տուն > Գյուղատնտեսություն

Բաց փակագիծը թիվ է։ Ընդլայնվող փակագծեր - Գիտելիքի հիպերմարկետ

Փակագծերը օգտագործվում են թվային և այբբենական արտահայտություններում, ինչպես նաև փոփոխականներով արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը ցույց տալու համար։ Փակագծերով արտահայտությունից հարմար է անցնել նույնականի հավասար արտահայտությունառանց փակագծերի. Այս տեխնիկան կոչվում է փակագծերի բացում:

Ընդլայնել փակագծերը նշանակում է ազատել այս փակագծերի արտահայտությունը:

Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի մեկ այլ կետ, որը վերաբերում է փակագծերը բացելիս լուծումների գրման առանձնահատկություններին։ Սկզբնական արտահայտությունը կարող ենք փակագծերով գրել և փակագծերը բացելուց հետո ստացված արդյունքը հավասարություն գրել։ Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտության փոխարեն
3−(5−7) ստանում ենք 3−5+7 արտահայտությունը։ Այս երկու արտահայտությունները կարող ենք գրել որպես 3−(5−7)=3−5+7 հավասարություն։

Եվ ևս մեկ կարևոր կետ. Մաթեմատիկայի մեջ գրառումները նվազեցնելու համար ընդունված է չգրել գումարած նշան, եթե այն առաջինն է արտահայտության մեջ կամ փակագծերում։ Օրինակ, եթե գումարենք երկու դրական թիվ, օրինակ՝ յոթ և երեք, ապա գրում ենք ոչ թե +7 + 3, այլ պարզապես 7 + 3, չնայած այն հանգամանքին, որ յոթը նույնպես դրական թիվ է։ Նմանապես, եթե տեսնում եք, օրինակ, (5 + x) արտահայտությունը - իմացեք, որ փակագծի դիմաց կա գումարած, որը գրված չէ, իսկ դիմացը կա գումարած + (+5 + x): հինգ.

Ավելացման համար փակագծերի ընդլայնման կանոն

Փակագծերը բացելիս, եթե փակագծերից առաջ կա պլյուս, ապա փակագծերի հետ միասին այս պլյուսը բաց է թողնվում:

Օրինակ. Բացեք 2 + (7 + 3) արտահայտության փակագծերը պլյուս փակագծերից առաջ, ապա փակագծերում թվերի դիմացի նիշերը չեն փոխվում։

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Փակագծերը հանելիս ընդլայնելու կանոնը

Եթե ​​փակագծերից առաջ մինուս կա, ապա այս մինուսը փակագծերի հետ միասին բաց է թողնվում, բայց այն տերմինները, որոնք եղել են փակագծերում, փոխում են իրենց նշանը հակառակի։ Փակագծերում առաջին անդամից առաջ նշանի բացակայությունը ենթադրում է + նշան:

Օրինակ. Բացեք փակագծերը 2 - (7 + 3) արտահայտության մեջ

Փակագծերից առաջ մինուս կա, այնպես որ դուք պետք է փոխեք նշանները փակագծերի թվերից առաջ: 7 թվից առաջ փակագծերում նշան չկա, ինչը նշանակում է, որ յոթը դրական է, համարվում է, որ դրա դիմաց + նշանն է։

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Փակագծերը բացելիս օրինակից հանում ենք մինուսը, որը եղել է փակագծերից առաջ, իսկ իրենք՝ փակագծերը 2 − (+ 7 + 3), իսկ փակագծերում եղած նշանները փոխում ենք հակառակի։

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Բազմապատկելիս փակագծերի ընդլայնում

Եթե ​​փակագծերի դիմաց կա բազմապատկման նշան, ապա փակագծերի ներսում յուրաքանչյուր թիվը բազմապատկվում է փակագծերի դիմացի գործակցով։ Միևնույն ժամանակ, մինուսը մինուսով բազմապատկելը տալիս է գումարած, իսկ մինուսը պլյուսով բազմապատկելը, ինչպես գումարածը մինուսով բազմապատկելը, տալիս է մինուս:

Այսպիսով, արտադրյալներում փակագծերը ընդլայնվում են բազմապատկման բաշխիչ հատկության համաձայն:

Օրինակ. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Փակագծերը փակագծերով բազմապատկելիս առաջին փակագծերի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է երկրորդ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամի հետ:

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Իրականում բոլոր կանոնները հիշելու կարիք չկա, բավական է հիշել միայն մեկը, այս մեկը՝ c(a−b)=ca−cb։ Ինչո՞ւ։ Որովհետև եթե c-ի փոխարեն մեկը փոխարինենք, կստացվի (a−b)=a−b կանոնը։ Իսկ եթե փոխարինենք մինուս մեկ, ապա կստանանք −(a−b)=−a+b կանոնը։ Դե, եթե c-ի փոխարեն մեկ այլ փակագիծ եք փոխարինում, կարող եք ստանալ վերջին կանոնը:

Բաժանելիս բացիր փակագծերը

Եթե ​​փակագծերից հետո կա բաժանման նշան, ապա փակագծերի ներսում յուրաքանչյուր թիվ բաժանվում է փակագծերից հետո բաժանարարի վրա և հակառակը։

Օրինակ. (9 + 6)՝ 3=9: 3 + 6: 3

Ինչպես ընդլայնել տեղադրված փակագծերը

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է տեղադրված փակագծեր, ապա դրանք ընդլայնվում են ըստ հերթականության՝ սկսած արտաքինից կամ ներքինից։

Միևնույն ժամանակ, փակագծերից մեկը բացելիս կարևոր է չդիպչել մյուս փակագծերին, պարզապես վերաշարադրել դրանք այնպես, ինչպես կան:

Օրինակ. 12 - (ա + (6 - բ) - 3) = 12 - ա - (6 - բ) + 3 = 12 - ա - 6 + բ + 3 = 9 - ա + բ

ձևավորել փակագծեր բացելու հնարավորություն՝ հաշվի առնելով փակագծերի դիմացի նշանը.

  • զարգացող:
    • զարգացնել տրամաբանական մտածողություն, ուշադրություն, մաթեմատիկական խոսք, վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու ունակություն;
  • մանկավարժներ:
    • պատասխանատվության ձևավորում, առարկայի նկատմամբ ճանաչողական հետաքրքրություն

    Դասերի ընթացքում

    I. Կազմակերպչական պահ.

    Ստուգիր, ընկեր
    Պատրա՞ստ եք դասին։
    Արդյո՞ք ամեն ինչ իր տեղում է: Ամեն ինչ լավ է?
    Գրիչ, գիրք և նոթատետր:
    Բոլորը ճի՞շտ են նստած։
    Բոլորը ուշադիր հետևո՞ւմ են:

    Ես ուզում եմ սկսել դասը ձեզ համար հարցով.

    Ի՞նչ եք կարծում, ո՞րն է ամենաթանկը երկրի վրա: (Երեխաների պատասխանները):

    Այս հարցը հազարավոր տարիներ անհանգստացրել է մարդկությանը։ Ահա հայտնի գիտնական Ալ-Բիրունիի պատասխանը. «Գիտելիքը ամենահիանալի սեփականությունն է: Բոլորը ձգտում են դրան, բայց դա ինքնին չի գալիս»։

    Թող այս խոսքերը լինեն մեր դասի նշանաբանը։

    II. Նախկին գիտելիքների, հմտությունների, հմտությունների ակտուալացում.

    Բանավոր հաշվում.

    1.1. Ո՞րն է այսօրվա ամսաթիվը:

    2. Ի՞նչ գիտեք 20 թվի մասին:

    3. Իսկ որտե՞ղ է գտնվում այս թիվը կոորդինատային գծում։

    4. Անվանիր նրա հակադարձի թիվը։

    5. Անվանի՛ր դրան հակառակ թիվը։

    6. Ինչպե՞ս է կոչվում 20 թիվը:

    7. Ո՞ր թվերն են կոչվում հակադիրներ:

    8. Ո՞ր թվերն են կոչվում բացասական:

    9. Որքա՞ն է 20 թվի մոդուլը: - 20?

    10. Որքա՞ն է հակադիր թվերի գումարը:

    2. Բացատրե՛ք հետևյալ գրառումները.

    ա) Հանճարեղ Արքիմեդի հնագույն մաթեմատիկոսը ծնվել է մ.թ.ա. 0 287 թվականին:

    բ) Ռուս փայլուն մաթեմատիկոս Ն.Ի.Լոբաչևսկին ծնվել է 1792 թ.

    առաջին անգամ Օլիմպիական խաղերտեղի է ունեցել Հունաստանում 776 թ.

    դ) Առաջին միջազգային օլիմպիական խաղերը տեղի են ունեցել 1896 թ.

    ե) XXII ձմեռային օլիմպիական խաղերը տեղի են ունեցել 2014 թ.

    3. Պարզեք, թե ինչ թվեր են պտտվում «մաթեմատիկական կարուսելի» վրա (բոլոր գործողությունները կատարվում են բանավոր):

    II. Նոր գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների ձևավորում:

    Դուք սովորել եք, թե ինչպես կատարել տարբեր գործողություններ ամբողջ թվերով: Ի՞նչ ենք անելու հետո։ Ինչպե՞ս ենք լուծելու օրինակներ և հավասարումներ:

    Գտնենք այս արտահայտությունների իմաստը

    7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
    -7 + 3 + 4 = 0

    Ո՞րն է ընթացակարգը 1 օրինակում: Որքա՞ն է փակագծերում: Գործողությունների հաջորդականությունը երկրորդ օրինակում: Առաջին գործողության արդյունքը. Ի՞նչ կարելի է ասել այս արտահայտությունների մասին։

    Իհարկե, առաջին և երկրորդ արտահայտությունների արդյունքները նույնն են, այնպես որ կարող եք նրանց միջև հավասար նշան դնել՝ -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4:

    Ի՞նչ ենք արել փակագծերի հետ։ (Կորած.)

    Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ ենք անելու այսօր դասարանում: (Երեխաները ձևակերպում են դասի թեման:) Մեր օրինակում ինչ նշան է փակագծերի դիմաց: (գումարած)

    Եվ այսպես, մենք գալիս ենք հետևյալ կանոնին.

    Եթե ​​փակագծերից առաջ կա + նշան, ապա կարող եք բաց թողնել փակագծերը և այս + նշանը՝ տերմինների նշանները պահելով փակագծերում։ Եթե ​​փակագծերում առաջին անդամը գրված է առանց նշանի, ապա այն պետք է գրվի + նշանով։

    Բայց ի՞նչ, եթե փակագծերի դիմաց մինուս նշան կա:

    Այս դեպքում պետք է տրամաբանել այնպես, ինչպես հանելիս. պետք է գումարել հանվողին հակառակ թիվը.

    7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    -Ուրեմն փակագծերը բացել ենք, երբ դիմացը մինուս նշան էր։

    Փակագծերի ընդլայնման կանոնը, երբ փակագծերի դիմաց կա «-» նշան:

    - նշանին նախորդող փակագծերը բացելու համար պետք է այս նշանը փոխարինել +-ով, փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները փոխելով հակառակի, ապա բացել փակագծերը։

    Լսենք հատվածներում փակագծերը բացելու կանոնները.

    Փակագծի դիմաց կա պլյուս.
    Նա խոսում է այդ մասին
    Ինչ եք գցում փակագծերը
    Թող բոլոր նշանները դուրս գան:
    Փակագծից առաջ մինուս խիստ
    Մեր ճանապարհը կփակի
    Փակագծերը հեռացնելու համար
    Մենք պետք է փոխենք նշանները:

    Այո, տղերք, մինուս նշանը շատ նենգ է, դարպասի մոտ «պահապան» է (փակագծերում), թվեր ու փոփոխականներ է թողարկում միայն այն ժամանակ, երբ փոխում են իրենց «անձնագրերը», այսինքն՝ նշանները։

    Ինչու՞ է պետք ընդհանրապես փակագծեր բացել: (Երբ կան փակագծեր, ինչ-որ անկատարության, ինչ-որ առեղծվածի պահ կա: Դա նման է. փակ դուռ, որի հետևում ինչ-որ հետաքրքիր բան է թաքնված։) Այսօր մենք իմացանք այս գաղտնիքը։

    Մի փոքր շեղում պատմության մեջ.

    Գանգուր փակագծեր հայտնվում են Վիետայի (1593) գրվածքներում։ Փակագծերը լայնորեն կիրառվել են միայն 18-րդ դարի առաջին կեսում՝ Լայբնիցի և առավել եւս Էյլերի շնորհիվ։

    Ֆիզկուլտմինուտկա.

    III. Նոր գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների համախմբում:

    Դասագրքային աշխատանք.

    Թիվ 1234 (բաց փակագծեր)՝ բանավոր։

    Թիվ 1236 (բաց փակագծեր)՝ բանավոր։

    Թիվ 1235 (գտե՛ք արտահայտության իմաստը)՝ գրավոր.

    Թիվ 1238 (պարզեցրե՛ք արտահայտությունները) - աշխատանք զույգերով։

    IV. Ամփոփելով դասը.

    1. Միավորները հայտարարվում են.

    2. Տուն. վարժություն. 39 Թիվ 1254 (ա, բ, գ), 1255 (ա, բ, գ), 1259 թ.

    3. Ի՞նչ սովորեցինք այսօր:

    Ի՞նչ ես սովորել:

    Եվ ես ուզում եմ ավարտել դասը ձեզանից յուրաքանչյուրի ցանկություններով.

    «Ցույց տալ մաթեմատիկայի ունակությունը,
    Մի ծույլ մի եղեք, այլ զարգացեք ամեն օր։
    Բազմապատկել, բաժանել, աշխատել, մտածել,
    Մի մոռացեք ընկերանալ մաթեմատիկայի հետ:

    Փակագծերի հիմնական գործառույթը արժեքները հաշվարկելիս գործողությունների հերթականությունը փոխելն է: օրինակ, \(5 3+7\) թվային արտահայտության մեջ նախ կհաշվարկվի բազմապատկումը, իսկ հետո գումարումը` \(5 3+7 =15+7=22\): Բայց \(5·(3+7)\ արտահայտության մեջ նախ կհաշվարկվի փակագծերում գումարում, հետո միայն բազմապատկում` \(5·(3+7)=5·10=50\):


    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագիծը՝ \(-(4m+3)\):
    Որոշում : \(-(4մ+3)=-4մ-3\):

    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագիծը և տվեք նման տերմիններ \(5-(3x+2)+(2+3x)\):
    Որոշում \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\):


    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \(5(3-x)\):
    Որոշում Փակագծում ունենք \(3\) և \(-x\), իսկ փակագծի դիմաց հինգը: Սա նշանակում է, որ փակագծի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է \ (5 \) -ով, հիշեցնում եմ ձեզ դա Մաթեմատիկայում թվի և փակագծի միջև բազմապատկման նշանը գրված չէ գրառումների չափը նվազեցնելու համար.


    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \(-2(-3x+5)\):
    Որոշում Ինչպես նախորդ օրինակում, փակագծերով \(-3x\) և \(5\)-ը բազմապատկվում են \(-2\-ով):

    Օրինակ. Պարզեցրե՛ք \(5(x+y)-2(x-y)\ արտահայտությունը:
    Որոշում \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\):


    Մնում է դիտարկել վերջին իրավիճակը։

    Փակագծերը փակագծերով բազմապատկելիս առաջին փակագծերի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է երկրորդի յուրաքանչյուր անդամի հետ.

    \((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \((2-x)(3x-1)\):
    Որոշում Մենք ունենք փակագծերի արտադրանք, և այն կարելի է անմիջապես բացել՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևը: Բայց որպեսզի չշփոթվենք, եկեք ամեն ինչ քայլ առ քայլ անենք։
    Քայլ 1. Հեռացրեք առաջին փակագիծը. նրա անդամներից յուրաքանչյուրը բազմապատկվում է երկրորդ փակագծով.

    Քայլ 2. Ընդարձակեք փակագծի արտադրանքները վերը նկարագրված գործակցով.
    -Առաջինը նախ...

    Հետո երկրորդը.

    Քայլ 3. Այժմ մենք բազմապատկում ենք և բերում նման անդամներ.

    Պետք չէ մանրամասն նկարել բոլոր փոխակերպումները, կարող եք անմիջապես բազմապատկել։ Բայց եթե նոր եք սովորում բացել փակագծերը, գրեք մանրամասն, սխալվելու հավանականությունը քիչ կլինի:

    Նշում ամբողջ բաժնին:Փաստորեն, պետք չէ հիշել բոլոր չորս կանոնները, պետք է հիշել միայն մեկը, սա՝ \(c(a-b)=ca-cb\) : Ինչո՞ւ։ Որովհետև եթե c-ի փոխարեն մեկը փոխարինենք, ապա կստանանք \((a-b)=a-b\) կանոնը: Իսկ եթե փոխարինենք մինուս մեկով, ապա կստանանք \(-(a-b)=-a+b\) կանոնը: Դե, եթե c-ի փոխարեն մեկ այլ փակագիծ եք փոխարինում, կարող եք ստանալ վերջին կանոնը:

    փակագծերը փակագծերի մեջ

    Երբեմն գործնականում խնդիրներ են առաջանում այլ փակագծերի ներսում տեղադրված փակագծերի հետ: Ահա այսպիսի առաջադրանքի օրինակ՝ պարզեցնել \(7x+2(5-(3x+y))\ արտահայտությունը։

    Այս առաջադրանքներում հաջողակ լինելու համար դուք պետք է.
    - ուշադիր հասկացեք փակագծերի բնադրումը - որը որում է;
    - փակագծերը հաջորդաբար բացեք՝ սկսելով, օրինակ, ամենաներքինից։

    Կարևոր է փակագծերից մեկը բացելիս մի շոշափեք մնացած արտահայտությունը, պարզապես վերաշարադրելով այն, ինչպես կա:
    Որպես օրինակ վերցնենք վերը նշված առաջադրանքը:

    Օրինակ. Բացեք փակագծերը և տվեք նման տերմիններ \(7x+2(5-(3x+y))\):
    Որոշում:


    Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը և տվեք նման տերմիններ \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\):
    Որոշում :

    \(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)

    Սա փակագծերի եռակի բույն է։ Մենք սկսում ենք ամենաներքինից (ընդգծված կանաչով): Փակագծի դիմաց կա պլյուս, ուստի այն պարզապես հանվում է։

    \(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)

    Այժմ դուք պետք է բացեք երկրորդ փակագիծը, միջանկյալ: Բայց մինչ այդ մենք կպարզեցնենք արտահայտությունը՝ այս երկրորդ փակագծում նմանատիպ տերմիններ ներկայացնելով։

    \(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)

    Այժմ մենք բացում ենք երկրորդ փակագիծը (ընդգծված կապույտով): Փակագծի առջև կա բազմապատկիչ, այնպես որ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է դրանով:

    \(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)

    Եվ բացեք վերջին փակագիծը. Նախքան փակագիծը մինուս - այնպես որ բոլոր նշանները հակադարձվում են:

    Փակագծերը բացելը մաթեմատիկայի հիմնական հմտություն է: Առանց այս հմտության անհնար է 8-րդ և 9-րդ դասարաններում երեքից բարձր գնահատական ​​ունենալ: Ուստի խորհուրդ եմ տալիս լավ հասկանալ այս թեման:

    Այս հոդվածում մենք մանրամասնորեն կքննարկենք մաթեմատիկայի դասընթացի այնպիսի կարևոր թեմայի հիմնական կանոնները, ինչպիսիք են փակագծերը: Դուք պետք է իմանաք փակագծերը բացելու կանոնները, որպեսզի ճիշտ լուծեք հավասարումները, որոնցում դրանք օգտագործվում են:

    Ինչպես ճիշտ բացել փակագծերը ավելացնելիս

    Ընդարձակեք փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը

    Սա ամենապարզ դեպքն է, քանի որ եթե փակագծերի դիմաց ավելացման նշան կա, փակագծերը բացելիս դրանց ներսում նշանները չեն փոխվում։ Օրինակ:

    (9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

    Ինչպես բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը

    Այս դեպքում անհրաժեշտ է բոլոր տերմինները վերաշարադրել առանց փակագծերի, բայց միևնույն ժամանակ փոխել դրանց ներսում գտնվող բոլոր նշանները հակառակի: Նշանները փոխվում են միայն այն տերմինների համար, որոնց նախորդում է «-» նշանը: Օրինակ:

    (9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

    Ինչպես բացել փակագծերը բազմապատկելիս

    Փակագծերին նախորդում է բազմապատկիչ

    Այս դեպքում պետք է յուրաքանչյուր տերմին բազմապատկել գործակցով և բացել փակագծերը՝ առանց նշանների փոխելու։ Եթե ​​բազմապատկիչն ունի «-» նշանը, ապա բազմապատկելիս տերմինների նշանները հակադարձվում են։ Օրինակ:

    3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

    Ինչպես բացել երկու փակագիծ՝ դրանց միջև բազմապատկման նշանով

    Այս դեպքում անհրաժեշտ է առաջին փակագծերից յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել երկրորդ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամի հետ, ապա ավելացնել արդյունքները: Օրինակ:

    (9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

    Ինչպես բացել փակագծերը հրապարակում

    Եթե ​​երկու անդամների գումարը կամ տարբերությունը քառակուսի է, փակագծերը պետք է ընդլայնվեն հետևյալ բանաձևով.

    (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

    Փակագծերի ներսում մինուսի դեպքում բանաձեւը չի փոխվում։ Օրինակ:

    (9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

    Ինչպես բացել փակագծերը տարբեր աստիճանով

    Եթե ​​տերմինների գումարը կամ տարբերությունը բարձրացվում է, օրինակ, 3-րդ կամ 4-րդ աստիճանի, ապա պարզապես անհրաժեշտ է փակագծի աստիճանը բաժանել «քառակուսիների»: Միևնույն գործակիցների հզորությունները գումարվում են, իսկ բաժանելիս բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի աստիճանից։ Օրինակ:

    (9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

    Ինչպես բացել 3 փակագծեր

    Կան հավասարումներ, որոնցում միանգամից 3 փակագծեր են բազմապատկվում։ Այս դեպքում նախ պետք է բազմապատկել առաջին երկու փակագծերի անդամները միմյանց միջև, իսկ հետո բազմապատկել այս բազմապատկման գումարը երրորդ փակագծի անդամներով: Օրինակ:

    (1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

    Փակագծերի բացման այս կանոնները հավասարապես կիրառվում են ինչպես գծային, այնպես էլ եռանկյունաչափական հավասարումների համար:

    Փակագծերի ընդլայնումը արտահայտության փոխակերպման տեսակ է: Այս բաժնում մենք կնկարագրենք փակագծերի ընդլայնման կանոնները, ինչպես նաև կդիտարկենք առաջադրանքների ամենատարածված օրինակները:

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Ի՞նչ է փակագծերի ընդլայնումը:

    Փակագծերը օգտագործվում են թվային և այբբենական արտահայտություններում, ինչպես նաև փոփոխականներով արտահայտություններում գործողությունների կատարման հերթականությունը ցույց տալու համար։ Փակագծերով արտահայտությունից հարմար է առանց փակագծերի նույնական հավասար արտահայտության անցնել։ Օրինակ, փոխարինեք 2 (3 + 4) արտահայտությունը նման արտահայտությամբ 2 3 + 2 4առանց փակագծերի. Այս տեխնիկան կոչվում է փակագծերի բացում:

    Սահմանում 1

    Փակագծերի բացման տակ մենք նկատի ունենք փակագծերից ազատվելու մեթոդները և սովորաբար դիտարկվում են այն արտահայտությունների հետ կապված, որոնք կարող են պարունակել.

    • «+» կամ «-» նշանները փակագծերի դիմաց, որոնք պարունակում են գումարներ կամ տարբերություններ.
    • թվի, տառի կամ մի քանի տառի արտադրյալը և գումարը կամ տարբերությունը, որը դրվում է փակագծերում։

    Այսպես էինք դասընթացում դիտարկում փակագծերի ընդլայնման գործընթացը դպրոցական ծրագիր. Սակայն ոչ ոք մեզ չի խանգարում այս ակցիային ավելի լայն նայել։ Մենք կարող ենք փակագծերի ընդլայնում անվանել անցումը փակագծերում բացասական թվեր պարունակող արտահայտությունից դեպի փակագծեր չունեցող արտահայտություն: Օրինակ, մենք կարող ենք անցնել 5 + (− 3) − (− 7)-ից մինչև 5 − 3 + 7: Փաստորեն, սա նաև փակագծերի ընդլայնում է։

    Նույն կերպ մենք կարող ենք (a + b) · (c + d) ձևի փակագծերի արտահայտությունների արտադրյալը փոխարինել a · c + a · d + b · c + b · d գումարով: Այս տեխնիկան նույնպես չի հակասում փակագծերի ընդլայնման իմաստին:

    Ահա ևս մեկ օրինակ. Կարելի է ենթադրել, որ արտահայտություններում թվերի և փոփոխականների փոխարեն կարող են օգտագործվել ցանկացած արտահայտություն։ Օրինակ, x 2 1 a - x + sin (b) արտահայտությունը կհամապատասխանի x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) ձևի առանց փակագծերի արտահայտությանը:

    Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի ևս մեկ կետ, որը վերաբերում է փակագծերը բացելիս լուծումներ գրելու առանձնահատկություններին։ Սկզբնական արտահայտությունը կարող ենք փակագծերով գրել և փակագծերը բացելուց հետո ստացված արդյունքը հավասարություն գրել։ Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտության փոխարեն 3 − (5 − 7) մենք ստանում ենք արտահայտությունը 3 − 5 + 7 . Այս երկու արտահայտություններն էլ կարող ենք գրել որպես 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 հավասարություն։

    Ծանր արտահայտություններով գործողություններ կատարելը կարող է պահանջել միջանկյալ արդյունքների գրանցում: Այնուհետև լուծումը կունենա հավասարությունների շղթայի ձև։ Օրինակ, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 կամ 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

    Փակագծերի բացման կանոններ, օրինակներ

    Սկսենք փակագծերի բացման կանոններից։

    Փակագծերում առանձին թվեր

    Փակագծերում դրված բացասական թվերը հաճախ հայտնվում են արտահայտություններում: Օրինակ՝ (− 4) և 3 + (− 4) . Տեղի են ունենում նաև փակագծերում դրված դրական թվեր։

    Ձևակերպենք մեկ դրական թվեր պարունակող փակագծերի բացման կանոնը։ Ենթադրենք a-ն ցանկացած դրական թիվ է: Այնուհետև (a)-ն կարող ենք փոխարինել a-ով, + (a)-ով + a-ով, - (a)-ով - a-ով: Եթե ​​a-ի փոխարեն վերցնենք կոնկրետ թիվ, ապա ըստ կանոնի՝ (5) թիվը կգրվի այսպես 5 , առանց փակագծերի 3 + (5) արտահայտությունը կձևավորվի 3 + 5 , քանի որ + (5)-ը փոխարինվում է + 5 , իսկ 3 + (− 5) արտահայտությունը համարժեք է արտահայտությանը 3 − 5 , ինչպես + (− 5) փոխարինվում է − 5 .

    Դրական թվերը սովորաբար գրվում են առանց փակագծերի, քանի որ այս դեպքում փակագծերը ավելորդ են:

    Այժմ հաշվի առեք մեկ բացասական թիվ պարունակող փակագծերի բացման կանոնը: + (−a)փոխարինում ենք − ա, − (− a)-ը փոխարինվում է + a-ով: Եթե ​​արտահայտությունը սկսվում է բացասական թվով (-ա), որը գրվում է փակագծերում, ապա փակագծերը բաց են թողնվում և փոխարենը (-ա)մնում է − ա.

    Ահա մի քանի օրինակներ. (− 5) կարելի է գրել − 5 , (− 3) + 0 , 5-ը դառնում է − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) դառնում է 4 − 3 , և − (− 4) − (− 3) փակագծերը բացելուց հետո ստանում է 4 + 3 ձև, քանի որ − (− 4) և − (− 3) փոխարինվում է + 4 և + 3 թվերով։

    Պետք է հասկանալ, որ 3 · (− 5) արտահայտությունը չի կարող գրվել որպես 3 · − 5։ Սա կքննարկվի հաջորդ պարբերություններում:

    Տեսնենք, թե ինչի վրա են հիմնված փակագծերի ընդլայնման կանոնները։

    Ըստ կանոնի՝ a − b տարբերությունը հավասար է a + (− b)-ի: Հիմնվելով թվերի հետ գործողությունների հատկությունների վրա՝ կարող ենք կազմել հավասարությունների շղթա (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aորն արդարացի կլինի։ Հավասարությունների այս շղթան, հանման իմաստի ուժով, ապացուցում է, որ a + (− b) արտահայտությունը տարբերությունն է. ա-բ.

    Հակառակ թվերի հատկությունների և բացասական թվերի հանման կանոնների հիման վրա կարող ենք պնդել, որ − (− a) = a , a − (− b) = a + b ։

    Կան արտահայտություններ, որոնք կազմված են թվից, մինուս նշաններից և մի քանի զույգ փակագծերից։ Վերոնշյալ կանոնների օգտագործումը թույլ է տալիս հաջորդաբար ազատվել փակագծերից՝ ներքին փակագծերից անցնելով արտաքին կամ հակառակը։ Նման արտահայտության օրինակ կլինի − (− ((− (5)))) . Բացեք փակագծերը՝ շարժվելով ներսից դեպի դրս. − (− ((− (− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 ։ Այս օրինակը կարող է նաև վերլուծվել հակառակ ուղղությամբ. − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

    Տակ աիսկ b-ն կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես թվեր, այլև որպես կամայական թվային կամ բառացի արտահայտություններառջեւում գտնվող «+»-ով, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Այս բոլոր դեպքերում դուք կարող եք կիրառել կանոնները այնպես, ինչպես մենք արեցինք փակագծերում դրված առանձին թվերի դեպքում:

    Օրինակ՝ փակագծերը բացելուց հետո արտահայտությունը − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)ընդունում է 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2 ձևը: Ինչպե՞ս մենք դա արեցինք: Մենք գիտենք, որ − (− 2 x)-ը + 2 x է, և քանի որ այս արտահայտությունն առաջինն է, ապա + 2 x-ը կարելի է գրել որպես 2 x, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x և − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

    Երկու թվերի արտադրյալներում

    Սկսենք երկու թվերի արտադրյալում փակագծերի ընդլայնման կանոնից։

    Եկեք այդպես ձևացնենք աիսկ b-ն երկու դրական թիվ են: Այս դեպքում երկու բացասական թվերի արտադրյալը − աև (− a) (−b) ձևի − b-ը կարող է փոխարինվել (a b)-ով, իսկ (− a) b և a (−b) ձևի հակադիր նշաններով երկու թվերի արտադրյալները կարող են փոխարինվել հետևյալով. (− a բ). Մինուսը մինուսով բազմապատկելը տալիս է գումարած, իսկ մինուսը պլյուսով բազմապատկելը, ինչպես գումարածը մինուսով բազմապատկելը, տալիս է մինուս:

    Գրավոր կանոնի առաջին մասի ճիշտությունը հաստատվում է բացասական թվերի բազմապատկման կանոնով։ Կանոնի երկրորդ մասը հաստատելու համար կարող ենք օգտագործել թվերի հետ բազմապատկելու կանոնները տարբեր նշաններ.

    Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

    Օրինակ 1

    Դիտարկենք փակագծեր բացելու ալգորիթմը երկու բացասական թվերի արտադրյալում՝ 4 3 5 և - 2, (- 2) · - 4 3 5 ձևով: Դա անելու համար մենք բնօրինակ արտահայտությունը փոխարինում ենք 2 · 4 3 5-ով: Ընդլայնենք փակագծերը և ստացենք 2 · 4 3 5:

    Իսկ եթե վերցնենք բացասական թվերի գործակիցը (− 4) : (− 2) , ապա փակագծերը բացելուց հետո գրառումը կունենա 4։2։

    Բացասական թվերի փոխարեն − աև − b-ն կարող է լինել առաջատար մինուս նշանով ցանկացած արտահայտություն, որը գումար կամ տարբերություն չէ: Օրինակ՝ դրանք կարող են լինել արտադրյալներ, մասնակիներ, կոտորակներ, աստիճաններ, արմատներ, լոգարիթմներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներև այլն:

    Բացենք փակագծերը արտահայտության մեջ - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) : Ըստ կանոնի՝ կարող ենք կատարել հետևյալ փոխակերպումները՝ - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 :

    Արտահայտություն (− 3) 2կարող է փոխարկվել արտահայտության (− 3 2) . Դրանից հետո դուք կարող եք բացել փակագծերը. − 3 2.

    2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

    Տարբեր նշաններով թվերի բաժանումը կարող է պահանջել նաև փակագծերի նախնական ընդլայնում. (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 և 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5:

    Կանոնը կարող է օգտագործվել տարբեր նշաններով արտահայտությունների բազմապատկում և բաժանում կատարելու համար։ Բերենք երկու օրինակ.

    1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

    մեղք (x) (- x 2) \u003d (- մեղք (x) x 2) \u003d - մեղք (x) x 2

    Երեք և ավելի թվերի արտադրյալներում

    Անցնենք արտադրյալին և գործակիցներին, որոնք պարունակում են մեծ քանակությամբթվեր։ Փակագծերի ընդլայնման համար այստեղ կգործի հաջորդ կանոնը. ժամը զույգ թիվբացասական թվեր, կարող եք բաց թողնել փակագծերը՝ թվերը փոխարինելով իրենց հակադիրներով։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է ստացված արտահայտությունը փակցնել նոր փակագծերում։ Բացասական թվերի կենտ թվերի դեպքում, բաց թողնելով փակագծերը, փոխարինեք թվերը իրենց հակադիրներով: Դրանից հետո ստացված արտահայտությունը պետք է վերցնել նոր փակագծերում և դրա դիմաց դնել մինուս նշան։

    Օրինակ 2

    Օրինակ՝ վերցնենք 5 · (− 3) · (− 2) արտահայտությունը, որը երեք թվերի արտադրյալն է։ Երկու բացասական թիվ կա, ուստի կարող ենք արտահայտությունը գրել այսպես (5 3 2) և վերջապես բացեք փակագծերը՝ ստանալով 5 3 2 արտահայտությունը։

    Արտադրյալում (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) հինգ թվեր բացասական են։ այսպես (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) ։ Վերջապես բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք −2,5 3:2 4:1,25:1.

    Վերոնշյալ կանոնը կարելի է հիմնավորել հետևյալ կերպ. Նախ, մենք կարող ենք վերաշարադրել նման արտահայտությունները որպես արտադրյալ՝ փոխարինելով բաժանումը փոխադարձով բազմապատկմամբ։ Մենք յուրաքանչյուր բացասական թիվ ներկայացնում ենք որպես բազմապատկիչի արտադրյալ և փոխարինում - 1 կամ - 1-ով (− 1) ա.

    Օգտագործելով բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը՝ մենք փոխում ենք գործակիցները և փոխանցում բոլոր գործոններին հավասար − 1 , մինչև արտահայտության սկիզբը։ Զույգ թվին հանած միավորների արտադրյալը հավասար է 1-ի, իսկ կենտ թիվը հավասար է − 1 , որը թույլ է տալիս օգտագործել մինուս նշանը։

    Եթե ​​չօգտագործեինք կանոնը, ապա - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 արտահայտությունում փակագծեր բացելու գործողությունների շղթան այսպիսի տեսք կունենար.

    2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

    Վերոնշյալ կանոնը կարող է կիրառվել փակագծերը ընդլայնելիս այն արտահայտություններում, որոնք արտադրյալներ և քանորդներ են մինուս նշանով, որոնք գումարներ կամ տարբերություններ չեն: Օրինակ վերցրեք արտահայտությունը

    x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2.

    Այն կարող է վերածվել արտահայտության առանց փակագծերի x 2 · x: 1 x · x - 3: 2:

    Բացելով փակագծերը, որոնց նախորդում է + նշանը

    Դիտարկենք մի կանոն, որը կարող է կիրառվել փակագծերը ընդլայնելու համար, որոնց նախորդում է գումարած նշանը, և այդ փակագծերի «բովանդակությունը» չի բազմապատկվում կամ բաժանվում որևէ թվի կամ արտահայտության:

    Ըստ կանոնի՝ փակագծերը՝ դիմացի նշանի հետ միասին, բաց են թողնվում, մինչդեռ փակագծերում բոլոր տերմինների նշանները պահպանվում են։ Եթե ​​փակագծերում առաջին տերմինի դիմաց նշան չկա, ապա պետք է գումարած նշան դնել։

    Օրինակ 3

    Օրինակ՝ տալիս ենք արտահայտությունը (12 − 3 , 5) − 7 . Բաց թողնելով փակագծերը՝ տերմինների նշանները պահում ենք փակագծերում և առաջին տերմինի դիմաց դնում ենք գումարած նշան։ Մուտքը նման կլինի (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7: Վերոնշյալ օրինակում պարտադիր չէ առաջին տերմինի դիմաց նշան դնել, քանի որ + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7:

    Օրինակ 4

    Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Վերցրեք x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x արտահայտությունը և կատարեք գործողություններ դրա հետ x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a. - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

    Ահա ընդլայնվող փակագծերի մեկ այլ օրինակ.

    Օրինակ 5

    2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

    Ինչպես ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է մինուս նշանը

    Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ փակագծերի առջև կա մինուս նշան, և որոնք չեն բազմապատկվում (կամ բաժանվում) որևէ թվով կամ արտահայտությամբ: «-» նշանին նախորդող փակագծերի ընդարձակման կանոնի համաձայն՝ «-» նշանով փակագծերը բաց են թողնվում, իսկ փակագծերի ներսում գտնվող բոլոր տերմինների նշանները հակադարձվում են:

    Օրինակ 6

    Օրինակ:

    1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

    Փոփոխական արտահայտությունները կարող են փոխակերպվել՝ օգտագործելով նույն կանոնը.

    X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

    մենք ստանում ենք x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2:

    Թիվը փակագծով բազմապատկելիս փակագծեր բացելը, փակագծով արտահայտությունները.

    Այստեղ մենք կդիտարկենք այն դեպքերը, երբ անհրաժեշտ է բացել փակագծեր, որոնք բազմապատկվում կամ բաժանվում են որևէ թվով կամ արտահայտությամբ։ Այստեղ ձևի բանաձևեր (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) կամ b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), որտեղ a 1, a 2, …, a nիսկ b-ն որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են:

    Օրինակ 7

    Օրինակ՝ ընդլայնենք արտահայտության մեջ փակագծերը (3 − 7) 2. Ըստ կանոնի՝ կարող ենք կատարել հետևյալ փոխակերպումները՝ (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Մենք ստանում ենք 3 · 2 − 7 · 2:

    3 x 2 1 - x + 1 x + 2 արտահայտության մեջ փակագծերը ընդլայնելով՝ ստանում ենք 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2:

    Բազմապատկել փակագիծը փակագծով

    Դիտարկենք ձևի երկու փակագծերի արտադրյալը (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Սա կօգնի մեզ ստանալ փակագծերն ընդլայնելու կանոն՝ փակագծերը փակագծով բազմապատկելիս:

    Վերոնշյալ օրինակը լուծելու համար մենք նշում ենք արտահայտությունը (b 1 + b 2)ինչպես բ. Սա թույլ կտա մեզ օգտագործել փակագծեր-արտահայտման բազմապատկման կանոնը։ Մենք ստանում ենք (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b: Հակադարձ փոխարինում կատարելով բվրա (b 1 + b 2), կրկին կիրառեք արտահայտությունը փակագծով բազմապատկելու կանոնը. a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

    Մի շարք պարզ հնարքների շնորհիվ մենք կարող ենք հասնել առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տերմինի արտադրյալների գումարին և երկրորդ փակագծի յուրաքանչյուր տերմինի: Կանոնը կարող է տարածվել փակագծերի ներսում գտնվող ցանկացած տերմինի վրա:

    Ձևակերպենք փակագծերը փակագծերով բազմապատկելու կանոնները. երկու գումար իրար մեջ բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է առաջին գումարի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել երկրորդ գումարի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել արդյունքները։

    Բանաձևը նման կլինի.

    (a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . ա մ բ ն

    Ընդարձակենք փակագծերը (1 + x) · (x 2 + x + 6) երկու գումարի արտադրյալ է։ Գրենք լուծումը՝ (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

    Առանձին-առանձին, արժե անդրադառնալ այն դեպքերին, երբ գումարած նշանների հետ մեկտեղ փակագծերում կա մինուս նշան: Օրինակ՝ վերցնենք (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) արտահայտությունը։

    Նախ՝ փակագծերում դրված արտահայտությունները ներկայացնում ենք գումարների տեսքով. (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Այժմ մենք կարող ենք կիրառել կանոնը՝ (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

    Ընդլայնենք փակագծերը՝ 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 :

    Փակագծերի ընդլայնում մի քանի փակագծերի և արտահայտությունների արտադրանքներում

    Եթե ​​արտահայտության մեջ կան երեք կամ ավելի արտահայտություններ փակագծերում, ապա անհրաժեշտ է հաջորդաբար ընդլայնել փակագծերը։ Փոխակերպումը պետք է սկսել նրանից, որ առաջին երկու գործոնները վերցված են փակագծերում։ Այս փակագծերի ներսում մենք կարող ենք փոխակերպումներ կատարել վերը քննարկված կանոնների համաձայն: Օրինակ՝ (2 + 4) 3 (5 + 7 8) արտահայտության փակագծերը։

    Արտահայտությունը պարունակում է միանգամից երեք գործոն (2 + 4) , 3 և (5 + 7 8) . Մենք հաջորդաբար կընդլայնենք փակագծերը: Առաջին երկու գործոնները փակցնում ենք ևս մեկ փակագծերում, որոնք պարզության համար կարմիր կդարձնենք. (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

    Փակագծը թվով բազմապատկելու կանոնի համաձայն՝ կարող ենք կատարել հետևյալ գործողությունները՝ ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

    Բազմապատկել փակագիծը փակագծով՝ (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8:

    Փակագծեր բնօրինակով

    Մի քանի փակագծերի արտադրյալ կարելի է համարել աստիճանները, որոնց հիմքերը փակագծերում գրված որոշ արտահայտություններ են՝ բնական ցուցանիշներով։ Ընդ որում, ըստ նախորդ երկու պարբերությունների կանոնների, դրանք կարող են գրվել առանց այդ փակագծերի։

    Դիտարկենք արտահայտությունը փոխակերպելու գործընթացը (a + b + c) 2. Այն կարելի է գրել որպես երկու փակագծերի արտադրյալ (a + b + c) (a + b + c). Բազմապատկում ենք փակագծով և ստանում a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c :

    Բերենք ևս մեկ օրինակ.

    Օրինակ 8

    1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

    Փակագծի բաժանումը թվի և փակագծերի բաժանումը փակագծերի վրա

    Փակագծերը թվի վրա բաժանելը հուշում է, որ պետք է թվի վրա բաժանել փակագծերում փակված բոլոր տերմինները: Օրինակ, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4:

    Նախկինում բաժանումը կարող է փոխարինվել բազմապատկմամբ, որից հետո կարող եք օգտագործել հարմար կանոնփակագծերի բացում աշխատանքում. Նույն կանոնը կիրառվում է փակագիծը փակագծով բաժանելիս։

    Օրինակ, մենք պետք է բացենք (x + 2) արտահայտության փակագծերը՝ 2 3: Դա անելու համար նախ փոխարինեք բաժանումը բազմապատկելով (x + 2) փոխադարձով. 2 3 = (x + 2) · 2 3: Բազմապատկեք փակագիծը (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 թվով:

    Ահա փակագծերի բաժանման մեկ այլ օրինակ.

    Օրինակ 9

    1 x + x + 1: (x + 2) .

    Բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ՝ 1 x + x + 1 1 x + 2 :

    Կատարենք բազմապատկումը՝ 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2:

    Փակագծերի ընդլայնման կարգը

    Այժմ հաշվի առեք արտահայտություններում վերը քննարկված կանոնների կիրառման կարգը ընդհանուր տեսարան, այսինքն. արտահայտություններում, որոնք պարունակում են տարբերություններով գումարներ, քանորդներով արտադրյալներ, տեսակի փակագծեր։

    Գործողությունների հերթականությունը.

    • առաջին քայլը փակագծերը բնական ուժի հասցնելն է.
    • երկրորդ փուլում փակագծերը բացվում են աշխատանքներում և մասնավոր.
    • Վերջնական քայլը գումարների և տարբերությունների մեջ փակագծերը բացելն է:

    Դիտարկենք գործողությունների հերթականությունը՝ օգտագործելով (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) արտահայտության օրինակը։ Եկեք փոխակերպենք 3 (− 2) արտահայտություններից՝ (− 4) և 6 (− 7) , որոնք պետք է ունենան ձև. (3 2:4)և (− 6 7) . Ստացված արդյունքները փոխարինելով սկզբնական արտահայտությամբ՝ ստանում ենք՝ (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7). ): Ընդարձակեք փակագծերը՝ − 5 + 3 2: 4 + 6 7:

    Փակագծերում փակագծեր պարունակող արտահայտությունների հետ գործ ունենալիս հարմար է փոխակերպումներ կատարել ներսից դուրս։

    Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

    Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս

    Բեռնվում է...Բեռնվում է...