가능한 값 범위를 소개하고 결과적으로 동일하게 동일한 표현의 정의를 명확히 해야 합니다.

정의.

변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 값이 동일한 두 표현식이 호출됩니다. 동일하게 동일한 표현. 동일한 값을 갖는 두 개의 숫자 표현식도 동일하게 같음이라고 합니다.

동일하게 동일한 표현의 정의에서 "변수에 포함된 모든 허용 가능한 값"이라는 문구의 의미를 명확히 할 필요가 있습니다. 그것은 동일하게 동일한 표현이 동시에 의미가있는 모든 변수 값을 의미합니다. 이 아이디어는 예제를 고려하여 다음 섹션에서 명확해질 것입니다.

A. G. Mordkovich의 교과서에서 동일하게 동일한 표현의 정의는 약간 다르게 제공됩니다.

정의.

동일한 등식아이덴티티의 왼쪽과 오른쪽에 있는 표현입니다.

의미에서 이 정의와 앞의 정의는 일치합니다.

동일하게 동일한 표현의 예

이전 하위 섹션에서 소개된 정의를 통해 다음을 수행할 수 있습니다. 동일하게 동일한 표현의 예.

동일하게 동일한 숫자 표현부터 시작하겠습니다. 숫자 표현식 1+2 와 2+1 은 동일한 값 3 과 3 에 대응하기 때문에 동일합니다. 표현식 5와 30:6은 표현식 (2 2) 3 및 2 6과 마찬가지로 동일합니다(마지막 표현식의 값은 로 인해 같음). 그러나 숫자 표현 3+2와 3-2는 각각 값 5와 1에 해당하기 때문에 동일하지 않지만 동일하지는 않습니다.

이제 변수가 있는 동일하게 동일한 표현식의 예를 제공합니다. 이는 a+b 및 b+a 표현식입니다. 실제로, 변수 a와 b의 모든 값에 대해 작성된 표현식은 동일한 값을 취합니다(숫자에서 뒤따름). 예를 들어, a=1 및 b=2인 경우 a+b=1+2=3 및 b+a=2+1=3 입니다. 변수와 b의 다른 값에 대해서도 이러한 표현식의 동일한 값을 얻습니다. 표현식 0·x·y·z 및 0은 변수 x , y 및 z 의 값에 대해서도 동일하게 동일합니다. 그러나 표현식 2 x와 3 x는 예를 들어 x=1에서 값이 같지 않기 때문에 동일하게 같지 않습니다. 실제로 x=1의 경우 표현식 2 x 는 2 1=2 이고 표현식 3 x 는 3 1=3 입니다.

표현식에서 변수의 허용 가능한 값 영역이 일치하는 경우, 예를 들어 표현식 a+1 및 1+a 또는 a b 0 및 0 , 또는 및 , 이러한 표현식의 값이 에 대해 동일합니다. 이 영역의 모든 변수 값, 모든 것이 명확합니다. 이러한 표현식은 포함된 변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 동일하게 동일합니다. 따라서 a+1≡1+a 임의의 a , 표현식 a b 0 과 0 은 변수 a 와 b 의 모든 값에 대해 동일하게 동일하며, 표현식 및 식은 모든 x 에 대해 동일하게 동일합니다. 에드. S. A. Telyakovsky. - 17판. - 남 : 교육, 2008. - 240 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.

대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.

모르드코비치 A.G.대수학. 7 학년. 오후 2시 파트 1. 교육 기관의 학생들을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 17판, 추가. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: 아프다. ISBN 978-5-346-02432-3.