"teori probabilitas dalam tugas-tugas ujian dan oge". Masalah Sederhana dalam Teori Probabilitas

Disajikan hingga saat ini di bank terbuka masalah USE dalam matematika (mathege.ru), solusinya hanya didasarkan pada satu rumus, yang merupakan definisi klasik dari probabilitas.

Cara termudah untuk memahami rumus adalah dengan contoh.
Contoh 1 Di dalam keranjang terdapat 9 bola merah dan 3 bola biru. Bola hanya berbeda dalam warna. Secara acak (tanpa melihat) kami mendapatkan salah satunya. Berapa peluang bahwa bola yang dipilih dengan cara ini akan berwarna biru?

Komentar. Dalam masalah probabilitas, sesuatu terjadi (dalam hal ini, tindakan kita menarik bola) yang dapat terjadi hasil yang berbeda- hasil. Perlu dicatat bahwa hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. "Kami mengeluarkan bola" juga merupakan hasil. "Kami mengeluarkan bola biru" adalah hasilnya. "Kami menarik bola khusus ini dari semua kemungkinan bola" - pandangan hasil yang paling tidak digeneralisasi ini disebut hasil elementer. Ini adalah hasil dasar yang dimaksudkan dalam rumus untuk menghitung probabilitas.

Keputusan. Sekarang kita hitung peluang terambilnya bola biru.
Kejadian A: "bola yang dipilih ternyata berwarna biru"
Jumlah total semua hasil yang mungkin: 9+3=12 (jumlah semua bola yang bisa kita ambil)
Jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa A: 3 (jumlah hasil seperti itu di mana peristiwa A terjadi - yaitu, jumlah bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Mari kita hitung untuk masalah yang sama peluang terambilnya bola merah.
Jumlah hasil yang mungkin akan tetap sama, 12. Jumlah hasil yang diinginkan: 9. Probabilitas yang diinginkan: 9/12=3/4=0,75

Peluang suatu kejadian selalu terletak antara 0 dan 1.
Kadang-kadang dalam percakapan sehari-hari (tetapi tidak dalam teori probabilitas!) probabilitas peristiwa diperkirakan sebagai persentase. Transisi antara penilaian matematis dan percakapan dilakukan dengan mengalikan (atau membagi) dengan 100%.
Jadi,
Dalam hal ini, probabilitasnya adalah nol untuk peristiwa yang tidak mungkin terjadi - tidak mungkin. Misalnya, dalam contoh kita, ini adalah peluang terambilnya bola hijau dari keranjang. (Jumlah hasil yang menguntungkan adalah 0, P(A)=0/12=0 jika dihitung menurut rumus)
Probabilitas 1 memiliki peristiwa yang pasti akan terjadi, tanpa opsi. Misalnya, probabilitas bahwa "bola yang dipilih akan berwarna merah atau biru" adalah untuk masalah kita. (Jumlah hasil yang menguntungkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kami telah melihat contoh klasik yang menggambarkan definisi probabilitas. Semua mirip GUNAKAN tugas menurut teori probabilitas diselesaikan dengan menerapkan rumus ini.
Alih-alih bola merah dan biru, mungkin ada apel dan pir, anak laki-laki dan perempuan, tiket yang dipelajari dan tidak dipelajari, tiket yang berisi dan tidak berisi pertanyaan tentang topik tertentu (prototipe , ), tas rusak dan berkualitas tinggi atau pompa taman (prototipe , ) - prinsipnya tetap sama.

Mereka sedikit berbeda dalam perumusan masalah teori probabilitas USE, di mana Anda perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa yang terjadi pada hari tertentu. ( , ) Seperti pada tugas sebelumnya, Anda perlu menentukan apa yang merupakan hasil dasar, dan kemudian menerapkan rumus yang sama.

Contoh 2 Konferensi ini berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua, masing-masing 15 pembicara, pada hari ketiga - 20. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan jatuh pada hari ketiga, jika urutan laporan ditentukan dengan undian?

Apa hasil dasar di sini? - Menugaskan laporan profesor ke salah satu dari semua nomor seri yang mungkin untuk pidato. 15+15+20=50 orang berpartisipasi dalam undian. Dengan demikian, laporan Profesor M. dapat menerima satu dari 50 nomor. Ini berarti hanya ada 50 hasil dasar.
Apa hasil yang menguntungkan? - Mereka yang ternyata profesor akan berbicara pada hari ketiga. Artinya, 20 angka terakhir.
Menurut rumus, peluang P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Jawaban: 0.4

Pengundian lot di sini adalah pembentukan korespondensi acak antara orang dan tempat yang dipesan. Dalam Contoh 2, pencocokan dipertimbangkan dalam hal tempat mana yang dapat diambil oleh orang tertentu. Anda dapat mendekati situasi yang sama dari sisi lain: yang mana dari orang-orang dengan probabilitas apa yang bisa sampai ke tempat tertentu (prototipe , , , ):

Contoh 3 5 orang Jerman, 8 orang Prancis, dan 3 orang Estonia berpartisipasi dalam pengundian. Berapa probabilitas bahwa yang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir - tidak masalah) adalah orang Prancis.

Banyaknya hasil dasar adalah jumlah semua orang yang mungkin siapa yang bisa, banyak, masuk ke tempat yang diberikan. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menguntungkan - Prancis. 8 orang.
Probabilitas yang diinginkan: 8/16=1/2=0,5
Jawaban: 0,5

Prototipenya sedikit berbeda. Ada tugas tentang koin () dan dadu () yang agak lebih kreatif. Solusi untuk masalah ini dapat ditemukan di halaman prototipe.

Berikut adalah beberapa contoh lemparan koin atau lemparan dadu.

Contoh 4 Ketika kita melempar sebuah koin, berapa peluang mendapatkan ekor?
Hasil 2 - kepala atau ekor. (diyakini bahwa koin tidak pernah jatuh di tepi) Hasil yang menguntungkan - ekor, 1.
Probabilitas 1/2 = 0,5
Jawaban: 0,5.

Contoh 5 Bagaimana jika kita melempar koin dua kali? Berapa probabilitas bahwa itu akan muncul dua kali?
Hal utama adalah menentukan hasil dasar mana yang akan kita pertimbangkan saat melempar dua koin. Setelah melempar dua koin, salah satu hasil berikut dapat terjadi:
1) PP - kedua kali muncul ekor
2) PO - ekor pertama kali, kepala kedua kali
3) OP - kepala pertama kali, ekor kedua kalinya
4) OO - maju dua kali
Tidak ada pilihan lain. Ini berarti ada 4 hasil dasar.Hanya yang pertama menguntungkan, 1.
Probabilitas: 1/4 = 0,25
Jawaban: 0,25

Berapa peluang bahwa dua pelemparan koin akan mendarat di ekor?
Banyaknya hasil dasar adalah sama, 4. Hasil yang menguntungkan adalah yang kedua dan ketiga, 2.
Peluang mendapatkan satu ekor: 2/4 = 0,5

Dalam masalah seperti itu, formula lain mungkin berguna.
Jika dengan satu lemparan koin pilihan kita punya 2 hasil, maka untuk dua kali lemparan hasilnya adalah 2 2=2 2 =4 (seperti contoh 5), untuk tiga kali lemparan 2 2 2=2 3 =8, untuk empat: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … untuk N lemparan ada 2·2·...·2=2 N hasil yang mungkin.

Jadi, Anda dapat menemukan peluang mendapatkan 5 ekor dari 5 pelemparan koin.
Jumlah total hasil dasar: 2 5 =32.
Hasil yang menguntungkan: 1. (RRRRRR - semua 5 kali ekor)
Probabilitas: 1/32 = 0,03125

Hal yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lemparan, ada 6 kemungkinan hasil.Jadi, untuk dua lemparan: 6 6=36, untuk tiga 6 6 6=216, dst.

Contoh 6 Kami melempar dadu. Berapa peluang terambilnya bilangan genap?

Hasil total: 6, sesuai dengan jumlah wajah.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Probabilitas: 3/6 = 0,5

Contoh 7 Lempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya 10 bola? (bulat ke ratusan)

Ada 6 kemungkinan hasil untuk satu dadu. Jadi, untuk dua, menurut aturan di atas, 6·6=36.
Hasil apa yang akan menguntungkan jika total 10 rontok?
10 harus dipecah menjadi jumlah dua angka dari 1 hingga 6. Ini dapat dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Jadi, untuk kubus, opsi dimungkinkan:
(6 di yang pertama dan 4 di yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Secara total, 3 opsi. Probabilitas yang diinginkan: 3/36=1/12=0,08
Jawaban: 0,08

Jenis masalah B6 lainnya akan dibahas dalam salah satu artikel "Cara Mengatasi" berikut.

Deskripsi presentasi pada slide individu:

1 slide

Deskripsi slide:

Tugas utama dalam teori probabilitas Persiapan untuk OGE No. 9 MBOU "Gymnasium No. 4 dinamai. SEBAGAI. Pushkin” Disusun oleh: Sofina N.Yu.

2 slide

Deskripsi slide:

Persyaratan dasar yang dapat diverifikasi untuk persiapan matematika No. 9 OGE dalam matematika Memecahkan masalah praktis yang memerlukan penghitungan opsi yang sistematis; membandingkan peluang terjadinya kejadian acak, mengevaluasi probabilitas kejadian acak, membandingkan dan mengeksplorasi model situasi nyata dengan menggunakan peralatan probabilitas dan statistik. No 9 - tugas dasar. Skor maksimum untuk menyelesaikan tugas adalah 1.

3 slide

Deskripsi slide:

Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyaknya m hasil yang menguntungkan kejadian tersebut terhadap jumlah total n semua kemungkinan kejadian yang tidak sesuai sama yang dapat terjadi sebagai hasil dari satu pengujian atau pengamatan Definisi klasik tentang probabilitas Ingat rumus untuk menghitung probabilitas klasik dari suatu kejadian acak = n m

4 slide

Deskripsi slide:

Definisi klasik dari probabilitas Contoh: Komite Orang Tua membeli 40 halaman mewarnai untuk hadiah kelulusan untuk anak-anak tahun ajaran. Dari jumlah tersebut, 14 didasarkan pada dongeng A.S. Pushkin dan 26 berdasarkan dongeng G.Kh.Andersen. Hadiah dibagikan secara acak. Temukan probabilitas bahwa Nastya akan mendapatkan buku mewarnai berdasarkan dongeng A.S. Pushkin. Solusi: m= 14; n= 14 +26=40 = 14/40= 0,35 Jawaban: 0,35.

5 slide

Deskripsi slide:

Contoh: Ada 60 soal untuk ujian. Ivan tidak belajar 3 dari mereka. Temukan probabilitas bahwa dia akan menemukan pertanyaan yang dipelajari. Solusi: Di sini n=60. Ivan tidak belajar 3, jadi dia belajar sisanya, yaitu. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Definisi klasik dari probabilitas Jawaban: 0.95.

6 slide

Deskripsi slide:

“Urutan ditentukan dengan undian” Contoh: 20 atlet berpartisipasi dalam kejuaraan senam: 8 dari Rusia, 7 dari AS, sisanya dari Cina. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang bahwa atlet kelima berasal dari Cina. Penyelesaian: Pada kondisi soal terdapat kata “ajaib” “banyak”, yang artinya kita melupakan urutan berbicara. Jadi, m= 20-8-7=5 (dari Cina); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Jawaban: 0,25.

7 slide

Deskripsi slide:

Contoh: Sebuah konferensi ilmiah diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - 3 hari pertama, masing-masing 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari ke-4 dan ke-5. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor Ivanov akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi? Solusi: Mari kita masukkan data ke dalam tabel. Kami mendapatkan bahwa m=12; n=75. P=12/75=0,16. Jawaban: 0.16. “Pesanan ditentukan dengan undian” Hari I II III IV V Jumlah Presentasi 17 17 17 12 12 75

8 slide

Deskripsi slide:

Frekuensi peristiwa Dengan cara yang sama seperti probabilitas, frekuensi peristiwa ditemukan, tugas-tugas yang juga ada dalam prototipe. Apa bedanya? Probabilitas adalah nilai yang dapat diprediksi, dan frekuensi adalah pernyataan fakta. Contoh: Peluang sebuah tablet baru akan diperbaiki dalam waktu satu tahun adalah 0,045. Di kota tertentu, dari 1000 tablet yang terjual sepanjang tahun, 51 buah tiba di bengkel garansi. Seberapa berbeda frekuensi kejadian “perbaikan garansi” dengan probabilitasnya di kota ini? Penyelesaian: Tentukan frekuensi kejadian: 51/1000=0,051. Dan probabilitasnya sama dengan 0,045 (by condition), artinya di kota ini peristiwa “perbaikan garansi” lebih sering terjadi daripada yang diperkirakan. Mari kita cari perbedaannya = 0,051- 0,045= 0,006. Pada saat yang sama, kita harus memperhitungkan bahwa tanda perbedaan TIDAK penting bagi kita, tetapi hanya nilai absolutnya. Jawaban: 0,006.

9 slide

Deskripsi slide:

Masalah dengan penghitungan opsi ("koin", "cocok") Misalkan k adalah jumlah lemparan koin, maka jumlah hasil yang mungkin: n = 2k. Contoh: Dalam percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya kepala tepat satu kali. Solusi: Opsi penurunan koin: OO; ATAU; RR; RO. Jadi, n=4. Hasil yang menguntungkan: RR dan RR. Artinya, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Jawaban: 0,5.

10 slide

Deskripsi slide:

Contoh: Sebelum memulai pertandingan sepak bola Wasit melempar koin untuk menentukan tim mana yang akan menguasai bola terlebih dahulu. Tim "Merkurius" bermain secara bergantian dengan tim "Mars", "Jupiter", "Uranus". Tentukan peluang bahwa dalam semua pertandingan hak untuk memiliki bola akan dimenangkan oleh tim "Merkurius"? Masalah dengan penghitungan opsi ("koin", "pertandingan") Solusi: Mari kita tentukan hak kepemilikan bola pertama tim "Merkurius" dalam pertandingan dengan salah satu dari tiga tim lainnya sebagai "Ekor". Maka hak penguasaan bola kedua tim ini adalah “Elang”. Jadi, mari kita tuliskan semua hasil yang mungkin dari pelemparan koin tiga kali. "O" - kepala, "P" - ekor. ; yaitu, n=8; m=1. P=1/8=0,125. Jawaban: 0,125 n = 23 "Mars" "Jupiter" "Uranus"

11 slide

Deskripsi slide:

Soal tentang "dadu" (dadu) Misalkan k adalah jumlah pelemparan dadu, maka banyaknya hasil yang mungkin: n = 6k. Contoh: Dasha melempar dadu dua kali. Temukan probabilitas bahwa totalnya terlempar 8. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Jawaban: 0.14. Solusi: Jumlah kedua dadu harus 8 poin. Hal ini dimungkinkan jika ada kombinasi berikut: 2 dan 6 6 dan 2 3 dan 5 5 dan 3 4 dan 4 m= 5 (5 kombinasi yang cocok) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 slide

Deskripsi slide:

Kejadian bebas dan hukum perkalian Probabilitas menemukan kejadian ke-1, ke-2, dan ke-n ditemukan dengan rumus: = 1*Р2*…*Рn Contoh: Seorang biathlete menembak sasaran sebanyak lima kali. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. Temukan probabilitas bahwa biathlete mengenai target tiga kali pertama dan meleset dari dua yang terakhir. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Jawaban: 0,02. Solusi: Hasil setiap bidikan berikutnya tidak bergantung pada bidikan sebelumnya. Oleh karena itu, peristiwa "tembak pada tembakan pertama", "tembak pada tembakan kedua", dll. mandiri. Probabilitas setiap pukulan adalah 0,8. Jadi peluang salah adalah 1 - 0,8 = 0,2. 1 tembakan: 0,8 2 tembakan: 0,8 3 tembakan: 0,8 4 tembakan: 0,2 5 tembakan: 0,2 ,8 0,2 0,2 = 0,02048 0,02.

13 slide

Deskripsi slide:

Kombinasi hukum "dan" dan hukum "atau" Contoh: Sebuah kantor membeli alat tulis untuk karyawan dari 3 perusahaan yang berbeda. Selain itu, produk dari perusahaan pertama merupakan 40% dari semua pengiriman, dan sisanya dari perusahaan kedua dibagi rata. Ternyata 2% pena dari perusahaan ke-2 rusak. Persentase pernikahan di perusahaan 1 dan 3, masing-masing, adalah 1% dan 3%. Karyawan A mengambil pena dari kiriman baru. Temukan probabilitas bahwa itu akan benar. Solusi: Produk dari perusahaan ke-2 dan ke-3 adalah (100%-40%):2=30% dari persediaan. P(perkawinan) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (pena yang bisa diservis) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Jawaban: 0,981.

Tugas mudah

Ada 25 pai di atas meja: 7 - dengan selai, 9 - dengan kentang, sisanya dengan kol. Berapa probabilitas bahwa kue yang dipilih secara acak akan berisi kubis?

0,36

Taksi tersebut mempekerjakan 40 mobil: 14 merek Lada, 8 merek Renault, 2 merek Mercedes, dan sisanya merek Skoda. Berapa probabilitas bahwa sebuah Mercedes akan datang ke telepon Anda?

0,05

Tentukan peluang munculnya paling sedikit tiga buah dadu ketika sebuah dadu dilempar.

Ira, Dima, Vasya, Natasha dan Andrey lulus standar dalam 60 meter. Berapa peluang gadis itu berlari paling cepat?

Probabilitas bahwa telepon yang dibeli di underpass adalah palsu adalah 0,83. Berapa probabilitas bahwa telepon yang dibeli dalam transisi tidak palsu?

0,17

20 tim ambil bagian dalam turnamen bola basket, termasuk tim "Guys". Semua tim dibagi menjadi 4 grup: A, B, C, D. Berapa peluang tim “Pria” berada di grup A?

0,25

Tas lotere berisi tong bernomor 5 hingga 94 inklusif. Berapa peluang bahwa tong yang diambil dari kantong berisi dua angka? Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat.

0,94

Sebelum ujian, Igor bertahan hingga yang terakhir dan hanya berhasil mempelajari 5 tiket dari 80. Tentukan peluang dia akan menemukan tiket yang dipelajari.

0,0625

Anya menyalakan radio dan secara acak memilih gelombang radio. Secara total, penerima radionya menangkap 20 gelombang radio dan hanya 7 yang masuk saat ini musik sedang diputar. Tentukan peluang Anya jatuh pada gelombang musik.

0,35

Di setiap botol soda kedua puluh, kode dengan kemenangan disembunyikan di bawah tutupnya. Tentukan probabilitas bahwa botol yang dibeli akan memiliki kode pemenang di bawah tutupnya.

0,05

Tugas lebih sulit

Berapa peluang terambilnya 3 angka secara acak yang habis dibagi 5?

0,2

Tinggi (dalam cm) lima siswa dicatat: 166, 158, 132, 136, 170. Berapa perbedaan rata-rata aritmatika dari himpunan bilangan ini dari mediannya?

Menurut statistik sebuah negara kecil, diketahui bahwa kemungkinan bayi yang lahir adalah laki-laki adalah 0,507. Pada tahun 2017, rata-rata ada 486 anak perempuan per 1.000 bayi yang lahir di negara ini. Seberapa berbeda frekuensi kelahiran perempuan pada tahun 2017 di negara ini dengan probabilitas kejadian ini?

0,007

Sebuah dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang bahwa jumlah kedua angka yang terambil adalah 3 atau 7. Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat.

0,22

Berapa peluang terambilnya bilangan tiga angka yang dipilih secara acak habis dibagi 2?

0,5

Tentukan peluang munculnya dua lemparan uang logam tepat satu kali.

0,5

Sebuah dadu dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya angka lebih dari tiga pada kedua kali. Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat.

0,31

Menurut statistik sebuah negara kecil, diketahui bahwa kemungkinan bayi yang lahir adalah laki-laki adalah 0,594. Pada tahun 2017, rata-rata ada 513 anak perempuan per 1.000 bayi yang lahir di negara ini. Seberapa berbeda frekuensi kelahiran perempuan pada tahun 2017 di negara ini dengan probabilitas kejadian ini?

0,107

Tinggi (dalam cm) lima siswa dicatat: 184, 145, 176, 192, 174. Berapa perbedaan rata-rata aritmatika dari himpunan bilangan ini dari mediannya?

1,8

Tinggi rata-rata penduduk desa "Raksasa" adalah 194 cm Tinggi Nikolai Petrovich adalah 195 cm Manakah dari pernyataan berikut yang benar?

1) Tinggi salah satu penduduk desa harus 194 cm.

2) Nikolai Petrovich adalah penduduk desa tertinggi.

3) Pasti akan ada setidaknya satu orang dari desa ini di bawah Nikolai Petrovich.

4) Pasti akan ada setidaknya satu penduduk dari desa ini di bawah Nikolai Petrovich.

Tugas yang sulit

Penembak menembak 4 kali dengan pistol ke sasaran. Probabilitas tepat mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,5. Temukan probabilitas bahwa penembak mengenai target dua kali pertama dan meleset dua yang terakhir.

0,0625

Peluang baterai rusak adalah 0,05. Pelanggan di toko memilih paket acak dengan dua baterai. Tentukan peluang kedua baterai dalam keadaan baik.

0,9025

Penembak menembak sasaran 5 kali berturut-turut. Peluang mengenai sasaran saat ditembakkan adalah 0,7. Temukan probabilitas bahwa penembak mengenai sasaran empat kali pertama dan meleset terakhir kali. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat.

Peristiwa yang terjadi dalam kenyataan atau dalam imajinasi kita dapat dibagi menjadi 3 kelompok. Ini adalah peristiwa tertentu yang pasti akan terjadi, peristiwa yang mustahil, dan peristiwa acak. Teori probabilitas mempelajari peristiwa acak, yaitu peristiwa yang mungkin atau tidak mungkin terjadi. Artikel ini akan disajikan dalam ringkasan rumus teori probabilitas dan contoh pemecahan masalah dalam teori probabilitas, yang akan menjadi tugas ke-4 USE dalam matematika (tingkat profil).

Mengapa kita membutuhkan teori probabilitas

Secara historis, kebutuhan untuk mempelajari masalah ini muncul pada abad ke-17 sehubungan dengan pengembangan dan profesionalisasi berjudi dan munculnya kasino. Itu adalah fenomena nyata yang membutuhkan studi dan penelitian.

Bermain kartu, dadu, rolet menciptakan situasi di mana salah satu dari sejumlah kejadian yang sama kemungkinannya dapat terjadi. Ada kebutuhan untuk memberikan perkiraan numerik tentang kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Pada abad ke-20, menjadi jelas bahwa ilmu pengetahuan yang tampaknya sembrono ini memainkan peran penting dalam memahami proses mendasar yang terjadi dalam mikrokosmos. Telah dibuat teori modern kemungkinan.

Konsep dasar teori probabilitas

Objek studi teori probabilitas adalah kejadian dan probabilitasnya. Jika kejadiannya kompleks, maka dapat dipecah menjadi komponen sederhana, yang probabilitasnya mudah ditemukan.

Jumlah peristiwa A dan B disebut peristiwa C, yang terdiri dari kenyataan bahwa salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa A dan B terjadi pada waktu yang sama.

Hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian C, yang terdiri dari fakta bahwa kejadian A dan kejadian B terjadi.

Peristiwa A dan B dikatakan tidak sesuai jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Suatu peristiwa A dikatakan tidak mungkin jika tidak mungkin terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Suatu peristiwa A disebut pasti jika pasti akan terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Biarkan setiap kejadian A diberi nomor P(A). Angka P(A) ini disebut peluang kejadian A jika kondisi berikut dipenuhi dengan korespondensi seperti itu.

Kasus khusus yang penting adalah situasi ketika ada kemungkinan hasil elementer yang sama, dan hasil yang berubah-ubah ini membentuk kejadian A. Dalam kasus ini, probabilitas dapat diperkenalkan dengan rumus . Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini disebut probabilitas klasik. Dapat dibuktikan bahwa sifat 1-4 berlaku dalam kasus ini.

Masalah dalam teori probabilitas, yang ditemukan pada ujian matematika, terutama terkait dengan probabilitas klasik. Tugas seperti itu bisa sangat sederhana. Sangat sederhana adalah masalah dalam teori probabilitas di versi demo. Sangat mudah untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan, jumlah semua hasil ditulis langsung dalam kondisi.

Kami mendapatkan jawabannya sesuai dengan rumus.

Contoh tugas dari ujian matematika untuk menentukan probabilitas

Ada 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan apel dan 8 dengan nasi. Marina ingin mengambil kue. Berapa peluang dia akan mengambil kue beras tersebut?

Keputusan.

Ada total 20 hasil dasar yang setara, yaitu, Marina dapat mengambil salah satu dari 20 kue. Tetapi kita perlu memperkirakan probabilitas bahwa Marina akan mengambil patty nasi, yaitu, di mana A adalah pilihan patty nasi. Ini berarti bahwa kita memiliki total 8 hasil yang menguntungkan (memilih kue beras), maka probabilitasnya akan ditentukan oleh rumus:

Peristiwa Independen, Berlawanan, dan Sewenang-wenang

Namun, di bank tugas terbuka, lebih dari tugas yang sulit. Oleh karena itu, mari kita menarik perhatian pembaca ke pertanyaan lain yang dipelajari dalam teori probabilitas.

Peristiwa A dan B disebut bebas jika peluang masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada apakah peristiwa yang lain terjadi.

Peristiwa B terdiri dari fakta bahwa peristiwa A tidak terjadi, mis. kejadian B berlawanan dengan kejadian A. Probabilitas kejadian yang berlawanan sama dengan satu dikurangi probabilitas kejadian langsung, mis. .

Teorema penjumlahan dan perkalian, rumus

Untuk kejadian arbitrer A dan B, peluang jumlah kejadian ini sama dengan jumlah peluangnya tanpa peluang kejadian gabungannya, mis. .

Untuk kejadian bebas A dan B, peluang hasil kali kejadian ini sama dengan hasil kali peluangnya, yaitu pada kasus ini .

2 pernyataan terakhir disebut teorema penjumlahan dan perkalian peluang.

Tidak selalu menghitung jumlah hasil begitu sederhana. Dalam beberapa kasus, perlu menggunakan rumus kombinatorik. Yang paling penting adalah menghitung jumlah kejadian yang memenuhi kondisi tertentu. Terkadang perhitungan seperti itu bisa menjadi tugas mandiri.

Dalam berapa cara 6 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk siswa ketiga ada 4 tempat gratis, untuk yang keempat - 3, untuk yang kelima - 2, yang keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tersisa. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produk, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan membaca "enam faktorial".

Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus untuk jumlah permutasi elemen n. Dalam kasus kami, .

Pertimbangkan sekarang kasus lain dengan siswa kami. Dalam berapa cara 2 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produknya.

Dalam kasus umum, jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah penempatan n elemen oleh k elemen

Dalam kasus kami.

Dan yang terakhir dalam seri ini. Berapa banyak cara untuk memilih 3 dari 6 siswa? Siswa pertama dapat dipilih dengan 6 cara, yang kedua dalam 5 cara, dan yang ketiga dalam 4 cara. Namun di antara pilihan tersebut, tiga siswa yang sama muncul sebanyak 6 kali. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menghitung nilainya: . Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah kombinasi elemen demi elemen:

Dalam kasus kami.

Contoh pemecahan masalah dari ujian dalam matematika untuk menentukan probabilitas

Tugas 1. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Ada 30 pai di piring: 3 dengan daging, 18 dengan kubis dan 9 dengan ceri. Sasha secara acak memilih satu kue. Temukan probabilitas bahwa ia berakhir dengan ceri.

Jawaban: 0.3.

Soal 2. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Dalam setiap batch 1000 bola lampu, rata-rata 20 yang rusak. Tentukan peluang terambilnya sebuah bola lampu secara acak dari sebuah batch adalah baik.

Solusi: Jumlah bola lampu yang dapat diservis adalah 1000-20=980. Maka peluang bola lampu yang diambil secara acak dari kelompok akan dapat diservis adalah:

Jawab: 0,98.

Probabilitas siswa U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar pada tes matematika adalah 0,67. Probabilitas bahwa U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar adalah 0,73. Temukan probabilitas bahwa U. memecahkan tepat 9 masalah dengan tepat.

Jika kita membayangkan sebuah garis bilangan dan menandai titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahwa kondisi "U. benar memecahkan tepat 9 masalah" termasuk dalam kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 8 masalah dengan benar", tetapi tidak berlaku untuk kondisi "W. memecahkan lebih dari 9 masalah dengan benar.

Namun, kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar" terdapat dalam kondisi "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar. Jadi, jika kita menunjuk peristiwa: “W. memecahkan tepat 9 masalah dengan benar" - melalui A, "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar" - melalui B, "U. selesaikan lebih dari 9 masalah dengan benar ”melalui C. Maka solusinya akan terlihat seperti ini:

Jawaban: 0,06.

Dalam ujian geometri, siswa menjawab satu pertanyaan dari daftar pertanyaan ujian. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan trigonometri adalah 0,2. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan Sudut Luar adalah 0,15. Tidak ada pertanyaan yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini pada ujian.

Mari kita pikirkan tentang acara apa yang kita miliki. Kami diberi dua peristiwa yang tidak kompatibel. Artinya, pertanyaannya akan berhubungan dengan topik "Trigonometri", atau dengan topik "Sudut luar". Menurut teorema probabilitas, peluang kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian, kita harus mencari jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu:

Jawaban: 0.35.

Ruangan itu diterangi oleh lentera dengan tiga lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,29. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun.

Mari kita pertimbangkan peristiwa yang mungkin terjadi. Kami memiliki tiga bola lampu, yang masing-masing mungkin atau mungkin tidak padam secara independen dari bola lampu lainnya. Ini adalah acara independen.

Kemudian kami akan menunjukkan varian dari acara tersebut. Kami menerima notasi: - bola lampu menyala, - bola lampu padam. Dan segera selanjutnya kita menghitung probabilitas suatu kejadian. Misalnya, peluang kejadian di mana tiga peristiwa independen "bola lampu padam", "bola lampu menyala", "bola lampu menyala" terjadi: .

Perhatikan bahwa hanya ada 7 kejadian yang tidak sesuai yang menguntungkan kita.Probabilitas kejadian tersebut sama dengan jumlah probabilitas dari masing-masing kejadian: .

Jawaban: 0,975608.

Anda dapat melihat masalah lain pada gambar:

Dengan demikian, Anda dan saya memahami apa itu teori probabilitas, rumus, dan contoh pemecahan masalah yang dapat Anda temui dalam versi ujian.

Presentasi ini menyajikan tugas yang paling sering ditemui pada ujian teori probabilitas. Tugas tingkat dasar. Presentasi akan membantu guru dalam pelajaran generalisasi pengulangan, dan siswa dalam Latihan mandiri ke ujian.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun untuk Anda sendiri ( Akun) Google dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

TUGAS KUNCI TEORI PROBABILITAS Bersiap untuk OGE

lempar koin

1. Sebuah koin dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan satu kepala dan satu ekor? Keputusan: Saat melempar satu koin, dua hasil dimungkinkan - "kepala" atau "ekor". Saat melempar dua koin - 4 hasil (2 * 2 = 4): "elang" - "ekor" "ekor" - "ekor" "ekor" - "elang" "elang" - "elang" Satu "elang" dan satu " ekor" akan rontok dalam dua dari empat kasus. P(A)=2:4=0,5. Jawaban: 0,5.

2. Sebuah koin dilempar tiga kali. Berapa peluang terambilnya dua kepala dan satu ekor? Solusi: Saat dilempar tiga koin 8 hasil yang mungkin (2*2*2=8): "elang" - "ekor" - "ekor" "ekor" - "ekor" - "ekor" "ekor" - "kepala" - "ekor" "kepala" - "elang" - "ekor" "ekor" - "ekor" - "kepala" "ekor" - "elang" - "elang" "elang" - "ekor" - "elang" "elang" - "elang" - " elang" » Dua "elang" dan satu "ekor" akan rontok tiga kasus dari delapan. P(A)=3:8=0,375. Jawaban: 0,375.

3. Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar empat kali. Temukan probabilitas bahwa kepala tidak akan pernah muncul. Solusi: Saat melempar empat koin, 16 hasil yang mungkin terjadi: (2*2*2*2=16): Hasil yang menguntungkan - 1 (empat ekor akan rontok). P(A)=1:16=0,0625. Jawaban: 0,0625.

PERMAINAN DADU

4. Tentukan peluang munculnya lebih dari tiga angka pada saat dadu dilempar. Penyelesaian: Ada total 6 kemungkinan hasil.Bilangan besar adalah 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Jawaban: 0,5.

5. Sebuah dadu dilempar. Temukan peluang mendapatkan jumlah poin genap. Solusi: Total hasil yang mungkin - 6. 1, 3, 5 - angka ganjil; 2, 4, 6 adalah bilangan genap. Peluang terambil angka genap adalah 3:6=0,5. Jawaban: 0,5.

6. Dalam suatu percobaan acak, dua buah dadu dilempar. Tentukan peluang mendapatkan total 8 poin. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Solusi: Tindakan ini - melempar dua dadu memiliki total 36 kemungkinan hasil, karena 6² = 36. Hasil yang menguntungkan: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Peluang mendapatkan delapan poin adalah 5:36 0,14. Jawaban: 0.14.

7. Lempar dadu dua kali. Secara total, 6 poin jatuh. Temukan peluang mendapatkan 5 pada salah satu gulungan. Keputusan: Total hasil 6 poin - 5: 2 dan 4; 4 dan 2; 3 dan 3; 1 dan 5; 5 dan 1. Hasil yang menguntungkan - 2. P(A)=2:5=0,4. Jawaban: 0.4.

8. Ada 50 tiket dalam ujian, Timofey tidak mempelajari 5 di antaranya. Temukan probabilitas bahwa dia akan mendapatkan tiket yang dipelajari. Solusi: Timofey mempelajari 45 tiket. P(A)=45:50=0,9. Jawaban: 0.9.

KOMPETISI

9. 20 atlet berpartisipasi dalam kejuaraan senam: 8 dari Rusia, 7 dari AS, sisanya dari China. Urutan kinerja ditentukan oleh lot. Tentukan peluang atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Cina. Solusi: Hasil total 20. Hasil yang menguntungkan 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Jawaban: 0,25.

10. 4 atlet dari Perancis, 5 dari Inggris dan 3 dari Italia datang ke kompetisi lempar tembakan. Urutan penampilan ditentukan dengan undian. Tentukan peluang bahwa atlet kelima berasal dari Italia. Penyelesaian: Banyaknya semua hasil yang mungkin adalah 12 (4 + 5 + 3 = 12). Banyaknya hasil yang menguntungkan adalah 3. P(A)=3:12=0,25. Jawaban: 0,25.

11. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan bulu tangkis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan undian. Secara total, 26 pemain bulu tangkis berpartisipasi dalam kejuaraan, termasuk 12 peserta dari Rusia, termasuk Vladimir Orlov. Tentukan peluang bahwa pada ronde pertama Vladimir Orlov akan bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia? Keputusan: Hasil total - 25 (Vladimir Orlov dengan 25 pemain bulu tangkis). Hasil yang menguntungkan - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Jawaban: 0,44.

12. Kompetisi performer diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 pertunjukan diumumkan - satu dari masing-masing negara. Ada 27 pertunjukan pada hari pertama, sisanya didistribusikan secara merata di hari-hari yang tersisa. Urutan penampilan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa penampilan perwakilan Rusia akan berlangsung pada hari ketiga kompetisi? Keputusan: Hasil total - 75. Penampil dari Rusia tampil di hari ketiga. Hasil yang menguntungkan - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Jawaban: 0.16.

13. Kolya memilih nomor dua digit. Tentukan peluang habis dibagi 5. Solusi: Bilangan dua angka: 10;11;12;…;99. Hasil total - 90. Angka habis dibagi 5 : 10; limabelas; 20; 25; …; 90; 95. Hasil yang menguntungkan - 18. P(A)=18:90=0.2. Jawaban: 0.2.

TUGAS BERBEDA UNTUK MENENTUKAN PROBABILITAS

14. Pabrik memproduksi tas. Rata-rata, untuk setiap 170 tas berkualitas, ada enam tas dengan cacat tersembunyi. Temukan probabilitas bahwa tas yang dibeli akan berkualitas tinggi. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Solusi: Hasil total - 176. Hasil yang menguntungkan - 170. (А)=170:176 0.97. Jawaban: 0,97.

15. Rata-rata, dari setiap 100 baterai yang terjual, 94 baterai terisi. Temukan probabilitas bahwa baterai yang dibeli tidak terisi daya. Solusi: Hasil total - 100. Hasil yang menguntungkan - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Jawaban: 0,06.

SUMBER http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru