"tört racionális egyenletek megoldása". Racionális egyenletek

A legkisebb közös nevezőt használjuk az egyszerűsítéshez adott egyenlet. Ezt a módszert akkor használjuk, ha az adott egyenletet nem tudja felírni egy racionális kifejezéssel az egyenlet mindkét oldalára (és használja a keresztszorzás módszerét). Ezt a módszert akkor használjuk, ha 3 vagy több törtből álló racionális egyenletet kapunk (két tört esetén jobb a keresztszorzás).

Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét (vagy legkisebb közös többszörösét). NOZ az legkisebb szám, amely egyenletesen osztható minden nevezővel.

• Néha a NOZ nyilvánvaló szám. Például, ha az egyenlet adott: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, akkor nyilvánvaló, hogy a 3, 2 és 6 számok legkisebb közös többszöröse 6 lesz.
• Ha a NOD nem egyértelmű, írjuk fel a legnagyobb nevező többszöröseit, és keressünk közöttük olyat, amelyik a többi nevező többszöröse is. A NOD-t gyakran úgy találhatja meg, hogy egyszerűen megszoroz két nevezőt. Például, ha az x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 egyenlet adott, akkor NOZ = 8*9 = 72.
• Ha egy vagy több nevező tartalmaz változót, akkor a folyamat valamivel bonyolultabb (de nem lehetetlen). Ebben az esetben a NOZ egy olyan kifejezés (amely változót tartalmaz), amely osztható minden nevezővel. Például az 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) egyenletben, mivel ez a kifejezés osztható minden nevezővel: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Szorozzuk meg az egyes törtek számlálóját és nevezőjét egy olyan számmal, amely megegyezik a NOZ-nak az egyes törtek megfelelő nevezőjével való osztásával. Mivel a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal szorozza meg, gyakorlatilag egy törtet szoroz 1-gyel (például 2/2 = 1 vagy 3/3 = 1).

• Példánkban tehát szorozzuk meg x/3-at 2/2-vel, hogy 2x/6-ot kapjunk, és 1/2-t 3/3-mal, hogy 3/6-ot kapjunk (3x + 1/6-ot nem kell szorozni, mert ez a nevező 6).
• Hasonló módon járjon el, ha a változó a nevezőben van. Második példánkban NOZ = 3x(x-1), tehát 5/(x-1)-szer (3x)/(3x) az 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x-szer 3(x-1)/3(x-1), hogy 3(x-1)/3x(x-1) legyen; 2/(3x) megszorozzuk (x-1)/(x-1)-gyel, és 2(x-1)/3x(x-1) kapunk.

Keresse meg x-et. Most, hogy a törteket közös nevezőre csökkentette, megszabadulhat a nevezőtől. Ehhez szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel. Ezután oldja meg a kapott egyenletet, azaz keresse meg "x"-et. Ehhez izolálja a változót az egyenlet egyik oldalán.

• Példánkban: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. 2 frakciót adhat hozzá ugyanaz a nevező, ezért írja fel az egyenletet a következőképpen: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-tal, és szabaduljunk meg a nevezőktől: 2x+3 = 3x +1. Oldja meg és kapja meg, hogy x = 2.
• Második példánkban (változóval a nevezőben) az egyenlet így néz ki (közös nevezőre redukálás után): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk NOZ-zal, akkor megszabadulunk a nevezőtől, és megkapjuk: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), vagy 15x = 3x - 3 + 2x -2, ill. 15x = x - 5 Oldja meg és kapja meg: x = -5/14.

Egyszerűen fogalmazva, ezek olyan egyenletek, amelyekben van legalább egy változó a nevezőben.

Például:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Példa nem töredékes racionális egyenletek:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hogyan oldhatók meg a tört racionális egyenletek?

A tört racionális egyenletekkel kapcsolatban a legfontosabb dolog, amit meg kell jegyezni, az az, hogy bele kell írni. És miután megtalálta a gyökereket, feltétlenül ellenőrizze, hogy elfogadhatók-e. Ellenkező esetben idegen gyökerek jelenhetnek meg, és az egész megoldás helytelennek minősül.

Algoritmus tört racionális egyenlet megoldására:

Írd ki és "oldd meg" az ODZ-t.

Szorozzuk meg az egyenlet minden tagját egy közös nevezővel, és csökkentsük a kapott törteket. A nevezők eltűnnek.

Írd fel az egyenletet zárójelek nyitása nélkül!

Oldja meg a kapott egyenletet!

Ellenőrizze a talált gyökereket az ODZ segítségével.

Válaszul írja le a 7. lépésben a tesztet sikeresen teljesítő gyököket.

Ne jegyezd meg az algoritmust, 3-5 megoldott egyenletet – és magától meg fog emlékezni.

Példa . Tört racionális egyenlet megoldása \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Megoldás:

Válasz: \(3\).

Példa . Keresse meg a \(=0\) tört racionális egyenlet gyökereit

Megoldás:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Leírjuk és "megoldjuk" az ODZ-t. Bontsa ki a \(x^2+7x+10\) értéket a következő képletbe: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Szerencsére \(x_1\) és \(x_2\) már megtaláltuk.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Nyilvánvalóan a törtek közös nevezője: \((x+2)(x+5)\). Az egész egyenletet megszorozzuk vele.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Csökkentjük a törteket
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		A zárójelek kinyitása
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Hasonló feltételeket adunk
\(2x^2+9x-5=0\)		Az egyenlet gyökereinek megtalálása
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Az egyik gyökér nem fér el az ODZ alá, ezért válaszul csak a második gyökeret írjuk le.

Válasz: \(\frac(1)(2)\).

Az óra céljai:

Oktatóanyag:

• tört racionális egyenletek fogalmának kialakítása;
• a tört racionális egyenletek megoldásának különféle módjainak mérlegelése;
• fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt is, hogy a tört egyenlő nullával;
• tört racionális egyenletek megoldásának tanítása az algoritmus szerint;
• a téma asszimilációs szintjének ellenőrzése tesztmunka lebonyolításával.

Fejlesztés:

• a megszerzett tudással való helyes működés, a logikus gondolkodás képességének fejlesztése;
• intellektuális készségek és mentális műveletek fejlesztése - elemzés, szintézis, összehasonlítás és általánosítás;
• a kezdeményezőkészség, a döntési képesség fejlesztése, nem áll meg itt;
• fejlődés kritikus gondolkodás;
• kutatási készségek fejlesztése.

Gondoskodó:

• nevelés kognitív érdeklődés a tárgyhoz;
• önállóságra nevelés a nevelési problémák megoldásában;
• akarat és kitartás nevelése a végső eredmények elérése érdekében.

Az óra típusa: lecke - új anyag magyarázata.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Helló srácok! Az egyenletek fel vannak írva a táblára, alaposan nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

Azokat az egyenleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal tört racionális kifejezések, tört racionális egyenleteknek nevezzük. Mit gondolsz, mit fogunk tanulni ma a leckében? Fogalmazd meg az óra témáját! Tehát kinyitjuk a jegyzetfüzeteket, és felírjuk a „Tört racionális egyenletek megoldása” lecke témáját.

2. A tudás aktualizálása. Frontális felmérés, szóbeli munka az osztállyal.

És most megismételjük a fő elméleti anyagot, amelyet tanulmányoznunk kell új téma. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

1. Mi az egyenlet? ( Változóval vagy változókkal való egyenlőség.)
2. Mi a neve az 1. egyenletnek? ( Lineáris.) Lineáris egyenletek megoldásának módszere. ( Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Hozz hasonló kifejezéseket. Keresse meg az ismeretlen szorzót).
3. Hogy hívják a 3. egyenletet? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. ( A teljes négyzet kiválasztása képletekkel, a Vieta-tétel felhasználásával és következményei.)
4. Mi az arány? ( Két összefüggés egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány igaz, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)
5. Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldására? ( 1. Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át, előjelét megváltoztatva, akkor az adott egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét részét ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott.)
6. Mikor egyenlő egy tört nullával? ( A tört nulla, amikor a számláló nulla, és a nevező nem egyenlő nullával.)

3. Új anyag magyarázata.

Oldja meg a 2. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 10.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani az arányosság alaptulajdonságával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Oldja meg a 4. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Válasz: 3;4.

Most próbálja meg megoldani a 7. egyenletet valamelyik módon.

(x2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 \u003d -2			x 3 = 5 x 4 \u003d -2
Válasz: 0;5;-2.			Válasz: 5;-2.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Mely számok gyökei ennek a tört racionális egyenletnek?

A hallgatók mindeddig nem találkoztak az idegen gyökér fogalmával, valóban nagyon nehéz megérteniük, hogy ez miért történt. Ha az osztályban senki nem tud világos magyarázatot adni erre a helyzetre, akkor a tanár feltesz vezető kérdéseket.

• Miben különbözik a 2. és 4. egyenlet az 5., 6., 7. egyenlettől? ( A 2. és 4. számú egyenletben a szám nevezőjében, az 5-7. számú egyenletekben - változós kifejezések.)
• Mi az egyenlet gyöke? ( Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik.)
• Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám az egyenlet gyökere? ( Ellenőrizd.)

A teszt elvégzésekor néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és 5 számok nem ennek az egyenletnek a gyökerei. Felmerül a kérdés: van-e olyan módszer a tört racionális egyenletek megoldására, amely kiküszöböli ezt a hibát? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört egyenlő nullával.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ha x=5, akkor x(x-5)=0, tehát 5 egy idegen gyök.

Ha x=-2, akkor x(x-5)≠0.

Válasz: -2.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk fogalmazzák meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

1. Vigyen mindent balra.
2. Hozd a törteket közös nevezőre.
3. Alkossunk rendszert: egy tört nulla, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.
4. Oldja meg az egyenletet.
5. Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.
6. Írd le a választ.

Megbeszélés: hogyan formalizáljuk a megoldást, ha az arányosság alaptulajdonságát és az egyenlet mindkét oldalának közös nevezővel való szorzását használjuk. (Kiegészítsük a megoldást: zárjuk ki a gyökéből azokat, amelyek a közös nevezőt nullára fordítják).

4. Az új anyag elsődleges megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók az egyenlet típusától függően maguk választják meg, hogyan oldják meg az egyenletet. Feladatok az "Algebra 8" tankönyvből, Yu.N. Makarychev, 2007: 600. sz. (b, c, i); No. 601(a, e, g). A tanár ellenőrzi a feladat elvégzését, válaszol a felmerült kérdésekre, segítséget nyújt a rosszul teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: A válaszok fel vannak írva a táblára.

b) 2 egy idegen gyök. Válasz: 3.

c) 2 egy idegen gyök. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

g) Válasz: 1; 1.5.

5. Nyilatkozat a házi feladatról.

1. Olvassa el a tankönyv 25. tételét, elemezze az 1-3.
2. Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusát.
3. 600. sz. füzetekben megoldani (a, d, e); No. 601 (g, h).
4. Próbálja meg megoldani a #696(a) (opcionális).

6. Ellenőrző feladat teljesítése a tanult témában.

A munka lapokon történik.

Munka példa:

A) Az egyenletek közül melyik tört racionális?

B) Egy tört nulla, ha a számláló __________________________, a nevező pedig ___________________________.

K) A -3 szám a 6. egyenlet gyökere?

D) Oldja meg a 7. egyenletet!

Feladat értékelési szempontok:

• Az „5” akkor jár, ha a tanuló a feladat több mint 90%-át helyesen teljesítette.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• A „2”-t az a tanuló kapja, aki a feladat 50%-ánál kevesebbet teljesített.
• A 2. évfolyam nem kerül be a naplóba, a 3. nem kötelező.

7. Reflexió.

Az önálló munkát tartalmazó szórólapokra tegye fel:

• 1 - ha a lecke érdekes és érthető volt az Ön számára;
• 2 - érdekes, de nem egyértelmű;
• 3 - nem érdekes, de érthető;
• 4 - nem érdekes, nem egyértelmű.

8. A lecke összegzése.

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a tört racionális egyenletekkel, megtanultuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket. különböző utak, képzés segítségével mérték össze tudásukat önálló munkavégzés. Az önálló munka eredményeit a következő órán sajátítod el, otthon lesz lehetőséged a megszerzett tudás megszilárdítására.

A tört racionális egyenletek megoldásának melyik módja szerinted könnyebb, elérhetőbb, racionálisabb? A tört racionális egyenletek megoldási módszerétől függetlenül mit nem szabad elfelejteni? Mi a tört racionális egyenletek "ravaszsága"?

Köszönöm mindenkinek, a lecke véget ért.

Ismerkedjünk meg a racionális és a tört racionális egyenletekkel, adjuk meg definíciójukat, mondjunk példákat, és elemezzük a leggyakoribb problématípusokat is.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionális egyenlet: definíció és példák

A racionális kifejezésekkel való ismerkedés az iskola 8. osztályában kezdődik. Ebben az időben az algebra órákon a tanulók egyre gyakrabban kezdenek találkozni olyan feladatokkal, amelyekben egyenletek szerepelnek racionális kifejezések a jegyzeteidben. Frissítsük fel az emlékezetünket, hogy mi is ez.

1. definíció

racionális egyenlet olyan egyenlet, amelyben mindkét oldal racionális kifejezéseket tartalmaz.

Különböző kézikönyvekben más megfogalmazást találhat.

2. definíció

racionális egyenlet- ez egy egyenlet, melynek bal oldalának rekordja racionális kifejezést, a jobb oldali pedig nullát tartalmaz.

A racionális egyenletekre adott definíciók ekvivalensek, mivel ugyanazt jelentik. Szavaink helyességét igazolja, hogy bármilyen racionális kifejezésre PÉs K egyenletek P=QÉs P − Q = 0 ekvivalens kifejezések lesznek.

Most pedig térjünk a példákra.

1. példa

Racionális egyenletek:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

A racionális egyenletek, akárcsak más típusú egyenletek, tetszőleges számú változót tartalmazhatnak 1-től többig. Először is megfontoljuk egyszerű példák, amelyben az egyenletek csak egy változót tartalmaznak. És akkor elkezdjük fokozatosan bonyolítani a feladatot.

A racionális egyenletek két nagy csoportra oszthatók: egészekre és törtekre. Nézzük meg, mely egyenletek lesznek érvényesek az egyes csoportokra.

3. definíció

A racionális egyenlet akkor lesz egész szám, ha a bal és jobb rész rekordja teljes racionális kifejezéseket tartalmaz.

4. definíció

Egy racionális egyenlet akkor lesz tört, ha az egyik vagy mindkét része törtet tartalmaz.

A tört racionális egyenletek szükségszerűen tartalmazzák a változóval való osztást, vagy a változó szerepel a nevezőben. Az egész egyenletek írásánál nincs ilyen felosztás.

2. példa

3 x + 2 = 0És (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 teljes racionális egyenletek. Itt az egyenlet mindkét részét egész kifejezések reprezentálják.

1 x - 1 = x 3 és x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 tört racionális egyenletek.

A teljes racionális egyenletek tartalmaznak lineáris és másodfokú egyenleteket.

Teljes egyenletek megoldása

Az ilyen egyenletek megoldása általában ekvivalens algebrai egyenletekké való átalakulásukra redukálódik. Ez az egyenletek egyenértékű transzformációjával érhető el a következő algoritmus szerint:

• először nullát kapunk az egyenlet jobb oldalán, ehhez át kell vinni az egyenlet jobb oldalán lévő kifejezést a bal oldalára, és meg kell változtatni az előjelet;
• majd az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést polinommá alakítjuk standard nézet.

Algebrai egyenletet kell kapnunk. Ez az egyenlet egyenértékű lesz az eredeti egyenlettel. Az egyszerű esetek lehetővé teszik a probléma megoldását úgy, hogy a teljes egyenletet lineárisra vagy másodfokúra redukáljuk. Általános esetben egy algebrai fokszámegyenletet oldunk meg n.

3. példa

Meg kell találni a teljes egyenlet gyökereit 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Megoldás

Alakítsuk át az eredeti kifejezést, hogy egy vele ekvivalens algebrai egyenletet kapjunk. Ehhez az egyenlet jobb oldalán található kifejezést átvisszük a bal oldalra, és az előjelet az ellenkezőjére változtatjuk. Ennek eredményeként a következőket kapjuk: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Most átalakítjuk a bal oldalon lévő kifejezést szabványos polinommá, és végrehajtjuk szükséges intézkedéseket ezzel a polinommal:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Az eredeti egyenlet megoldását sikerült redukálni egy alakú másodfokú egyenlet megoldására x 2 − 5 x − 6 = 0. Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa pozitív: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ez azt jelenti, hogy két igazi gyökér lesz. Keressük meg őket a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 vagy x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 vagy x 2 = - 1

Ellenőrizzük a megoldás során talált egyenlet gyökeinek helyességét. Ezt a kapott számot behelyettesítjük az eredeti egyenletbe: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3És 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Az első esetben 63 = 63 , a másodikban 0 = 0 . Gyökerek x=6És x = − 1 valóban a példafeltételben megadott egyenlet gyökerei.

Válasz: 6 , − 1 .

Nézzük meg, mit jelent a „teljes egyenlet hatványa”. Gyakran találkozunk ezzel a kifejezéssel olyan esetekben, amikor egy teljes egyenletet algebrai formában kell ábrázolnunk. Határozzuk meg a fogalmat.

5. definíció

Egy egész egyenlet foka az eredeti teljes egyenlettel egyenértékű algebrai egyenlet foka.

Ha a fenti példából megnézzük az egyenleteket, megállapíthatjuk: ennek az egész egyenletnek a foka a második.

Ha a tantárgyunk a másodfokú egyenletek megoldására korlátozódott, akkor a témakör átgondolása itt befejeződhetne. De nem minden olyan egyszerű. A harmadfokú egyenletek megoldása nehézségekkel jár. A negyedik fok feletti egyenletek esetében pedig egyáltalán nem létezik általános képletek gyökerei. Ebben a tekintetben a teljes, harmadik, negyedik és egyéb fokú egyenletek megoldása számos más technikát és módszert igényel.

A teljes racionális egyenletek megoldásának leggyakrabban használt megközelítése a faktorizációs módszeren alapul. A műveletek algoritmusa ebben az esetben a következő:

• a kifejezést a jobb oldalról a bal oldalra visszük át úgy, hogy a rekord jobb oldalán nulla maradjon;
• a bal oldali kifejezést faktorok szorzataként ábrázoljuk, majd áttérünk több egyszerűbb egyenletből álló halmazra.

4. példa

Keressük meg az (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) egyenlet megoldását.

Megoldás

A kifejezést a rekord jobb oldaláról a bal oldalra visszük át az ellenkező előjellel: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. A bal oldal átalakítása szabványos polinommá nem praktikus, mivel így egy negyedik fokú algebrai egyenletet kapunk: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Az átalakítás egyszerűsége nem indokolja az ilyen egyenlet megoldásának minden nehézségét.

Sokkal könnyebb másfelé haladni: kivesszük a közös tényezőt x 2 − 10 x + 13 .Így a forma egyenletéhez jutunk (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Most a kapott egyenletet lecseréljük két másodfokú egyenletből álló halmazra x 2 − 10 x + 13 = 0És x 2 − 2 x − 1 = 0és keressük meg gyökereiket a diszkrimináns segítségével: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Válasz: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Hasonlóképpen használhatjuk az új változó bevezetésének módszerét. Ezzel a módszerrel olyan ekvivalens egyenletekre térhetünk át, amelyek teljesítménye kisebb, mint az eredeti teljes egyenletben.

5. példa

Az egyenletnek van gyökere? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Megoldás

Ha most megpróbálunk egy egész racionális egyenletet egy algebraira redukálni, akkor egy 4. fokú egyenletet kapunk, amelynek nincs racionális gyöke. Ezért könnyebb lesz a másik irányba menni: bevezetni egy új y változót, amely lecseréli az egyenletben szereplő kifejezést. x 2 + 3 x.

Most a teljes egyenlettel fogunk dolgozni (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). Az egyenlet jobb oldalát átvisszük az ellenkező előjelű bal oldalra, és végrehajtjuk a szükséges átalakításokat. Kapunk: y 2 + 4 y + 3 = 0. Keressük meg a másodfokú egyenlet gyökereit: y = −1És y = – 3.

Most végezzük el a fordított helyettesítést. Két egyenletet kapunk x 2 + 3 x = – 1És x 2 + 3 x = - 3 .Írjuk át őket x 2 + 3 x + 1 = 0 és x 2 + 3 x + 3 = 0. Az első kapott egyenlet gyökeinek megkereséséhez a másodfokú egyenlet gyökeinek képletét használjuk: - 3 ± 5 2 . A második egyenlet diszkriminánsa negatív. Ez azt jelenti, hogy a második egyenletnek nincs valódi gyökere.

Válasz:- 3 ± 5 2

Magas fokú egész egyenletek gyakran találkoznak a feladatokban. Nem kell félni tőlük. Készen kell állnia egy nem szabványos módszer alkalmazására ezek megoldására, beleértve számos mesterséges átalakítást.

Törtracionális egyenletek megoldása

Ennek az altémának a vizsgálatát a p (x) q (x) = 0 alakú tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmussal kezdjük, ahol p(x)És q(x) egész szám racionális kifejezések. Más törtracionális egyenletek megoldása mindig visszavezethető a jelzett formájú egyenletek megoldására.

A p (x) q (x) = 0 egyenletek megoldásának leggyakrabban használt módszere a következő állításon alapul: numerikus tört u v, ahol v a nullától eltérő szám, csak akkor egyenlő nullával, ha a tört számlálója nulla. A fenti állítás logikáját követve kijelenthetjük, hogy a p (x) q (x) = 0 egyenlet megoldása két feltétel teljesülésére redukálható: p(x)=0És q(x) ≠ 0. Erre épül a p (x) q (x) = 0 alakú tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmus:

• megtaláljuk a teljes racionális egyenlet megoldását p(x)=0;
• ellenőrizzük, hogy a megoldás során talált gyökerekre teljesül-e a feltétel q(x) ≠ 0.

Ha ez a feltétel teljesül, akkor a talált gyökér Ha nem, akkor a gyökér nem jelent megoldást a problémára.

6. példa

Határozzuk meg a 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 egyenlet gyökereit.

Megoldás

Egy p (x) q (x) = 0 alakú tört racionális egyenlettel van dolgunk, amelyben p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Kezdjük el a lineáris egyenlet megoldását 3 x - 2 = 0. Ennek az egyenletnek a gyökere az lesz x = 2 3.

Vizsgáljuk meg a talált gyökeret, hogy megfelel-e a feltételnek 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ehhez cseréljen be egy számértéket a kifejezésbe. A következőt kapjuk: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

A feltétel teljesül. Ez azt jelenti x = 2 3 az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz: 2 3 .

Van egy másik lehetőség a tört racionális egyenletek megoldására p (x) q (x) = 0 . Emlékezzünk vissza, hogy ez az egyenlet ekvivalens a teljes egyenlettel p(x)=0 az eredeti egyenlet x változójának megengedett értékeinek tartományán. Ez lehetővé teszi, hogy a következő algoritmust használjuk a p(x) q(x) = 0 egyenletek megoldásához:

• oldja meg az egyenletet p(x)=0;
• keresse meg az x változó elfogadható értékeinek tartományát;
• az x változó megengedett értékeinek tartományában lévő gyököket vesszük az eredeti tört racionális egyenlet kívánt gyökeként.

7. példa

Oldja meg az x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 egyenletet!

Megoldás

Kezdésként döntsük el másodfokú egyenlet x 2 − 2 x − 11 = 0. Gyökeinek kiszámításához a páros második együttható gyökképletét használjuk. Kapunk D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12és x = 1 ± 2 3 .

Most megtaláljuk x ODV-jét az eredeti egyenlethez. Ezek mind olyan számok, amelyekhez x 2 + 3 x ≠ 0. Ez ugyanaz, mint x (x + 3) ≠ 0, ahonnan x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Most nézzük meg, hogy a megoldás első szakaszában kapott x = 1 ± 2 3 gyökök az x változó elfogadható értékeinek tartományán belül vannak-e. Meglátjuk mi jön be. Ez azt jelenti, hogy az eredeti tört racionális egyenletnek két gyöke van x = 1 ± 2 3 .

Válasz: x = 1 ± 2 3

A leírt második megoldási mód könnyebb, mint az első azokban az esetekben, amikor könnyű megtalálni az x változó megengedett értékeinek területét és az egyenlet gyökét p(x)=0 irracionális. Például 7 ± 4 26 9 . A gyökerek lehetnek racionálisak, de nagy számlálóval vagy nevezővel. Például, 127 1101 És − 31 59 . Ez időt takarít meg az állapot ellenőrzésére. q(x) ≠ 0: sokkal könnyebb kizárni a nem illeszkedő gyökereket az ODZ szerint.

Amikor az egyenlet gyökerei p(x)=0 egész számok, célszerűbb a leírt algoritmusok közül az elsőt használni a p (x) q (x) = 0 alakú egyenletek megoldására. Egy teljes egyenlet gyökereinek gyorsabb megtalálása p(x)=0, majd ellenőrizze, hogy teljesül-e számukra a feltétel q(x) ≠ 0, és ne találja meg az ODZ-t, majd oldja meg az egyenletet p(x)=0 ezen az ODZ-n. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ilyen esetekben általában könnyebb ellenőrizni, mint megtalálni az ODZ-t.

8. példa

Keresse meg a (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 egyenlet gyökereit = 0.

Megoldás

Kezdjük a teljes egyenlet figyelembevételével (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0és megtalálni a gyökereit. Ehhez az egyenletek faktorizációs megoldásának módszerét alkalmazzuk. Kiderül, hogy az eredeti egyenlet ekvivalens egy négy egyenlet halmazával: 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, amelyek közül három lineáris és az egyik négyzet alakú. Megtaláljuk a gyökereket: az első egyenletből x = 1 2, a másodiktól x=6, a harmadiktól - x \u003d 7, x \u003d - 2, a negyediktől - x = − 1.

Vizsgáljuk meg a kapott gyökereket. Ebben az esetben nehéz meghatározni az ODZ-t, mivel ehhez egy ötödik fokú algebrai egyenletet kell megoldanunk. Könnyebb lesz ellenőrizni azt a feltételt, amely szerint a tört nevezője, amely az egyenlet bal oldalán található, nem tűnhet el.

Cserélje be a gyököket az x változó helyére a kifejezésben x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112és számítsd ki az értékét:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Az elvégzett ellenőrzés lehetővé teszi annak megállapítását, hogy az eredeti tört racionális egyenlet gyökerei 1 2, 6 és − 2 .

Válasz: 1 2 , 6 , - 2

9. példa

Határozzuk meg az 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 tört racionális egyenlet gyökereit!

Megoldás

Kezdjük az egyenlettel (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Keressük a gyökereit. Könnyebb ezt az egyenletet másodfokú és lineáris egyenletek kombinációjaként ábrázolni 5 x 2 - 7 x - 1 = 0És x − 2 = 0.

A másodfokú egyenlet gyökeinek képletét használjuk a gyökök megkereséséhez. Az első egyenletből két gyöket x = 7 ± 69 10 kapunk, a másodikból x=2.

A gyökök értékének behelyettesítése az eredeti egyenletbe a feltételek ellenőrzése érdekében meglehetősen nehéz lesz számunkra. Könnyebb lesz meghatározni az x változó LPV-jét. Ebben az esetben az x változó DPV-je minden szám, kivéve azokat, amelyekre a feltétel teljesül x 2 + 5 x - 14 = 0. A következőt kapjuk: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Most nézzük meg, hogy a talált gyökök az x változó elfogadható értékeinek tartományába tartoznak-e.

Az x = 7 ± 69 10 gyökök hozzátartoznak, tehát az eredeti egyenlet gyökei, és x=2- nem tartozik, ezért ez egy idegen gyökér.

Válasz: x = 7 ± 69 10 .

Vizsgáljuk meg külön azokat az eseteket, amikor a p (x) q (x) = 0 alakú tört racionális egyenlet számlálója számot tartalmaz. Ilyen esetekben, ha a számláló nullától eltérő számot tartalmaz, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke. Ha ez a szám egyenlő nullával, akkor az egyenlet gyöke bármely szám az ODZ-ből.

10. példa

Oldja meg a tört racionális egyenletet - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Megoldás

Ennek az egyenletnek nem lesz gyöke, mivel az egyenlet bal oldalán lévő tört számlálója nullától eltérő számot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy x bármely értéke esetén a probléma feltételében megadott tört értéke nem lesz egyenlő nullával.

Válasz: nincsenek gyökerei.

11. példa

Oldja meg a 0 x 4 + 5 x 3 = 0 egyenletet.

Megoldás

Mivel a tört számlálója nulla, az egyenlet megoldása az x ODZ változó bármely x értéke lesz.

Most határozzuk meg az ODZ-t. Tartalmazza az összes x értéket, amelyhez x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Egyenlet megoldások x 4 + 5 x 3 = 0 vannak 0 És − 5 , mivel ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel x 3 (x + 5) = 0, és ez viszont ekvivalens a két egyenlet halmazával x 3 = 0 és x + 5 = 0 ahol ezek a gyökerek láthatók. Arra a következtetésre jutunk, hogy az elfogadható értékek kívánt tartománya tetszőleges x , kivéve x=0És x = -5.

Kiderült, hogy a 0 x 4 + 5 x 3 = 0 tört racionális egyenletnek végtelen számú megoldása van, amelyek tetszőleges számok, kivéve nullát és -5-öt.

Válasz: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Most beszéljünk egy tetszőleges alakú tört racionális egyenletekről és azok megoldási módszereiről. Így írhatók r(x) = s(x), ahol r(x)És s(x) racionális kifejezések, és legalább az egyikük tört. Az ilyen egyenletek megoldását a p (x) q (x) = 0 alakú egyenletek megoldására redukáljuk.

Azt már tudjuk, hogy ekvivalens egyenletet kaphatunk, ha az egyenlet jobb oldaláról a kifejezést az ellenkező előjelű bal oldalra visszük át. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet r(x) = s(x) egyenlő az egyenlettel r (x) − s (x) = 0. Azt is tárgyaltuk már, hogyan alakíthatunk racionális kifejezést racionális törtté. Ennek köszönhetően könnyen átalakíthatjuk az egyenletet r (x) − s (x) = 0 a p (x) q (x) alakú azonos racionális törtjébe.

Tehát elmozdulunk az eredeti tört racionális egyenlettől r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 alakú egyenlethez, amelynek megoldását már megtanultuk.

Meg kell jegyezni, hogy amikor az átmeneteket r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0-hoz, majd ig p(x)=0 nem vesszük figyelembe az x változó érvényes értékeinek tartományának bővülését.

Nagyon reális, hogy az eredeti egyenlet r(x) = s(x)és egyenlet p(x)=0 az átalakítások következtében megszűnnek egyenértékűek lenni. Ezután az egyenlet megoldása p(x)=0 olyan gyökereket adhat nekünk, amelyektől idegen lesz r(x) = s(x). Ebben a tekintetben minden esetben el kell végezni az ellenőrzést a fent leírt módszerek bármelyikével.

A téma tanulmányozásának megkönnyítése érdekében az összes információt egy algoritmusba általánosítottuk az alak tört racionális egyenletének megoldására. r(x) = s(x):

• a kifejezést a jobb oldalról ellentétes előjellel visszük át, és a jobb oldalon nullát kapunk;
• az eredeti kifejezést p (x) q (x) racionális törté alakítjuk úgy, hogy szekvenciálisan hajtunk végre műveleteket törtekkel és polinomokkal;
• oldja meg az egyenletet p(x)=0;
• Az idegen gyököket az ODZ-hez való tartozásuk ellenőrzésével vagy az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel tárjuk fel.

Vizuálisan a műveletek lánca így fog kinézni:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → kieső r o n d e r o n s

12. példa

Oldja meg az x x + 1 = 1 x + 1 törtracionális egyenletet.

Megoldás

Térjünk át az x x + 1 - 1 x + 1 = 0 egyenletre. Alakítsuk át az egyenlet bal oldalán található tört racionális kifejezést p (x) q (x) alakra.

Ehhez hoznunk kell racionális törtek közös nevezőre, és egyszerűsítse a kifejezést:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Ahhoz, hogy megtaláljuk a - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 egyenlet gyökereit, meg kell oldanunk az egyenletet − 2 x − 1 = 0. Egy gyökeret kapunk x = - 1 2.

Nekünk marad az ellenőrzést bármelyik módszerrel elvégezni. Tekintsük mindkettőt.

Helyettesítse be a kapott értéket az eredeti egyenletbe. Azt kapjuk, hogy - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Elérkeztünk a helyes számszerű egyenlőséghez − 1 = − 1 . Ez azt jelenti x = − 1 2 az eredeti egyenlet gyöke.

Most ellenőrizzük az ODZ-t. Határozzuk meg az x változó elfogadható értékeinek tartományát. Ez lesz a teljes számhalmaz, kivéve a −1 és 0 (ha x = −1 és x = 0, a törtek nevezői eltűnnek). A gyökér, amit kaptunk x = − 1 2 az ODZ-hez tartozik. Ez azt jelenti, hogy ez az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz: − 1 2 .

13. példa

Határozzuk meg az x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x egyenlet gyökereit!

Megoldás

Tört racionális egyenlettel van dolgunk. Ezért az algoritmus szerint fogunk cselekedni.

Mozgassuk a kifejezést a jobb oldalról a bal oldalra ellenkező előjellel: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Végezzük el a szükséges átalakításokat: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Elérkeztünk az egyenlethez x=0. Ennek az egyenletnek a gyöke nulla.

Ellenőrizzük, hogy ez a gyök idegen gyök-e az eredeti egyenlethez. Helyettesítsd be az eredeti egyenletben szereplő értéket: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Amint látja, a kapott egyenletnek nincs értelme. Ez azt jelenti, hogy a 0 egy idegen gyök, és az eredeti tört racionális egyenletnek nincs gyöke.

Válasz: nincsenek gyökerei.

Ha nem vettünk bele más ekvivalens transzformációkat az algoritmusba, az egyáltalán nem jelenti azt, hogy nem használhatók. Az algoritmus univerzális, de célja, hogy segítsen, nem korlátozza.

14. példa

Oldja meg a 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 egyenletet

Megoldás

A legegyszerűbb az adott tört racionális egyenlet megoldása az algoritmus szerint. De van egy másik út is. Gondoljuk át.

Kivonjuk a 7 jobb és bal részből, így kapjuk: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Ebből arra következtethetünk, hogy a bal oldali nevezőben lévő kifejezésnek egyenlőnek kell lennie a jobb oldali szám reciprokával, azaz 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Vonja ki mindkét részből 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analógia szerint 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, ahonnan 1 5 - x 2 \u003d 1 3, és további 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Ellenőrizzük, hogy a talált gyökök az eredeti egyenlet gyökerei-e.

Válasz: x = ± 2

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A fenti egyenletet a 7. §-ban vezettük be. Először is felidézzük, mi a racionális kifejezés. ez - algebrai kifejezés, amely számokból és az x változóból áll összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás természetes kitevőjével.

Ha r(x) racionális kifejezés, akkor az r(x) = 0 egyenletet racionális egyenletnek nevezzük.

A gyakorlatban azonban kényelmesebb valamivel többet használni tág értelmezése"racionális egyenlet" kifejezés: ez egy h(x) = q(x) alakú egyenlet, ahol h(x) és q(x) racionális kifejezések.

Eddig egyetlen racionális egyenletet sem tudtunk megoldani, csak olyat, amely különféle átalakítások és okoskodások eredményeként redukálódott lineáris egyenlet. Most sokkal nagyobbak a lehetőségeink: meg tudunk majd oldani egy racionális egyenletet, amely nem csak lineárisra redukál
mu, hanem a másodfokú egyenlethez is.

Idézzük fel, hogyan oldottuk meg korábban a racionális egyenleteket, és próbáljunk megoldási algoritmust megfogalmazni.

1. példa oldja meg az egyenletet

Megoldás. Az egyenletet átírjuk a formába

Ebben az esetben, mint általában, azt a tényt használjuk, hogy az A \u003d B és A - B \u003d 0 egyenlőségek ugyanazt a kapcsolatot fejezik ki A és B között. Ez lehetővé tette, hogy a kifejezést az egyenlet bal oldalára vigyük át a ellentétes jel.

Végezzük el az egyenlet bal oldalának transzformációit. Nekünk van

Emlékezzünk az egyenlőség feltételeire törtek nulla: akkor, és csak akkor, ha két reláció egyidejűleg teljesül:

1) a tört számlálója nulla (a = 0); 2) a tört nevezője különbözik a nullától).
Az (1) egyenlet bal oldalán lévő tört számlálóját nullával egyenlővé téve azt kapjuk, hogy

Továbbra is ellenőrizni kell a fent említett második feltétel teljesülését. Az arány azt jelenti az (1) egyenletre, hogy . Az x 1 = 2 és x 2 = 0,6 értékek kielégítik a feltüntetett összefüggéseket, ezért az (1) egyenlet gyökeként, és egyben az adott egyenlet gyökeként is szolgálnak.

1) Alakítsuk át az egyenletet formává

2) Végezzük el az egyenlet bal oldalának transzformációit:

(egyidejűleg megváltoztatta a számláló előjeleit és
törtek).
Ily módon adott egyenlet felveszi a formát

3) Oldja meg az x 2 - 6x + 8 = 0 egyenletet. Keresse meg

4) A talált értékekhez ellenőrizze a feltételt . A 4-es szám teljesíti ezt a feltételt, de a 2-es nem. Tehát a 4 az adott egyenlet gyöke, a 2 pedig egy külső gyök.
Válasz: 4.

2. Racionális egyenletek megoldása új változó bevezetésével

Az új változó bevezetésének módja ismerős számodra, nem egyszer alkalmaztuk. Mutassuk meg példákon, hogyan használják racionális egyenletek megoldásában.

3. példa Oldja meg az x 4 + x 2 - 20 = 0 egyenletet.

Megoldás. Bevezetünk egy új y \u003d x 2 változót. Mivel x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, akkor az adott egyenlet átírható a következő alakba

y 2 + y - 20 = 0.

Ez egy másodfokú egyenlet, melynek gyökereit az ismertek segítségével fogjuk megtalálni képletek; azt kapjuk, hogy y 1 = 4, y 2 = - 5.
De y \u003d x 2, ami azt jelenti, hogy a probléma két egyenlet megoldására redukálódott:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Az első egyenletből azt találjuk, hogy a második egyenletnek nincs gyökere.
Válasz: .
Az ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 formájú egyenletet bikvadratikus egyenletnek nevezik ("bi" - kettő, azaz mintegy "kétszeres négyzet" egyenlet). A most megoldott egyenlet pontosan biquadratikus volt. Bármely bikvadratikus egyenletet a 3. példa egyenletével megegyező módon oldunk meg: egy új y \u003d x 2 változót vezetünk be, a kapott másodfokú egyenletet az y változóhoz képest oldjuk meg, majd visszaadjuk az x változóhoz.

4. példa oldja meg az egyenletet

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ugyanaz az x 2 + 3x kifejezés itt kétszer fordul elő. Ezért célszerű egy új y = x 2 + Zx változót bevezetni. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy az egyenletet egyszerűbb és kellemesebb formában írjuk át (ami valójában egy új változó- és könnyebb a felvétel
, és az egyenlet szerkezete világosabbá válik):

És most egy racionális egyenlet megoldására fogjuk használni az algoritmust.

1) Helyezzük az egyenlet összes tagját egy részbe:

= 0
2) Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát

Tehát a megadott egyenletet formára alakítottuk

3) A - 7y 2 + 29y -4 = 0 egyenletből megtaláljuk (elég sok másodfokú egyenletet megoldottunk már, így valószínűleg nem érdemes mindig részletes számításokat adni a tankönyvben).

4) Ellenőrizzük a talált gyökereket az 5 (y - 3) feltétellel (y + 1). Mindkét gyökér megfelel ennek a feltételnek.
Tehát az új y változó másodfokú egyenlete megoldva:
Mivel y \u003d x 2 + Zx, és y, mint megállapítottuk, két értéket vesz fel: 4 és, - még meg kell oldanunk két egyenletet: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Az első egyenlet gyökerei az 1 és -4 számok, a második egyenlet gyökei a számok

A vizsgált példákban az új változó bevezetésének módja – ahogy a matematikusok szokták mondani – adekvát volt a helyzetnek, vagyis jól megfelelt annak. Miért? Igen, mert ugyanaz a kifejezés többször is egyértelműen előfordult az egyenletrekordban, és indokolt volt ezt a kifejezést új betűvel jelölni. De ez nem mindig van így, néha csak az átalakulások során "feltűnik" egy-egy új változó. Pontosan ez fog történni a következő példában.

5. példa oldja meg az egyenletet
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Megoldás. Nekünk van
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Tehát az adott egyenlet átírható így

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Most egy új változó "megjelent": y = x 2 - Zx.

Segítségével az egyenlet átírható y (y + 2) \u003d 24, majd y 2 + 2y - 24 \u003d 0 alakba. Ennek az egyenletnek a gyökerei a 4 és -6 számok.

Visszatérve az eredeti x változóhoz, két egyenletet kapunk: x 2 - Zx \u003d 4 és x 2 - Zx \u003d - 6. Az első egyenletből x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a második egyenletnek nincs gyöke.

Válasz: 4, - 1.

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék