Համեմատե՛ք կոտորակային թվերը տարբեր հայտարարներով: Կոտորակների համեմատություն՝ կանոններ, օրինակներ, լուծումներ

Այս հոդվածը վերաբերում է կոտորակների համեմատությանը: Այստեղ մենք կիմանանք, թե կոտորակներից որն է մեծ կամ փոքր, կկիրառենք կանոնը և կվերլուծենք լուծման օրինակները։ Համեմատե՛ք նույն և տարբեր հայտարարներով կոտորակները: Սովորական կոտորակը համեմատենք բնական թվի հետ։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նույն հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Նույն հայտարարներով կոտորակները համեմատելիս մենք աշխատում ենք միայն համարիչով, ինչը նշանակում է, որ համեմատում ենք թվի կոտորակները։ Եթե ​​կա 3 7 կոտորակ, ապա այն ունի 3 մաս 1 7, ապա 8 7 կոտորակն ունի 8 այդպիսի մաս։ Այսինքն, եթե հայտարարը նույնն է, ապա համեմատվում են այս կոտորակների համարիչները, այսինքն՝ 3 7 և 8 7 3 և 8 թվերը համեմատվում են։

Սա ենթադրում է նույն հայտարարներով կոտորակները համեմատելու կանոնը. նույն ցուցանիշներով առկա կոտորակներից ավելի մեծ համարիչ ունեցող կոտորակը համարվում է ավելի մեծ և հակառակը։

Սա հուշում է, որ պետք է ուշադրություն դարձնել համարիչներին: Դա անելու համար հաշվի առեք մի օրինակ.

Օրինակ 1

Համեմատե՛ք տրված 65 126 և 87 126 կոտորակները։

Լուծում

Քանի որ կոտորակների հայտարարները նույնն են, անցնենք համարիչներին։ 87 և 65 թվերից ակնհայտ է, որ 65-ը պակաս է։ Ելնելով նույն հայտարարներով կոտորակները համեմատելու կանոնից՝ մենք ունենք, որ 87126-ը մեծ է 65126-ից։

Պատասխան. 87 126 > 65 126 .

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Նման կոտորակների համեմատությունը կարելի է համեմատել նույն ցուցիչներով կոտորակների համեմատության հետ, բայց կա տարբերություն. Այժմ մենք պետք է կրճատենք կոտորակները ընդհանուր հայտարարի:

Եթե ​​կան տարբեր հայտարարներով կոտորակներ, ապա դրանք համեմատելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել ընդհանուր հայտարար;
• համեմատել կոտորակները.

Եկեք նայենք այս քայլերին օրինակով:

Օրինակ 2

Համեմատե՛ք 5 12 և 9 16 կոտորակները:

Լուծում

Առաջին քայլը կոտորակները բերելն է ընդհանուր հայտարարի: Դա արվում է այսպես. LCM-ն գտնվել է, այսինքն՝ ամենափոքր ընդհանուր բաժանարարը՝ 12 և 16: Այս թիվը 48 է։ Առաջին կոտորակի վրա անհրաժեշտ է ներգրել լրացուցիչ գործակիցներ 5 12, այս թիվը հայտնաբերվում է 48 գործակիցից՝ 12 = 4, երկրորդ կոտորակի համար՝ 9 16 - 48՝ 16 = 3։ Եկեք այն գրենք այսպես՝ 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 և 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48:

Կոտորակները համեմատելուց հետո ստանում ենք, որ 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Պատասխան. 5 12 < 9 16 .

Տարբեր հայտարարներով կոտորակները համեմատելու ևս մեկ տարբերակ կա: Այն իրականացվում է առանց ընդհանուր հայտարարի կրճատման։ Դիտարկենք մի օրինակ։ a b և c d կոտորակները համեմատելու համար մենք կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, այնուհետև b · d, այսինքն՝ այս հայտարարների արտադրյալը: Այնուհետև կոտորակների համար լրացուցիչ գործոնները կլինեն հարևան կոտորակի հայտարարները: Սա գրված է որպես a · d b · d և c · b d · b: Օգտագործելով նույն հայտարարներով կանոնը, մենք ունենք, որ կոտորակների համեմատությունը կրճատվել է a · d և c · b արտադրյալների համեմատությունների: Այստեղից ստանում ենք տարբեր հայտարարներով կոտորակները համեմատելու կանոնը. եթե a d > b c, ապա a b > c d, բայց եթե a d.< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Օրինակ 3

Համեմատե՛ք 5 18 և 23 86 կոտորակները։

Լուծում

Այս օրինակն ունի a = 5, b = 18, c = 23 և d = 86: Այնուհետև անհրաժեշտ է հաշվարկել a · d և b · c: Հետևում է, որ a d = 5 86 = 430 և b c = 18 23 = 414: Բայց 430 > 414, ապա տրված 5 18 կոտորակը մեծ է 23 86-ից:

Պատասխան. 5 18 > 23 86 .

Նույն համարիչով կոտորակների համեմատում

Եթե ​​կոտորակներն ունեն նույն համարիչները և տարբեր հայտարարները, ապա կարող եք համեմատությունը կատարել նախորդ պարբերության համաձայն: Համեմատության արդյունքը հնարավոր է դրանց հայտարարները համեմատելիս։

Միևնույն համարիչներով կոտորակները համեմատելու կանոն կա : Նույն համարիչ ունեցող երկու կոտորակներից ավելի մեծ կոտորակն է փոքր հայտարար ունեցողը և հակառակը։

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 4

Համեմատե՛ք 54 19 և 54 31 կոտորակները։

Լուծում

Մենք ունենք, որ համարիչները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ 19 հայտարար ունեցող կոտորակն ավելի մեծ է, քան 31 հայտարար ունեցող կոտորակը։ Սա պարզ է կանոնից.

Պատասխան. 54 19 > 54 31 .

Հակառակ դեպքում, դուք կարող եք դիտարկել օրինակ. Երկու ափսե կա, որոնց վրա 1 2 կարկանդակ, Աննա ևս 1 16: Եթե ​​ուտեք 1 2 կարկանդակ, ավելի արագ կկշտանաք, քան ընդամենը 1 16: Այստեղից էլ եզրակացություն, որ նույն համարիչներով ամենամեծ հայտարարը ամենափոքրն է կոտորակները համեմատելիս:

Կոտորակի համեմատությունը բնական թվի հետ

Սովորական կոտորակի համեմատությունը բնական թվի հետ նույնն է, ինչ երկու կոտորակի համեմատությունը 1 ձևով գրված հայտարարների հետ։ Լրացուցիչ մանրամասների համար եկեք նայենք ստորև բերված օրինակին:

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է կատարել համեմատություն 63 8 և 9:

Լուծում

Անհրաժեշտ է 9 թիվը ներկայացնել 9 1 կոտորակի տեսքով: Այնուհետև մենք կարիք ունենք համեմատելու 63 8 և 9 1 կոտորակները: Դրան հաջորդում է կրճատումը ընդհանուր հայտարարի` լրացուցիչ գործոններ գտնելու միջոցով: Դրանից հետո մենք տեսնում ենք, որ պետք է համեմատել 63 8 և 72 8 նույն հայտարարներով կոտորակները: Համեմատության կանոնի հիման վրա 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Պատասխան. 63 8 < 9 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Առօրյա կյանքում մենք հաճախ ստիպված ենք լինում համեմատել կոտորակային արժեքները: Շատ ժամանակ դա ոչ մի խնդիր չի առաջացնում: Իսկապես, բոլորը հասկանում են, որ կես խնձորը քառորդից մեծ է։ Բայց երբ անհրաժեշտ է գրել այն որպես մաթեմատիկական արտահայտություն, դա կարող է դժվար լինել: Կիրառելով հետևյալ մաթեմատիկական կանոնները՝ կարող եք հեշտությամբ լուծել այս խնդիրը.

Ինչպես համեմատել միևնույն հայտարարով կոտորակները

Այս կոտորակներն ամենահեշտն են համեմատելը: Այս դեպքում օգտագործեք կանոնը.

Նույն հայտարար ունեցող, բայց տարբեր համարիչ ունեցող երկու կոտորակներից ավելի մեծ կլինի այն, ում համարն ավելի մեծ է, իսկ փոքրը կլինի այն, ում համարիչը փոքր է:

Օրինակ՝ համեմատե՛ք 3/8 և 5/8 կոտորակները։ Այս օրինակի հայտարարները հավասար են, ուստի մենք կիրառում ենք այս կանոնը: 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Իսկապես, եթե դուք երկու պիցցան կտրեք 8 շերտի, ապա 3/8 շերտը միշտ պակաս է 5/8-ից:

Միևնույն համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Այս դեպքում համեմատվում են հայտարարի բաժնետոմսերի չափերը։ Կիրառելու կանոնն է.

Եթե ​​երկու կոտորակ ունեն նույն համարիչը, ապա ավելի մեծ կոտորակն այն է, որն ունի ավելի փոքր հայտարար։

Օրինակ՝ համեմատե՛ք 3/4 և 3/8 կոտորակները։ Այս օրինակում համարիչները հավասար են, ուստի մենք օգտագործում ենք երկրորդ կանոնը։ 3/4 կոտորակն ունի ավելի փոքր հայտարար, քան 3/8 կոտորակը: Ուստի 3/4>3/8

Իսկապես, եթե դուք ուտեք 3 կտոր պիցցա՝ բաժանված 4 մասի, ավելի կշտացած կլինեք, քան եթե ուտեք 3 կտոր պիցցա՝ բաժանված 8 մասի։

Տարբեր համարիչներով և հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Մենք կիրառում ենք երրորդ կանոնը.

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների համեմատությունը պետք է համեմատել նույն հայտարարներով կոտորակների հետ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի և օգտագործել առաջին կանոնը:

Օրինակ, պետք է համեմատել կոտորակները և . Ավելի մեծ կոտորակը որոշելու համար այս երկու կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

• Այժմ գտնենք երկրորդ լրացուցիչ գործակիցը՝ 6:3=2: Երկրորդ կոտորակի վրա գրում ենք.

Նույն հայտարար ունեցող երկու կոտորակներից ավելի մեծ համարիչ ունեցողը մեծ է, իսկ փոքր համարիչովը՝ փոքրը։. Իրականում, ի վերջո, հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանվել մեկ ամբողջ արժեքը, իսկ համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի այդպիսի մաս է վերցվել։

Ստացվում է, որ յուրաքանչյուր ամբողջ շրջանակը բաժանվել է նույն թվի 5 , բայց տարբեր քանակի մասեր են վերցրել՝ ավելի շատ են վերցրել՝ մեծ կոտորակ ու պարզվել է։

Նույն համարիչ ունեցող երկու կոտորակներից փոքր հայտարար ունեցողն ավելի մեծ է, իսկ մեծ հայտարար ունեցողը՝ փոքրը։Դե, փաստորեն, եթե մեկ շրջան բաժանենք 8 մասերը և մյուսը 5 մասեր և շրջանագծերից յուրաքանչյուրից վերցրու մեկական մաս: Ո՞ր մասն է լինելու ավելի մեծ։

Իհարկե, բաժանված շրջանից 5 մասեր! Հիմա պատկերացրեք, որ նրանք կիսում էին ոչ թե շրջանակներ, այլ տորթեր։ Ո՞ր կտորը կնախընտրեիք, ավելի ճիշտ, ո՞ր մասնաբաժինը` հինգերորդը, թե՞ ութերորդը:

Տարբեր համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակները համեմատելու համար պետք է կոտորակները հասցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի, իսկ հետո համեմատել նույն հայտարարներով կոտորակները:

Օրինակներ. Համեմատեք սովորական կոտորակները.

Այս կոտորակները բերենք ամենափոքր ընդհանուր հայտարարին։ NOZ (4 ; 6)=12. Կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար մենք գտնում ենք լրացուցիչ գործոններ: 1-ին կոտորակի համար լրացուցիչ բազմապատկիչ 3 (12: 4=3 ): 2-րդ կոտորակի համար՝ լրացուցիչ բազմապատկիչ 2 (12: 6=2 ): Այժմ մենք համեմատում ենք ստացված երկու կոտորակների համարիչները նույն հայտարարներով։ Քանի որ առաջին կոտորակի համարիչը փոքր է երկրորդ կոտորակի համարիչից ( 9<10) , ապա ինքնին առաջին կոտորակը փոքր է երկրորդ կոտորակից։

Մենք շարունակում ենք կոտորակների ուսումնասիրությունը: Այսօր կխոսենք դրանց համեմատության մասին։ Թեման հետաքրքիր է և օգտակար։ Դա թույլ կտա սկսնակին իրեն զգալ որպես գիտնական՝ սպիտակ վերարկուով։

Կոտորակների համեմատության էությունը կայանում է նրանում, որ պարզենք, թե երկու կոտորակներից որն է մեծ կամ փոքր:

Հարցին պատասխանելու համար, թե երկու կոտորակներից որն է մեծ կամ փոքր, օգտագործեք օրինակ ավելի (>) կամ պակաս (<).

Մաթեմատիկոսներն արդեն հոգացել են պատրաստի կանոնների մասին, որոնք թույլ են տալիս անմիջապես պատասխանել այն հարցին, թե որ կոտորակն է ավելի մեծ, որն ավելի փոքր։ Այս կանոնները կարող են ապահով կերպով կիրառվել:

Մենք կդիտարկենք այս բոլոր կանոնները և կփորձենք պարզել, թե ինչու է դա տեղի ունենում:

Դասի բովանդակությունը

Նույն հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Համեմատվող կոտորակները տարբեր են լինում: Ամենահաջող դեպքն այն է, երբ կոտորակներն ունեն նույն հայտարարները, բայց տարբեր համարիչներ: Այս դեպքում կիրառվում է հետևյալ կանոնը.

Նույն հայտարար ունեցող կոտորակներից ավելի մեծ է համարվում ավելի մեծ համարիչ ունեցող կոտորակը: Եվ համապատասխանաբար կլինի այն փոքր կոտորակը, որում համարիչն ավելի փոքր է։

Օրինակ, եկեք համեմատենք կոտորակները և պատասխանենք, թե այս կոտորակներից որն է ավելի մեծ: Այստեղ հայտարարները նույնն են, բայց համարիչները՝ տարբեր։ Կոտորակն ունի ավելի մեծ համարիչ, քան կոտորակը: Այսպիսով, կոտորակը ավելի մեծ է, քան . Այսպիսով, մենք պատասխանում ենք. Պատասխանեք ավելի շատ պատկերակով (>)

Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք չորս մասի բաժանված պիցցաների մասին։ ավելի շատ պիցցաներ, քան պիցցաներ.

Բոլորը կհամաձայնեն, որ առաջին պիցցան ավելի մեծ է, քան երկրորդը։

Նույն համարիչով կոտորակների համեմատում

Հաջորդ դեպքը, որի մեջ կարող ենք հայտնվել, այն է, երբ կոտորակների համարիչները նույնն են, բայց հայտարարները՝ տարբեր: Նման դեպքերի համար նախատեսված է հետևյալ կանոնը.

Նույն համարիչ ունեցող երկու կոտորակներից ավելի մեծ է փոքր հայտարար ունեցող կոտորակը: Հետևաբար, ավելի մեծ հայտարար ունեցող կոտորակը ավելի փոքր է:

Օրինակ՝ համեմատենք կոտորակները և . Այս կոտորակներն ունեն նույն համարիչը։ Կոտորակն ունի ավելի փոքր հայտարար, քան կոտորակը: Այսպիսով, կոտորակը մեծ է կոտորակից: Այսպիսով, մենք պատասխանում ենք.

Այս օրինակը կարելի է հեշտությամբ հասկանալ, եթե մտածենք պիցցաների մասին, որոնք բաժանված են երեք և չորս մասի։ ավելի շատ պիցցաներ, քան պիցցաներ.

Բոլորը համաձայն են, որ առաջին պիցցան ավելի մեծ է, քան երկրորդը։

Տարբեր համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակների համեմատում

Հաճախ է պատահում, որ ստիպված ես լինում համեմատել տարբեր համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակները։

Օրինակ, համեմատեք կոտորակները և . Հարցին պատասխանելու համար, թե այս կոտորակներից որն է մեծ կամ փոքր, պետք է դրանք բերել նույն (ընդհանուր) հայտարարի: Այդ դեպքում հեշտ կլինի որոշել, թե որ կոտորակն է մեծ կամ փոքր։

Կոտորակները բերենք նույն (ընդհանուր) հայտարարի։ Գտեք (LCM) երկու կոտորակների հայտարարները: Կոտորակների հայտարարների LCM-ն և այդ թիվը 6 է։

Այժմ մենք գտնում ենք լրացուցիչ գործոններ յուրաքանչյուր կոտորակի համար: LCM-ն բաժանեք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ը 6 թիվն է, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը՝ 2 թիվը։6-ը բաժանեք 2-ի, ստանում ենք հավելյալ 3 գործակից։ Առաջին կոտորակի վրա գրում ենք.

Հիմա եկեք գտնենք երկրորդ լրացուցիչ գործոնը. LCM-ը բաժանեք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա: LCM-ն 6 թիվն է, իսկ երկրորդ կոտորակի հայտարարը 3 թիվը։6-ը բաժանեք 3-ի, ստանում ենք լրացուցիչ 2 գործակից։ Երկրորդ կոտորակի վրա գրում ենք.

Բազմապատկեք կոտորակները իրենց լրացուցիչ գործակիցներով.

Հասանք նրան, որ այն կոտորակները, որոնք ունեին տարբեր հայտարարներ, վերածվում էին միևնույն հայտարարի կոտորակների: Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է համեմատել նման կոտորակները: Նույն հայտարար ունեցող կոտորակներից ավելի մեծ կոտորակն ավելի մեծ համարիչն է.

Կանոնը կանոն է, և մենք կփորձենք պարզել, թե ինչու ավելի քան . Դա անելու համար ընտրեք կոտորակի ամբողջ թվային մասը: Կոտորակի մեջ որևէ բան ընտրելու կարիք չկա, քանի որ այս կոտորակն արդեն կանոնավոր է։

Կոտորակի ամբողջ թիվն ընտրելուց հետո ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Այժմ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչու ավելի քան. Եկեք այս կոտորակները նկարենք պիցցայի տեսքով.

2 ամբողջական պիցցա և պիցցա, ավելին, քան պիցցաները:

Խառը թվերի հանում. Դժվար դեպքեր.

Խառը թվերը հանելիս երբեմն տեսնում ես, որ ամեն ինչ այնքան հարթ չի ընթանում, որքան ցանկանում ես: Հաճախ է պատահում, որ ինչ-որ օրինակ լուծելիս պատասխանն այն չէ, ինչ պետք է լինի։

Թվերը հանելիս մինուենդը պետք է ավելի մեծ լինի, քան ենթահամակարգը: Միայն այս դեպքում նորմալ պատասխան կստացվի։

Օրինակ՝ 10−8=2

10 - կրճատվել է

8 - հանված

2 - տարբերություն

Մինուս 10-ը ավելի մեծ է, քան հանված 8-ը, ուստի ստացանք նորմալ պատասխան 2:

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում, եթե մինուենդը փոքր է ենթակառուցվածքից: Օրինակ 5−7=−2

5 - նվազեցված

7 - հանված

-2-ը տարբերությունն է

Այս դեպքում մենք դուրս ենք գալիս այն թվերից, որոնց սովոր ենք ու հայտնվում բացասական թվերի աշխարհում, որտեղ մեզ համար դեռ վաղ է քայլելը, նույնիսկ վտանգավոր։ Բացասական թվերի հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ է համապատասխան մաթեմատիկական նախադրյալ, որը մենք դեռ չենք ստացել։

Եթե ​​հանման համար օրինակներ լուծելիս գտնում եք, որ մինուենդը փոքր է ենթակետից, ապա կարող եք առայժմ բաց թողնել նման օրինակը: Բացասական թվերի հետ աշխատելը թույլատրելի է միայն դրանք ուսումնասիրելուց հետո։

Նույն իրավիճակն է կոտորակների դեպքում. Մինուենդը պետք է ավելի մեծ լինի, քան ենթակառուցվածքը: Միայն այս դեպքում հնարավոր կլինի նորմալ պատասխան ստանալ։ Եվ որպեսզի հասկանաք, թե արդյոք կրճատված կոտորակը մեծ է, քան հանվածը, պետք է կարողանաք համեմատել այս կոտորակները։

Օրինակ՝ լուծենք օրինակ.

Սա հանման օրինակ է։ Այն լուծելու համար պետք է ստուգել, ​​թե արդյոք կրճատված կոտորակը մեծ է հանվածից։ ավելի քան

այնպես որ մենք կարող ենք ապահով կերպով վերադառնալ օրինակին և լուծել այն.

Հիմա եկեք լուծենք այս օրինակը

Ստուգեք, արդյոք կրճատված կոտորակը մեծ է, քան հանվածը: Մենք գտնում ենք, որ այն ավելի քիչ է.

Այս դեպքում ավելի խելամիտ է դադարեցնել և չշարունակել հետագա հաշվարկը։ Մենք կվերադառնանք այս օրինակին, երբ ուսումնասիրենք բացասական թվերը։

Ցանկալի է նաև ստուգել խառը թվերը հանելուց առաջ։ Օրինակ, եկեք գտնենք արտահայտության արժեքը:

Նախ ստուգեք, թե արդյոք կրճատված խառը թիվը ավելի մեծ է, քան հանվածը: Դա անելու համար մենք խառը թվերը թարգմանում ենք ոչ պատշաճ կոտորակների.

Ստացանք տարբեր համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակներ: Նման կոտորակները համեմատելու համար անհրաժեշտ է դրանք բերել նույն (ընդհանուր) հայտարարի։ Մենք մանրամասն չենք նկարագրի, թե ինչպես դա անել: Եթե ​​դժվարություններ ունեք, անպայման կրկնեք:

Կոտորակները միևնույն հայտարարի կրճատելուց հետո ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Այժմ մենք պետք է համեմատենք կոտորակները և . Սրանք նույն հայտարարներով կոտորակներ են: Նույն հայտարար ունեցող կոտորակներից ավելի մեծ է համարվում ավելի մեծ համարիչ ունեցող կոտորակը:

Կոտորակն ունի ավելի մեծ համարիչ, քան կոտորակը: Այսպիսով, կոտորակը մեծ է կոտորակից:

Սա նշանակում է, որ մինուենդն ավելի մեծ է, քան ենթակառուցվածքը:

Այսպիսով, մենք կարող ենք վերադառնալ մեր օրինակին և համարձակորեն լուծել այն.

Օրինակ 3Գտեք արտահայտության արժեքը

Ստուգեք, արդյոք մինուենդն ավելի մեծ է, քան ենթակառուցվածքը:

Խառը թվերը փոխարկեք անպատշաճ կոտորակների.

Ստացանք տարբեր համարիչներով և տարբեր հայտարարներով կոտորակներ: Այս կոտորակները բերում ենք նույն (ընդհանուր) հայտարարի։

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես համեմատել կոտորակները միմյանց հետ: Սա շատ օգտակար հմտություն է, որն անհրաժեշտ է ավելի բարդ խնդիրների մի ամբողջ դաս լուծելու համար:

Նախ հիշեցնեմ կոտորակների հավասարության սահմանումը.

a /b և c /d կոտորակները կոչվում են հավասար, եթե ad = bc:

1. 5/8 = 15/24, քանի որ 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, քանի որ 3 18 = 2 27 = 54:

Մնացած բոլոր դեպքերում կոտորակները անհավասար են, և դրանց համար ճիշտ է հետևյալ պնդումներից մեկը.

1. a /b կոտորակը մեծ է c/d կոտորակից;
2. a /b կոտորակը փոքր է c /d կոտորակից:

a /b կոտորակը կոչվում է c /d կոտորակից մեծ, եթե a /b − c /d > 0:

x /y կոտորակը կոչվում է s /t կոտորակից փոքր, եթե x /y − s /t< 0.

Նշանակում:

Այսպիսով, կոտորակների համեմատությունը կրճատվում է մինչև դրանց հանում: Հարց. ինչպե՞ս չշփոթել «մեծ քան» (>) և «պակաս» (>) նշումների հետ։<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Չեկի ընդլայնվող մասը միշտ ուղղված է դեպի ավելի մեծ թիվը.
2. Ծնոտի սուր քիթը միշտ ավելի ցածր թիվ է ցույց տալիս։

Հաճախ այն առաջադրանքներում, որտեղ ցանկանում եք համեմատել թվերը, նրանք դնում են «∨» նշանը նրանց միջև: Սա քիթը իջեցրած ժանյակ է, որը, ինչպես ասվում է, հուշում է. թվերից ավելի մեծը դեռ որոշված ​​չէ։

Առաջադրանք. Համեմատեք թվերը.

Սահմանումից հետո մենք հանում ենք կոտորակները միմյանցից.

Յուրաքանչյուր համեմատության ժամանակ մեզ անհրաժեշտ էր կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի: Մասնավորապես, օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը եւ գտնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը: Ես միտումնավոր չեմ կենտրոնացել այս կետերի վրա, բայց եթե ինչ-որ բան պարզ չէ, նայիր դասին «Կոտորակների գումարում և հանում», դա շատ հեշտ է:

Տասնորդական Համեմատություն

Տասնորդական կոտորակների դեպքում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է։ Այստեղ որևէ բան հանելու կարիք չկա, պարզապես համեմատեք թվանշանները: Ավելորդ չի լինի հիշել, թե ինչ է թվի զգալի մասը։ Նրանց համար, ովքեր մոռացել են, առաջարկում եմ կրկնել « Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում» դասը, դա նույնպես կտևի ընդամենը մի քանի րոպե:

Դրական տասնորդական X-ը մեծ է դրական տասնորդական Y-ից, եթե այն ունի այնպիսի տասնորդական տեղ, որ.

1. X կոտորակի այս թվանշանի թվանշանը մեծ է Y կոտորակի համապատասխան թվից.
2. X և Y կոտորակներում տրվածից ավելի հին թվանշանները նույնն են:

1. 12.25 > 12.16. Առաջին երկու թվանշանները նույնն են (12 = 12), իսկ երրորդը ավելի մեծ է (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Այլ կերպ ասած, մենք հաջորդաբար նայում ենք տասնորդական թվերը և փնտրում ենք տարբերությունը: Այս դեպքում ավելի մեծ թիվը համապատասխանում է ավելի մեծ կոտորակի:

Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը հստակեցում է պահանջում: Օրինակ, ինչպե՞ս գրել և համեմատել թվանշանները մինչև տասնորդական կետը: Հիշեք՝ տասնորդական ձևով գրված ցանկացած թվի կարող է վերագրվել ձախ կողմում գտնվող զրոների ցանկացած թիվ: Ահա ևս մի քանի օրինակ.

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, քանի որ 0.0025 = 0000.0025 - ավելացրել է երեք զրո ձախ կողմում: Այժմ դուք կարող եք տեսնել, որ տարբերությունը սկսվում է առաջին բիթից՝ 2 > 0:

Իհարկե, զրոներով բերված օրինակներում եղել է բացահայտ թվարկում, բայց իմաստը հենց սա է՝ լրացրե՛ք ձախ կողմում բաց թողնված թվերը, հետո համեմատե՛ք։

Առաջադրանք. Համեմատեք կոտորակները.

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Ըստ սահմանման մենք ունենք.

1. 0,029 > 0,007: Առաջին երկու թվանշանները նույնն են (00 = 00), ապա տարբերությունը սկսվում է (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. Այստեղ դուք պետք է ուշադիր հաշվեք զրոները: Երկու կոտորակների առաջին 5 նիշերն էլ զրո են, բայց հետո առաջինում 3 է, իսկ երկրորդում՝ 0: Ակնհայտ է, որ 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. Երկրորդ կոտորակը գրենք որպես 0000.99501՝ ձախ կողմում ավելացնելով 3 զրո։ Այժմ ամեն ինչ ակնհայտ է. 1 > 0 - տարբերությունը հայտնաբերվում է առաջին թվանշանում:

Ցավոք, տասնորդական կոտորակները համեմատելու վերը նշված սխեման համընդհանուր չէ: Այս մեթոդը կարող է միայն համեմատել դրական թվեր. Ընդհանուր դեպքում աշխատանքի ալգորիթմը հետևյալն է.

1. Դրական կոտորակը միշտ ավելի մեծ է, քան բացասականը.
2. Երկու դրական կոտորակները համեմատվում են վերը նշված ալգորիթմի համաձայն.
3. Երկու բացասական կոտորակները համեմատվում են նույն կերպ, բայց վերջում անհավասարության նշանը հակադարձվում է։

Լավ, թույլ չի՞։ Հիմա եկեք դիտարկենք կոնկրետ օրինակներ, և ամեն ինչ պարզ կդառնա:

Առաջադրանք. Համեմատեք կոտորակները.

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. Կոտորակները բացասական են, 2 թվանշանները՝ տարբեր։ մեկ< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > -11.3. Դրական թիվը միշտ ավելի մեծ է, քան բացասականը.
4. 19.032 > 0.091. Բավական է վերաշարադրել երկրորդ կոտորակը 00.091-ի տեսքով, որպեսզի տեսնենք, որ տարբերությունը տեղի է ունենում արդեն 1 թվանշանով.
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001,45. Տարբերությունը առաջին կատեգորիայի մեջ է։