Ցանկացած լեզու կարող է արտահայտել նույն տեղեկատվությունը տարբեր բառերև շրջանառությունները։ Մաթեմատիկական լեզուն բացառություն չէ։ Բայց նույն արտահայտությունը կարելի է համարժեք գրել տարբեր ձևերով։ Իսկ որոշ իրավիճակներում գրառումներից մեկն ավելի պարզ է: Այս դասում մենք կխոսենք արտահայտությունների պարզեցման մասին:

Մարդիկ շփվում են տարբեր լեզուներով. Մեզ համար կարևոր համեմատություն է «Ռուսաց լեզու - մաթեմատիկական լեզու» զույգը։ Նույն տեղեկատվությունը կարող է հաղորդվել տարբեր լեզուներով: Բայց, բացի սրանից, մեկ լեզվով այն կարելի է տարբեր կերպ արտասանել։

Օրինակ՝ «Պետրն ընկեր է Վասյայի հետ», «Վասյան ընկեր է Պետյայի հետ», «Պետերն ու Վասյան ընկերներ են»։ Այլ կերպ ասաց, բայց մեկ ու նույնը. Այս արտահայտություններից որևէ մեկով մենք կհասկանայինք, թե ինչն է վտանգված:

Եկեք նայենք այս արտահայտությանը. «Տղան Պետյան և տղան Վասյան ընկերներ են»: Մենք հասկանում ենք, թե ինչ հարցականի տակ. Այնուամենայնիվ, մեզ դուր չի գալիս, թե ինչպես է հնչում այս արտահայտությունը: Չե՞նք կարող պարզեցնել, նույնը ասել, բայց ավելի պարզ: «Տղա և տղա» - կարող եք մեկ անգամ ասել. «Տղաներ Պետյան և Վասյան ընկերներ են»:

«Տղաներ» ... Նրանց անուններից չի՞ պարզվում, որ նրանք աղջիկ չեն։ Մենք հեռացնում ենք «տղաներին»՝ «Պետյան և Վասյան ընկերներ են»։ Իսկ «ընկերներ» բառը կարելի է փոխարինել «ընկերներով»՝ «Պետյան և Վասյան ընկերներ են»։ Արդյունքում առաջին, երկար, տգեղ արտահայտությունը փոխարինվեց համարժեք արտահայտությամբ, որն ավելի հեշտ է ասել և հասկանալի: Մենք պարզեցրել ենք այս արտահայտությունը. Պարզեցնել՝ նշանակում է ավելի հեշտ ասել, բայց չկորցնել, իմաստը չխեղաթյուրել։

Նույնը տեղի է ունենում մաթեմատիկական լեզվում. Նույն բանը կարելի է տարբեր կերպ ասել. Ի՞նչ է նշանակում պարզեցնել արտահայտությունը: Սա նշանակում է, որ սկզբնական արտահայտության համար կան բազմաթիվ համարժեք արտահայտություններ, այսինքն՝ նույն բանը նշանակող արտահայտություններ։ Եվ այս ամբողջ բազմությունից մենք պետք է ընտրենք ամենապարզը, մեր կարծիքով, կամ ամենահարմարը մեր հետագա նպատակների համար։

Օրինակ, հաշվի առեք թվային արտահայտություն: Դա համարժեք կլինի.

Այն նաև համարժեք կլինի առաջին երկուսին. .

Ստացվում է, որ մենք պարզեցրել ենք մեր արտահայտությունները և գտել ամենակարճ համարժեք արտահայտությունը։

Թվային արտահայտությունների համար միշտ պետք է կատարել ամբողջ աշխատանքը և ստանալ համարժեք արտահայտությունը որպես մեկ թիվ:

Դիտարկենք բառացի արտահայտության օրինակ . Ակնհայտ է, որ դա ավելի պարզ կլինի։

Բառացի արտահայտությունները պարզեցնելիս պետք է կատարել բոլոր հնարավոր գործողությունները:

Մի՞շտ է անհրաժեշտ արտահայտությունը պարզեցնել: Ոչ, երբեմն մեզ համար ավելի հարմար կլինի համարժեք, բայց ավելի երկար նշումը։

ՕրինակԹիվը հանել թվից:

Հնարավոր է հաշվարկել, բայց եթե առաջին թիվը ներկայացվեր իր համարժեք նշումով՝ , ապա հաշվարկները կլինեն ակնթարթային՝ .

Այսինքն՝ պարզեցված արտահայտությունը միշտ չէ, որ մեզ ձեռնտու է հետագա հաշվարկների համար։

Այնուամենայնիվ, շատ հաճախ մենք բախվում ենք մի խնդրի, որը պարզապես հնչում է որպես «պարզեցնել արտահայտությունը»:

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

Որոշում

1) Կատարեք գործողություններ առաջին և երկրորդ փակագծերում.

2) Հաշվարկել արտադրանքը. .

Ակնհայտ է, որ վերջին արտահայտությունն ավելի պարզ ձև ունի, քան սկզբնականը։ Մենք դա պարզեցրել ենք։

Արտահայտությունը պարզեցնելու համար այն պետք է փոխարինել համարժեքով (հավասար):

Համարժեք արտահայտությունը որոշելու համար դուք պետք է.

1) կատարել բոլոր հնարավոր գործողությունները.

2) հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործել գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման հատկությունները.

Գումարման և հանման հատկությունները.

1. Գումարի փոխադարձ հատկություն՝ ժամկետների վերադասավորումից գումարը չի փոխվում։

2. Գումարի ասոցիատիվ հատկություն. երկու թվերի գումարին երրորդ թիվ ավելացնելու համար կարելի է առաջին թվին ավելացնել երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը։

3. Թվից գումար հանելու հատկությունը՝ թվից գումարը հանելու համար կարելի է յուրաքանչյուր անդամ հանել առանձին։

Բազմապատկման և բաժանման հատկությունները

1. Բազմապատկման կոմուտատիվ հատկություն. արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից:

2. Ասոցիատիվ հատկություն. թիվը երկու թվերի արտադրյալով բազմապատկելու համար կարելի է նախ այն բազմապատկել առաջին գործակցով, իսկ հետո ստացված արտադրյալը բազմապատկել երկրորդ գործակցով։

3. Բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը՝ թիվը գումարով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել յուրաքանչյուր անդամով առանձին։

Տեսնենք, թե իրականում ինչպես ենք մտավոր հաշվարկներ անում:

Հաշվարկել:

Որոշում

1) Պատկերացրեք, թե ինչպես

2) Առաջին գործակիցը ներկայացնենք որպես գումար բիթ պայմաններև կատարիր բազմապատկումը՝

3) կարող եք պատկերացնել, թե ինչպես և կատարել բազմապատկում.

4) առաջին գործակիցը փոխարինել համարժեք գումարով.

Բաշխիչ օրենքը կարող է օգտագործվել նաև հակառակ ուղղությամբ.

Հետևեք այս քայլերին.

1) 2)

Որոշում

1) Հարմարության համար կարող եք օգտագործել բաշխման օրենքը, պարզապես օգտագործեք այն հակառակ ուղղությամբ՝ փակագծերից հանեք ընդհանուր գործոնը:

2) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը

Խոհանոցում և միջանցքում անհրաժեշտ է գնել լինոլեում։ Խոհանոցի տարածք - միջանցք -. Լինոլեումի երեք տեսակ կա՝ համար և ռուբլու համար։ Որքա՞ն կարժենա լինոլեումի երեք տեսակներից յուրաքանչյուրը: (նկ. 1)

Բրինձ. 1. Խնդրի վիճակի նկարազարդում

Որոշում

Մեթոդ 1. Առանձին կարող եք գտնել, թե որքան գումար կպահանջվի խոհանոցում լինոլեում գնելու համար, այնուհետև այն ավելացնել միջանցքում և գումարել ստացված աշխատանքները։

Արտահայտություններ, արտահայտությունների փոխակերպում

Ուժային արտահայտություններ (արտահայտություններ ուժերով) և դրանց փոխակերպումը

Այս հոդվածում մենք կխոսենք ուժերով արտահայտությունները փոխակերպելու մասին։ Նախ, մենք կկենտրոնանանք փոխակերպումների վրա, որոնք կատարվում են ցանկացած տեսակի արտահայտություններով, ներառյալ ուժային արտահայտությունները, ինչպիսիք են փակագծերը բացելը, նմանատիպ տերմինների կրճատումը: Եվ այնուհետև մենք կվերլուծենք փոխակերպումները, որոնք հատուկ են աստիճաններով արտահայտություններին. աշխատել հիմքի և աստիճանի հետ, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները և այլն:

Էջի նավարկություն.

Որոնք են ուժային արտահայտությունները:

«Ուժի արտահայտություններ» տերմինը գործնականում չի հանդիպում մաթեմատիկայի դպրոցական դասագրքերում, բայց այն հաճախ հանդիպում է առաջադրանքների հավաքածուներում, որոնք հատկապես նախագծված են, օրինակ, միասնական պետական ​​քննությանը և OGE-ին նախապատրաստվելու համար: Առաջադրանքները վերլուծելուց հետո, որոնցում պահանջվում է որևէ գործողություններ կատարել ուժային արտահայտություններով, պարզ է դառնում, որ ուժային արտահայտությունները հասկացվում են որպես աստիճաններ պարունակող արտահայտություններ իրենց մուտքերում: Հետևաբար, ինքներդ ձեզ համար կարող եք վերցնել հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում.

Ուժի արտահայտություններուժեր պարունակող արտահայտություններ են։

Եկեք բերենք ուժային արտահայտությունների օրինակներ. Ավելին, մենք դրանք կներկայացնենք ըստ այն մասին, թե ինչպես է տեղի ունենում տեսակետների զարգացումը բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանից մինչև իրական ցուցիչ ունեցող աստիճան:

Ինչպես գիտեք, սկզբում տեղի է ունենում ծանոթություն բնական ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանի հետ, այս փուլում 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, տիպի առաջին պարզագույն ուժային արտահայտությունները. 1) 4, 3 a 2 −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 և այլն:

Քիչ ավելի ուշ ուսումնասիրվում է ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը, ինչը հանգեցնում է բացասական ամբողջ թվով հզորության արտահայտությունների ի հայտ գալուն, ինչպիսին է 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2:

Ավագ դասարաններում նորից վերադառնում են աստիճանների։ Ներդրված է դիպլոմ ռացիոնալ ցուցանիշ, ինչը հանգեցնում է համապատասխան ուժային արտահայտությունների ի հայտ գալուն. , , և այլն: Ի վերջո, համարվում են իռացիոնալ ցուցիչներով և դրանք պարունակող արտահայտություններով աստիճաններ.

Հարցը չի սահմանափակվում թվարկված հզորության արտահայտություններով. հետագայում փոփոխականը ներթափանցում է ցուցիչի մեջ, և կան, օրինակ, այդպիսի արտահայտություններ 2 x 2 +1 կամ. . Իսկ ծանոթանալուց հետո սկսում են հայտնվել հզորություններով և լոգարիթմներով արտահայտություններ, օրինակ՝ x 2 lgx −5 x lgx։

Այսպիսով, մենք պարզեցինք այն հարցը, թե որոնք են ուժի արտահայտությունները: Հաջորդը, մենք կսովորենք, թե ինչպես դրանք վերափոխել:

Ուժային արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Ուժային արտահայտություններով դուք կարող եք կատարել արտահայտությունների ինքնության հիմնական փոխակերպումներից որևէ մեկը: Օրինակ՝ կարող եք ընդլայնել փակագծերը, թվային արտահայտությունները փոխարինել իրենց արժեքներով, ավելացնել նման տերմիններ և այլն։ Բնականաբար, այս դեպքում անհրաժեշտ է պահպանել գործողություններ կատարելու ընդունված կարգը։ Օրինակներ բերենք.

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 2 3 ·(4 2 −12) հզորության արտահայտության արժեքը։

Որոշում.

Գործողությունների հերթականության համաձայն՝ նախ կատարում ենք գործողությունները փակագծերում։ Այնտեղ նախ 4 2-ի հզորությունը փոխարինում ենք նրա 16 արժեքով (տես անհրաժեշտության դեպքում), և երկրորդ՝ հաշվում ենք 16−12=4 տարբերությունը։ Մենք ունենք 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Ստացված արտահայտության մեջ 2 3-ի հզորությունը փոխարինում ենք նրա 8 արժեքով, որից հետո հաշվում ենք 8·4=32 արտադրյալը։ Սա ցանկալի արժեք է:

Այսպիսով, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Պատասխան.

2 3 (4 2 −12)=32 .

Օրինակ.

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունները 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Որոշում.

Ակնհայտ է, որ այս արտահայտությունը պարունակում է նմանատիպ տերմիններ 3 · a 4 · b − 7 և 2 · a 4 · b − 7, և մենք կարող ենք դրանք կրճատել.

Պատասխան.

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Օրինակ.

Արտահայտեք արտահայտությունը հզորություններով որպես արտադրանք:

Որոշում.

Առաջադրանքը հաղթահարելու համար թույլ է տալիս 9 թիվը ներկայացնել որպես 3 2-ի ուժ և հետագայում օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևը, քառակուսիների տարբերությունը.

Պատասխան.

Կան նաև մի շարք նույնական փոխակերպումներ, որոնք բնորոշ են ուժային արտահայտություններին: Հաջորդը, մենք կվերլուծենք դրանք:

Աշխատում է բազայի և ցուցիչի հետ

Կան աստիճաններ, որոնց հիմքում և/կամ ցուցիչում ոչ միայն թվեր կամ փոփոխականներ են, այլ որոշ արտահայտություններ։ Որպես օրինակ գրենք (2+0.3 7) 5−3.7 և (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Նմանատիպ արտահայտությունների հետ աշխատելիս և՛ աստիճանի հիմքում, և՛ ցուցիչի արտահայտությունը կարող են նույնական փոխարինվել հավասար արտահայտությունիր փոփոխականների ODZ-ի վրա։ Այսինքն, ըստ մեզ հայտնի կանոնների, մենք կարող ենք առանձին վերափոխել աստիճանի հիմքը, իսկ առանձին՝ ցուցիչը։ Հասկանալի է, որ այս փոխակերպման արդյունքում ստացվում է մի արտահայտություն, որը նույնականորեն հավասար է սկզբնականին։

Նման փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս պարզեցնել արտահայտությունները ուժերով կամ հասնել մեզ անհրաժեշտ այլ նպատակների: Օրինակ՝ վերը նշված (2+0.3 7) 5−3.7 հզորության արտահայտության մեջ կարելի է գործողություններ կատարել հիմքում և ցուցիչում թվերով, ինչը թույլ կտա գնալ 4.1 1.3 հզորության։ Իսկ փակագծերը բացելուց և աստիճանի հիմքում համանման տերմիններ բերելուց հետո (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) ավելի շատ ուժային արտահայտություն ենք ստանում. պարզ ձևա 2 (x+1) .

Power Properties-ի օգտագործումը

Իշխանություններով արտահայտությունները փոխակերպելու հիմնական գործիքներից մեկը հավասարություններն են, որոնք արտացոլում են. Հիշենք հիմնականները. Ցանկացած դրական a և b թվերի համար և կամայական իրական թվեր r և s-ն ունեն աստիճանների հետևյալ հատկությունները.

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ա բ) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Նկատի ունեցեք, որ բնական, ամբողջական և դրական ցուցանիշների համար a և b թվերի սահմանափակումները կարող են այդքան էլ խիստ չլինել: Օրինակ, համար բնական թվեր m և n a m ·a n =a m+n հավասարությունը ճշմարիտ է ոչ միայն դրական a-ի, այլև բացասականների համար, իսկ a=0-ի համար:

Դպրոցում ուժային արտահայտությունների փոխակերպման մեջ հիմնական ուշադրությունը կենտրոնացած է հենց ընտրելու ունակության վրա հարմար գույքև ճիշտ կիրառել: Այս դեպքում աստիճանների հիմքերը սովորաբար դրական են, ինչը թույլ է տալիս առանց սահմանափակումների օգտագործել աստիճանների հատկությունները։ Նույնը վերաբերում է աստիճանների հիմքերում փոփոխականներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպմանը. փոփոխականների ընդունելի արժեքների միջակայքը սովորաբար այնպիսին է, որ հիմքերը դրա վրա վերցնում են միայն դրական արժեքներ, ինչը թույլ է տալիս ազատորեն օգտագործել հատկությունները: աստիճանների։ Ընդհանրապես, դուք պետք է անընդհատ ինքներդ ձեզ հարցնեք, թե արդյոք այս դեպքում հնարավո՞ր է կիրառել աստիճանների որևէ հատկություն, քանի որ հատկությունների ոչ ճշգրիտ օգտագործումը կարող է հանգեցնել ODZ-ի նեղացման և այլ խնդիրների: Այս կետերը մանրամասնորեն և օրինակներով քննարկվում են աստիճանների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպման հոդվածում: Այստեղ մենք սահմանափակվում ենք մի քանի պարզ օրինակներով:

Օրինակ.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 արտահայտությունն արտահայտե՛ք a բազային հզորությամբ:

Որոշում.

Նախ, մենք փոխակերպում ենք երկրորդ գործոնը (a 2) −3 հզորությունը հզորության բարձրացման հատկությամբ. (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Այս դեպքում սկզբնական հզորության արտահայտությունը կունենա a 2.5 ·a −6:a −5.5 ձև: Ակնհայտ է, որ մնում է օգտագործել նույն հիմքով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները, ունենք.
ա 2,5 ա -6:ա -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2:

Պատասխան.

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Հզորության հատկությունները օգտագործվում են ուժային արտահայտությունները ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ փոխակերպելիս:

Օրինակ.

Գտե՛ք ուժային արտահայտության արժեքը:

Որոշում.

Հավասարությունը (a·b) r =a r ·b r, կիրառված աջից ձախ, թույլ է տալիս սկզբնական արտահայտությունից անցնել ձևի արտադրյալին և ավելին: Իսկ ուժերը բազմապատկելիս նույն հիմքերըցուցանիշները գումարվում են. .

Բնօրինակ արտահայտության փոխակերպումը հնարավոր էր կատարել այլ կերպ.

Պատասխան.

.

Օրինակ.

Հաշվի առնելով a 1.5 −a 0.5 −6 հզորության արտահայտությունը, մուտքագրեք նոր փոփոխական t=a 0.5:

Որոշում.

Ա 1,5 աստիճանը կարող է ներկայացվել որպես 0,5 3 և հետագայում՝ ելնելով աստիճանի հատկությունից աջից ձախ կիրառվող աստիճանի (a r) s =a r s, փոխակերպել այն (a 0,5) 3 ձևի։ Այսպիսով, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Այժմ հեշտ է ներմուծել նոր փոփոխական t=a 0.5, ստանում ենք t 3 −t−6:

Պատասխան.

t 3 −t−6 .

Հզորություններ պարունակող կոտորակների փոխակերպում

Հզոր արտահայտությունները կարող են պարունակել հզորություններ ունեցող կոտորակներ կամ ներկայացնել այդպիսի կոտորակներ: Կոտորակների հիմնական փոխակերպումները, որոնք բնորոշ են ցանկացած տեսակի կոտորակների, լիովին կիրառելի են այդպիսի կոտորակների համար: Այսինքն՝ աստիճաններ պարունակող կոտորակները կարող են կրճատվել, վերածվել նոր հայտարարի, աշխատել իրենց համարիչով առանձին և հայտարարի հետ առանձին և այլն։ Վերոնշյալ բառերը պատկերացնելու համար դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունը .

Որոշում.

Այս ուժային արտահայտությունը կոտորակ է: Եկեք աշխատենք նրա համարիչի և հայտարարի հետ։ Համարիչում բացում ենք փակագծերը և դրանից հետո ստացված արտահայտությունը պարզեցնում ենք՝ օգտագործելով հզորությունների հատկությունները, իսկ հայտարարում ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

Եվ նաև փոխում ենք հայտարարի նշանը՝ կոտորակի դիմաց մինուս դնելով. .

Պատասխան.

.

Կոտորակների պարունակող հզորությունների կրճատումը նոր հայտարարի վրա կատարվում է այնպես, ինչպես կրճատումը դեպի նոր հայտարար. ռացիոնալ կոտորակներ. Միաժամանակ գտնվում է նաև լրացուցիչ գործակից և կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են դրանով։ Այս գործողությունը կատարելիս հարկ է հիշել, որ կրճատումը նոր հայտարարի կարող է հանգեցնել DPV-ի նեղացման: Որպեսզի դա տեղի չունենա, անհրաժեշտ է, որ լրացուցիչ գործոնը չվերանա սկզբնական արտահայտության համար ODZ փոփոխականներից փոփոխականների որևէ արժեքի համար:

Օրինակ.

Կոտորակները բերե՛ք նոր հայտարարի. ա) a հայտարարին, բ) հայտարարին։

Որոշում.

ա) Այս դեպքում բավականին հեշտ է պարզել, թե ինչ լրացուցիչ գործոն է օգնում հասնել ցանկալի արդյունքի։ Սա 0.3 բազմապատկիչ է, քանի որ 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Նկատի ունեցեք, որ a փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքում (սա բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է) a 0.3 աստիճանը չի վերանում, հետևաբար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել տվյալ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը։ այս լրացուցիչ գործոնով.

բ) Ավելի ուշադիր նայելով հայտարարին, մենք գտնում ենք, որ

և այս արտահայտությունը բազմապատկելով կստացվի խորանարդների գումարը և, այսինքն. Եվ սա այն նոր հայտարարն է, որին պետք է բերենք սկզբնական կոտորակը։

Այսպիսով, մենք գտանք լրացուցիչ գործոն: Արտահայտությունը չի անհետանում x և y փոփոխականների ընդունելի արժեքների միջակայքում, հետևաբար, մենք կարող ենք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել դրանով.

Պատասխան.

ա) , բ) .

Ոչ մի նոր բան չկա նաև աստիճաններ պարունակող կոտորակների կրճատման մեջ՝ համարիչն ու հայտարարը ներկայացված են որպես որոշակի թվով գործակիցներ, իսկ համարիչի ու հայտարարի նույն գործակիցները կրճատվում են։

Օրինակ.

Փոքրացնել կոտորակը. ա) , բ).

Որոշում.

ա) Նախ, համարիչը և հայտարարը կարելի է կրճատել 30 և 45 թվերով, որը հավասար է 15-ի: Բացի այդ, ակնհայտորեն, դուք կարող եք նվազեցնել x 0.5 +1-ով և ըստ . Ահա թե ինչ ունենք.

բ) Այս դեպքում համարիչի և հայտարարի նույն գործոնները անմիջապես տեսանելի չեն: Դրանք ստանալու համար դուք պետք է կատարեք նախնական վերափոխումներ: Այս դեպքում դրանք բաղկացած են հայտարարի տարրալուծումից՝ ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

Պատասխան.

ա)

բ) .

Կոտորակները նոր հայտարարի վերածելը և կոտորակները կրճատելը հիմնականում օգտագործվում է կոտորակների վրա գործողություններ կատարելու համար։ Գործողությունները կատարվում են ըստ հայտնի կանոնների. Կոտորակներ գումարելիս (հանելիս) դրանք վերածվում են ընդհանուր հայտարարի, որից հետո համարիչները գումարվում (հանվում են), իսկ հայտարարը մնում է նույնը։ Ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը՝ հայտարարների արտադրյալը։ Կոտորակի վրա բաժանումը բազմապատկվում է նրա փոխադարձով:

Օրինակ.

Հետևեք քայլերին .

Որոշում.

Նախ հանում ենք փակագծերի կոտորակները։ Դա անելու համար մենք դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որն է , ապա հանել համարիչները.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք կոտորակները.

Ակնհայտորեն հնարավոր է կրճատում x 1/2 հզորությամբ, որից հետո ունենք .

Կարող եք նաև պարզեցնել հզորության արտահայտությունը հայտարարում՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը. .

Պատասխան.

Օրինակ.

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունը .

Որոշում.

Ակնհայտ է, որ այս կոտորակը կարող է կրճատվել (x 2.7 +1) 2-ով, սա տալիս է կոտորակը. . Հասկանալի է, որ x-ի հզորություններով այլ բան է պետք անել։ Դա անելու համար մենք ստացված մասնիկը վերածում ենք արտադրանքի: Սա մեզ հնարավորություն է տալիս օգտագործելու նույն հիմքերով ուժերը բաժանելու հատկությունը. . Իսկ պրոցեսի վերջում վերջին արտադրյալից անցնում ենք կոտորակին։

Պատասխան.

.

Եվ մենք ավելացնում ենք, որ հնարավոր է և շատ դեպքերում ցանկալի է բացասական ցուցիչներով գործակիցները փոխանցել համարիչից հայտարարին կամ հայտարարից համարիչին՝ փոխելով աստիճանի նշանը։ Նման փոխակերպումները հաճախ պարզեցնում են հետագա գործողությունները: Օրինակ, հզորության արտահայտությունը կարող է փոխարինվել .

Արմատներով և ուժերով արտահայտությունների փոխակերպում

Հաճախ արտահայտություններում, որոնցում պահանջվում են որոշ փոխակերպումներ, աստիճանների հետ կոտորակային ցուցիչներով, կան նաև արմատներ։ Նման արտահայտությունը փոխարկելու համար ճիշտ տեսակ, շատ դեպքերում բավական է գնալ միայն արմատներին կամ միայն իշխանություններին։ Բայց քանի որ աստիճանների հետ աշխատելն ավելի հարմար է, դրանք սովորաբար արմատներից աստիճաններ են շարժվում։ Այնուամենայնիվ, նպատակահարմար է իրականացնել նման անցում, երբ սկզբնական արտահայտության համար փոփոխականների ODZ-ը թույլ է տալիս արմատները փոխարինել աստիճաններով՝ առանց մոդուլ մուտք գործելու կամ ODZ-ը մի քանի ընդմիջումների բաժանելու անհրաժեշտության (մենք մանրամասն քննարկել ենք դա Հոդված, անցում արմատներից դեպի ուժեր և հակառակը Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանին ծանոթանալուց հետո ներկայացվում է իռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, որը հնարավորություն է տալիս խոսել կամայական իրական ցուցանիշով աստիճանի մասին: Այս փուլում դպրոցը սկսում է սովորել էքսպոնենցիալ ֆունկցիա , որը վերլուծական կերպով տրվում է աստիճանով, որի հիմքում կա թիվ, իսկ ցուցիչում՝ փոփոխական։ Այսպիսով, մենք բախվում ենք աստիճանի հիմքում թվեր պարունակող էքսպոնենցիալ արտահայտությունների, իսկ աստիճանի մեջ՝ փոփոխականներով արտահայտությունների, և բնականաբար անհրաժեշտություն է առաջանում կատարել այդպիսի արտահայտությունների փոխակերպումներ։

Պետք է ասել, որ նշված տիպի արտահայտությունների վերափոխումը սովորաբար պետք է կատարվի լուծելիս էքսպոնենցիալ հավասարումներև էքսպոնենցիալ անհավասարություններ , և այս փոխակերպումները բավականին պարզ են։ Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դրանք հիմնված են աստիճանի հատկությունների վրա և հիմնականում ուղղված են ապագայում նոր փոփոխականի ներդրմանը։ Հավասարումը թույլ կտա մեզ ցույց տալ դրանք 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Նախ, այն աստիճանները, որոնց ցուցիչներում գտնված է որոշ փոփոխականի (կամ փոփոխականներով արտահայտության) և թվի գումարը, փոխարինվում են արտադրյալներով։ Սա վերաբերում է ձախ կողմի արտահայտության առաջին և վերջին տերմիններին.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Հաջորդը, հավասարության երկու մասերը բաժանվում են 7 2 x արտահայտությամբ, որը սկզբնական հավասարման համար ընդունում է միայն դրական արժեքներ x փոփոխականի ODZ-ի վրա (սա ստանդարտ տեխնիկա է այս կարգի հավասարումների լուծման համար, մենք չենք. խոսելով դրա մասին հիմա, այնպես որ կենտրոնացեք ուժերով արտահայտությունների հետագա փոխակերպումների վրա):

Այժմ ուժերով կոտորակները չեղյալ են հայտարարվում, ինչը տալիս է .

Ի վերջո, նույն ցուցիչներով հզորությունների հարաբերակցությունը փոխարինվում է գործակիցների հզորություններով, ինչը հանգեցնում է հավասարման. , որը համարժեք է . Կատարված փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս ներմուծել նոր փոփոխական, որը սկզբնական էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը նվազեցնում է քառակուսի հավասարման լուծմանը.

I. V. Boikov, L. D. RomanovaՔննությանը նախապատրաստվելու առաջադրանքների հավաքածու. Մաս 1. Պենզա 2003 թ.

Հանրահաշվական արտահայտությունը, որի գրառման մեջ գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունների հետ մեկտեղ օգտագործվում է նաև բաժանումը բառացի արտահայտությունների, կոչվում է կոտորակային հանրահաշվական արտահայտություն: Այդպիսիք են, օրինակ, արտահայտությունները

Հանրահաշվական կոտորակը մենք անվանում ենք հանրահաշվական արտահայտություն, որն ունի երկու ամբողջ հանրահաշվական արտահայտությունների (օրինակ՝ միանդամների կամ բազմանդամների) բաժանման գործակիցի ձև։ Այդպիսիք են, օրինակ, արտահայտությունները

արտահայտությունների երրորդը):

Կոտորակի հանրահաշվական արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումները մեծ մասամբ նախատեսված են դրանք ձևով ներկայացնելու համար. հանրահաշվական կոտորակ. Ընդհանուր հայտարար գտնելու համար օգտագործվում է կոտորակների հայտարարների ֆակտորիզացիան՝ տերմինները՝ դրանց նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար: Հանրահաշվական կոտորակները կրճատելիս կարող է խախտվել արտահայտությունների խիստ նույնականությունը. անհրաժեշտ է բացառել այն մեծությունների արժեքները, որոնց դեպքում անհետանում է այն գործոնը, որով կատարվում է կրճատումը:

Բերենք կոտորակային հանրահաշվական արտահայտությունների նույնական փոխակերպումների օրինակներ։

Օրինակ 1. Պարզեցնել արտահայտությունը

Բոլոր տերմինները կարող են կրճատվել ընդհանուր հայտարարի (հարմար է փոխել նշանը վերջին անդամի հայտարարի և դրա դիմացի նշանի մեջ).

Մեր արտահայտությունը հավասար է մեկին բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ այս արժեքների, այն սահմանված չէ, և կոտորակի կրճատումն անօրինական է):

Օրինակ 2. Արտահայտությունը ներկայացրու հանրահաշվական կոտորակի տեսքով

Որոշում. Արտահայտությունը կարելի է ընդունել որպես ընդհանուր հայտարար. Հաջորդաբար գտնում ենք.

Զորավարժություններ

1. Գտեք հանրահաշվական արտահայտությունների արժեքները պարամետրերի նշված արժեքների համար.

2. Գործոնացնել.

Math-Calculator-Online v.1.0

Հաշվիչը կատարում է հետևյալ գործողությունները՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, տասնորդական թվերի հետ աշխատանք, արմատից հանում, հզորության բարձրացում, տոկոսների հաշվարկ և այլ գործողություններ:

Որոշում:

Ինչպես օգտագործել մաթեմատիկական հաշվիչը

Բանալի	Նշանակում	Բացատրություն
5	0-9 թվեր	Արաբական թվեր. Մուտքագրեք բնական ամբողջ թվեր, զրո: Բացասական ամբողջ թիվ ստանալու համար սեղմեք +/- ստեղնը
.	ստորակետ)	Տասնորդական բաժանարար: Եթե ​​կետից առաջ թվանշան չկա (ստորակետ), հաշվիչը ավտոմատ կերպով կփոխարինի կետից առաջ զրո: Օրինակ՝ գրվելու է .5 - 0.5
+	գումարած նշան	Թվերի գումարում (ամբողջական, տասնորդական կոտորակներ)
-	մինուս նշան	Թվերի հանում (ամբողջական, տասնորդական կոտորակներ)
÷	բաժանման նշան	Թվերի բաժանում (ամբողջական, տասնորդական կոտորակներ)
X	բազմապատկման նշան	Թվերի բազմապատկում (ամբողջ թվեր, տասնորդականներ)
√	արմատ	Արմատի հանում թվից. Երբ կրկին սեղմում եք «արմատ» կոճակը, արմատը հաշվարկվում է արդյունքից: Օրինակ՝ քառակուսի արմատ 16 = 4; քառակուսի արմատ 4 = 2
x2	քառակուսի	Թվի քառակուսում. Երբ կրկին սեղմում եք «քառակուսի» կոճակը, արդյունքը քառակուսի է դառնում, օրինակ՝ քառակուսի 2 = 4; քառակուսի 4 = 16
1/x	մաս	Ելք մինչև տասնորդական: 1 համարիչում, հայտարարում՝ մուտքային թիվը
%	տոկոսը	Ստացեք թվի տոկոսը: Աշխատելու համար պետք է մուտքագրել՝ թիվը, որից կհաշվարկվի տոկոսը, նշանը (գումարած, մինուս, բաժանել, բազմապատկել), քանի տոկոս թվային տեսքով, «%» կոճակը։
(	բաց փակագիծ	Բաց փակագիծ՝ գնահատման առաջնահերթությունը սահմանելու համար: Պահանջվում է փակ փակագիծ: Օրինակ՝ (2+3)*2=10
)	փակ փակագիծ	Փակ փակագիծ՝ գնահատման առաջնահերթությունը սահմանելու համար: Պահանջվում է առկայություն բաց փակագիծ
±	գումարած մինուս	Փոխում է նշանը հակառակի
=	հավասար է	Ցույց է տալիս լուծման արդյունքը: Նաև միջանկյալ հաշվարկները և արդյունքը ցուցադրվում են հաշվիչի վերևում՝ «Լուծում» դաշտում:
←	կերպարի ջնջում	Ջնջում է վերջին նիշը
Հետ	վերակայել	Վերականգնել կոճակը: Ամբողջովին վերականգնում է հաշվիչը «0»

Առցանց հաշվիչի ալգորիթմը օրինակներով

Հավելում.

Ամբողջ բնական թվերի գումարում ( 5 + 7 = 12 )

Ամբողջ բնական և բացասական թվերի գումարում ( 5 + (-2) = 3 )

Տասնորդական հավելում կոտորակային թվեր { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

հանում.

Ամբողջ բնական թվերի հանում ( 7 - 5 = 2 )

Ամբողջ բնական և բացասական թվերի հանում ( 5 - (-2) = 7 )

Տասնորդական կոտորակային թվերի հանում (6,5 - 1,2 = 4,3)

Բազմապատկում.

Ամբողջ բնական թվերի արտադրյալը (3 * 7 = 21)

Ամբողջ բնական և բացասական թվերի արտադրյալը ( 5 * (-3) = -15 )

Տասնորդական կոտորակային թվերի արտադրյալ (0,5 * 0,6 = 0,3)

Բաժանում.

Ամբողջ բնական թվերի բաժանում ( 27 / 3 = 9 )

Ամբողջ բնական և բացասական թվերի բաժանում ( 15 / (-3) = -5 )

Տասնորդական կոտորակային թվերի բաժանում (6.2 / 2 = 3.1)

Արմատի հանում թվից.

Ամբողջ թվի արմատի հանում (արմատ(9) = 3)

Տասնորդականների արմատի հանում (արմատ (2.5) = 1.58)

Արմատը հանելով թվերի գումարից (արմատ (56 + 25) = 9)

Թվերի տարբերության արմատի հանում (արմատ (32 - 7) = 5)

Թվի քառակուսում.

Ամբողջ թվի քառակուսում ( (3) 2 = 9 )

Տասնորդականների քառակուսում ( (2.2) 2 = 4.84 )

Փոխարկել տասնորդական կոտորակների:

Թվի տոկոսների հաշվարկ

Բարձրացրեք 230-ը 15%-ով (230 + 230 * 0.15 = 264.5)

Նվազեցրե՛ք 510 թիվը 35%-ով ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

140 թվի 18%-ը ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Հարմար և պարզ առցանց հաշվիչՄանրամասն լուծմամբ կոտորակներՄիգուցե:

• Գումարել, հանել, բազմապատկել և բաժանել ֆրակցիաներ առցանց,
• Ստանալ բանտապահ լուծումկոտորակները նկարով և հարմար է այն փոխանցել։



Կոտորակների լուծման արդյունքը կլինի այստեղ ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Կոտորակի նշան «/» + - * :
_wipe Clear
Կոտորակի մեր առցանց հաշվիչը արագ մուտքագրում է. Կոտորակների լուծումը ստանալու համար, օրինակ, պարզապես գրեք 1/2+2/7 հաշվիչի մեջ և սեղմել « լուծել կոտորակները«. Հաշվիչը ձեզ կգրի մանրամասն լուծումկոտորակներըև թողարկում պատճենահանման համար հարմար պատկեր.

Հաշվիչում գրելու համար օգտագործվող նիշերը

Լուծման օրինակ կարող եք մուտքագրել ինչպես ստեղնաշարից, այնպես էլ կոճակների միջոցով:

Առցանց կոտորակային հաշվիչի առանձնահատկությունները

Կոտորակի հաշվիչը կարող է գործողություններ կատարել միայն 2 պարզ կոտորակներով: Դրանք կարող են լինել կամ ճիշտ (համարիչը հայտարարից փոքր է) կամ սխալ (համարիչը մեծ է հայտարարից)։ Համարիչի և հայտարարի թվերը չեն կարող լինել բացասական և 999-ից մեծ։
Մեր առցանց հաշվիչը լուծում է կոտորակները և բերում դրանց պատասխանը ճիշտ ձև- կրճատում է կոտորակը և անհրաժեշտության դեպքում ընդգծում ամբողջ մասը:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել բացասական կոտորակները, պարզապես օգտագործեք մինուս հատկությունները: Բացասական կոտորակները բազմապատկելիս և բաժանելիս մինուսը մինուս տալիս է գումարած: Այսինքն՝ բացասական կոտորակների արտադրյալը և բաժանումը հավասար է նույն դրականների արտադրյալին և բաժանմանը։ Եթե ​​մեկ կոտորակը բազմապատկելիս կամ բաժանելիս բացասական է, ապա պարզապես հանեք մինուսը և ավելացրեք այն պատասխանին: Բացասական կոտորակներ ավելացնելիս արդյունքը կլինի նույնը, ինչ եթե դուք գումարում եք նույն դրական կոտորակները: Եթե ​​ավելացնեք մեկ բացասական կոտորակ, ապա դա նույնն է, ինչ նույն դրականը հանեք:
Բացասական կոտորակները հանելիս արդյունքը կլինի նույնը, ինչ եթե դրանք հակադարձվեն և դրական լինեն: Այսինքն՝ մինուսը մինուսով այս դեպքում տալիս է գումարած, իսկ գումարը չի փոխվում տերմինների վերադասավորումից։ Կոտորակներ հանելիս օգտագործում ենք նույն կանոնները, որոնցից մեկը բացասական է։

Խառը կոտորակները լուծելու համար (կոտորակներ, որոնցում ընդգծված է ամբողջ մասը), պարզապես ամբողջ մասը քշել կոտորակի մեջ: Դա անելու համար ամբողջ թիվը բազմապատկեք հայտարարով և ավելացրեք համարիչին:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է առցանց լուծել 3 կամ ավելի կոտորակ, ապա դրանք պետք է լուծեք մեկ առ մեկ: Նախ հաշվեր առաջին 2 կոտորակները, հետո ստացված պատասխանով լուծիր հաջորդ կոտորակը և այլն։ Հերթով կատարե՛ք գործողություններ 2 կոտորակների համար, և վերջում կստանաք ճիշտ պատասխանը։