가장 단순한 로그 부등식의 해. 시험 준비

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다양한 대수 부등식 중에서 가변 밑이 있는 부등식을 별도로 연구합니다. 그들은 어떤 이유로 학교에서 거의 가르치지 않는 특별한 공식에 따라 해결됩니다.

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

갈까마귀 "∨"대신 부등식 기호를 넣을 수 있습니다. 가장 중요한 것은 두 불평등 모두에서 표시가 동일하다는 것입니다.

그래서 우리는 로그를 제거하고 문제를 합리적인 부등식으로 줄입니다. 후자는 해결하기가 훨씬 쉽지만 로그를 버릴 때 추가 근이 나타날 수 있습니다. 그것들을 차단하려면 허용 가능한 값의 범위를 찾는 것으로 충분합니다. 로그의 ODZ를 잊어버린 경우 반복하는 것이 좋습니다. "로그란 무엇인가"를 참조하십시오.

허용 가능한 값의 범위와 관련된 모든 것은 별도로 작성하고 해결해야 합니다.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

이 네 가지 불평등은 시스템을 구성하며 동시에 충족되어야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 발견되면 합리적인 불평등의 솔루션과 교차해야하며 답이 준비됩니다.

일. 부등식 해결:

먼저 로그의 ODZ를 작성해 보겠습니다.

처음 두 부등식은 자동으로 수행되며 마지막 부등식은 작성해야 합니다. 숫자의 제곱은 숫자 자체가 0인 경우에만 0이므로 다음을 얻습니다.

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0
x ≠ 0.

로그의 ODZ는 0을 제외한 모든 숫자임이 밝혀졌습니다: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). 이제 주요 부등식을 해결합니다.

로그 부등식에서 합리적인 부등식으로의 전환을 수행합니다. 원래 부등식에는 "보다 작음" 기호가 있으므로 결과 부등식에도 "미만" 기호가 있어야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

이 표현식의 0: x = 3; x = -3; x = 0. 또한 x = 0은 두 번째 다중도의 근이므로 이를 통과할 때 함수의 부호가 변경되지 않습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

우리는 x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)를 얻습니다. 이 집합은 로그의 ODZ에 완전히 포함되어 있으므로 이것이 답입니다.

로그 부등식의 변환

종종 원래의 부등식은 위의 부등식과 다릅니다. 이것은 로그 작업에 대한 표준 규칙에 따라 쉽게 수정할 수 있습니다. "로그의 기본 속성"을 참조하십시오. 즉:

임의의 숫자는 주어진 밑수를 사용하여 로그로 나타낼 수 있습니다.
밑이 같은 로그의 합과 차이는 단일 로그로 대체될 수 있습니다.

이와 별도로 허용되는 값의 범위에 대해 상기시켜 드리고자 합니다. 원래 부등식에는 여러 로그가 있을 수 있으므로 각 로그의 DPV를 찾아야 합니다. 따라서 로그 부등식을 푸는 일반적인 계획은 다음과 같습니다.

부등식에 포함된 각 로그의 ODZ를 구합니다.
로그 더하기 및 빼기 공식을 사용하여 부등식을 표준 부등식으로 줄입니다.
위의 계획에 따라 결과 부등식을 풉니다.

일. 부등식 해결:

첫 번째 로그의 정의 영역(ODZ) 찾기:

우리는 간격 방법으로 풉니다. 분자의 0 찾기:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

그런 다음 - 분모의 0:

x − 1 = 0;
x = 1.

좌표 화살표에 0과 기호를 표시합니다.

우리는 x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞)를 얻습니다. ODZ의 두 번째 로그는 동일합니다. 내 말을 못 믿겠다면 확인할 수 있다. 이제 밑이 2가 되도록 두 번째 로그를 변환합니다.

보시다시피 밑과 로그 앞의 3배가 줄어들었습니다. 밑이 같은 두 개의 로그를 구합니다. 함께 넣어 봅시다:

로그 2 (x − 1) 2< 2;
로그 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

표준 로그 부등식을 얻었습니다. 우리는 공식에 의해 로그를 제거합니다. 원래 부등식에는 보다 작음 기호가 있으므로 결과로 나오는 유리식도 0보다 작아야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

(f(x) - g(x)) (k(x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

우리는 두 세트를 얻었다:

ODZ: x ∈(−∞ 2/3)∪(1; +∞);
답 후보: x ∈ (−1; 3).

이 세트를 건너는 것이 남아 있습니다. 우리는 진정한 답을 얻습니다.

우리는 집합의 교차에 관심이 있으므로 두 화살표에서 음영 처리된 간격을 선택합니다. 우리는 x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)를 얻습니다. 모든 점에 구멍이 뚫립니다.

시험까지 아직 시간이 있고 준비할 시간이 있다고 생각하십니까? 아마도 이렇습니다. 그러나 어쨌든 학생이 훈련을 일찍 시작할수록 시험에 더 성공적으로 통과합니다. 오늘 우리는 로그 부등식에 대한 기사를 쓰기로 결정했습니다. 이것은 작업 중 하나이며 추가 점수를 얻을 수있는 기회를 의미합니다.

로그(log)가 무엇인지 이미 알고 있습니까? 우리는 정말로 그렇게 되기를 바랍니다. 하지만 이 질문에 대한 답이 없더라도 문제가 되지는 않습니다. 로그가 무엇인지 이해하는 것은 매우 쉽습니다.

왜 정확히 4입니까? 81을 얻으려면 숫자 3을 그러한 거듭제곱으로 올려야 합니다. 원리를 이해하면 더 복잡한 계산을 진행할 수 있습니다.

당신은 몇 년 전에 불평등을 겪었습니다. 그리고 그 이후로 수학에서 끊임없이 그들을 만납니다. 불평등을 해결하는 데 문제가 있는 경우 해당 섹션을 확인하십시오.
이제 개념에 대해 개별적으로 알게되면 일반적으로 고려 사항으로 넘어갈 것입니다.

가장 단순한 로그 부등식.

가장 단순한 로그 부등식은 이 예에 국한되지 않고 부호가 다른 세 가지가 더 있습니다. 이것이 왜 필요한가? 로그를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 더 잘 이해합니다. 이제 우리는 더 적용 가능한 예를 제공합니다. 여전히 매우 간단합니다. 복잡한 로그 부등식은 나중을 위해 남겨둡니다.

그것을 해결하는 방법? 모든 것은 ODZ에서 시작됩니다. 부등식을 항상 쉽게 풀고 싶다면 그것에 대해 더 많이 알아야 합니다.

ODZ는 무엇입니까? 로그 부등식에 대한 DPV

약어는 유효한 값의 범위를 나타냅니다. 시험을 볼 때 이런 표현이 자주 등장합니다. DPV는 로그 부등식의 경우에만 유용하지 않습니다.

위의 예를 다시 보자. 원리를 이해하고 대수 부등식의 솔루션이 문제를 제기하지 않도록 이를 기반으로 ODZ를 고려할 것입니다. 로그 정의에서 2x+4는 0보다 커야 합니다. 우리의 경우 이것은 다음을 의미합니다.

이 숫자는 정의상 양수여야 합니다. 위에 제시된 부등식을 풉니다. 이것은 구두로 할 수도 있습니다. 여기에서 X는 2보다 작을 수 없다는 것이 분명합니다. 불평등의 솔루션은 허용 가능한 값 범위의 정의가 될 것입니다.
이제 가장 간단한 로그 부등식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

우리는 부등식의 두 부분에서 로그 자체를 버립니다. 그 결과 우리에게 남은 것은 무엇입니까? 단순 불평등.

해결하기 쉽습니다. X는 -0.5보다 커야 합니다. 이제 얻은 두 값을 시스템에 결합합니다. 따라서,

이것은 고려된 로그 부등식에 대해 허용되는 값의 영역이 됩니다.

ODZ가 필요한 이유는 무엇입니까? 이것은 올바르지 않고 불가능한 답변을 걸러낼 수 있는 기회입니다. 대답이 허용 가능한 값의 범위 내에 있지 않으면 대답이 의미가 없습니다. 시험에서 종종 ODZ를 검색해야 할 필요가 있고 로그 부등식과 관련이 있기 때문에 이것은 오랫동안 기억할 가치가 있습니다.

로그 부등식을 푸는 알고리즘

솔루션은 여러 단계로 구성됩니다. 먼저, 허용 가능한 값의 범위를 찾아야 합니다. ODZ에는 두 가지 값이 있습니다. 위에서 고려했습니다. 다음 단계는 불평등 자체를 해결하는 것입니다. 해결 방법은 다음과 같습니다.

승수 교체 방법;
분해;
합리화 방법.

상황에 따라 위의 방법 중 하나를 사용해야 합니다. 솔루션으로 바로 가보겠습니다. 거의 모든 경우에 USE 작업을 해결하는 데 적합한 가장 인기 있는 방법을 밝힙니다. 다음으로 분해 방법을 살펴보겠습니다. 특히 "어려운" 불평등을 발견하면 도움이 될 수 있습니다. 그래서, 로그 부등식을 푸는 알고리즘.

솔루션 예시 :

우리가 정확히 그러한 불평등을 취한 것은 헛된 것이 아닙니다! 베이스에주의하십시오. 기억하십시오: 1보다 크면 유효한 값의 범위를 찾을 때 부호가 동일하게 유지됩니다. 그렇지 않으면 부등호를 변경해야 합니다.

결과적으로 다음과 같은 부등식을 얻습니다.

이제 좌변을 0과 같은 방정식 형태로 가져옵니다. "보다 작음" 기호 대신 "같음"을 넣고 방정식을 풉니다. 따라서 우리는 ODZ를 찾을 것입니다. 이러한 간단한 방정식을 푸는 데 문제가 없기를 바랍니다. 답은 -4와 -2입니다. 그게 다가 아니다. 차트에 이러한 점을 표시하고 "+"와 "-"를 배치해야 합니다. 이를 위해 무엇을 해야 합니까? 간격의 숫자를 표현식에 대입합니다. 값이 양수이면 거기에 "+"를 넣습니다.

답변: x는 -4보다 크고 -2보다 작을 수 없습니다.

왼쪽에 대해서만 유효한 값의 범위를 찾았으니 이제 오른쪽에 유효한 값의 범위를 찾아야 합니다. 이것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 답: -2. 수신된 두 영역을 모두 교차합니다.

그리고 이제서야 우리는 불평등 자체를 해결하기 시작합니다.

결정하기 쉽도록 최대한 단순화합시다.

솔루션에서 간격 방법을 다시 사용합니다. 계산을 건너 뛰자. 그와 함께 모든 것이 이전 예에서 이미 명확합니다. 답변.

그러나 이 방법은 대수 부등식의 밑이 동일한 경우에 적합합니다.

다른 밑을 사용하여 로그 방정식과 부등식을 푸는 것은 하나의 밑으로 초기 감소를 포함합니다. 그런 다음 위의 방법을 사용하십시오. 그러나 더 복잡한 경우도 있습니다. 로그 부등식의 가장 복잡한 유형 중 하나를 고려하십시오.

가변 밑이 있는 로그 부등식

이러한 특성으로 불평등을 해결하는 방법은 무엇입니까? 예, 시험에서 찾을 수 있습니다. 다음과 같은 방법으로 불평등을 해결하는 것도 교육 과정에 유익한 영향을 미칠 것입니다. 문제를 자세히 살펴보겠습니다. 이론은 제쳐두고 바로 실습에 들어가겠습니다. 대수 부등식을 해결하려면 한 번 예제에 익숙해지면 충분합니다.

제시된 형태의 대수 부등식을 풀기 위해서는 우변을 같은 밑수를 갖는 대수로 줄여야 합니다. 원리는 동등한 전환과 유사합니다. 결과적으로 불평등은 다음과 같이 보일 것입니다.

사실, 로그가 없는 부등식 시스템을 만드는 것이 남아 있습니다. 합리화 방법을 사용하여 등가 불평등 시스템으로 전달합니다. 적절한 값으로 대체하고 변경 사항을 따를 때 규칙 자체를 이해하게 됩니다. 시스템에는 다음과 같은 부등식이 있습니다.

부등식을 풀 때 합리화 방법을 사용하는 경우 다음 사항을 기억해야 합니다. 밑에서 1을 빼야 합니다. x는 로그의 정의에 따라 부등식의 두 부분(오른쪽에서 왼쪽)에서 뺍니다. 표현식은 곱해지고 0을 기준으로 원래 기호 아래에 설정됩니다.

추가 솔루션은 간격 방법으로 수행되며 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 솔루션 방법의 차이점을 이해하는 것이 중요합니다. 그러면 모든 것이 쉽게 해결될 것입니다.

로그 부등식에는 많은 뉘앙스가 있습니다. 그 중 가장 간단한 것은 충분히 풀 수 있습니다. 문제없이 각각을 해결하도록 만드는 방법은 무엇입니까? 이 기사의 모든 답변을 이미 받았습니다. 이제 당신 앞에는 긴 연습이 있습니다. 시험 내에서 다양한 문제를 푸는 연습을 꾸준히 하면 가장 높은 점수를 받을 수 있을 것입니다. 어려운 일에 행운을 빕니다!