Páros és páratlan függvények összege. Páros és páratlan függvények

A páros és páratlan függvények az egyik fő tulajdonsága, és a paritás a matematika iskolai kurzusának lenyűgöző részét foglalja el. Nagymértékben meghatározza a függvény viselkedésének jellegét, és nagyban megkönnyíti a megfelelő gráf felépítését.

Határozzuk meg a függvény paritását. Általánosságban elmondható, hogy a vizsgált függvényt akkor is figyelembe kell venni, ha a definíciós tartományában található független változó (x) ellentétes értékei esetén az y (függvény) megfelelő értékei egyenlőek.

Adjunk egy szigorúbb definíciót. Tekintsünk néhány f (x) függvényt, amely a D tartományban van definiálva. Ez akkor is így lesz, ha bármely, a definíciós tartományban található x pontra:

• -x (ellentétes pont) is az adott hatókörbe tartozik,

• f(-x) = f(x).

A fenti definícióból egy ilyen függvény definíciós tartományához szükséges feltétel következik, nevezetesen a szimmetria az O ponthoz képest, amely a koordináták origója, hiszen ha valamely b pont benne van egy függvény definíciós tartományában. páros függvény, akkor a megfelelő - b pont is ebben a tartományban található. A fentiekből tehát az a következtetés következik, hogy a páros függvénynek az ordináta tengelyére (Oy) szimmetrikus alakja van.

Hogyan határozzuk meg egy függvény paritását a gyakorlatban?

Adjuk meg a h(x)=11^x+11^(-x) képlettel. A definícióból közvetlenül következő algoritmust követve mindenekelőtt annak definíciós területét vizsgáljuk. Nyilvánvalóan az argumentum összes értékére definiálva van, vagyis az első feltétel teljesül.

A következő lépés az (x) argumentum behelyettesítése az ellenkező értékével (-x).
Kapunk:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Mivel az összeadás teljesíti a kommutatív (eltolódási) törvényt, nyilvánvaló, hogy h(-x) = h(x) és az adott funkcionális függés páros.

Ellenőrizzük a h(x)=11^x-11^(-x) függvény egyenletességét. Ugyanezt az algoritmust követve h(-x) = 11^(-x) -11^x kapjuk. Kivéve a mínuszt, ennek eredményeként megvan
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Ezért h(x) páratlan.

Egyébként emlékeztetni kell arra, hogy vannak olyan függvények, amelyeket nem lehet e kritériumok szerint besorolni, nem nevezik sem párosnak, sem páratlannak.

Még a függvényeknek is van számos érdekes tulajdonsága:

• hasonló függvények hozzáadása eredményeként egy párost kapunk;
• az ilyen függvények kivonása eredményeképpen egy párost kapunk;
• páros, szintén páros;
• két ilyen függvény szorzásának eredményeként egy párost kapunk;
• a páratlan és páros függvények szorzásának eredményeként páratlant kapunk;
• a páratlan és páros függvények felosztása eredményeként egy páratlant kapunk;
• egy ilyen függvény deriváltja páratlan;
• Ha egy páratlan függvényt négyzetre emelünk, akkor párost kapunk.

Egy függvény paritása felhasználható egyenletek megoldásában.

Egy olyan egyenlet megoldásához, mint a g(x) = 0, ahol az egyenlet bal oldala páros függvény, elég lesz megoldást találni a változó nemnegatív értékeire. Az egyenlet kapott gyökeit ellentétes számokkal kell kombinálni. Egyikük ellenőrzés alatt áll.

Ugyanezt sikeresen használják nem szabványos problémák megoldására egy paraméterrel.

Például van-e olyan érték az a paraméternek, amely a 2x^6-x^4-ax^2=1 egyenletnek három gyöke lenne?

Ha figyelembe vesszük, hogy a változó páros hatványokban lép be az egyenletbe, akkor egyértelmű, hogy x-et -x-re cserélve adott egyenlet nem fog változni. Ebből következik, hogy ha egy bizonyos szám a gyöke, akkor az ellenkező szám is. A következtetés nyilvánvaló: az egyenlet nullától eltérő gyökerei „párokban” szerepelnek a megoldások halmazában.

Nyilvánvaló, hogy maga a 0 nem az, vagyis egy ilyen egyenlet gyökeinek száma csak páros lehet, és természetesen a paraméter egyetlen értékére sem lehet három gyöke.

De a 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 egyenlet gyökeinek száma páratlan lehet, és a paraméter bármely értékére. Valóban, könnyű ellenőrizni, hogy a gyökérkészlet adott egyenlet"párokban" tartalmazza a megoldásokat. Ellenőrizzük, hogy a 0 gyökér-e. Ha behelyettesítjük az egyenletbe, 2=2-t kapunk. Így a "páros" mellett a 0 egy gyök is, ami a páratlan számukat bizonyítja.

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg a páros vagy páratlan függvényeket

1)
; 2)
; 3)
.

Döntés.

1) A függvény definíciója a
. Találjuk ki
.

Azok.
. Tehát ez a függvény páros.

2) A függvény definiálva van

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. számára

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük általános függvénynek.

3. Egy függvény vizsgálata monotonitásra.

Funkció
növekedésnek (csökkenőnek) nevezzük bizonyos intervallumon, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Az egyes intervallumokon növekvő (csökkenő) funkciókat monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ebben az intervallumban.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Döntés.

1) Ez a függvény a teljes számtengelyen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált nulla, ha
és
. Meghatározási tartomány - numerikus tengely, pontokkal osztva
,
intervallumokhoz. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a négyzetháromtag előjelét.

Így a funkció hatóköre

Keressük a származékot
,
, ha
, azaz
, de
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény az intervallumon növekszik
.

4. Egy extrémum függvényének vizsgálata.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke hogy mindenkinek
ez a környék kielégíti az egyenlőtlenséget

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőséges pontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Kritikusnak nevezzük azokat a pontokat, ahol a derivált egyenlő nullával vagy nem létezik.

5. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez.

1. szabály. Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet "+"-ról "-"-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha "-"-től "+"-ig, akkor a minimum; ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály. Hadd a ponton
a függvény első deriváltja
nulla
, és a második derivált létezik, és nem nulla. Ha egy
, azután a maximum pont, ha
, azután a függvény minimumpontja.

Példa 6.4 . Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Döntés.

1) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.innen
kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
és
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
a minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
deriváltja megváltoztatja az előjelet "+"-ról "-"-ra, tehát
a maximális pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldásával
, megtalálja
és
kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
a harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontokon
és
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, tehát nem extrémum t. Tehát vizsgáljuk meg a kritikus pontokat
és
.

4) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
. A 2. szabályt használjuk. Keresse meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második származékot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

Pontokban
funkciónak van minimuma.

Pontokban
funkciónak van maximuma.

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a páros és páratlan függvények fogalmának kialakítása, ezen tulajdonságok meghatározásának és használatának képességének megtanítása mikor funkciókutatás, ábrázolás;
• a tanulók kreatív tevékenységének fejlesztése, logikus gondolkodás, összehasonlítási, általánosítási képesség;
• a szorgalom, a matematikai kultúra ápolására; kommunikációs készségek fejlesztése .

Felszerelés: multimédiás telepítés, interaktív tábla, tájékoztató anyagok.

Munkaformák: frontális és csoportos keresési és kutatási tevékenység elemeivel.

Információforrások:

1. Algebra osztály 9 A.G. Mordkovich. Tankönyv.
2. Algebra 9. osztály A.G. Mordkovich. Feladatfüzet.
3. Algebra 9. évfolyam. A tanulók tanulását, fejlesztését szolgáló feladatok. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési mozzanat

Az óra céljainak és célkitűzéseinek meghatározása.

2. Házi feladat ellenőrzése

10.17. szám (Problémakönyv 9. osztály A.G. Mordkovich).

a) nál nél = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 ehhez x ~ 0,4
4. f(x) >0 at x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. A funkció a gombbal növekszik x € [– 2; + ∞)
6. A funkció alulról korlátozott.
7. nál nél bérlés = - 3, nál nél naib nem létezik
8. A függvény folyamatos.

(Használtad a funkciófeltáró algoritmust?) Csúszik.

2. Ellenőrizzük azt a táblázatot, amelyet a dián megkérdeztek.

Töltse ki a táblázatot
	Tartomány	Funkció nullák	Állandósági intervallumok		A gráf Oy-vel való metszéspontjainak koordinátái
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Tudásfrissítés

– A funkciók adottak.
– Adja meg az egyes funkciók definíciós tartományát.
– Hasonlítsa össze az egyes függvények értékét az egyes argumentumértékpárokhoz: 1 és – 1; 2 és -2.
– A definíciós tartományban szereplő adott függvények közül melyikhez tartoznak az egyenlőségek f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (tedd a táblázatba az adatokat) Csúszik

		f(1) és f(– 1)	f(2) és f(– 2)	diagramok	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		és nincs meghatározva.

4. új anyag

- Előadó ez a munka, srácok, felfedtük a függvény még egy tulajdonságát, ami ismeretlen számodra, de nem kevésbé fontos, mint a többi - ez a páros és páratlan függvény. Írja le az óra témáját: „Páros és páratlan függvények”, feladatunk, hogy megtanuljuk a páros és páratlan függvények meghatározását, megismerjük ennek a tulajdonságnak a jelentőségét a függvények tanulmányozásában és az ábrázolásban.
Tehát keressük meg a definíciókat a tankönyvben, és olvassuk el (110. o.) . Csúszik

Def. egy Funkció nál nél = f (x Az X halmazon definiált ) meghívásra kerül még, ha bármilyen értékre xЄ X folyamatban egyenlőség f (–x) = f (x). Adj rá példákat.

Def. 2 Funkció y = f(x), az X halmazon definiált hívjuk páratlan, ha bármilyen értékre xЄ X teljesül az f(–х)= –f(х) egyenlőség. Adj rá példákat.

Hol találkoztunk a "páros" és a "páratlan" kifejezésekkel?
Szerinted ezek közül melyik függvény lesz páros? Miért? Melyik furcsa? Miért?
Az űrlap bármely funkciójához nál nél= x n, ahol n egy egész szám, akkor vitatható, hogy a függvény páratlan n páratlan, a függvény pedig páros n- még.
– Funkciók megtekintése nál nél= és nál nél = 2x– A 3 se nem páros, se nem páratlan, mert egyenlőségek nem teljesülnek f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Annak a kérdésnek a vizsgálatát, hogy egy függvény páros-e vagy páratlan, a függvény paritás vizsgálatának nevezzük. Csúszik

Az 1. és 2. definíciók a függvény x és -x értékeivel foglalkoztak, így feltételezzük, hogy a függvény az értéken is definiálva van. x, és a - x.

ODA 3. Ha egy számkészlet x minden elemével együtt tartalmazza az ellentétes -x elemet, majd a halmazt x szimmetrikus halmaznak nevezzük.

Példák:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) szimmetrikus halmazok, és , [–5;4] nem szimmetrikusak.

- A páros függvényeknek van definíciós tartománya - szimmetrikus halmaz? A különösek?
- Ha D( f) aszimmetrikus halmaz, akkor mi a függvény?
– Így, ha a függvény nál nél = f(x) páros vagy páratlan, akkor definíciós tartománya D( f) szimmetrikus halmaz. De igaz-e a fordított állítás, ha egy függvény tartománya szimmetrikus halmaz, akkor páros vagy páratlan?
- Tehát a definíciós tartomány szimmetrikus halmazának jelenléte szükséges, de nem elégséges feltétel.
– Hogyan vizsgálhatjuk tehát a paritás függvényét? Próbáljunk meg írni egy algoritmust.

Csúszik

Algoritmus egy függvény vizsgálatára paritásra

1. Határozza meg, hogy a függvény tartománya szimmetrikus-e! Ha nem, akkor a függvény nem páros és nem páratlan. Ha igen, akkor folytassa az algoritmus 2. lépésével.

2. Írjon kifejezést a következőre f(–x).

3. Hasonlítsa össze f(–x).és f(x):

• ha f(–x).= f(x), akkor a függvény páros;
• ha f(–x).= – f(x), akkor a függvény páratlan;
• ha f(–x) ≠ f(x) és f(–x) ≠ –f(x), akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Példák:

Vizsgáljuk meg az a) paritás függvényét nál nél= x 5 +; b) nál nél= ; ban ben) nál nél= .

Döntés.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), szimmetrikus halmaz.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e függvény h(x)= x 5 + páratlan.

b) y =,

nál nél = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), aszimmetrikus halmaz, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan.

ban ben) f(x) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. lehetőség

1. Szimmetrikus-e az adott halmaz: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Vizsgálja meg a paritás függvényét:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Az ábrán kirajzolódott nál nél = f(x), mindenkinek x, megfelel a feltételnek x? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), ha nál nél = f(x) páros függvény.

3. Az ábrán kirajzolódott nál nél = f(x), minden x esetében, amely megfelel x-nek? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), ha nál nél = f(x) egy páratlan függvény.

Kölcsönös ellenőrzés csúszik.

6. Házi feladat: №11.11, 11.21,11.22;

A paritás tulajdonság geometriai jelentésének bizonyítása.

*** (A USE opció hozzárendelése).

1. Az y \u003d f (x) páratlan függvény a teljes valós vonalon definiálva van. Az x változó bármely nem negatív értéke esetén ennek a függvénynek az értéke egybeesik a g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Keresse meg a h() függvény értékét x) = at x = 3.

7. Összegzés

Diagram konverzió.

A funkció szóbeli leírása.

Grafikus mód.

A függvény megadásának grafikus módja a legszemléletesebb, és gyakran használják a mérnöki munkákban. NÁL NÉL matematikai elemzés illusztrációként a funkciók beállításának grafikus módját használjuk.

Függvénygrafikon f a koordinátasík összes pontjának (x; y) halmaza, ahol y=f(x), és x „átfut” az adott függvény teljes tartományán.

A koordinátasík egy részhalmaza valamilyen függvény grafikonja, ha legfeljebb egy közös pontja van az Oy tengellyel párhuzamos bármely egyenessel.

Példa. Az alábbi ábrák függvénygrafikonok?

előny grafikai feladat a láthatósága. Azonnal láthatja, hogyan viselkedik a függvény, hol növekszik, hol csökken. A grafikonról azonnal megtudhatja a függvény néhány fontos jellemzőjét.

Általában analitikus grafikus módokon a funkciók hozzárendelése kéz a kézben jár. A képlettel való munka segít a grafikon felépítésében. A grafikon pedig gyakran olyan megoldásokat javasol, amelyeket nem vesz észre a képletben.

Szinte minden tanuló ismeri a függvény meghatározásának három módját, amelyeket az imént tárgyaltunk.

Próbáljunk meg válaszolni a kérdésre: "Vannak más módok egy függvény meghatározására?"

Van ilyen mód.

Egy függvényt eléggé egyértelműen meg lehet határozni szavakban.

Például az y=2x függvény a következő szóbeli leírással definiálható: az x argumentum minden valós értékéhez hozzárendeljük a megduplázott értékét. A szabály be van állítva, a függvény be van állítva.

Sőt, szóban is meg lehet adni egy függvényt, amit rendkívül nehéz, ha nem lehetetlen egy képlettel megadni.

Például: az x természetes argumentum minden értéke az x értékét alkotó számjegyek összegéhez van társítva. Például, ha x=3, akkor y=3. Ha x=257, akkor y=2+5+7=14. Stb. Nehéz ezt egy képletbe leírni. De az asztalt könnyű elkészíteni.

A verbális leírás módszere meglehetősen ritkán alkalmazott módszer. De néha előfordul.

Ha létezik x és y közötti egy-egy megfeleltetés törvénye, akkor van függvény. Az, hogy milyen törvény, milyen formában fejeződik ki - képlettel, táblával, grafikonnal, szavakkal -, az nem változtat a dolog lényegén.

Tekintsünk olyan függvényeket, amelyek definíciós tartománya szimmetrikus a koordináták origójához képest, azaz. bárkinek x hatókörön kívüli szám (- x) is a definíció tartományába tartozik. Ezen funkciók közé tartozik páros és páratlan.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk még, ha van ilyen x ki a tartományból

Példa. Vegye figyelembe a funkciót

Ő páros. Nézzük meg.

Bárkinek x az egyenlőségeket

Így számunkra mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk páratlan, ha van ilyen x ki a tartományból

Példa. Vegye figyelembe a funkciót

Ő furcsa. Nézzük meg.

A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus a pontra (0; 0).

Bárkinek x az egyenlőségeket

Így számunkra mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Az első és a harmadik ábrán látható grafikonok szimmetrikusak az y tengelyre, a második és negyedik ábrán látható grafikonok pedig az origóra.

Melyek azok a függvények, amelyek grafikonjait az ábrákon mutatjuk be, és melyek a páratlanok?

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - változó függőség nál nél változóból x, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg nál nél. változó x független változónak vagy argumentumnak nevezzük. változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény tartományát. Minden érték, amelyet a függő változó felvesz (változó y), alkotják a függvény tartományát.

Függvénygrafikon a koordinátasík összes pontjának halmazát hívják, amelynek abszcisszái egyenlőek az argumentum értékeivel, az ordináták pedig egyenlőek a függvény megfelelő értékeivel, azaz a változókat az abszcissza mentén ábrázoljuk x, és a változó értékeit az y tengely mentén ábrázoljuk y. Egy függvény ábrázolásához ismerni kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Függvénygrafikon ábrázolásához javasoljuk a Graphing Functions Online programunkat. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon segítséget kapsz matematika, kémia, geometria, valószínűségszámítás és sok más tantárgy feladatmegoldásában is!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) A funkció hatóköre és funkciótartománya.

Egy függvény hatóköre az argumentum összes érvényes érvényes értékének halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) meghatározott.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y hogy a függvény elfogadja.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

Értékek x, ahol y=0, nak, nek hívják függvény nullák. Ezek a függvény grafikonjának az x tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény előjelállandóságának intervallumai.

Egy függvény előjelállandóságának intervallumai ilyen értékintervallumok x, amelyen a függvény értékei y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény előjelállandóságának intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (valamelyik intervallumban) - olyan függvény, amelyben az ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvények.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóra és bármely függvényre x f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány a (0; 0) ponthoz képest szimmetrikus.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet se nem párosak, se nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha nincs ilyen szám, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a függvény tartományából származó bármely x esetén f(x+T) = f(x). Ilyen legkisebb szám a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvények időszakosak. (Trigonometrikus képletek).

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan szám, amely bármely esetén x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periódusos függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.