Zamjena baze logaritma. Što je logaritam? Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Logaritam s bazom a je y funkcija (x) = log x, inverzno eksponencijalnoj funkciji s bazom a: x (y) = a y.

Decimalni logaritam je logaritam bazi broja 10 : log x ≡ log 10 x.

prirodni logaritam je logaritam bazi e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritma dobiva se iz grafa eksponencijalne funkcije zrcalna slika u odnosu na ravnu liniju y = x . Na lijevoj strani su grafovi funkcije y (x) = log x za četiri vrijednosti baze logaritma:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Grafikon pokazuje da za > 1 logaritam se monotono povećava. Kako se x povećava, rast se značajno usporava. Na 0 < a < 1 logaritam je monotono opadajući.

Svojstva logaritma

Domena, skup vrijednosti, rastući, silazni

Logaritam je monotona funkcija pa nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tablici.

Domena	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Raspon vrijednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotonija	monotono raste	monotono opada
Nule, y= 0	x= 1	x= 1
Točke presjeka s y-osi, x = 0	Ne	Ne
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Zove se logaritam baze 10 decimalni logaritam i označen je ovako:

osnovni logaritam e pozvao prirodni logaritam:

Osnovne logaritamske formule

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Logaritam- ovo matematička operacija uzimajući logaritam. Prilikom uzimanja logaritma, umnožak faktora se pretvara u zbroj članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja zadana baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi pojmova pretvaraju u proizvode faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane uz logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Zatim
.
Primijenite svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu promjene baze.
;
.
Postavljanje c = b , imamo:

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost baze logaritma je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako tada

Ako tada

Derivat logaritma

Derivat logaritma po modulu x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Da bismo pronašli derivaciju logaritma, moramo ga svesti na bazu e.
;
.

Sastavni

Integral logaritma izračunava se integracijom po dijelovima : .
Tako,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Zatim, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili

Međutim, argument φ nije jasno definirana. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Stoga logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednovrijedna funkcija.

Proširenje niza snaga

Za , proširenje se odvija:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunom logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno zadane vrijednosti ostalih logaritama. Konačno, naučimo se koristiti tablicama logaritama. Cijela teorija opskrbljena je primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i jednostavno izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova je bit predstaviti broj b u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračun logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na podatke iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan nekim stupnjem baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo primjere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , a također izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Riješenje.

Definicija logaritma omogućuje nam da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Doista, broj pod znakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije zadan kao snaga baze logaritma, onda morate pažljivo razmisliti je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz sasvim očit, pogotovo kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Riješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , to vam omogućuje da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunom drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). posljedično, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle zaključujemo da . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

Odgovor:

log 5 25=2 , I .

Kada se pod predznakom logaritma nalazi dovoljno velika vrijednost prirodni broj, onda ga ne škodi razložiti na osnovne faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neka snaga baze logaritma, i stoga, izračunati ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Riješenje.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi 0, odnosno 1.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Riješenje.

Budući da , proizlazi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru, broj 10 pod znakom logaritma jednak mu je osnovici, pa je decimalni logaritam od deset jednako jednom, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

Odgovor:

I lg10=1.

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom odlomku) podrazumijeva korištenje log a a p =p jednakosti, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao potencija nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Riješenje.

Odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u izračunu, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim odlomcima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom izračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje izvornog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako biste izračunali izvorni logaritam u smislu zadanih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Riješenje.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma stupnja, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Pogledajmo sada kako se log 60 3 može izraziti poznatim logaritmima. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Na ovaj način, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. posljedično, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Zasebno, vrijedno je spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz izvornog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje omogućuju izračunavanje njihovih vrijednosti ​​​​točnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približan izračun vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće korištena tablica logaritama baze 2, tablica prirodni logaritmi i tablicu decimalnih logaritama. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, prikladno je koristiti tablicu logaritama za bazu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje, s točnošću od jedne desettisućinke, pronalaženje vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta). Načelo pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama analizirat će se u konkretan primjer- toliko jasnije. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi preglednosti). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem retku lijevo od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi brojevi su istaknuti naranča). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrtog decimalnog mjesta, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće, koristeći gornju tablicu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo morate napisati broj u standardna forma : 102,76332=1,0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 prema tablici decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za prijelaz na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Na ovaj način, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritma smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

Ovo apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? U redu. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osjećam da sumnjaš... Pa, zadrži vrijeme! Ići!

Najprije u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Na temelju broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegova derivacija ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na temelju definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Grafikon funkcije y = u x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = u x) dobiva se iz grafa eksponenta zrcalnim odrazom oko prave y = x .

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Ono se monotono povećava u svojoj domeni definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( - ∞ ).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koji funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Područje definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija pa nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

ln x vrijednosti

log 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam može se izraziti prirodnim logaritmima pomoću formule promjene baze:

Dokazi ovih formula su prikazani u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada .

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Sastavni

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Tako,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednovrijedna funkcija.

Proširenje niza snaga

Za , proširenje se odvija:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći potenciju na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Logaritam bazi a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x \u003d b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mogao bi i logirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva se logaritam. Pa dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (bazom i argumentom). U početku mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Izbjeći nesretni nesporazumi samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koji trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom satu - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, t.j. riješite se znaka "dnevnik". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na što se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje “na koju snagu se treba dignuti da bi se dobila dva”. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju valjani raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednakosti dođu u igru, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 7 14

1. Osnovu i argument predstavimo kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stavka proizlazi da se logaritam ne razmatra;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije točan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznaj jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Također imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek točni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam baze 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; LG 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput “Pronađi lg 0,01”, znajte da ovo nije tipkarska pogreška. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U izvjesnom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam baze e, t.j. snaga na koju se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: što je još broj e? Ovo je iracionalan broj točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to što je to brojka i zašto je potrebna. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalno. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.