Geometriai alakzatok, amelyek nem sokszögek. Sokszögek típusai" a „Kritikai gondolkodás fejlesztése olvasás és írás útján" technológia keretében

Téma: "Sokszögek. Sokszögek típusai"

9. évfolyam

SL №20

Tanár: Kharitonovich T.I. Az óra célja: sokszögtípusok tanulmányozása.

Tanulási feladat: frissíteni, bővíteni és általánosítani a tanulók sokszögekkel kapcsolatos ismereteit; fogalmat alkotni alkotórészei"poligon; tanulmányozza a szabályos sokszögek alkotóelemeinek számát (háromszögtől n-szögig);

Fejlesztési feladat: fejleszti az elemző, összehasonlító, következtetések levonási képességét, fejleszti a számítási készségeket, a szóbeli és írásbeli matematikai beszédet, a memóriát, valamint az önálló gondolkodást és tanulási tevékenységek páros és csoportos munkavégzés képessége; kutatást fejleszteni és kognitív tevékenység;

Oktatási feladat: az önállóság, az aktivitás, a rábízott feladat iránti felelősség, a cél elérésében való kitartás ápolására.

Felszerelés: interaktív tábla (bemutató)

Az órák alatt

Mutasd a bemutatót: "Sokszögek"

"A természet a matematika nyelvén beszél, ennek a nyelvnek a betűi... matematikai figurák." G. Gallilei

Az óra elején az osztály munkacsoportokra oszlik (esetünkben 3 csoportra)

1. Hívás szakasz-

a) a tanulók ismereteinek frissítése a témában;

b) az érdeklődés felkeltése a vizsgált téma iránt, az egyes tanulók tanulási tevékenységre való motivációja.

Recepció: A "Hiszed, hogy ..." játék, szöveges munka megszervezése.

Munkaformák: frontális, csoportos.

– Elhiszed, hogy…

1. ... a "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden alakjának "sok sarka" van?

2. ... a háromszög a sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek különböznek egymástól geometriai formák a felszínen?

3. …egy négyzet szabályos nyolcszög (négy oldal + négy sarok)?

Ma a leckében a sokszögekről fogunk beszélni. Megtudjuk, hogy ezt az ábrát egy zárt szaggatott vonal határolja, ami viszont lehet egyszerű, zárt. Beszéljünk arról, hogy a sokszögek laposak, szabályosak, konvexek. Az egyik lapos sokszög egy olyan háromszög, amelyet régóta ismersz (sokszögeket, szaggatott vonalat ábrázoló posztereket mutathatsz a tanulóknak, mutasd meg különböző fajták, használhatja a TSO-t is).

2. A megértés szakasza

Cél: új információ megszerzése, megértése, szelekciója.

Fogadás: cikcakk.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

Minden csoport kap egy szöveget az óra témájában, és a szöveget úgy alakítjuk ki, hogy a tanulók számára már ismert és teljesen új információkat egyaránt tartalmazzon. A szöveggel együtt a tanulók kérdéseket kapnak, amelyekre a válaszokat ebben a szövegben kell megtalálni.

Sokszögek. A sokszögek típusai.

Ki ne hallott volna a titokzatos Bermuda-háromszögről, ahol hajók és repülők tűnnek el nyomtalanul? De a gyermekkorunkból ismerős háromszög sok érdekes és titokzatos dologgal tele van.

Az általunk már ismert, oldalakkal (skálás, egyenlő szárú, egyenlő oldalú) és szögekkel (hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű) tagolt háromszögtípusok mellett a háromszög a sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek sokszögből különböznek. különböző geometriai formák a síkon.

A "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden figurájának "sok sarka" van. De ez nem elég az alak jellemzéséhez.

Az A1A2…An szaggatott vonal az A1,A2,…An pontokból és az ezeket összekötő A1A2, A2A3,… szakaszokból álló ábra. A pontokat a vonallánc csúcsainak, a szakaszokat pedig a vonallánc hivatkozásainak nevezzük. (1. ÁBRA)

A szaggatott vonalat egyszerűnek nevezzük, ha nincsenek önmetszéspontjai (2,3. ábra).

A szaggatott vonalat zártnak nevezzük, ha végei egybeesnek. A szaggatott vonal hossza a láncszemei ​​hosszának összege (4. ábra)

Egy egyszerű zárt szaggatott vonalat sokszögnek nevezünk, ha szomszédos láncszemei ​​nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (5. ábra).

A „sokszög” szóban a „sok” rész helyett írjon be egy adott számot, például 3. Egy háromszöget kap. Vagy 5. Aztán - egy ötszög. Vegyük észre, hogy annyi szög van, ahány oldal, ezért ezeket az ábrákat nyugodtan nevezhetjük többoldalúnak.

A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a vonallánc linkjeit pedig a sokszög oldalainak nevezzük.

A sokszög két részre osztja a síkot: belső és külső (6. ábra).

A sík sokszög vagy sokszögterület egy sík véges része, amelyet egy sokszög határol.

Egy sokszög két csúcsát, amelyek ugyanazon oldal végei, szomszédoknak nevezzük. Azok a csúcsok, amelyek nem az egyik oldal végei, nem szomszédosak.

Az n csúcsú és ezért n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük.

Habár legkisebb szám sokszög oldalai - 3. De az egymással összekapcsolódó háromszögek más alakzatokat is alkothatnak, amelyek viszont szintén sokszögek.

A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük.

Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az oldalát tartalmazó bármely egyeneshez képest egy félsíkban fekszik. Ebben az esetben magát a vonalat a FÉLSÍKHOZ tartozónak tekintjük

Egy konvex sokszög adott csúcsban bezárt szöge az a szög, amelyet az adott csúcsban összefutó oldalai alkotnak.

Bizonyítsuk be a tételt (konvex n-szög szögösszegére): Egy konvex n-szög szögeinek összege 1800*(n - 2).

Bizonyíték. n=3 esetben a tétel érvényes. Legyen А1А2…А n egy adott konvex sokszög és n>3. Rajzoljunk bele (egy csúcsból) átlókat. Mivel a sokszög konvex, ezek az átlók n - 2 háromszögre osztják. A sokszög szögeinek összege megegyezik ezen háromszögek szögeinek összegével. Minden háromszög szögeinek összege 1800, és ezeknek a háromszögeknek a száma n - 2. Ezért egy konvex n - A1A2 ... A n szög szögeinek összege 1800 * (n - 2). A tétel bizonyítást nyert.

Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével szomszédos szög.

Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő és minden szög egyenlő.

Tehát a négyzetet másképp nevezhetjük - szabályos négyszögnek. Az egyenlő oldalú háromszögek is szabályosak. Az ilyen figurák régóta érdeklik az épületeket díszítő mestereket. Gyönyörű mintákat készítettek például a parkettára. De nem minden szabályos sokszög használható parketta kialakítására. Parketta nem alakítható szabályos nyolcszögből. A helyzet az, hogy mindegyik szögük 1350. És ha bármelyik pont két ilyen nyolcszög csúcsa, akkor 2700 lesz, és a harmadik nyolcszögnek nincs hova illeszkednie: 3600 - 2700 \u003d 900. De ez négyzetre elég. Ezért lehetséges a parkettát szabályos nyolcszögekből és négyzetekből hajtogatni.

A csillagoknak igazuk van. Ötágú csillagunk szabályos ötszögletű csillag. És ha a négyzetet a közepe körül 450-al elforgatod, egy szabályos nyolcszögletű csillagot kapsz.

Mi az a szaggatott vonal? Magyarázza el, melyek a vonallánc csúcsai és linkjei!

Melyik szaggatott vonalat nevezzük egyszerűnek?

Melyik szaggatott vonalat nevezzük zártnak?

Mi az a sokszög? Hogyan nevezzük egy sokszög csúcsait? Melyek a sokszög oldalai?

Mi az a lapos sokszög? Mondjon példákat sokszögekre!

Mi az n-gon?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely csúcsai szomszédosak és melyek nem!

Mekkora egy sokszög átlója?

Mi az a konvex sokszög?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely sarkai külsőek és melyek belsőek?

Mi az a szabályos sokszög? Mondjon példákat szabályos sokszögekre!

Mennyi egy konvex n-szög szögeinek összege? Bizonyítsd be.

A tanulók dolgoznak a szöveggel, választ keresnek a feltett kérdésekre, majd szakértői csoportokat alakítanak ki, amelyekben ugyanazokkal a témákkal foglalkoznak: a hallgatók kiemelik a lényeget, összeállítanak egy alátámasztó absztraktot, bemutatják az információkat az egyikben. grafikus formák. A munka végén a tanulók visszatérnek munkacsoportjukba.

3. Reflexiós szakasz -

a) tudásuk felmérése, kihívás a tudás következő fokára;

b) a kapott információ megértése és felhasználása.

Fogadás: kutatómunka.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

A munkacsoportok a javasolt kérdések egyes szakaszaira adott válaszok szakértői.

A munkacsoportra visszatérve a szakértő bemutatja a csoport többi tagját a kérdéseikre adott válaszokkal. A csoportban a munkacsoport minden tagja információcserét folytat. Így mindegyikben munkacsoport, a szakértők munkájának köszönhetően általános elképzelés alakul ki a vizsgált témáról.

Kutatás hallgatók- táblázat kitöltése.

Szabályos sokszögek Rajz Oldalak száma Csúcsok száma Az összes belső szög összege A belső fok mértéke. szög A külső szög fokmértéke Átlók száma

A) háromszög

B) négyszög

B) ötlyukú

D) hatszög

E) n-gon

Döntés érdekes feladatokat a lecke témájában.

1) Hány oldala van egy szabályos sokszögnek, mindegyik belső sarkok ami egyenlő 1350-nel?

2) Egy bizonyos sokszögben minden belső szög egyenlő egymással. Lehet-e ennek a sokszögnek a belső szögeinek összege: 3600, 3800?

3) Lehet-e 100,103,110,110,116 fokos szögű ötszöget építeni?

Összegezve a tanulságot.

Felvétel házi feladat: STR 66-72 №15,17 ÉS PROBLÉMA: A NÉGYSZÖGBEN RAJZON MEG KÖZVETLENÜL, HOGY OSZA HÁROM HÁROMSZÖGRE.

Reflexió tesztek formájában (interaktív táblán)

A sík zárt szaggatott vonallal határolt részét sokszögnek nevezzük.

Ennek a szaggatott vonalnak a szakaszait ún a felek poligon. AB, BC, CD, DE, EA (1. ábra) - az ABCDE sokszög oldalai. Egy sokszög összes oldalának összegét nevezzük annak kerülete.

A sokszög ún konvex, ha bármelyik oldalának egyik oldalán helyezkedik el, mindkét csúcson túl korlátlanul kiterjesztve.

Az MNPKO sokszög (1. ábra) nem lesz konvex, mivel a KP egyenes több mint egy oldalán található.

Csak a konvex sokszögeket fogjuk figyelembe venni.

A sokszög két szomszédos oldala által alkotott szögeket sokszögének nevezzük belső sarkai és tetejük - sokszög csúcsai.

A sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.

AC, AD - a sokszög átlói (2. ábra).

A sokszög belső sarkaival szomszédos sarkokat a sokszög külső sarkainak nevezzük (3. ábra).

A sokszöget a szögek (oldalak) számától függően háromszögnek, négyszögnek, ötszögnek stb.

Két sokszöget egyenlőnek mondunk, ha egymásra rakhatók.

Beírt és körülírt sokszögek

Ha egy sokszög minden csúcsa egy körön fekszik, akkor a sokszöget hívjuk felírva egy körbe, és a körbe leírta a sokszög közelében (ábra).

Ha egy sokszög minden oldala érinti a kört, akkor a sokszöget nevezzük leírta a kör körül, és a kört hívják felírva sokszögbe (ábra).

Sokszögek hasonlósága

Két azonos nevű sokszöget hasonlónak nevezünk, ha az egyik szöge egyenlő a másik szögeivel, és a sokszögek hasonló oldalai arányosak.

Az azonos nevű sokszögeket hívják ugyanaz a szám oldalak (sarkok).

A hasonló sokszögek oldalait hasonlónak nevezzük, ha megfelelően egyenlő szögű csúcsokat kötnek össze (ábra).

Tehát például ahhoz, hogy az ABCDE sokszög hasonló legyen az A'B'C'D'E' sokszöghez, szükséges, hogy: E = ∠E' és ezen kívül AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Hasonló sokszögek kerületi aránya

Először is vegyük figyelembe az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát. Legyünk például relációk: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Keressük meg ezeknek a relációknak az előző tagjainak összegét, majd - a következő tagjaik összegét és keressük meg a kapott összegek arányát, kapjuk:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Ugyanezt kapjuk, ha számos más relációt veszünk, például: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3, majd megkeressük ezeknek az összegeknek az arányát, kapunk:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Mindkét esetben egy egyenlő relációsorozat előző tagjainak összege összefügg ugyanazon sorozat következő tagjainak összegével, mivel ezen relációk bármelyikének előző tagja kapcsolódik a következőhöz.

Ezt a tulajdonságot számos numerikus példa figyelembevételével következtettük. Szigorúan és általános formában levezethető.

Most nézzük meg a hasonló sokszögek kerületének arányát.

Legyen az ABCDE sokszög hasonló az A'B'C'D'E' sokszöghez (ábra).

E sokszögek hasonlóságából következik, hogy

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Az általunk levezetett egyenlő relációk sorozatának tulajdonsága alapján felírhatjuk:

Az általunk felvett összefüggések előző tagjainak összege az első sokszög kerülete (P), ezen relációk következő tagjainak összege pedig a második sokszög kerülete (P '), tehát P / P ' = AB / A'B'.

Ennélfogva, a hasonló sokszögek kerületei a megfelelő oldalaikként kapcsolódnak egymáshoz.

Hasonló sokszögek területének aránya

Legyenek ABCDE és A'B'C'D'E' hasonló sokszögek (ábra).

Ismeretes, hogy ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' és ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Kívül,

;

Mivel ezeknek az arányoknak a második arányai egyenlőek, ami a sokszögek hasonlóságából következik, akkor

Az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:

Vagy

ahol S és S' ezeknek a hasonló sokszögeknek a területei.

Ennélfogva, a hasonló sokszögek területei a hasonló oldalak négyzeteihez kapcsolódnak.

A kapott képlet a következő alakra konvertálható: S / S '= (AB / A'B') 2

Egy tetszőleges sokszög területe

Legyen szükséges egy tetszőleges ABDC négyszög területének kiszámítása (ábra).

Rajzoljunk bele egy átlót, például AD. Két ABD és ACD háromszöget kapunk, amelyek területeit ki tudjuk számítani. Ezután megtaláljuk e háromszögek területének összegét. A kapott összeg kifejezi az adott négyszög területét.

Ha ki kell számítania egy ötszög területét, akkor ugyanúgy járunk el: átlókat rajzolunk az egyik csúcsból. Három háromszöget kapunk, amelyek területét ki tudjuk számítani. Így megtaláljuk ennek az ötszögnek a területét. Ugyanezt tesszük bármely sokszög területének kiszámításakor.

Sokszög vetítési terület

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög (ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért elegendő a háromszög tételének bizonyítása.

Legyen ΔABC vetítve a síkra R. Tekintsünk két esetet:

a) az egyik ΔABS oldal párhuzamos a síkkal R;

b) egyik ΔABC oldal sem párhuzamos R.

Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljon át az (AB) síkon R 1 || Rés merőlegesen ΔABC-t vetítenek rá R 1 és tovább R(rizs.); ΔABC 1-et és ΔA’B’C’-t kapunk.

A vetületi tulajdonság alapján ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, ezért

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Rajzoljuk meg ⊥ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor ⊥, a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ az ΔABC sík és a sík közötti szög R egy . Így

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

és ezért S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset. Rajzolj egy síkot R 1 || R azon a ΔАВС csúcson keresztül, amely távolság a síktól R a legkisebb (legyen az A csúcs).

Tervezzük meg az ΔABC-t a síkon R 1 és R(rizs.); vetületei legyenek rendre ΔAB 1 C 1 és ΔA’B’C’.

Legyen (BC) ∩ p 1 = D. Akkor

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Más anyagok

Sokszög tulajdonságai

A sokszög egy geometriai alakzat, amelyet általában zárt vonalláncként határoznak meg önmetszéspontok nélkül (egy egyszerű sokszög (1a. ábra)), de néha megengedettek az önmetszéspontok (akkor a sokszög nem egyszerű).

A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a szakaszait pedig a sokszög oldalainak nevezzük. Egy sokszög csúcsait szomszédoknak nevezzük, ha azok valamelyik oldalának végei. A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő vonalszakaszokat átlóknak nevezzük.

Egy konvex sokszög adott csúcsban lévő szöge (vagy belső szöge) az a szög, amelyet az oldalai ebben a csúcsban konvergálnak, és a szöget a sokszög oldaláról tekintjük. A szög különösen meghaladhatja a 180°-ot, ha a sokszög nem konvex.

Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével. Általában a külső szög a 180° és a belső szög különbsége. A -gon minden csúcsából > 3 esetén megy ki - 3 átló tehát teljes szám a -gon átlói egyenlők.

A három csúcsú sokszöget háromszögnek, négyből négyszögnek, öttel ötszögnek és így tovább.

Sokszög -val n csúcsokat nevezik n- négyzet.

A lapos sokszög olyan alakzat, amely egy sokszögből és az általa határolt terület véges részéből áll.

Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az alábbi (egyenértékű) feltételek egyike teljesül:

• 1. a szomszédos csúcsait összekötő bármely egyenes egyik oldalán fekszik. (azaz egy sokszög oldalainak kiterjesztései nem metszik a többi oldalát);
• 2. több félsík metszéspontja (azaz közös része);
• 3. bármely szakasz, amelynek vége a sokszöghez tartozó pontokban van, teljes egészében ahhoz tartozik.

Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő, és minden szög egyenlő, például egy egyenlő oldalú háromszög, négyzet és ötszög.

Egy konvex sokszögről azt mondjuk, hogy egy körre van írva, ha minden oldala érinti valamelyik kört

A szabályos sokszög olyan sokszög, amelyben minden szög és oldal egyenlő.

A sokszög tulajdonságai:

1 Egy konvex -szög minden átlója, ahol >3, két konvex sokszögre bontja.

2 Egy konvex -gon összes szögének összege egyenlő.

D-in: Bizonyítsuk be a tételt a matematikai indukció módszerével. = 3 esetén ez nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a tétel igaz egy -gonra, ahol <, és bizonyítsd be -gon.

Legyen egy adott sokszög. Rajzolja meg ennek a sokszögnek az átlóját. A 3. tétel szerint a sokszöget háromszögre és konvex -szögre bontjuk (5. ábra). Az indukciós hipotézis szerint. A másik oldalon, . Ezeket az egyenlőségeket összeadva és figyelembe véve azt (- belső sugárszög ) és (- belső sugárszög ), kapunk. Amikor megkapjuk: .

3 Bármely szabályos sokszögről le lehet írni egy kört, ráadásul csak egyet.

D-be: Legyen egy szabályos sokszög, és legyen a és szögek felezőpontja (150. ábra). Mivel tehát * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Bizonyítsuk be O = OA 2 = O =… = OA P . Háromszög O egyenlő szárúak tehát O= O. A háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint tehát O = O. Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy O = O stb. Szóval a lényeg O egyenlő távolságra van a sokszög minden csúcsától, tehát a kör középpontjával O sugár O egy sokszög körül van körülírva.

Most bizonyítsuk be, hogy csak egy körülírt kör létezik. Vegyünk például egy sokszög három csúcsát, DE 2 , . Mivel ezeken a pontokon csak egy kör halad át, akkor a sokszögről … Nem írhatsz le több kört.

• 4 Bármely szabályos sokszögbe beírhat egy kört, és ráadásul csak egyet.
• 5 Egy szabályos sokszögbe írt kör érinti a sokszög oldalait azok felezőpontjában.
• 6 A szabályos sokszöget körülvevő kör középpontja egybeesik az ugyanabba a sokszögbe írt kör középpontjával.
• 7 Szimmetria:

Egy figurát szimmetrikusnak (szimmetrikusnak) nevezünk, ha van olyan mozgás (nem azonos), amely ezt az alakot önmagává alakítja.

• 7.1. Egy általános háromszögnek nincs tengelye vagy szimmetriaközéppontja, nem szimmetrikus. Egy egyenlő szárú (de nem egyenlő oldalú) háromszögnek egy szimmetriatengelye van: az alapra merőleges felező.
• 7.2. Egy egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van (az oldalakra merőleges felezők) és a középpont körüli forgásszimmetriája 120°-os elforgatási szöggel.

7.3 Minden szabályos n-szögnek n szimmetriatengelye van, amelyek mindegyike átmegy a középpontján. A középpont körül forgásszimmetriája is van, elfordulási szöggel.

Még n egyes szimmetriatengelyek ellentétes csúcsokon, mások ellentétes oldalak felezőpontjain haladnak át.

Különösnek n minden tengely áthalad a szemközti oldal csúcsán és felezőpontján.

A páros oldalszámú szabályos sokszög középpontja a szimmetriaközéppontja. A páratlan oldalszámú szabályos sokszögnek nincs szimmetriaközéppontja.

8 Hasonlóság:

Hasonlósággal és a -gon -gonba megy, félsíkba - félsíkba, ezért konvex n-gon domborúvá válik n-gon.

Tétel: Ha a konvex sokszögek oldalai és szögei teljesítik az egyenlőségeket:

hol van a dobogós együttható

akkor ezek a sokszögek hasonlóak.

• 8.1 Két hasonló sokszög kerületének aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval.
• 8.2. Két konvex hasonló sokszög területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével.

sokszög háromszög kerületi tétel

Téma poligonok - 8. osztály:

A szomszédos szakaszok azon vonalát, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, nevezzük szaggatott vonal.

A szegmensek végei csúcsok.

Minden vágás- link.

És a szegmensek hosszának összes összege adja a végösszeget hossz szaggatott vonal. Például AM + ME + EK + KO = vonallánc hossza

Ha a szegmensek zártak, akkor poligon(lásd fent) .

A sokszögben lévő hivatkozásokat ún a felek.

Az oldalak hosszának összege - kerülete poligon.

Az ugyanazon az oldalon lévő csúcsok vannak szomszédos.

A nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszt nevezzük átlós.

Sokszögek hívott oldalak száma szerint: ötszög, hatszög stb.

A sokszögben minden benne van a sík belső részeés minden kívülről - a repülőgép külső része.

Jegyzet! Az alábbi kép- ez NEM sokszög, mivel ugyanazon az egyenesen további közös pontok vannak a nem szomszédos szakaszokhoz.

Konvex sokszög minden vonal egyik oldalán fekszik. A mentális (vagy rajz) meghatározásához mindkét oldalt folytatjuk.

Egy sokszögben annyi szög, ahány oldal.

Konvex sokszögben az összes belső szög összege egyenlő (n-2)*180°. n a sarkok száma.

A sokszög ún jobb ha minden oldala és szöge egyenlő. Tehát a belső szögek kiszámítása a következő képlet szerint történik (ahol n a szögek száma): 180°* (n-2)/n

Alább láthatók a sokszögek, szögeik összege, és hogy mekkora szöggel egyenlő.

A konvex sokszögek külső szögeit a következőképpen számítjuk ki:

​​​​​​​

Tantárgy, tanulók életkora: geometria, 9. évfolyam

Az óra célja: sokszögtípusok tanulmányozása.

Tanulási feladat: a tanulók sokszögekkel kapcsolatos ismereteinek frissítése, bővítése, általánosítása; elképzelést alkotnak egy sokszög „összetevőiről”; tanulmányozza a szabályos sokszögek alkotóelemeinek számát (háromszögtől n-szögig);

Fejlesztő feladat: az elemző, összehasonlító, következtetések levonása, a számítási készség, a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd, a memória fejlesztése, valamint a gondolkodási és tanulási tevékenységben való önállóság, a páros és csoportos munkavégzés képességének fejlesztése; kutatási és oktatási tevékenységek fejlesztése;

Nevelési feladat: önállóságra, aktivitásra, a rábízott feladat iránti felelősségre, a cél elérésében való kitartásra nevelés.

Az órák alatt: egy idézet van felírva a táblára

"A természet a matematika nyelvén beszél, ennek a nyelvnek a betűi... matematikai figurák." G. Gallilei

Az óra elején az osztály munkacsoportokra oszlik (esetünkben 4 fős csoportokra oszlik - a csoporttagok száma megegyezik a kérdéscsoportok számával).

1. Hívás szakasz-

Célok:

a) a tanulók ismereteinek frissítése a témában;

b) az érdeklődés felkeltése a vizsgált téma iránt, az egyes tanulók tanulási tevékenységre való motivációja.

Recepció: A "Hiszed, hogy ..." játék, szöveges munka megszervezése.

Munkaformák: frontális, csoportos.

– Elhiszed, hogy…

1. ... a "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden alakjának "sok sarka" van?

2. … a háromszög sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek a síkon sok különböző geometriai alakzat között különböznek egymástól?

3. …egy négyzet szabályos nyolcszög (négy oldal + négy sarok)?

Ma a leckében a sokszögekről fogunk beszélni. Megtudjuk, hogy ezt az ábrát egy zárt szaggatott vonal határolja, ami viszont lehet egyszerű, zárt. Beszéljünk arról, hogy a sokszögek laposak, szabályosak, konvexek. Az egyik lapos sokszög egy olyan háromszög, amelyet régóta ismersz (sokszögeket, szaggatott vonalat ábrázoló posztereket mutathatsz a tanulóknak, bemutathatod azok különböző típusait, használhatod a TCO-t is).

2. A megértés szakasza

Cél: új információ megszerzése, megértése, szelekciója.

Fogadás: cikcakk.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

Minden csoport kap egy szöveget az óra témájában, és a szöveget úgy alakítjuk ki, hogy a tanulók számára már ismert és teljesen új információkat egyaránt tartalmazzon. A szöveggel együtt a tanulók kérdéseket kapnak, amelyekre a válaszokat ebben a szövegben kell megtalálni.

Sokszögek. A sokszögek típusai.

Ki ne hallott volna a titokzatos Bermuda-háromszögről, ahol hajók és repülők tűnnek el nyomtalanul? De a gyermekkorunkból ismerős háromszög sok érdekes és titokzatos dologgal tele van.

Az általunk már ismert, oldalakkal (skálás, egyenlő szárú, egyenlő oldalú) és szögekkel (hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű) tagolt háromszögtípusok mellett a háromszög a sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek sokszögből különböznek. különböző geometriai formák a síkon.

A "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden figurájának "sok sarka" van. De ez nem elég az alak jellemzéséhez.

Az A 1 A 2 ... A n szaggatott vonal A 1, A 2, ... A n pontokból és az ezeket összekötő A 1 A 2, A 2 A 3, ... szakaszokból álló ábra. A pontokat a vonallánc csúcsainak, a szakaszokat pedig a vonallánc hivatkozásainak nevezzük. (1. ábra)

A szaggatott vonalat egyszerűnek nevezzük, ha nincsenek önmetszéspontjai (2,3. ábra).

A szaggatott vonalat zártnak nevezzük, ha végei egybeesnek. A szaggatott vonal hossza a láncszemei ​​hosszának összege (4. ábra).

Egy egyszerű zárt szaggatott vonalat sokszögnek nevezünk, ha szomszédos láncszemei ​​nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (5. ábra).

A „sokszög” szóban a „sok” rész helyett írjon be egy adott számot, például 3. Egy háromszöget kap. Vagy 5. Aztán - egy ötszög. Vegyük észre, hogy annyi szög van, ahány oldal, ezért ezeket az ábrákat nyugodtan nevezhetjük többoldalúnak.

A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a vonallánc linkjeit pedig a sokszög oldalainak nevezzük.

A sokszög két részre osztja a síkot: belső és külső (6. ábra).

A sík sokszög vagy sokszögterület egy sík véges része, amelyet egy sokszög határol.

Egy sokszög két csúcsát, amelyek ugyanazon oldal végei, szomszédoknak nevezzük. Azok a csúcsok, amelyek nem az egyik oldal végei, nem szomszédosak.

Az n csúcsú és ezért n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük.

Bár egy sokszögnek a legkisebb oldalszáma 3. De az egymással összekapcsolódó háromszögek más alakzatokat is alkothatnak, amelyek viszont szintén sokszögek.

A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük.

Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az oldalát tartalmazó bármely egyeneshez képest egy félsíkban fekszik. Ebben az esetben magát az egyenest a félsíkhoz tartozónak tekintjük.

Egy konvex sokszög adott csúcsban bezárt szöge az a szög, amelyet az adott csúcsban összefutó oldalai alkotnak.

Bizonyítsuk be a tételt (konvex n-szög szögösszegére): Egy konvex n-szög szögeinek összege 180 0 *(n - 2).

Bizonyíték. n=3 esetben a tétel érvényes. Legyen А 1 А 2 …А n egy adott konvex sokszög és n>3. Rajzoljunk bele (egy csúcsból) átlókat. Mivel a sokszög konvex, ezek az átlók n - 2 háromszögre osztják. A sokszög szögeinek összege megegyezik ezen háromszögek szögeinek összegével. Minden háromszög szögeinek összege 180 0, és ezeknek a háromszögeknek a száma n - 2. Ezért egy konvex n - A 1 A 2 ... A n szögek összege 180 0 * ( n-2). A tétel bizonyítást nyert.

Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével.

Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő és minden szög egyenlő.

Tehát a négyzetet másképp nevezhetjük - szabályos négyszögnek. Az egyenlő oldalú háromszögek is szabályosak. Az ilyen figurák régóta érdeklik az épületeket díszítő mestereket. Gyönyörű mintákat készítettek például a parkettára. De nem minden szabályos sokszög használható parketta kialakítására. Parketta nem alakítható szabályos nyolcszögből. A helyzet az, hogy mindegyik szögük 135 0. És ha bármelyik pont két ilyen nyolcszög csúcsa, akkor 270 0 lesz, és a harmadik nyolcszögnek nincs hova illeszkednie: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. De négyzetre elég. Ezért lehetséges a parkettát szabályos nyolcszögekből és négyzetekből hajtogatni.

A csillagoknak igazuk van. Ötágú csillagunk szabályos ötszögletű csillag. És ha a négyzetet a középpont körül 45 0-val elforgatod, egy szabályos nyolcszögletű csillagot kapsz.

1 csoport

Mi az a szaggatott vonal? Magyarázza el, melyek a vonallánc csúcsai és linkjei!

Melyik szaggatott vonalat nevezzük egyszerűnek?

Melyik szaggatott vonalat nevezzük zártnak?

Mi az a sokszög? Hogyan nevezzük egy sokszög csúcsait? Melyek a sokszög oldalai?

2 csoport

Mi az a lapos sokszög? Mondjon példákat sokszögekre!

Mi az n-gon?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely csúcsai szomszédosak és melyek nem!

Mekkora egy sokszög átlója?

3 csoport

Mi az a konvex sokszög?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely sarkai külsőek és melyek belsőek?

Mi az a szabályos sokszög? Mondjon példákat szabályos sokszögekre!

4 csoport

Mennyi egy konvex n-szög szögeinek összege? Bizonyítsd be.

A tanulók dolgoznak a szöveggel, választ keresnek a feltett kérdésekre, majd szakértői csoportokat alakítanak ki, amelyekben ugyanazokkal a témákkal foglalkoznak: a hallgatók kiemelik a lényeget, összeállítanak egy alátámasztó absztraktot, bemutatják az információkat az egyikben. grafikus formák. A munka végén a tanulók visszatérnek munkacsoportjukba.

3. Reflexiós szakasz -

a) tudásuk felmérése, kihívás a tudás következő fokára;

b) a kapott információ megértése és felhasználása.

Fogadás: kutatómunka.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

A munkacsoportok a javasolt kérdések egyes szakaszaira adott válaszok szakértői.

A munkacsoportra visszatérve a szakértő bemutatja a csoport többi tagját a kérdéseikre adott válaszokkal. A csoportban a munkacsoport minden tagja információcserét folytat. Így minden munkacsoportban a szakértők munkájának köszönhetően általános elképzelés alakul ki a vizsgált témáról.

Diákok kutatómunkája - táblázat kitöltése.

Szabályos sokszögek	Rajz	Oldalak száma	A csúcsok száma	Az összes belső szög összege	Fokozat mértéke int. szög	A külső szög fokmértéke	Az átlók száma
A) háromszög
B) négyszög
B) ötfalas
D) hatszög
E) n-gon

Érdekes feladatok megoldása az óra témájában.

• A négyszögbe húzz egy vonalat úgy, hogy az három háromszögre osztja.
• Hány oldala van egy szabályos sokszögnek, amelynek minden belső szöge 135 0 ?
• Egy bizonyos sokszögben minden belső szög egyenlő egymással. Lehet-e ennek a sokszögnek a belső szögeinek összege: 360 0 , 380 0 ?

Összegezve a tanulságot. Házi feladat rögzítése.