Rumus trigonometri jumlah sinus dan cosinus. Beli ijazah pendidikan tinggi dengan harga murah

Pertanyaan yang paling sering diajukan

Apakah mungkin untuk membuat segel pada dokumen sesuai dengan sampel yang disediakan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirim salinan atau foto yang dipindai ke alamat email kami kualitas baik dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Apa jenis pembayaran yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen pada saat diterima oleh kurir, setelah Anda memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas ijazah. Ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman uang tunai.
Semua persyaratan pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian "Pembayaran dan Pengiriman". Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Bisakah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan Anda tidak akan hilang dengan uang saya? Menjawab Kami memiliki pengalaman yang cukup panjang di bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai bagian negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen sehari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah ketenagakerjaan atau pindah ke tempat lain pekerjaan bergaji tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara pelanggan kami, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukannya. Selain itu, tidak mungkin melakukannya secara fisik: Anda membayar pesanan Anda pada saat menerimanya di tangan Anda, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini telah terbentuk database dokumen yang hampir lengkap yang dikeluarkan oleh hampir seluruh universitas di dalam dan luar negeri. tahun yang berbeda penerbitan. Yang Anda butuhkan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus saya lakukan jika saya menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda untuk memeriksa semua detail dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidaktepatan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, dan Anda harus menunjukkan kekurangan yang terdeteksi secara pribadi kepada kurir atau di menulis dengan mengirimkan surat kepada surel.
Sesegera mungkin, kami akan memperbaiki dokumen dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan dibayar oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirim tata letak dokumen mendatang ke email pelanggan untuk verifikasi dan persetujuan. versi akhir. Sebelum mengirim dokumen melalui kurir atau surat, kami juga melakukan foto tambahan dan video (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran visual tentang apa yang Anda dapatkan pada akhirnya.

Apa yang perlu Anda lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di situs web kami atau memberikan email Anda sehingga kami mengirimkan formulir kuesioner, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali kepada kami.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan di kolom formulir pemesanan/kuesioner, biarkan kosong. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Alexei:

Saya perlu mendapatkan ijazah untuk mendapatkan pekerjaan sebagai manajer. Dan yang terpenting, saya memiliki pengalaman dan keterampilan, tetapi tanpa dokumen saya tidak bisa, saya akan mendapatkan pekerjaan di mana saja. Setelah di situs Anda, saya masih memutuskan untuk membeli ijazah. Ijazah selesai dalam 2 hari! Sekarang saya memiliki pekerjaan yang tidak pernah saya impikan sebelumnya!! Terima kasih!

Rumus untuk jumlah dan selisih sinus dan cosinus untuk dua sudut dan memungkinkan Anda untuk beralih dari jumlah sudut yang ditunjukkan ke produk dari sudut + 2 dan - 2 . Kami segera mencatat bahwa Anda tidak boleh mengacaukan rumus untuk jumlah dan selisih sinus dan cosinus dengan rumus sinus dan cosinus dari jumlah dan selisih. Di bawah ini kami mencantumkan rumus-rumus ini, memberikan turunannya dan menunjukkan contoh penerapan untuk masalah tertentu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

Mari kita tuliskan seperti apa rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

Rumus jumlah dan selisih untuk sinus

sin + sin = 2 sin + 2 cos - β 2 sin - sin = 2 sin - 2 cos + β 2

Rumus jumlah dan selisih untuk cosinus

cos + cos = 2 cos + β 2 cos - β 2 cos - cos = - 2 sin + β 2 cos - 2, cos α - cos = 2 sin + 2 β - 2

Rumus ini berlaku untuk setiap sudut dan . Sudut + 2 dan - 2 masing-masing disebut setengah jumlah dan selisih setengah dari sudut alfa dan beta. Kami memberikan formulasi untuk setiap formula.

Definisi rumus jumlah dan selisih untuk sinus dan cosinus

Jumlah sinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali sinus jumlah setengah dari sudut-sudut ini dan cosinus dari selisih setengah.

Selisih sinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali sinus selisih setengah dari sudut-sudut ini dan cosinus dari setengah jumlah tersebut.

Jumlah cosinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali kosinus setengah jumlah dan kosinus selisih setengah sudut-sudut ini.

Selisih kosinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali sinus setengah jumlah dan kosinus selisih setengah sudut-sudut ini, diambil dengan tanda negatif.

Turunan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

Untuk mendapatkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus dua sudut, digunakan rumus penjumlahan. Kami menyajikannya di bawah ini

sin (α + β) = sin cos + cos sin sin (α - ) = sin cos - cos α sin cos (α + ) = cos α cos - sin α sin cos ( - ) = cos cos + sin sin

Kami juga menyatakan sudut itu sendiri sebagai jumlah setengah jumlah dan setengah selisih.

\u003d + 2 + - 2 \u003d 2 + 2 + 2 - 2 \u003d + 2 - - 2 \u003d 2 + 2 - 2 + 2

Kami melanjutkan langsung ke turunan dari rumus jumlah dan perbedaan untuk sin dan cos.

Turunan rumus jumlah sinus

Dalam penjumlahan sin + sin , kita ganti dan dengan ekspresi untuk sudut-sudut yang diberikan di atas. Mendapatkan

sin + sin = sin + 2 + - 2 + sin + 2 - - 2

Sekarang kita terapkan rumus penambahan ke ekspresi pertama, dan rumus sinus dari perbedaan sudut ke yang kedua (lihat rumus di atas)

sin + β 2 + - 2 = sin + 2 cos - 2 + cos α + 2 sin - β 2 sin + 2 - - 2 = sin + β 2 cos - 2 - cos α + β 2 sin - β 2 sin + β 2 + - 2 + sin + 2 - - 2 = sin α + β 2 cos - 2 + cos α + 2 sin - 2 + sin + β 2 cos - 2 - cos + 2 sin - 2

sin + β 2 cos - 2 + cos + β 2 sin - β 2 + sin + β 2 cos - 2 - cos + β 2 sin - 2 = = 2 sin + β 2 karena - 2

Langkah-langkah untuk menurunkan sisa formula serupa.

Turunan rumus selisih sinus

sin - sin = sin + 2 + - 2 - sin + 2 - - 2 sin + 2 + - 2 - sin + 2 - - 2 = sin + β 2 cos - 2 + cos + 2 sin - 2 - sin + 2 cos - β 2 - cos + β 2 sin - 2 = = 2 sin - 2 karena + 2

Turunan rumus jumlah cosinus

cos α + cos = cos + 2 + - 2 + cos + β 2 - - 2 cos + 2 + - 2 + cos + 2 - - 2 = cos + β 2 cos - β 2 - sin + β 2 sin - 2 + cos α + 2 cos - β 2 + sin + 2 sin - 2 = = 2 cos α + β 2 karena - 2

Turunan dari rumus selisih kosinus

cos - cos = cos + 2 + - 2 - cos + 2 - - 2 cos + 2 + - 2 - cos α + 2 - - 2 = cos + β 2 cos α - β 2 - sin + β 2 sin - β 2 - cos α + 2 cos - 2 + sin + β 2 sin - 2 = = - 2 sin + β 2 dosa - 2

Contoh pemecahan masalah praktis

Untuk memulainya, kami akan memeriksa salah satu rumus dengan memasukkan nilai sudut tertentu ke dalamnya. Misalkan = 2 , = 6 . Mari kita hitung nilai jumlah sinus sudut-sudut ini. Pertama, mari kita gunakan tabel nilai dasar fungsi trigonometri, dan kemudian menerapkan rumus untuk jumlah sinus.

Contoh 1. Memeriksa rumus jumlah sinus dua sudut

\u003d π 2, β \u003d π 6 sin 2 + sin 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin 2 + sin 6 \u003d 2 sin 2 + π 6 2 cos π 2 - 6 2 \u003d 2 dosa 3 cos 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus ketika nilai sudut berbeda dari nilai dasar yang disajikan dalam tabel. Misalkan = 165 °, = 75 °. Mari kita hitung nilai selisih antara sinus sudut-sudut ini.

Contoh 2. Menerapkan rumus selisih sinus

= 165 ° , = 75 ° sin - sin = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Menggunakan rumus untuk jumlah dan selisih sinus dan cosinus, Anda dapat beralih dari jumlah atau selisih ke produk fungsi trigonometri. Seringkali formula ini disebut formula untuk transisi dari jumlah ke produk. Rumus untuk jumlah dan selisih sinus dan cosinus banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketika mengubah ekspresi trigonometri.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Cosinus jumlah dan selisih dua sudut

Pada bagian ini, dua rumus berikut akan dibuktikan:

cos (α + ) = cos cos - sin sin , (1)

cos (α - ) = cos cos + sin sin . (2)

Cosinus dari jumlah (selisih) dua sudut sama dengan produk dari cosinus dari sudut-sudut ini dikurangi (ditambah) produk dari sinus sudut-sudut ini.

Akan lebih mudah bagi kita untuk memulai dengan pembuktian rumus (2). Untuk mempermudah, pertama-tama mari kita asumsikan bahwa sudut α dan β memenuhi kondisi berikut:

1) masing-masing sudut ini non-negatif dan kurang dari 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Biarkan bagian positif dari sumbu 0x menjadi sisi awal yang sama dari sudut α dan β .

Mari kita nyatakan sisi-sisi ujung sudut-sudut ini masing-masing sebagai 0A dan 0B. Jelas sudutnya α - β dapat dianggap sebagai sudut yang diperlukan untuk memutar balok 0B di sekitar titik 0 berlawanan arah jarum jam sehingga arahnya bertepatan dengan arah balok 0A.

Pada sinar 0A dan 0B, kita tandai titik M dan N yang berjarak 1 dari titik asal koordinat 0, sehingga 0M = 0N = 1.

Dalam sistem koordinat x0y, titik M memiliki koordinat ( cosα, sinα), dan titik N - koordinat ( cos , dosa). Jadi kuadrat jarak keduanya adalah :

d 1 2 = (cos - cos ) 2 + (sin - sin ) 2 = cos 2 - 2 cos cos +

+ cos 2 + sin 2 - 2sin sin + sin 2 = .

Dalam perhitungan, kami menggunakan identitas

sin 2 + cos 2 = 1.

Sekarang perhatikan sistem koordinat lain B0C, yang diperoleh dengan memutar sumbu 0x dan 0y di sekitar titik 0 berlawanan arah jarum jam dengan sudut β .

Dalam sistem koordinat ini, titik M memiliki koordinat (cos ( α - β ), dosa ( α - β )), dan titiknya adalah koordinat N (1,0). Jadi kuadrat jarak keduanya adalah :

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - ) - 2 cos (α - ) + 1 +

+ sin 2 (α - ) \u003d 2.

Tetapi jarak antara titik M dan N tidak bergantung pada sistem koordinat mana yang kita anggap titik-titik ini. Jadi

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos cos - sin sin ) = 2 .

Di sinilah rumus (2) berikut.

Sekarang kita harus mengingat dua batasan yang telah kita terapkan untuk kesederhanaan presentasi di sudut α dan β .

Persyaratan bahwa setiap sudut α dan β adalah non-negatif, tidak terlalu signifikan. Lagi pula, sudut yang merupakan kelipatan 2n dapat ditambahkan ke salah satu sudut ini, yang tidak akan mempengaruhi validitas rumus (2) dengan cara apa pun. Demikian pula, dari setiap sudut yang diberikan, Anda dapat mengurangi sudut yang merupakan kelipatan dari 2π. Oleh karena itu, dapat dianggap bahwa 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Kondisi α > β . Memang, jika α < β , kemudian β >α ; oleh karena itu, dengan mempertimbangkan kemerataan fungsi karena X , kita mendapatkan:

cos (α - ) = cos (β - ) = cos cos + sin sin ,

yang pada dasarnya bertepatan dengan rumus (2). Jadi rumusnya

cos (α - ) = cos cos + sin sin

benar untuk semua sudut α dan β . Secara khusus, dengan mengganti β di - β dan mengingat bahwa fungsi karenaX genap, dan fungsi dosaX ganjil, kita peroleh:

cos (α + ) = cos [α - (- )] = cos cos (-β) + sin sin (-β) =

\u003d cos cos - sin sin ,

yang membuktikan rumus (1).

Dengan demikian, rumus (1) dan (2) terbukti.

Contoh.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Latihan

1 . Hitung tanpa menggunakan tabel trigonometri:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos / 8 + sin 3π / 8 sin / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Sederhanakan ekspresi:

sebuah). karena ( α + / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) dosa ( α - 24°).

di). dosa (π / 4 - α ) dosa (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α dosa 2 α .

3 . Menghitung :

sebuah) cos (α - ), jika

karena = - 2 / 5 , dosa = - 5 / 13 ;

90 °< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + / 6) jika cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Mencari cos(α + ) dan karena (α - β) , jika diketahui bahwa dosa α = 7/25 cos β = - 5 / 13 dan kedua sudut ( α dan β ) berakhir pada kuartal yang sama.

5 .Menghitung:

sebuah). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

di). cos [arctg 1/2 + arccos (- 2)]