Ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյան կոսինուսը: Dihedral անկյուն

Այս հոդվածը ինքնաթիռների միջև անկյան և այն գտնելու մասին է: Նախ, տրվում է երկու հարթությունների միջև անկյան սահմանումը և տրված է գրաֆիկական նկարազարդում։ Դրանից հետո վերլուծվել է կոորդինատային մեթոդով երկու հատվող հարթությունների անկյունը գտնելու սկզբունքը, ստացվել է բանաձև, որը թույլ է տալիս հաշվարկել հատվող հարթությունների անկյունը՝ օգտագործելով այդ հարթությունների նորմալ վեկտորների հայտնի կոորդինատները։ Եզրափակելով՝ ցուցադրվում են բնորոշ խնդիրների մանրամասն լուծումներ։

Էջի նավարկություն.

Անկյուն հարթությունների միջև - սահմանում:

Եկեք բերենք փաստարկներ, որոնք թույլ կտան աստիճանաբար մոտենալ երկու հատվող հարթությունների անկյան սահմանմանը։

Տրվենք երկու հատվող հարթություններ և . Այս հարթությունները հատվում են ուղիղ գծով, որը մենք նշում ենք c տառով։ Կառուցենք c ուղղի M կետով անցնող և c ուղղին ուղղահայաց հարթություն։ Այս դեպքում ինքնաթիռը կհատի հարթությունները և . Նշեք այն ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են և որպես a, և այն ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են և որպես b: Ակնհայտ է, որ a և b ուղիղները հատվում են M կետում:

Հեշտ է ցույց տալ, որ a և b հատվող ուղիղների միջև անկյունը կախված չէ c ուղղի M կետի տեղակայությունից, որով անցնում է հարթությունը։

Եկեք կառուցենք c ուղղին ուղղահայաց և հարթությունից տարբեր հարթություն: Հարթությունը հատվում է հարթություններով և ուղիղ գծերով, որոնք մենք համապատասխանաբար նշում ենք a 1 և b 1:

Ինքնաթիռների կառուցման մեթոդից և հետևում է, որ a և b ուղիղները ուղղահայաց են c ուղղին, իսկ a 1 և b 1 ուղիղները՝ c ուղղին: Քանի որ a և a 1 ուղիղները գտնվում են նույն հարթության մեջ և ուղղահայաց են c ուղղին, դրանք զուգահեռ են։ Նմանապես, b և b 1 ուղիղները գտնվում են նույն հարթության մեջ և ուղղահայաց են c ուղղին, հետևաբար դրանք զուգահեռ են: Այսպիսով, հնարավոր է կատարել հարթության զուգահեռ փոխանցում դեպի հարթություն, որում a 1 ուղիղը համընկնում է a տողի հետ, իսկ b ուղիղը b 1 ուղիղի հետ։ Հետևաբար, a 1 և b 1 երկու հատվող ուղիղների միջև անկյունը հավասար է a և b հատվող ուղիղների միջև եղած անկյունին:

Սա ապացուցում է, որ հատվող հարթություններում ընկած a և b հատվող ուղիղների միջև անկյունը կախված չէ M կետի ընտրությունից, որով անցնում է հարթությունը։ Հետևաբար, տրամաբանական է այս անկյունն ընդունել որպես երկու հատվող հարթությունների անկյուն։

Այժմ դուք կարող եք հնչեցնել երկու հատվող հարթությունների միջև անկյան սահմանումը և .

Սահմանում.

Անկյունը ուղիղ գծով հատվող երկու հարթությունների միջև ևերկու հատվող a և b ուղիղների միջև ընկած անկյունն է, որոնց երկայնքով հարթությունները և հատվում են c ուղղին ուղղահայաց հարթության հետ։

Երկու հարթությունների միջև անկյան սահմանումը կարող է մի փոքր այլ կերպ տրվել: Եթե c ուղղի վրա, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են, նշեք M կետը և դրա միջով գծեր գծեք a և b, ուղղահայաց c ուղղին և ընկած, համապատասխանաբար, հարթություններում, ապա a և b ուղիղների միջև անկյունը հավասար է. հարթությունների միջև անկյունը և. Սովորաբար, գործնականում նման կոնստրուկցիաները կատարվում են հարթությունների միջև անկյունը ստանալու համար։

Քանի որ հատվող գծերի միջև անկյունը չի գերազանցում, հնչեցված սահմանումից հետևում է, որ երկու հատվող հարթությունների անկյան աստիճանի չափումն արտահայտվում է ինտերվալի իրական թվով։ Այս դեպքում կոչվում են հատվող հարթություններ ուղղահայացեթե նրանց միջև անկյունը իննսուն աստիճան է: Զուգահեռ հարթությունների միջև անկյունը կա՛մ ընդհանրապես որոշված չէ, կա՛մ համարվում է հավասար զրոյի։

Գտեք անկյունը երկու հատվող հարթությունների միջև:

Սովորաբար երկու հատվող հարթությունների անկյունը գտնելիս նախ պետք է կատարել հավելյալ կոնստրուկցիաներ, որպեսզի տեսնվեն հատվող գծերը, որոնց միջև անկյունը հավասար է ցանկալի անկյան, այնուհետև այդ անկյունը միացնել սկզբնական տվյալների հետ՝ օգտագործելով հավասար նշաններ. նմանության նշանները, կոսինուսի թեորեմը կամ սինուսի, կոսինուսի և անկյան շոշափողի սահմանումները։ Ավագ դպրոցի երկրաչափության դասընթացում նմանատիպ խնդիրներ կան։

Օրինակ՝ 2012 թվականի մաթեմատիկայի միասնական պետական քննությունից C2 խնդրի լուծումը տանք (պայմանը միտումնավոր փոխված է, բայց դա չի ազդում լուծման սկզբունքի վրա)։ Դրանում պարզապես անհրաժեշտ էր գտնել երկու հատվող հարթությունների անկյունը։

Օրինակ.

Որոշում.

Նախ, եկեք նկարենք:

Կատարենք լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ՝ ինքնաթիռների միջև անկյունը «տեսնելու» համար։

Նախ, եկեք սահմանենք ուղիղ գիծ, որի երկայնքով հատվում են ABC և BED 1 հարթությունները: Բ կետը նրանց ընդհանուր կետերից մեկն է։ Գտե՛ք այս հարթությունների երկրորդ ընդհանուր կետը: DA և D 1 E ուղիղները գտնվում են նույն հարթության մեջ ADD 1, և դրանք զուգահեռ չեն և, հետևաբար, հատվում են: Մյուս կողմից, DA ուղիղը գտնվում է ABC հարթության մեջ, իսկ D 1 E ուղիղը գտնվում է BED 1 հարթության վրա, հետևաբար, DA և D 1 E ուղիղների հատման կետը կլինի ABC և ինքնաթիռների ընդհանուր կետը: Մահճակալ 1. Այսպիսով, մենք շարունակում ենք DA և D 1 E ուղիղները, մինչև դրանք հատվեն, նրանց հատման կետը նշում ենք F տառով։ Այնուհետև BF-ն այն ուղիղ գիծն է, որի երկայնքով հատվում են ABC և BED 1 հարթությունները:

Մնում է կառուցել երկու գիծ, որոնք ընկած են ABC և BED 1 հարթություններում, համապատասխանաբար, անցնելով BF գծի մեկ կետով և BF գծին ուղղահայաց - այս գծերի միջև անկյունը, ըստ սահմանման, հավասար կլինի ցանկալի անկյունին: ինքնաթիռներ ABC և BED 1: Եկեք անենք դա.

Կետ A-ն E կետի պրոյեկցիան է ABC հարթության վրա: Գծե՛ք մի ուղիղ, որը M կետում ուղիղ անկյան տակ հատում է BF ուղիղը: Այնուհետև AM ուղիղը EM ուղիղի պրոյեկցիան է ABC հարթության վրա և երեք ուղղահայաց թեորեմով:

Այսպիսով, ABC և BED 1 հարթությունների միջև ցանկալի անկյունը հավասար է:

Մենք կարող ենք որոշել այս անկյան սինուսը, կոսինուսը կամ շոշափողը (հետևաբար՝ հենց անկյունը) AEM ուղղանկյուն եռանկյունից, եթե գիտենք նրա երկու կողմերի երկարությունները: Պայմանից հեշտ է գտնել AE երկարությունը. քանի որ E կետը բաժանում է AA 1 կողմը 4-ի 3-ի նկատմամբ՝ հաշվելով A կետից, իսկ AA 1 կողմի երկարությունը 7 է, ապա AE \u003d 4: Գտնենք AM-ի երկարությունը։

Դա անելու համար հաշվի առեք A ուղղանկյուն ABF եռանկյունը, որտեղ AM բարձրությունն է: AB=2 պայմանով։ Մենք կարող ենք գտնել AF կողմի երկարությունը DD 1 F և AEF ուղղանկյուն եռանկյունների նմանությունից.

Պյութագորասի թեորեմով ABF եռանկյունից մենք գտնում ենք. Մենք գտնում ենք AM երկարությունը ABF եռանկյան տարածքի միջով. մի կողմից ABF եռանկյան մակերեսը հավասար է. , մյուս կողմից , որտեղ .

Այսպիսով, AEM ուղղանկյուն եռանկյունից ունենք .

Այնուհետև ABC և BED 1 հարթությունների միջև ցանկալի անկյունն է (նկատի ունեցեք, որ ).

Պատասխան.

Որոշ դեպքերում երկու հատվող հարթությունների անկյունը գտնելու համար հարմար է նշել Oxyz-ը և օգտագործել կոորդինատային մեթոդը։ Եկեք կանգ առնենք դրա վրա:

Առաջադրանք դնենք՝ գտնել երկու հատվող հարթությունների անկյունը և . Ցանկալի անկյունը նշենք որպես .

Մենք կենթադրենք, որ տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz գիտենք հատվող հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատները և կամ հնարավոր է գտնել դրանք։ Թող լինի հարթության նորմալ վեկտորն է, և ինքնաթիռի նորմալ վեկտորն է: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել անկյունը հատվող հարթությունների միջև և այդ հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով:

Նշենք այն ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են և որպես c . c ուղղի M կետի միջով գծում ենք c ուղղին ուղղահայաց հարթություն: Հարթությունը հատում է հարթությունները և a և b ուղիղների երկայնքով, համապատասխանաբար, a և b ուղիղները հատվում են M կետում: Ըստ սահմանման, անկյունը հատվող հարթությունների միջև և հավասար է a և b հատվող ուղիղների միջև ընկած անկյունին:

Հարթության M կետից մի կողմ դնենք նորմալ վեկտորները և հարթություններն ու . Այս դեպքում վեկտորը գտնվում է a ուղիղին ուղղահայաց ուղղի վրա, իսկ վեկտորը՝ b ուղղին ուղղահայաց։ Այսպիսով, հարթությունում վեկտորը a ուղիղի նորմալ վեկտորն է, b ուղիղի նորմալ վեկտորն է։

«Գտնելով հատվող գծերի անկյունը» հոդվածում մենք ստացանք բանաձև, որը թույլ է տալիս նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով հաշվարկել հատվող գծերի միջև անկյան կոսինուսը: Այսպիսով, a և b ուղիղների միջև անկյան կոսինուսը և, հետևաբար, և հատվող հարթությունների միջև անկյան կոսինուսըև գտնվում է բանաձևով, որտեղ և հարթությունների նորմալ վեկտորներն են և համապատասխանաբար. Այնուհետև այն հաշվարկվում է որպես .

Նախորդ օրինակը լուծենք կոորդինատային մեթոդով։

Օրինակ.

Տրված է ուղղանկյուն զուգահեռագիծ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, որում AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 և E կետը բաժանում է AA 1 կողմը 4-ից 3 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով A կետից: . Գտե՛ք անկյունը ABC և BED 1 հարթությունների միջև։

Որոշում.

Քանի որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողմերը մեկ գագաթին զույգ-զույգ ուղղահայաց են, հարմար է Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ներկայացնել հետևյալ կերպ. CD, CB և CC 1, համապատասխանաբար:

ABC և BED 1 հարթությունների միջև անկյունը կարելի է գտնել այս հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով՝ օգտագործելով բանաձևը, որտեղ և են համապատասխանաբար ABC և BED 1 հարթությունների նորմալ վեկտորները: Եկեք որոշենք նորմալ վեկտորների կոորդինատները:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

Մեր հավաքած անձնական տվյալները մեզ թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Թեորեմ

Ինքնաթիռների միջև անկյունը կախված չէ կտրող հարթության ընտրությունից:

Ապացույց.

Թող լինեն երկու հարթություններ α և β, որոնք հատվում են c ուղիղի երկայնքով: գծե՛ք γ հարթությունը գ ուղղին ուղղահայաց։ Այնուհետև γ հարթությունը հատում է α և β հարթությունները համապատասխանաբար a և b ուղիղների երկայնքով։ α և β հարթությունների անկյունը հավասար է a և b ուղիղների անկյունին։
Վերցրեք մեկ այլ կտրող հարթություն γ`, ուղղահայաց c-ին: Այնուհետև γ` հարթությունը կհատի α և β հարթությունները համապատասխանաբար a` և b` ուղիղների երկայնքով:
Զուգահեռ թարգմանությամբ γ հարթության հատման կետը c ուղիղի հետ կգնա գ հարթության հատման կետը c ուղիղի հետ։ այս դեպքում զուգահեռ թարգմանության հատկությամբ a տողը կգնա a`, b` տող b`: հետևաբար a և b, a` և b` տողերի միջև անկյունները հավասար են: Թեորեմն ապացուցված է.

Էջի նավարկություն.

Անկյուն հարթությունների միջև - սահմանում:

Նյութը ներկայացնելիս կօգտագործենք հոդվածներում տրված սահմանումները և հասկացությունները՝ տարածության հարթությունում և ուղիղ գիծ տարածության մեջ:

Տրվենք երկու հատվող հարթություններ և . Այս հարթությունները հատվում են ուղիղ գծով, որը մենք նշում ենք տառով գ. Կառուցեք կետով անցնող ինքնաթիռ Մուղիղ գև ուղղահայաց գ. Այս դեպքում ինքնաթիռը կհատի հարթությունները և . Մենք նշում ենք այն ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են և ինչպես ա, բայց ուղիղ գիծը, որով հատվում են հարթությունները և ինչպես բ. Ակնհայտորեն ուղիղ. աև բհատվում են մի կետում Մ.

Հեշտ է ցույց տալ, որ անկյունը հատվող գծերի միջև է աև բկախված չէ կետի գտնվելու վայրից Մուղիղ գծի վրա գորի միջով անցնում է ինքնաթիռը.

Կառուցեք գծին ուղղահայաց հարթություն գև տարբերվում է ինքնաթիռից: Հարթությունը հատվում է հարթություններով և ուղիղ գծերով, որոնք մենք նշում ենք ա 1և բ 1համապատասխանաբար.

Ինքնաթիռների կառուցման մեթոդից բխում է, որ գծերը աև բգծին ուղղահայաց գ, և ուղղակի ա 1և բ 1գծին ուղղահայաց գ. Քանի որ ուղիղ աև ա 1 գ, ապա դրանք զուգահեռ են։ Նմանապես, ուղիղ բև բ 1ընկած են նույն հարթության վրա և ուղղահայաց են գուրեմն դրանք զուգահեռ են։ Այսպիսով, հնարավոր է կատարել ինքնաթիռի զուգահեռ փոխանցում դեպի հարթություն, որում ուղիղ գիծը ա 1համընկնում է տողի հետ ա, և ուղիղ գիծ բուղիղ գծով բ 1. Հետևաբար, երկու հատվող գծերի միջև ընկած անկյունը ա 1և բ 1հավասար է հատվող գծերի անկյան հետ աև բ.

Սա ապացուցում է, որ անկյունը հատվող գծերի միջև աև բընկած է հատվող հարթություններում և կախված չէ կետի ընտրությունից Մորի միջով անցնում է ինքնաթիռը. Հետևաբար, տրամաբանական է այս անկյունն ընդունել որպես երկու հատվող հարթությունների անկյուն։

Այժմ դուք կարող եք հնչեցնել երկու հատվող հարթությունների միջև անկյան սահմանումը և .

Սահմանում.

Անկյուն երկու հատվող գծերի միջև գինքնաթիռներ ևերկու հատվող գծերի անկյունն է աև բ, որի երկայնքով հարթությունները և հատվում են ուղիղին ուղղահայաց հարթության հետ գ.

Երկու հարթությունների միջև անկյան սահմանումը կարող է մի փոքր այլ կերպ տրվել: Եթե ուղիղ գծի վրա հետ, որի երկայնքով հարթությունները և հատվում են, նշեք կետ Մև դրա միջով ուղիղ գծեր գծիր աև բ, գծին ուղղահայաց գև հարթություններում ընկած և համապատասխանաբար, ապա գծերի միջև ընկած անկյունը աև բհարթությունների և . Սովորաբար, գործնականում նման կոնստրուկցիաները կատարվում են հարթությունների միջև անկյունը ստանալու համար։

Էջի վերևում

Գտեք անկյունը երկու հատվող հարթությունների միջև:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, որտեղ AB=3, AD=2, AA 1 = 7և կետ Եբաժանում է կողմը AA 1հարաբերությունների մեջ 4 դեպի 3 , հաշվելով կետից ԲԱՅՑ ABCև Մահճակալ 1.

Նախ, եկեք նկարենք:

Կատարենք լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ՝ ինքնաթիռների միջև անկյունը «տեսնելու» համար։

Նախ, մենք սահմանում ենք ուղիղ գիծ, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են ABCև Մահճակալ 1. Կետ ATնրանց ընդհանուր կետերից մեկն է։ Գտե՛ք այս հարթությունների երկրորդ ընդհանուր կետը: Ուղղակի ԴԱև Դ 1 Եպառկել նույն հարթության մեջ ԱՎԵԼԱՑՆԵԼ 1, և դրանք զուգահեռ չեն և, հետևաբար, հատվում են։ Մյուս կողմից՝ ուղիղ ԴԱընկած է ինքնաթիռում ABC, և ուղիղ գիծ Դ 1 Ե- ինքնաթիռում Մահճակալ 1, այստեղից էլ՝ գծերի հատման կետը ԴԱև Դ 1 Եկլինի ինքնաթիռների ընդհանուր կետ ABCև Մահճակալ 1. Այսպիսով, եկեք շարունակենք ուղիղ ԴԱև Դ 1 Ենախքան դրանք հատվելը, տառով նշում ենք դրանց հատման կետը Ֆ. Հետո բֆ- գիծ, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են ABCև Մահճակալ 1.

Մնում է հարթություններում ընկած երկու ուղիղ գծեր կառուցել ABCև Մահճակալ 1համապատասխանաբար անցնելով գծի մեկ կետով բֆև ուղղահայաց բֆ, - այս գծերի միջև ընկած անկյունը, ըստ սահմանման, հավասար կլինի ինքնաթիռների միջև ցանկալի անկյան հետ ABCև Մահճակալ 1. Եկեք անենք դա.

Կետ ԲԱՅՑկետի պրոյեկցիան է Եդեպի ինքնաթիռ ABC. Գծի՛ր գիծ, որը հատում է գիծը ուղիղ անկյան տակ Բ.Ֆկետում Մ. Հետո գիծը AMուղիղ գծի պրոյեկցիա է ԿԵՐդեպի ինքնաթիռ ABC, և երեք ուղղանկյունների թեորեմով։

Այսպիսով, ինքնաթիռների միջև ցանկալի անկյունը ABCև Մահճակալ 1հավասար է.

Այս անկյան սինուսը, կոսինուսը կամ շոշափողը (հետևաբար և հենց անկյունը) մենք կարող ենք որոշել ուղղանկյուն եռանկյունից ԱԵՄեթե իմանանք նրա երկու կողմերի երկարությունները։ Պայմանից հեշտ է գտնել երկարությունը ԱԷ: քանի որ կետ Եբաժանում է կողմը AA 1հարաբերությունների մեջ 4 դեպի 3 , հաշվելով կետից ԲԱՅՑ, իսկ կողմի երկարությունը AA 1հավասար է 7 , ապա AE=4. Եկեք մեկ այլ երկարություն գտնենք AM.

Դա անելու համար հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյունին ABFԱջ անկյունը ԲԱՅՑ, որտեղ AMբարձրությունն է։ Ըստ պայմանի AB=2. կողմի երկարությունը AFմենք կարող ենք գտնել ուղղանկյուն եռանկյունների նմանությունից DD 1Fև AEF:

Եռանկյունից Պյութագորասի թեորեմով ABFգտնել. Երկարություն AMգտեք եռանկյան տարածքի միջով ABFմի կողմում եռանկյան մակերեսը ABFհավասար է , մյուս կողմից , որտեղից .

Այսպիսով, ուղղանկյուն եռանկյունից ԱԵՄմենք ունենք .

Այնուհետեւ ինքնաթիռների միջեւ ցանկալի անկյունը ABCև Մահճակալ 1հավասար է (նկատի ունեցեք, որ):

Որոշ դեպքերում, երկու հատվող հարթությունների միջև անկյունը գտնելու համար հարմար է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ սահմանել. Օքսիզև օգտագործեք կոորդինատային մեթոդը: Եկեք կանգ առնենք դրա վրա:

Առաջադրանք դնենք՝ գտնել երկու հատվող հարթությունների անկյունը և . Ցանկալի անկյունը նշենք որպես .

Ենթադրում ենք, որ տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսիզմենք գիտենք հատվող հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատները և կամ հնարավորություն ունենք գտնելու դրանք։ Թող լինի հարթության նորմալ վեկտորը և լինի հարթության նորմալ վեկտորը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել անկյունը հատվող հարթությունների միջև և այդ հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով:

Նշանակենք այն ուղիղը, որի երկայնքով հարթությունները հատվում են և որպես գ. Կետի միջով Մուղիղ գծի վրա գգծել ուղղին ուղղահայաց հարթություն գ. Ինքնաթիռը հատում է հարթությունները և ուղիղ գծերով աև բհամապատասխանաբար ուղիղ աև բհատվում են մի կետում Մ. Ըստ սահմանման՝ անկյունը հատվող հարթությունների միջև և հավասար է հատվող գծերի անկյան հետ աև բ.

Մի կողմ դրեք կետից Մհարթության մեջ գտնվում են նորմալ վեկտորները և հարթությունների և . Վեկտորը գտնվում է գծի վրա, որը ուղղահայաց է ա, իսկ վեկտորը գտնվում է ուղիղին ուղղահայաց գծի վրա բ. Այսպիսով, հարթությունում վեկտորը գծի նորմալ վեկտորն է ա, - նորմալ գծի վեկտոր բ.

«Գտնելով հատվող գծերի անկյունը» հոդվածում մենք ստացանք բանաձև, որը թույլ է տալիս նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով հաշվարկել հատվող գծերի միջև անկյան կոսինուսը: Այսպիսով, ուղիղների միջև անկյան կոսինուսը աև բև, հետևաբար, հատվող հարթությունների միջև անկյան կոսինուսըև գտնվում է բանաձևով, որտեղ և են հարթությունների նորմալ վեկտորները և համապատասխանաբար: Հետո անկյունը հատվող հարթությունների միջևհաշվարկվում է որպես.

Նախորդ օրինակը լուծենք կոորդինատային մեթոդով։

Տրվում է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, որտեղ AB=3, AD=2, AA 1 = 7և կետ Եբաժանում է կողմը AA 1հարաբերությունների մեջ 4 դեպի 3 , հաշվելով կետից ԲԱՅՑ. Գտեք հարթությունների միջև եղած անկյունը ABCև Մահճակալ 1.

Քանի որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողմերը մեկ գագաթին զույգ-զույգ ուղղահայաց են, հարմար է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ ներմուծել Օքսիզայսպես. սկսեք համադրել վերևի հետ Հետ, և կոորդինատային առանցքները Եզ, Օյև Օզուղարկել շուրջը CD, ԿԲև ՍԴ 1համապատասխանաբար.

Անկյուն հարթությունների միջև ABCև Մահճակալ 1կարելի է գտնել այս հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով բանաձևով, որտեղ և են հարթությունների նորմալ վեկտորները ABCև Մահճակալ 1համապատասխանաբար. Եկեք որոշենք նորմալ վեկտորների կոորդինատները:

Ինքնաթիռից սկսած ABCհամընկնում է կոորդինատային հարթության հետ Օքսի, ապա նրա նորմալ վեկտորը կոորդինատային վեկտորն է, այսինքն՝ .

Որպես սովորական հարթության վեկտոր Մահճակալ 1մենք կարող ենք վերցնել վեկտորների խաչաձև արտադրյալը և, իր հերթին, վեկտորների կոորդինատները և կարելի է գտնել կետերի կոորդինատների միջոցով AT, Եև D1(որը հոդվածում գրված է վեկտորի կոորդինատները նրա սկզբի և վերջի կետերի կոորդինատների միջոցով), և կետերի կոորդինատները. AT, Եև D1ներդրված կոորդինատային համակարգում մենք որոշում ենք խնդրի վիճակից.

Ակնհայտորեն, . Քանի որ , ապա մենք գտնում ենք կետերի կոորդինատներով (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հատվածի հոդվածի բաժանումը տվյալ հարաբերությամբ)։ Այնուհետև Oxyz-ը հավասարումներ են և .

Երբ ուսումնասիրեցինք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, պարզեցինք, որ գործակիցները ԲԱՅՑ, ATև Հետհարթության նորմալ վեկտորի համապատասխան կոորդինատներն են։ Այսպիսով, և հարթությունների նորմալ վեկտորներն են և համապատասխանաբար.

Մենք հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատները փոխարինում ենք երկու հատվող հարթությունների անկյունը հաշվարկելու բանաձևով.

Հետո . Քանի որ երկու հատվող հարթությունների միջև անկյունը բութ չէ, ապա օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունը՝ մենք գտնում ենք անկյան սինուսը.

Հարթությունների միջև անկյան չափը այն սուր անկյունն է, որը ձևավորվում է այս հարթություններում ընկած և դրանց հատման գծին ուղղահայաց գծված երկու ուղիղներով:

Շինարարական ալգորիթմ

Կամայական K կետից տրված հարթություններից յուրաքանչյուրին գծվում են ուղղահայացներ։
Մակարդակի գծի շուրջ պտույտը որոշում է γ° անկյան արժեքը K կետի գագաթի հետ:
Հաշվե՛ք հարթությունների միջև անկյունը ϕ° = 180 - γ° պայմանով, որ γ° > 90°: Եթե γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Նկարում ներկայացված է այն դեպքը, երբ α և β հարթությունները տրված են հետքերով։ Բոլոր անհրաժեշտ կոնստրուկցիաները պատրաստված են ըստ ալգորիթմի և նկարագրված են ստորև։

Որոշում

Գծագրի կամայական տեղում մենք նշում ենք K կետը: Դրանից մենք իջեցնում ենք m և n ուղղահայացները համապատասխանաբար α և β հարթություններում: m և n պրոյեկցիաների ուղղությունը հետևյալն է՝ m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β:
Մենք որոշում ենք ∠γ° իրական չափը m և n տողերի միջև։ Դա անելու համար պտտեք K գագաթով անկյան հարթությունը ճակատային f-ի շուրջը դեպի ճակատային նախագծման հարթությանը զուգահեռ դիրք: K կետի շրջադարձի R շառավիղը հավասար է O""K""K 0 ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզայի արժեքին, որի ոտքը K""K 0 = y K – y O է:
Ցանկալի անկյունը ϕ° = ∠γ° է, քանի որ ∠γ°-ն սուր է:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս խնդրի լուծումը, որում պահանջվում է գտնել α և β հարթությունների միջև γ° անկյունը, որը տրված է համապատասխանաբար զուգահեռ և հատվող ուղիղներով։

Որոշում

Որոշում ենք α և β հարթություններին պատկանող h 1, h 2 հորիզոնականների և f 1, f 2 ֆրոնտալների ելուստների ուղղությունը՝ սլաքներով նշված հերթականությամբ։ Քառակուսու վրա կամայական K կետից: α և β մենք գցում ենք e և k ուղղանկյունները: Այս դեպքում e""⊥f"" 1, e"⊥h" 1 և k""⊥f"" 2, k"⊥h" 2:
Որոշում ենք ∠γ° e և k տողերի միջև։ Դա անելու համար մենք գծում ենք հորիզոնական h 3 և պտտում ենք K կետը դրա շուրջը դեպի K 1 դիրքը, որի դեպքում △CKD-ը զուգահեռ կդառնա հորիզոնական հարթությանը և կարտացոլվի դրա վրա ամբողջ չափսով - △C «K» 1 D: «. O պտտման կենտրոնի պրոյեկցիան գտնվում է h «3 ուղղահայաց K «O»-ի վրա գծված: R շառավիղը որոշվում է O «K» K 0 ուղղանկյուն եռանկյունից, որի կողմը K «K 0 \u003d Z O է: - Զ Կ.
Ցանկալի արժեքը ∠ϕ° = ∠γ° է, քանի որ γ° անկյունը սուր է:

Տիեզերքում երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս հաճախ լինում են այնպիսիք, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել տարբեր տարածական օբյեկտների անկյունները։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք հարթությունների և դրանց միջև եղած անկյունները և ուղիղ գիծը գտնելու հարցը:

Ուղիղ գիծ տարածության մեջ

Հայտնի է, որ հարթության մեջ բացարձակապես ցանկացած ուղիղ կարող է սահմանվել հետևյալ հավասարությամբ.

Ահա a և b թվերը: Եթե տարածության մեջ ուղիղ գիծ ենք ներկայացնում նույն արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք z առանցքին զուգահեռ հարթություն։ Տարածական գծի մաթեմատիկական սահմանման համար օգտագործվում է լուծման այլ մեթոդ, քան երկչափ դեպքում։ Այն բաղկացած է «ուղղորդող վեկտոր» հասկացության կիրառումից։

Հարթությունների հատման անկյունը որոշելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Իմանալով, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյունը, մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրը. Տրված է երկու հարթություն, որոնց հավասարումները ունեն ձև.

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Ո՞րն է հարթությունների միջև եղած անկյունը:

Խնդրի հարցին պատասխանելու համար հիշեցնում ենք, որ հարթության ընդհանուր հավասարման փոփոխականների մոտ կանգնած գործակիցները ուղղորդող վեկտորի կոորդինատներն են։ Այս ինքնաթիռների համար մենք ունենք դրանց նորմալների հետևյալ կոորդինատները.

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Այժմ մենք գտնում ենք այս վեկտորների և դրանց մոդուլների սկալյար արտադրյալը, ունենք.

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Այժմ գտնված թվերը կարող եք փոխարինել նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևով: Մենք ստանում ենք.

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Ստացված արժեքը համապատասխանում է խնդրի պայմանում նշված հարթությունների հատման սուր անկյունին։

Հիմա նայենք մեկ այլ օրինակի։ Տրված է երկու ինքնաթիռ.

Արդյո՞ք դրանք հատվում են: Եկեք դուրս գրենք դրանց ուղղության վեկտորների կոորդինատների արժեքները, հաշվարկենք դրանց սկալյար արտադրյալը և մոդուլները.

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Այնուհետև հատման անկյունը հետևյալն է.

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Այս անկյունը ցույց է տալիս, որ հարթությունները չեն հատվում, այլ զուգահեռ են։ Այն փաստը, որ դրանք չեն համապատասխանում միմյանց, հեշտ է ստուգել: Սրա համար վերցնենք դրանցից առաջինին պատկանող կամայական կետ, օրինակ՝ P(0; 3; 2): Փոխարինելով դրա կոորդինատները երկրորդ հավասարման մեջ՝ ստանում ենք.

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Այսինքն՝ P կետը պատկանում է միայն առաջին հարթությանը։

Այսպիսով, երկու հարթություններ զուգահեռ են, երբ դրանց նորմալներն են։

Ինքնաթիռ և գիծ

Հարաբերական դիրքը հարթության և ուղիղ գծի միջև դիտարկելու դեպքում կան մի քանի տարբերակներ, քան երկու հարթություններում: Այս փաստը կապված է ուղիղ գծի միաչափ օբյեկտ լինելու հետ։ Գիծը և հարթությունը կարող են լինել.

փոխադարձաբար զուգահեռ, այս դեպքում ինքնաթիռը չի հատում գիծը.
վերջինս կարող է պատկանել ինքնաթիռին, մինչդեռ այն նաև զուգահեռ կլինի դրան.
երկու առարկաները կարող են հատվել ինչ-որ անկյան տակ:

Նախ դիտարկենք վերջին դեպքը, քանի որ այն պահանջում է հատման անկյան հասկացության ներմուծում:

Գիծ և հարթություն, նրանց միջև անկյան արժեքը

Եթե ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը, ապա այն կոչվում է թեք դրա նկատմամբ։ հատման կետը կոչվում է թեքության հիմք։ Այս երկրաչափական առարկաների միջև անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ցանկացած կետից իջեցնել հարթությանը ուղղահայաց ուղիղը: Այնուհետև հարթության հետ ուղղահայաց հատման կետը և նրա հետ թեք գծի հատման վայրը կազմում են ուղիղ գիծ։ Վերջինս կոչվում է սկզբնական գծի պրոյեկցիա դիտարկվող հարթության վրա։ Սուր և դրա պրոյեկցիան ցանկալին է:

Հարթության և թեքության միջև անկյան փոքր-ինչ շփոթեցնող սահմանումը կպարզվի ստորև բերված նկարով:

Այստեղ ABO անկյունը AB ուղղի և a հարթության անկյունն է:

Դրա համար բանաձև գրելու համար դիտարկենք օրինակ. Թող լինեն ուղիղ գիծ և հարթություն, որոնք նկարագրված են հավասարումներով.

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Հեշտ է հաշվարկել այս օբյեկտների համար ցանկալի անկյունը, եթե գտնեք սկալյար արտադրյալը գծի ուղղության վեկտորների և հարթության միջև: Ստացված սուր անկյունը պետք է հանել 90 o-ից, այնուհետև այն ստացվում է ուղիղ գծի և հարթության միջև։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս դիտարկված անկյունը գտնելու նկարագրված ալգորիթմը: Այստեղ β-ն անկյունն է նորմալի և ուղիղի միջև, և α-ն գծի և հարթության վրա դրա ելքի միջև է: Երևում է, որ դրանց գումարը հավասար է 90 o-ի։

Վերևում ներկայացվեց մի բանաձև, որը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչպես գտնել հարթությունների միջև անկյուն։ Այժմ ուղիղ գծի և հարթության դեպքի համար տալիս ենք համապատասխան արտահայտությունը.

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Բանաձևի մոդուլը թույլ է տալիս հաշվարկել միայն սուր անկյունները: Արկսինի ֆունկցիան առաջացել է արկկոսինի փոխարեն՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև համապատասխան կրճատման բանաձևի կիրառման շնորհիվ (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)):

Խնդիր. Ինքնաթիռը հատում է գիծը

Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես աշխատել վերը նշված բանաձեւով: Լուծենք խնդիրը՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել y առանցքի և հարթության անկյունը, որը տրված է հավասարմամբ.

Այս ինքնաթիռը ներկայացված է նկարում:

Երևում է, որ այն հատում է y և z առանցքները համապատասխանաբար (0; -12; 0) և (0; 0; 12) կետերում և զուգահեռ է x առանցքին:

y ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն ունի կոորդինատներ (0; 1; 0): Տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը բնութագրվում է կոորդինատներով (0; 1; -1): Մենք կիրառում ենք ուղիղ գծի և հարթության հատման անկյան բանաձևը, ստանում ենք.

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Խնդիր՝ հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գիծ

Հիմա լուծենք նախորդի նման մի խնդիր, որի հարցն այլ կերպ է դրված։ Հարթության և ուղիղ գծի հավասարումները հայտնի են.

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Պետք է պարզել, թե արդյոք այս երկրաչափական առարկաները զուգահեռ են միմյանց։

Մենք ունենք երկու վեկտոր՝ ուղղորդող գիծը (0; 2; 2) է, իսկ ուղղորդող հարթությունը՝ (1; 1; -1): Մենք գտնում ենք նրանց սկալյար արտադրանքը.

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Ստացված զրոն ցույց է տալիս, որ այս վեկտորների միջև անկյունը 90 o է, որն ապացուցում է ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռությունը։

Հիմա եկեք ստուգենք՝ արդյոք այս ուղիղը միայն զուգահեռ է, թե՞ գտնվում է հարթության մեջ։ Դա անելու համար ընտրեք կամայական կետ գծի վրա և ստուգեք, թե արդյոք այն պատկանում է ինքնաթիռին: Օրինակ՝ վերցնենք λ = 0, ապա P(1; 0; 0) կետը պատկանում է ուղիղին։ Մենք P հարթության հավասարման մեջ փոխարինում ենք.

P կետը չի պատկանում հարթությանը, հետևաբար ամբողջ ուղիղը չի գտնվում դրա մեջ։

Որտե՞ղ է կարևոր իմանալ դիտարկվող երկրաչափական առարկաների միջև եղած անկյունները:

Վերոնշյալ բանաձեւերն ու խնդիրների լուծման օրինակները միայն տեսական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում։ Դրանք հաճախ օգտագործվում են իրական եռաչափ պատկերների կարևոր ֆիզիկական քանակությունները որոշելու համար, ինչպիսիք են պրիզմաները կամ բուրգերը: Կարևոր է, որ կարողանանք որոշել հարթությունների միջև ընկած անկյունը, երբ հաշվարկում ենք պատկերների ծավալները և դրանց մակերեսների մակերեսները: Ընդ որում, եթե ուղիղ պրիզմայի դեպքում նշված մեծությունները որոշելու համար հնարավոր է չօգտագործել այս բանաձեւերը, ապա ցանկացած տեսակի բուրգի համար դրանց օգտագործումն անխուսափելի է։

Ստորև մենք կքննարկենք նշված տեսության կիրառման օրինակ՝ քառակուսի հիմքով բուրգի անկյունները որոշելու համար:

Բուրգը և դրա անկյունները

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս բուրգը, որի հիմքում ընկած է a կողմ ունեցող քառակուսի: Ֆիգուրի բարձրությունը հ. Դուք պետք է գտնեք երկու անկյուն.

կողային մակերեսի և հիմքի միջև;
կողային եզրի և հիմքի միջև:

Խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է մտնել կոորդինատային համակարգ և որոշել համապատասխան գագաթների պարամետրերը։ Նկարը ցույց է տալիս, որ կոորդինատների ծագումը համընկնում է քառակուսի հիմքի կենտրոնում գտնվող կետի հետ: Այս դեպքում բազային հարթությունը նկարագրվում է հավասարմամբ.

Այսինքն՝ ցանկացած x-ի և y-ի դեպքում երրորդ կոորդինատի արժեքը միշտ զրո է։ ABC կողային հարթությունը հատում է z առանցքը B(0; 0; h) կետում, իսկ y առանցքը կետում կոորդինատներով (0; a/2; 0): Այն չի անցնում x առանցքը: Սա նշանակում է, որ ABC հարթության հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

y / (a / 2) + z / h = 1 կամ
2 * h * y + a * z - a * h = 0

AB¯ վեկտորը կողային եզր է: Դրա սկզբի և վերջի կոորդինատներն են՝ A(a/2; a/2; 0) և B(0; 0; h): Այնուհետև ինքնին վեկտորի կոորդինատները.

Մենք գտել ենք բոլոր անհրաժեշտ հավասարումները և վեկտորները։ Այժմ մնում է օգտագործել դիտարկված բանաձեւերը։

Նախ, բուրգում մենք հաշվարկում ենք հիմքի և կողմի հարթությունների անկյունը: Համապատասխան նորմալ վեկտորներն են՝ n 1 ¯(0; 0; 1) և n 2 ¯(0; 2*h; a): Այնուհետև անկյունը կլինի.