이차 방정식의 선행 계수입니다. 불완전한 이차 방정식

이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *텍스트 "KU"에서 추가로.친구, 수학에서는 그러한 방정식을 푸는 것보다 쉬울 수 있습니다. 그러나 많은 사람들이 그에게 문제가 있다는 사실을 알게 되었습니다. Yandex가 매월 요청당 얼마나 많은 노출을 제공하는지 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 있었는지 살펴보세요:

무슨 뜻인가요? 이는 한 달에 약 70,000명의 사람들이 찾고 있다는 것을 의미합니다. 이 정보, 이번 여름은 그것과 무슨 관계가 있고, 그 사이에 무슨 일이 일어날지 학년- 요청이 두 배 증가합니다. 학교를 졸업하고 시험을 준비하는 남자와 여자가 ​​이 정보를 찾고 있고 학생들도 기억을 되살리려고 하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고, 나는 또한 그 자료를 기여하고 출판하기로 결정했습니다. 첫째, 방문자가 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 기사에서 "KU"라는 연설이 나오면이 기사에 대한 링크를 줄 것입니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 자세히 알려 드리겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비a≠0을 사용하여 임의의 숫자를 사용합니다.

학교 과정에서 자료는 다음과 같은 형식으로 제공됩니다. 방정식을 세 수업으로 나누는 것은 조건부로 수행됩니다.

1. 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. * 루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없다. 그들은 진정한 뿌리가 없다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산됩니까? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 아래에는 매우 간단한 공식이 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식은 마음으로 알고 있어야 합니다.

즉시 작성하고 해결할 수 있습니다.

예시:

1. D > 0이면 방정식의 근이 두 개입니다.

2. D = 0이면 방정식의 근이 하나입니다.

3. 만약 D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴보겠습니다.

에 의해 이번 기회에판별식일 때 영, 학교 과정은 하나의 루트를 얻었으며 여기서는 9와 같습니다. 그렇긴 한데...

이 표현은 다소 잘못되었습니다. 사실 뿌리는 두 가지입니다. 네, 네, 놀라지 마십시오. 두 가지가 나옵니다. 등근, 그리고 수학적으로 정확하려면 답에 두 개의 근을 써야 합니다.

x 1 = 3 x 2 = 3

그러나 이것은 사실입니다. 작은 탈선입니다. 학교에서는 뿌리가 하나뿐이라고 적어서 말할 수 있습니다.

이제 다음 예:

알다시피 음수의 근은 추출되지 않으므로 이 경우에는 솔루션이 없습니다.

그것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

솔루션이 기하학적으로 보이는 방법은 다음과 같습니다. 이것은 이해하는 것이 매우 중요합니다(앞으로 기사 중 하나에서 2차 부등식의 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이것은 다음 형식의 기능입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

a, b, c - 주어진 숫자, 여기서 a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x축의 교차점을 찾습니다. 이 점 중 두 개(판별자가 양수임), 하나(판별자가 0임) 또는 없음(판별자가 음수임)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

다음 예를 고려하십시오.

예 1: 결정 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= -192

디 = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = -12

* 방정식의 좌변과 우변을 즉시 2로 나눌 수 있습니다. 즉, 단순화할 수 있습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 \u003d 11 및 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.

대답에서 x = 11을 쓸 수 있습니다.

답: x = 11

예 3: 결정하다 x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식은 음수이며 실수에는 해가 없습니다.

답변: 해결책이 없습니다

판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서는 음의 판별식을 얻은 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 복소수에 대해 알고 있습니까? 나는 그들이 왜 그리고 어디서 발생했는지 그리고 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 설명하지 않을 것입니다. 이것은 별도의 큰 기사에 대한 주제입니다.

복소수의 개념입니다.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

z = a + 바이

여기서 및 b는 실수, i는 소위 허수 단위입니다.

에이+비 는 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

2개의 켤레근을 얻습니다.

불완전한 이차 방정식.

특별한 경우를 고려하십시오. 이것은 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같을 때입니다(또는 둘 다 0과 같을 때). 그들은 판별식 없이 쉽게 풀립니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환해 보겠습니다.

예시:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환, 인수분해:

*적어도 하나의 요인이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다.

예시:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기에서 방정식의 해는 항상 x = 0이 될 것이 분명합니다.

유용한 속성 및 계수 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ + 비+ c = 0,그 다음에

— 방정식의 계수의 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ+와 =비, 그 다음에

이러한 속성은 특정 종류의 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다.

예 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

계수의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0이므로

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등 ㅏ+와 =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

예시. 방정식 6x 2 +37x+6 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. 방정식 ax 2 - bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 고려하십시오.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식에서 ax 2 + bx - c = 0 계수 "b" 같음(a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일, 그 뿌리는 같다

도끼 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 17x 2 + 288x - 17 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. 방정식 ax 2 - bx - c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 - 1)이고 계수 c가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

예시. 방정식 10x2 - 99x -10 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

비에타의 정리.

Vieta의 정리는 유명한 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

요컨대, 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 제시된 정리를 사용하여 특정 기술을 사용하면 많은 이차 방정식을 구두로 즉시 풀 수 있습니다.

또한 Vieta의 정리. (판별자를 통해) 일반적인 방법으로 이차 방정식을 풀고 결과 근을 확인할 수 있기 때문에 편리합니다. 이 작업을 항상 수행하는 것이 좋습니다.

전송 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "전송된" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 전송 방법.이 방법은 비에타의 정리를 이용하여 방정식의 근을 찾기 쉬울 때, 그리고 무엇보다 판별식이 정확한 제곱일 때 사용됩니다.

만약 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)의 Vieta 정리에 따르면 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

구한 방정식의 근은 2로 나누어야 합니다(두 개는 x 2에서 "던졌기 때문에"), 우리는 다음을 얻습니다.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보십시오.

식 (1)과 (2)의 판별식은 다음과 같습니다.

방정식의 근을 보면 다른 분모만 얻어지며 결과는 x 2의 계수에 정확하게 의존합니다.

두 번째(수정된) 루트는 2배 더 큽니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*3 종류를 굴린 경우 결과를 3으로 나누는 식입니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

평방 ur-ie 및 시험.

나는 그것의 중요성에 대해 간략하게 말할 것입니다 - 당신은 생각 없이 신속하게 결정할 수 있어야 합니다. 당신은 근의 공식과 판별식을 마음으로 알아야 합니다. USE 작업의 일부인 많은 작업은 이차 방정식(기하학 포함)을 푸는 것입니다.

주목할 가치가있는 것은 무엇입니까!

1. 방정식의 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0

표준 형식으로 가져와야 합니다(해결할 때 혼동되지 않도록).

2. x는 알 수 없는 값이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있음을 기억하십시오.

불완전한 이차 방정식은 요소 또는 자유 항이 0과 같다는 점에서 고전적(완전한) 방정식과 다릅니다. 이러한 함수의 그래프는 포물선입니다. 일반적인 외모에 따라 3 그룹으로 나뉩니다. 모든 유형의 방정식에 대한 해의 원리는 동일합니다.

불완전 다항식의 유형을 결정하는 데 어려운 것은 없습니다. 예시적인 예의 주요 차이점을 고려하는 것이 가장 좋습니다.

1. b = 0이면 방정식은 ax 2 + c = 0입니다.
2. c = 0이면 ax 2 + bx = 0이라는 표현식을 풀어야 합니다.
3. b = 0이고 c = 0이면 다항식은 ax 2 = 0 유형의 같음이 됩니다.

후자의 경우는 이론적인 가능성에 가깝고 식에서 x의 유일한 참 값이 0이기 때문에 지식 테스트에서는 절대 발생하지 않습니다. 앞으로 불완전한 문제를 해결하는 방법과 예를 고려할 것입니다. 이차 방정식 1) 및 2) 종.

솔루션으로 변수 및 예를 찾기 위한 일반 알고리즘

방정식 유형에 관계없이 솔루션 알고리즘은 다음 단계로 축소됩니다.

1. 어근을 찾기에 편리한 형태로 표현하세요.
2. 계산을 합니다.
3. 답을 적어보세요.

불완전 방정식을 푸는 것은 좌변을 인수분해하고 우변에 0을 남겨두는 것이 가장 쉽습니다. 따라서 근을 찾기 위한 불완전 이차 방정식의 공식은 각 요인에 대한 x 값을 계산하는 것으로 축소됩니다.

푸는 방법은 실전에서만 배울 수 있으니 고려해보세요 구체적인 예불완전 방정식의 근 찾기:

보시다시피, 이 경우 b = 0입니다. 좌변을 인수분해하여 다음 식을 얻습니다.

4(x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

분명히, 요인 중 하나 이상이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 유사한 요구 사항은 변수 x1 = 0.5 및 (또는) x2 = -0.5의 값으로 충족됩니다.

분해 작업에 쉽고 빠르게 대처하기 위해 제곱 삼항승수는 다음 공식을 기억해야 합니다.

표현식에 자유 항이 없으면 작업이 크게 단순화됩니다. 공통분모를 찾아서 빼는 것만으로도 충분합니다. 명확성을 위해 ax2 + bx = 0 형식의 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법의 예를 고려하십시오.

대괄호에서 변수 x를 꺼내 다음 표현식을 얻습니다.

x ⋅ (x + 3) = 0.

논리에 따라 x1 = 0 및 x2 = -3이라는 결론을 내립니다.

전통적인 해결 방법과 불완전한 이차 방정식

판별식을 적용하고 계수가 0인 다항식의 근을 찾으려고 하면 어떻게 될까요? 2017년 수학 통합 국가 시험의 일반적인 작업 모음에서 예를 들어 표준 공식과 인수분해 방법을 사용하여 해결할 것입니다.

7x 2 - 3x = 0.

판별식의 값을 계산합니다. D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. 다항식에는 두 개의 근이 있는 것으로 나타났습니다.

이제 인수분해를 통해 방정식을 풀고 결과를 비교합니다.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

보시다시피 두 방법 모두 동일한 결과를 제공하지만 방정식을 푸는 두 번째 방법은 훨씬 쉽고 빠릅니다.

비에타의 정리

그러나 사랑하는 Vieta 정리로 무엇을해야합니까? 이 방법을 불완전한 삼항식에 적용할 수 있습니까? 불완전 방정식을 고전적인 형식 ax2 + bx + c = 0으로 줄이는 측면을 이해하려고 노력합시다.

사실 이 경우에도 Vieta의 정리를 적용하는 것이 가능합니다. 누락된 용어를 0으로 대체하여 표현식을 일반 형식으로 가져오기만 하면 됩니다.

예를 들어, b = 0 및 a = 1일 때 혼동 가능성을 없애기 위해 ax2 + 0 + c = 0 형식으로 작업을 작성해야 합니다. 그런 다음 근의 합과 곱의 비율과 다항식의 인수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이론적 계산은 문제의 본질을 파악하는 데 도움이되며 문제를 해결할 때 항상 기술 개발이 필요합니다. 특정 작업. 시험에 대한 일반적인 작업의 참고서로 다시 돌아가 적절한 예를 찾아 보겠습니다.

Vieta 정리를 적용하는 데 편리한 형식으로 표현식을 작성합니다.

x2 + 0 - 16 = 0.

다음 단계는 조건 시스템을 만드는 것입니다.

분명히 제곱 다항식의 근은 x 1 \u003d 4 및 x 2 \u003d -4입니다.

이제 방정식을 일반 형식으로 가져오는 연습을 해 보겠습니다. 다음 예를 들어 보겠습니다. 1/4× x 2 – 1 = 0

비에타 정리를 식에 적용하려면 분수를 제거해야 합니다. 왼쪽과 오른쪽에 4를 곱하고 결과를 보십시오. x2– 4 = 0. 결과 평등은 Vieta 정리에 의해 풀 준비가 되었지만 단순히 c =를 이동하여 답을 얻는 것이 훨씬 쉽고 빠릅니다. 방정식의 오른쪽에 4: x2 = 4.

결론부터 말하자면, 가장 좋은 방법불완전 방정식의 해는 인수분해이며 가장 간단하고 빠른 방법. 근을 구하는 과정에서 어려움이 있다면 판별식을 통해 근을 구하는 전통적인 방법을 참고할 수 있습니다.

이차 방정식은 a*x^2 +b*x+c=0 형식의 방정식으로, 여기서 a,b,c는 임의의 실수(실수)이고 x는 변수입니다. 그리고 숫자 a는 0이 아닙니다.

숫자 a,b,c를 계수라고 합니다. 숫자 a -는 선행 계수, 숫자 b는 x에서의 계수, 숫자 c는 자유 멤버라고 합니다. 일부 문헌에는 다른 이름도 있습니다. 숫자 a를 첫 번째 계수라고 하고 숫자 b를 두 번째 계수라고 합니다.

이차 방정식의 분류

이차 방정식에는 자체 분류가 있습니다.

계수의 존재에 의해:

1. 전체

2. 불완전

미지의 가장 높은 차수의 계수 값으로(선행 계수의 값으로):

1. 주어진

2. 감소하지 않음

이차 방정식 완료라고세 가지 계수가 모두 포함되어 있고 0이 아닌 경우. 일반 양식완전 이차 방정식: a*x^2 +b*x+c=0;

이차 방정식 불완전한방정식에서 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 계수 b 또는 c 중 하나가 0(b \u003d 0 또는 c \u003d 0)인 경우 불완전한 이차 방정식도 다음과 같습니다. 계수 b와 계수 c가 동시에 0인 방정식(b=0 및 c=0 모두).

2차 방정식의 정의에 따라 0과 달라야 하기 때문에 여기에서 선행 계수에 대해 아무 말도 하지 않는다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

주어진선행 계수인 경우 하나와 같은(a=1). 주어진 이차 방정식의 일반 보기: x^2 +d*x+e=0.

이차 방정식은 감소되지 않은,방정식의 선행 계수가 0이 아닌 경우. 기약 이차 방정식의 일반 보기: a*x^2 +b*x+c=0.

기약되지 않은 이차 방정식은 기약된 방정식으로 줄일 수 있습니다. 이를 위해서는 이차 방정식의 계수를 선행 계수로 나누어야 합니다.

2차 예

예를 고려하십시오.방정식 2*x^2 - 6*x+7 =0이 있습니다.

위의 식으로 변환해 보자. 선행 계수는 2입니다. 방정식의 계수를 2로 나누고 답을 적어 보겠습니다.

x^2 - 3*x+3.5 =0;

알다시피, 이차 방정식의 오른쪽에는 2차 a * x ^ 2 + b * x + c의 다항식이 있습니다. 제곱 삼항이라고도 합니다.

이 주제는 간단하지 않은 많은 공식으로 인해 처음에는 복잡해 보일 수 있습니다. 이차 방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 근도 판별식을 통해 찾습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기가 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 솔루션 후에만 가능합니다. 그러면 모든 공식이 저절로 기억될 것입니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기에서 가장 큰 학위가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 서로 다른 상황이 있습니다. 그런 다음 방정식을 변수의 차수 내림차순으로 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수용하면 모든 이차 방정식은 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 숫자 1로 표시합니다.

방정식이 주어졌을 때 답에 근이 몇 개인지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문에:

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 대답은 하나의 숫자가 될 것입니다.
• 방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 빠질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 레코드 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 그들은 항상 다음과 같이 보이지 않습니다. 일반식이차 방정식. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 결과가 나타납니다. 이러한 레코드는 이차 방정식이라고도 하며 불완전합니다.

또한 계수 "b"와 "c"가 사라질 수 있는 항만 표시됩니다. 숫자 "a"는 어떤 경우에도 0이 될 수 없습니다. 이 경우 공식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 두 가지 유형만 있으며 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 공식을 숫자 2로, 두 번째 공식을 숫자 3으로 설정합니다.

판별식과 그 값에 대한 근 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 상관없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 하며 숫자 4가 됩니다.

계수 값을 이 공식에 대입하면 다음을 사용하여 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 대답이 '예'이면 방정식에 대한 답은 두 개의 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0이면 답은 1이 됩니다.

완전 이차 방정식은 어떻게 해결됩니까?

사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있다는 것이 명확해지고 그 수를 알고 나면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 두 개의 뿌리가 있으면 그러한 공식을 적용해야합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 서명된 표현식 제곱근판별식입니다. 따라서 수식은 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취함을 알 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별식 및 변수식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차 방정식은 어떻게 풀 수 있습니까?

모든 것이 여기에서 훨씬 간단합니다. 심지어 추가 공식이 필요하지 않습니다. 그리고 판별식과 미지의 것을 위해 이미 작성된 것들은 필요하지 않을 것입니다.

먼저 고려 불완전한 방정식 2번에서. 이 평등에서는 대괄호에서 알 수 없는 값을 가져와 대괄호에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 답은 두 개의 뿌리를 가질 것입니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째 값은 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

3번의 불완전 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮겨서 풉니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 쓰는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 방정식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 부주의로 인한 실수를 피하도록 학생을 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "2차 방정식(8학년)"을 공부할 때 낮은 성적의 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생길 것이기 때문입니다.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 변수의 차수가 가장 큰 항을 먼저 사용하고 차수와 마지막 항목 없이 숫자만 사용합니다.

• 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 이차 방정식을 공부하는 초보자가 작업을 복잡하게 만들 수 있습니다. 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 평등에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 항이 부호를 반대 방향으로 변경한다는 것을 의미합니다.

• 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식: x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2번에서 설명한 대로 풀립니다.

브라케팅 후 x (x - 7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 루트는 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 루트는 다음에서 찾을 수 있습니다. 일차 방정식: x - 7 = 0. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 방정식: 5x2 + 30 = 0. 다시 불완전합니다. 세 번째 공식에 대해 설명한 대로만 풀립니다.

30을 방정식의 오른쪽으로 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 답은 숫자가 됩니다. x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

세 번째 방정식: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 해는 다음과 같이 다시 작성하여 시작됩니다. 표준 보기: - x 2 - 2x + 15 = 0. 이제 두 번째를 사용할 시간입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x - 15 \u003d 0이 나옵니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. D \u003d 2 2 - 4 * (-15) \u003d 4 + 60 \u003d 64입니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2입니다. 그런 다음 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 x 2 + 3x + 8 \u003d 0으로 변환됩니다. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 대답은 "근본이 없습니다." 항목이 됩니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별식에 대한 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6이 있음을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 같은 항을 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 것 대신에 다음과 같은 표현식이 있을 것입니다: x 2 + 2x + 1. 평등 후에, 이 항목이 나타날 것입니다: x 2 + 3x + 2. 유사한 항을 세고 나면, 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다: x 2 - x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 또는 x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

물론 1차 방정식을 푸는 법을 배웠기 때문에 다른 사람들과 함께 작업하고 싶습니다. 특히 2차 방정식은 2차 방정식이라고도 합니다.

이차 방정식은 ax² + bx + c = 0 유형의 방정식입니다. 여기서 변수는 x이고 숫자는 -a, b, c가 됩니다. 여기서 a는 0이 아닙니다.

이차 방정식에서 하나 또는 다른 계수(c 또는 b)가 0이면 이 방정식은 불완전한 이차 방정식을 참조합니다.

학생들이 지금까지 1차 방정식만 풀 수 있었다면 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까? 불완전한 이차 방정식 고려 다른 유형그리고 간단한 방법그들의 결정.

a) 계수 c가 0이고 계수 b가 0이 아닌 경우 ax ² + bx + 0 = 0은 ax ² + bx = 0 형식의 방정식으로 축소됩니다.

이러한 방정식을 풀려면 불완전 이차 방정식을 푸는 공식을 알아야 합니다. 이 공식은 좌변을 인수로 분해하고 나중에 곱이 0이라는 조건을 사용하는 것으로 구성됩니다.

예를 들어, 5x ² - 20x \u003d 0입니다. 평소와 같이 방정식의 왼쪽을 인수로 분해합니다. 수학 연산: 대괄호에서 공통 요소 빼기

5x (x - 4) = 0

곱이 0이라는 조건을 사용합니다.

5 x = 0 또는 x - 4 = 0

대답은 다음과 같습니다. 첫 번째 루트는 0입니다. 두 번째 루트는 4입니다.

b) b \u003d 0이고 자유 항이 0이 아닌 경우 방정식 ax ² + 0x + c \u003d 0은 ax ² + c \u003d 0 형식의 방정식으로 축소됩니다. 방정식을 둘로 풉니다. 방법: a) 좌변 방정식의 다항식을 인수로 분해 ; b) 산술 제곱근의 속성을 사용합니다. 이러한 방정식은 다음과 같은 방법 중 하나로 해결됩니다.

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. 답은 다음과 같습니다. 첫 번째 근은 5/2입니다. 두 번째 루트는 - 5/2입니다.

c) b가 0이고 c가 0이면 ax² + 0 + 0 = 0은 ax² = 0 형식의 방정식으로 축소됩니다. 이러한 방정식에서 x는 0과 같습니다.

보시다시피, 불완전한 이차 방정식은 기껏해야 두 개의 근을 가질 수 있습니다.