Բոլոր բանաձևերը և հատկությունները զուգահեռ գծեք: «Զուգահեռագիծը և դրա հատկությունները» հետազոտական նախագիծ.

Զուգահեռագծի հասկացությունը

Սահմանում 1

Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են միմյանց (նկ. 1):

Նկար 1.

Զուգահեռագիծն ունի երկու հիմնական հատկություն. Դիտարկենք դրանք առանց ապացույցների։

Սեփականություն 1: Զուգահեռագծի հակառակ կողմերն ու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են միմյանց:

Սեփականություն 2: Զուգահեռագծի վրա գծված անկյունագծերը կիսվում են իրենց հատման կետով:

Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները

Դիտարկենք զուգահեռագծի երեք հատկանիշ և ներկայացնենք դրանք թեորեմների տեսքով:

Թեորեմ 1

Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են միմյանց և նաև զուգահեռ են, ապա այս քառանկյունը կլինի զուգահեռագիծ:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի քառանկյուն $ABCD$: Որում $AB||CD$ և $AB=CD$ Եկեք դրա մեջ գծենք $AC$ անկյունագիծ (նկ. 2):

Նկար 2.

Դիտարկենք $AB$ և $CD$ զուգահեռ ուղիղները և դրանց հատվածը $AC$: Հետո

\[\անկյուն CAB=\անկյուն DCA\]

ինչպես խաչաձև անկյունները:

Եռանկյունների հավասարության $I$ չափանիշի համաձայն.

քանի որ $AC$-ը նրանց ընդհանուր կողմն է, իսկ $AB=CD$ ըստ ենթադրության: Միջոցներ

\[\անկյուն DAC=\անկյուն ACB\]

Դիտարկենք $AD$ և $CB$ տողերը և դրանց հատվածը $AC$, խաչաձև անկյունների վերջին հավասարությամբ մենք ստանում ենք $AD||CB$:) Հետևաբար, $1$-ի սահմանմամբ այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2

Եթե քառանկյան հակառակ կողմերը հավասար են, ապա այն զուգահեռագիծ է:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի քառանկյուն $ABCD$: Որում $AD=BC$ և $AB=CD$: Եկեք դրա մեջ նկարենք $AC$ անկյունագիծ (նկ. 3):

Նկար 3

Քանի որ $AD=BC$, $AB=CD$ և $AC$-ը ընդհանուր կողմ են, ապա $III$ եռանկյունի հավասարության թեստով,

\[\եռանկյուն DAC=\եռանկյուն ACB\]

\[\անկյուն DAC=\անկյուն ACB\]

Դիտարկենք $AD$ և $CB$ տողերը և դրանց կտրվածքը $AC$, խաչաձև ընկած անկյունների վերջին հավասարությամբ մենք ստանում ենք $AD||CB$: Հետևաբար, $1$-ի սահմանմամբ այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

\[\անկյուն DCA=\անկյուն CAB\]

Դիտարկենք $AB$ և $CD$ տողերը և դրանց կտրվածքը $AC$, խաչաձև անկյունների վերջին հավասարությամբ մենք ստանում ենք $AB||CD$: Հետևաբար, ըստ 1-ի սահմանման, այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 3

Եթե քառանկյունում գծված անկյունագծերը իրենց հատման կետով բաժանվում են երկու հավասար մասերի, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի քառանկյուն $ABCD$: Եկեք դրա մեջ գծենք $AC$ և $BD$ անկյունագծերը։ Թող հատվեն $O$ կետում (նկ. 4):

Նկար 4

Քանի որ $BO=OD,\ AO=OC$ պայմանով, և $\անկյուն COB=\անկյուն DOA$ անկյունները ուղղահայաց են, ապա $I$ եռանկյունի հավասարության թեստով,

\[\եռանկյուն BOC=\եռանկյուն AOD\]

\[\անկյուն DBC=\անկյուն BDA\]

Դիտարկենք $BC$ և $AD$ տողերը և դրանց կտրվածքը $BD$, խաչաձև անկյունների վերջին հավասարությամբ մենք ստանում ենք $BC||AD$: Նաև $BC=AD$: Հետևաբար, $1$ թեորեմով այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

1. Զուգահեռագծի սահմանում.

Եթե մի զույգ զուգահեռ ուղիղները հատենք մեկ այլ զույգ զուգահեռ ուղիղների հետ, ապա կստանանք քառանկյուն, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են։

ABDC և EFNM քառանկյուններում (նկ. 224) BD || AC և AB || CD;

EF || MN և EM || Ֆ.Ն.

Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, կոչվում է զուգահեռագիծ:

2. Զուգահեռագծի հատկությունները.

Թեորեմ. Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկուսի հավասար եռանկյուն.

Թող լինի ABDC զուգահեռագիծ (նկ. 225), որում AB || CD և AC || ԲԴ.

Պահանջվում է ապացուցել, որ անկյունագիծն այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։

Եկեք գծենք CB անկյունագիծ ABDC զուգահեռագծի վրա: Եկեք ապացուցենք, որ $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ:

NE կողմը ընդհանուր է այս եռանկյունների համար. ∠ABC = ∠BCD, որպես ներքին խաչաձև ընկած անկյուններ զուգահեռ AB-ով և CD-ով և հատվածային CB-ով; ∠ACB = ∠CBD, նույնը, ինչ ներքին խաչաձև ընկած անկյունները զուգահեռ AC-ով և BD-ով և կտրվածքով CB-ով:

Ուստի $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ:

Նույն կերպ կարելի է ապացուցել, որ AD անկյունագիծը զուգահեռագիծը բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների ACD և ABD:

Հետեւանքները:

1 . Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են:

∠A = ∠D, սա բխում է CAB և CDB եռանկյունների հավասարությունից:

Նմանապես, ∠C = ∠B:

2. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են:

AB \u003d CD և AC \u003d BD, քանի որ դրանք հավասար եռանկյունների կողմեր են և գտնվում են հակառակ հավասար անկյունների վրա:

Թեորեմ 2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են իրենց հատման կետում:

Թող BC և AD լինեն ABDC զուգահեռագծի անկյունագծերը (նկ. 226): Եկեք ապացուցենք, որ AO = OD և CO = OB:

Դա անելու համար եկեք համեմատենք մի քանի զույգ հակադիր եռանկյուններ, օրինակ $\Delta$AOB և $\Delta$COD:

Այս եռանկյուններում AB = CD, որպես զուգահեռագծի հակառակ կողմեր;

∠1 = ∠2, որպես ներքին անկյուններ խաչաձև ընկած AB-ի և CD-ի զուգահեռ և AD հատվածում;

∠3 = ∠4 նույն պատճառով, քանի որ AB || CD-ն և ԿԲ-ն իրենց սեկանտներն են:

Հետևում է, որ $\Delta$AOB = $\Delta$COD: Իսկ հավասար եռանկյուններում հակառակ հավասար անկյունները հավասար կողմեր են։ Հետևաբար, AO = OD և CO = OB:

Թեորեմ 3. Զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների գումարը հավասար է 180°.

ABCD զուգահեռագծի վրա գծե՛ք AC անկյունագիծ և ստացե՛ք երկու եռանկյուններ ABC և ADC:

Եռանկյունները համահունչ են, քանի որ ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (խաչ ընկած անկյունները զուգահեռ գծերում), իսկ AC կողմը ընդհանուր է:
$\Delta$ABC = $\Delta$ADC հավասարությունը ենթադրում է, որ AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D:

Մի կողմին կից անկյունների գումարը, օրինակ՝ A և D անկյունները, հավասար է 180 °-ի, որպես զուգահեռ գծերով միակողմանի:

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են: Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս զուգահեռագիծ ABCD. Այն ունի AB կողմ՝ CD կողքին զուգահեռ և BC կողմ՝ AD կողքին:

Ինչպես կռահեցիք, զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է: Դիտարկենք զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները:

Զուգահեռագծի հատկությունները

1. Զուգահեռագծի վրա հակառակ անկյուններըիսկ հակառակ կողմերը հավասար են: Եկեք ապացուցենք այս հատկությունը – դիտարկենք հետևյալ նկարում ներկայացված զուգահեռագիծը:

Diagonal BD-ն այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABD և CBD: Նրանք հավասար են BD կողմում և դրան հարող երկու անկյուններում, քանի որ BD-ի կտրվածքում ընկած անկյունները համապատասխանաբար BC և AD և AB և CD զուգահեռ ուղիղներն են: Հետեւաբար, AB = CD եւ
մ.թ.ա.=մ.թ. Իսկ 1, 2,3 և 4 անկյունների հավասարությունից հետևում է, որ A անկյուն = անկյուն1 + անկյուն3 = անկյուն2 + անկյուն4 = անկյուն C:

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով: Թող O կետը լինի ABCD զուգահեռագծի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը:

Այնուհետև AOB եռանկյունը և COD եռանկյունը հավասար են միմյանց՝ կողքի երկայնքով և նրան հարող երկու անկյուններով։ (AB=CD, քանի որ դրանք զուգահեռագծի հակառակ կողմերն են: Եվ անկյուն 1 = անկյուն2 և անկյուն3 = անկյուն4, որպես խաչաձև ընկած անկյուններ AB և CD ուղիղների հատման կետում՝ համապատասխանաբար AC և BD հատվածներով:) Հետևում է, որ AO = OC և OB = OD, որը և անհրաժեշտ էր ապացուցել:

Բոլոր հիմնական հատկությունները պատկերված են հետևյալ երեք նկարներում:

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են: Այս սահմանումն արդեն բավարար է, քանի որ զուգահեռագծի մնացած հատկությունները դրանից բխում են և ապացուցվում թեորեմների տեսքով։

Զուգահեռագծի հիմնական հատկություններն են.

զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է.
զուգահեռագիծն ունի զույգերով հավասար հակառակ կողմեր.
զուգահեռագիծն ունի հակառակ անկյուններ, որոնք զույգերով հավասար են.
զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:

Զուգահեռագիծ - ուռուցիկ քառանկյուն

Եկեք նախ ապացուցենք այն թեորեմը, որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է. Բազմանկյունը ուռուցիկ է, երբ նրա որ կողմն էլ ձգվի ուղիղ գծի վրա, բազմանկյան մյուս կողմերը կլինեն այս ուղիղ գծի նույն կողմում:

Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծ, որտեղ AB-ը CD-ի հակառակ կողմն է, իսկ BC-ն՝ AD-ի հակառակ կողմը: Այնուհետեւ զուգահեռագծի սահմանումից հետեւում է, որ AB || CD, մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ.

Զուգահեռ հատվածները չունեն ընդհանուր կետեր, չեն հատվում։ Սա նշանակում է, որ CD-ն գտնվում է AB-ի մի կողմում: Քանի որ BC հատվածը կապում է AB հատվածի B կետը CD հատվածի C կետի հետ, իսկ AD հատվածը միացնում է այլ AB և CD կետեր, BC և AD հատվածները նույնպես գտնվում են AB ուղղի նույն կողմում, որտեղ գտնվում է CD: Այսպիսով, բոլոր երեք կողմերը՝ CD, BC, AD, ընկած են AB-ի նույն կողմում։

Նմանապես ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մյուս կողմերի նկատմամբ մյուս երեք կողմերը գտնվում են նույն կողմում։

Հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են

Զուգահեռագծի հատկություններից մեկն այն է Զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու հակառակ անկյունները հավասար են. Օրինակ, եթե տրված է ABCD զուգահեռագիծ, ապա այն ունի AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D: Այս թեորեմն ապացուցված է հետևյալ կերպ.

Զուգահեռագիծը քառանկյուն է: Այսպիսով, այն ունի երկու անկյունագծեր: Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, նրանցից որևէ մեկը այն բաժանում է երկու եռանկյունի: Դիտարկենք ABC և ADC եռանկյունները ABCD զուգահեռագրում, որը ստացվել է AC անկյունագիծը գծելով:

Այս եռանկյունները ունեն մեկ ընդհանուր կողմ՝ AC: BCA անկյունը հավասար է CAD անկյան, ինչպես նաև BC և AD զուգահեռ ուղղահայացները: BAC և ACD անկյունները նույնպես հավասար են, ինչպես նաև ուղղահայաց անկյունները, երբ AB-ն և CD-ն զուգահեռ են: Հետևաբար, ∆ABC = ∆ADC երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:

Այս եռանկյունիներում AB կողմը համապատասխանում է CD կողմին, իսկ BC կողմը՝ AD: Հետևաբար, AB = CD և BC = AD:

B անկյունը համապատասխանում է D անկյունին, այսինքն՝ ∠B = ∠D: Զուգահեռագծի A անկյունը երկու անկյունների գումարն է՝ ∠BAC և ∠CAD: C հավասար անկյունը բաղկացած է ∠BCA և ∠ACD-ից: Քանի որ զույգ անկյունները հավասար են միմյանց, ապա ∠A = ∠C:

Այսպիսով, ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են։

Անկյունագծերը կիսով չափ կտրված են

Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, այն ունի երկու երկու անկյունագիծ, և դրանք հատվում են: Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը AC և BD հատվում են E կետում: Դիտարկենք դրանցից կազմված ABE և CDE եռանկյունները:

Այս եռանկյունները ունեն AB և CD կողմեր, որոնք հավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերին: ABE անկյունը հավասար է CDE անկյունին, քանի որ դրանք գտնվում են AB և CD զուգահեռ գծերի վրա: Նույն պատճառով, ∠BAE = ∠DCE: Այսպիսով, ∆ABE = ∆CDE երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:

Կարող եք նաև նկատել, որ AEB և CED անկյունները ուղղահայաց են, հետևաբար նաև հավասար են միմյանց:

Քանի որ ABE և CDE եռանկյունները հավասար են միմյանց, ուստի և նրանց բոլոր համապատասխան տարրերը: Առաջին եռանկյան AE կողմը համապատասխանում է երկրորդի CE կողմին, ուստի AE = CE: Նմանապես, BE = DE: Հավասար հատվածների յուրաքանչյուր զույգ կազմում է զուգահեռագծի անկյունագիծը: Այսպիսով, ապացուցվում է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով.

Այսօրվա դասին մենք կկրկնենք զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները, այնուհետև ուշադրություն կդարձնենք զուգահեռագծի առաջին երկու հատկանիշների քննարկմանը և ապացուցելու դրանք։ Ապացույցի ընթացքում հիշենք եռանկյունների հավասարության նշանների կիրառությունը, որոնք ուսումնասիրել ենք անցյալ տարի և կրկնել առաջին դասին։ Վերջում կբերվի զուգահեռագծի ուսումնասիրված հատկանիշների կիրառման օրինակ։

Թեմա՝ Քառանկյուններ

Դաս. Զուգահեռագծի նշաններ

Սկսենք հիշելով զուգահեռագծի սահմանումը։

Սահմանում. Զուգահեռագիծ- քառանկյուն, որի յուրաքանչյուր երկու հակառակ կողմերը զուգահեռ են (տես նկ. 1):

Բրինձ. 1. Զուգահեռագիծ

Հիշենք զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները:

Որպեսզի կարողանաք օգտագործել այս բոլոր հատկությունները, դուք պետք է վստահ լինեք, որ այն գործիչը, որի մասին հարցականի տակ, զուգահեռագիծ է։ Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք այնպիսի փաստեր, ինչպիսիք են զուգահեռագծի նշանները: Դրանցից առաջին երկուսը մենք այսօր կքննարկենք։

Թեորեմ. Զուգահեռագծի առաջին հատկանիշը.Եթե քառանկյունում երկու հակադիր կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ. .

Բրինձ. 2. Զուգահեռագծի առաջին նշանը

Ապացույց. Եկեք քառանկյունում գծենք անկյունագիծ (տե՛ս նկ. 2), նա այն բաժանեց երկու եռանկյունի: Եկեք գրենք այն, ինչ գիտենք այս եռանկյունների մասին.

ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին նշանի.

Այս եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ դրանց հատվածի հատման կետում գտնվող ուղիղների զուգահեռության հիման վրա. Մենք ունենք, որ.

Ապացուցված է.

Թեորեմ. Զուգահեռագծի երկրորդ նշանը.Եթե քառանկյունում յուրաքանչյուր երկու հակառակ կողմը հավասար է, ապա այս քառանկյունը հավասար է զուգահեռագիծ. .

Բրինձ. 3. Զուգահեռագծի երկրորդ նշանը

Ապացույց. Քառանկյան մեջ գծենք անկյունագիծ (տես նկ. 3), այն բաժանում է երկու եռանկյունի։ Եկեք գրենք այն, ինչ գիտենք այս եռանկյունների մասին՝ հիմնվելով թեորեմի ձևակերպման վրա.

եռանկյունների հավասարության երրորդ չափանիշի համաձայն.