A szinusz általános képlete a trigonometriában. Szinusz, koszinusz, tangens és kotangens – minden, amit az OGE-nél és a USE-nál tudnia kell

A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekapcsolják az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb.

Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Alapvető trigonometrikus azonosságokállítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja.

Öntött képletek

Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel való munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.

Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög .

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Redukciós képletek

Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhoz célja, hogy megkönnyítse az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra elsőfokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik.

Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 10-11 sejtre. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Felvilágosodás, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásos engedélye nélkül.

A trigonometria tanulmányozását egy derékszögű háromszöggel kezdjük. Határozzuk meg egy hegyesszög szinuszát és koszinuszát, valamint érintőjét és kotangensét. Ezek a trigonometria alapjai.

Emlékezzen arra derékszög egy 90 fokkal egyenlő szög. Vagyis a kibontott sarok fele.

Éles sarok- kevesebb, mint 90 fok.

Tompaszög- 90 foknál nagyobb. Egy ilyen szöghöz képest a "tompa" nem sértés, hanem matematikai kifejezés :-)

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget. Általában derékszöget jelölnek. Vegye figyelembe, hogy a sarokkal szemközti oldalt ugyanaz a betű jelöli, csak kicsi. Tehát az A szöggel ellentétes oldalt jelöljük.

A szöget a megfelelő görög betűvel jelöljük.

Átfogó A derékszögű háromszög a derékszöggel ellentétes oldal.

Lábak- éles sarkokkal ellentétes oldalak.

A sarokkal szemközti lábat ún szemben(szöghez viszonyítva). A másik lábat, amely a sarok egyik oldalán fekszik, ún szomszédos.

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a hipotenusz aránya:

Koszinusz hegyesszög derékszögű háromszögben - a szomszédos láb és az alsó rész aránya:

Tangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya:

Egy másik (ekvivalens) definíció: a hegyesszög érintője egy szög szinuszának és koszinuszának aránya:

Kotangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos láb és az ellenkező oldal aránya (vagy ezzel egyenértékű a koszinusz és a szinusz aránya):

Ügyeljen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető arányaira, amelyeket alább adunk meg. Hasznosak lesznek a problémák megoldásában.

Bizonyítsunk be néhányat közülük.

Rendben, megadtunk definíciókat és írott képleteket. De miért van szükségünk szinuszra, koszinuszra, érintőre és kotangensre?

Tudjuk bármely háromszög szögeinek összege az.

Ismerjük a közti kapcsolatot a felek derékszögű háromszög. Ez a Pitagorasz-tétel: .

Kiderült, hogy egy háromszög két szögének ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Egy derékszögű háromszög két oldalának ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Tehát a szögeknél - az arányuk, az oldalakon - a sajátjuk. De mi a teendő, ha egy derékszögű háromszögben egy szög (kivéve a derékszögű) és az egyik oldal ismert, de meg kell találni a többi oldalt?

Ezzel szembesültek az emberek a múltban, amikor térképeket készítettek a környékről és a csillagos égboltról. Végül is nem mindig lehet közvetlenül megmérni a háromszög minden oldalát.

Szinusz, koszinusz és érintő – más néven a szög trigonometrikus függvényei- adja meg a közötti arányt a felekés sarkok háromszög. A szög ismeretében speciális táblázatok segítségével megtalálhatja az összes trigonometrikus függvényét. És a háromszög és az egyik oldal szögeinek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek ismeretében megtalálhatja a többit.

Rajzolunk egy táblázatot is a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékekről a "jó" szögekhez -tól -ig.

Figyelje meg a két piros vonalat a táblázatban. A szögek megfelelő értékeihez az érintő és a kotangens nem létezik.

Elemezzünk néhány trigonometriai problémát a FIPI feladatok bankjából.

1. Egy háromszögben a szög , . Megtalálja .

A probléma négy másodperc alatt megoldódik.

Amennyiben , .

2. Egy háromszögben a szög , , . Megtalálja .

Keressük meg a Pitagorasz-tétel alapján.

Probléma megoldódott.

A feladatokban gyakran vannak háromszögek szögekkel és vagy szögekkel és . Jegyezze meg fejből az alapvető arányokat számukra!

Egy olyan háromszögnél, amelynek szögei és az at szöggel ellentétes szár egyenlő a hypotenus fele.

Egy háromszög szögekkel és egyenlő szárú. Ebben a hypotenusa szor nagyobb, mint a láb.

Problémákat vettünk a derékszögű háromszögek megoldására - vagyis az ismeretlen oldalak vagy szögek megtalálására. De ez még nem minden! A matematika vizsgaváltozataiban sok olyan feladat van, ahol megjelenik a háromszög külső szögének szinusza, koszinusza, érintője vagy kotangense. Erről bővebben a következő cikkben.

Nem foglak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Ír! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és hogyan hasznosak a csalólapok. És itt - információ arról, hogyan kell nem tanulni, hanem emlékezni néhány trigonometrikus képletre. Tehát - trigonometria csalólap nélkül!A memorizáláshoz asszociációkat használunk.

1. Összeadási képletek:

a koszinusz mindig "párban jár": koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz. És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. „Minden nincs rendben”, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.

Szinuszok - "mix": szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.

2. Összeg és különbség képletek:

a koszinuszok mindig „párban mennek”. Két koszinusz - "zsemle" hozzáadása után egy koszinuszpárt kapunk - "koloboks". És levonva biztosan nem kapunk kolobokot. Kapunk pár szinust. Még mindig egy mínusz előtt.

Szinuszok - "mix" :

3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.

Mikor kapunk koszinuszpárt? A koszinuszok összeadásakor. Így

Mikor kapunk szinuszpárt? A koszinuszok kivonásakor. Innen:

A "keverést" szinuszok összeadásával és kivonásával is kapjuk. Melyik a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez vegye ki a következőt:

Az első és a harmadik képletben zárójelben - az összeg. A feltételek helyeinek átrendezésétől az összeg nem változik. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük

másodszor pedig az összeg

A zsebben lévő kiságy lepedők nyugalmat adnak: ha elfelejti a tápszert, leírhatja. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, a képletek könnyen megjegyezhetők.

A trigonometria, mint tudomány, az ókori Keletről származik. Az első trigonometrikus arányszámokat csillagászok dolgozták ki, hogy pontos naptárt hozzanak létre, és a csillagok alapján tájékozódjanak. Ezek a számítások a gömbi trigonometriára vonatkoztak, míg az iskolai kurzusban egy lapos háromszög oldalainak és szögeinek arányát vizsgálják.

A trigonometria a matematikának a trigonometrikus függvények tulajdonságaival, valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokkal foglalkozó ága.

A kultúra és a tudomány virágkorában, az i.sz. I. évezredben a tudás az ókori Keletről terjedt Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései az arab kalifátus embereinek érdemei. Különösen a türkmén tudós, al-Marazvi olyan funkciókat vezetett be, mint az érintő és a kotangens, összeállította a szinuszok, érintők és kotangensek első értéktáblázatait. A szinusz és koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. A trigonometriának nagy figyelmet szentelnek az ókor olyan nagy alakjai, mint Eukleidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapmennyiségei

A numerikus argumentum alapvető trigonometrikus függvényei a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Mindegyiknek megvan a saját gráfja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékének kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz-tételen alapulnak. Az iskolások jobban ismerik a megfogalmazásban: „Pitagorasz nadrág, minden irányban egyenlő”, mivel a bizonyítékot egy egyenlő szárú derékszögű háromszög példáján adjuk meg.

Szinusz, koszinusz és egyéb függőségek kapcsolatot létesítenek bármely derékszögű háromszög hegyesszögei és oldalai között. Képleteket adunk ezeknek a mennyiségeknek az A szögre történő kiszámításához, és nyomon követjük a trigonometrikus függvények kapcsolatát:

Mint látható, a tg és a ctg inverz függvények. Ha az a lábat a sin A és a c hipotenusz szorzataként, a b lábat pedig cos A * c-ként ábrázoljuk, akkor a következő képleteket kapjuk az érintőre és a kotangensre:

trigonometrikus kör

Grafikusan az említett mennyiségek aránya a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben az α szög összes lehetséges értékét jelenti - 0° és 360° között. Amint az ábrán látható, minden függvény a szögtől függően negatív vagy pozitív értéket vesz fel. Például a sin α „+” jelű lesz, ha α a kör I és II negyedéhez tartozik, azaz 0 ° és 180 ° közötti tartományban van. 180° és 360° közötti α esetén (III. és IV. negyed) a sin α csak negatív érték lehet.

Próbáljunk meg trigonometrikus táblázatokat készíteni adott szögekhez, és megtudjuk a mennyiségek jelentését.

A 30°, 45°, 60°, 90°, 180° és így tovább α értékeit speciális eseteknek nevezzük. A trigonometrikus függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották ki. A táblázatokban a π jelölés a radiánokra vonatkozik. Rad az a szög, amelyben a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket egy univerzális összefüggés megállapítása érdekében vezették be, radiánban történő számításnál a sugár cm-ben megadott tényleges hossza nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázatában szereplő szögek radiánértékeknek felelnek meg:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π egy teljes kör vagy 360°.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és koszinusz, tangens és kotangens alapvető tulajdonságainak figyelembe vételéhez és összehasonlításához szükséges ezek függvényeinek felrajzolása. Ez megtehető egy kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában.

Tekintsünk egy összehasonlító táblázatot a szinuszhullám és a koszinuszhullám tulajdonságairól:

szinuszos	koszinusz hullám
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; egy]	ODZ [-1; egy]
sin x = 0, ha x = πk, ahol k ϵ Z	cos x = 0, ha x = π/2 + πk, ahol k ϵ Z
sin x = 1, ha x = π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = 1, ha x = 2πk, ahol k ϵ Z
sin x = - 1, ahol x = 3π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = - 1, ha x = π + 2πk, ahol k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, azaz páratlan függvény	cos (-x) = cos x, azaz a függvény páros
	a függvény periodikus, a legkisebb periódus 2π
sin x › 0, ahol x az I. és II. negyedhez tartozik, vagy 0°-tól 180°-ig (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ahol x az I. és IV. negyedhez tartozik, vagy 270°-tól 90°-ig (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ahol x a III. és IV. negyedhez tartozik, vagy 180°-tól 360°-ig (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ahol x a II. és III. negyedhez tartozik, vagy 90°-tól 270°-ig (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
növekszik a [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] intervallumon	növekszik a [-π + 2πk, 2πk] intervallumon
csökken a [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] intervallumokon	időközönként csökken
derivált (sin x)' = cos x	derivált (cos x)’ = - sin x

Annak meghatározása, hogy egy függvény páros-e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört trigonometrikus mennyiségek előjeleivel, és gondolatban „hajtogatni” a grafikont az OX tengelyéhez képest. Ha az előjelek megegyeznek, a függvény páros, ellenkező esetben páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinuszos és koszinuszhullám főbb tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi a következő mintát:

Nagyon könnyű ellenőrizni a képlet helyességét. Például x = π/2 esetén a szinusz egyenlő 1-gyel, ahogy az x = 0 koszinusza is. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatok megtekintésével vagy adott értékek függvénygörbéinek nyomon követésével.

A tangentoid és a kotangentoid tulajdonságai

A tangens és kotangens függvények grafikonjai jelentősen eltérnek a szinuszos és koszinuszos hullámtól. A tg és ctg értékek fordítottak egymással.

1. Y = tgx.
2. Az érintő az y értékei felé hajlik, amikor x = π/2 + πk, de soha nem éri el azokat.
3. A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, azaz a függvény páratlan.
5. Tg x = 0, ha x = πk.
6. A funkció növekszik.
7. Tg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ esetén (— π/2 + πk, πk).
9. Származék (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Tekintsük a kotangentoid grafikus ábrázolását az alábbiakban a szövegben.

A kotangentoid fő tulajdonságai:

1. Y = ctgx.
2. A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben a tangentoidban Y felveheti az összes valós szám halmazának értékét.
3. A kotangentoid az x = πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
4. A kotangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, azaz a függvény páratlan.
6. Ctg x = 0, ha x = π/2 + πk.
7. A funkció csökken.
8. Ctg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ esetén (π/2 + πk, πk).
10. Származék (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix