Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako grafički prikažemo funkciju
,
što je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe os apscise (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

U nastavku su primjeri takvih grafova.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da je jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Odluka

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva stvarna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo dekompoziciju kvadratnog trinoma na faktore:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prelazi os x u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Odluka

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-os (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen dvaput razložen na faktore:
,
onda se takav korijen naziva višekratnikom. To jest, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Odluka

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne prelazi os x. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne prelazi apscisu (os). Stoga nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi // Mladi znanstvenik. - 2016. - Broj 6.1. - S. 17-20..02.2019.).



Naš projekt posvećen je načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi. Svrha projekta: naučiti rješavati kvadratne jednadžbe na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronađite sve moguće načine rješavanja kvadratnih jednadžbi i naučite ih sami koristiti te upoznati kolege iz razreda s tim metodama.

Što su "kvadratne jednadžbe"?

Kvadratna jednadžba- jednadžba oblika sjekira2 + bx + c = 0, gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojevi a, b, c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednadžbe.

• a naziva se prvi koeficijent;
• b se zove drugi koeficijent;
• c - slobodni član.

A tko je prvi "izmislio" kvadratne jednadžbe?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu. Pronađene drevne babilonske glinene ploče, datirane negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, najraniji su dokaz proučavanja kvadratnih jednadžbi. Iste tablete sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika.

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općenite metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Babilonski matematičari iz otprilike 4. stoljeća pr. koristio metodu kvadratnog komplementa za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. pr. Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbe s negativnim korijenima u obliku algebarske formule bio je indijski znanstvenik. Brahmagupta(Indija, 7. stoljeće poslije Krista).

Brahmagupta je iznio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

U ovoj jednadžbi koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo u biti se podudara s našim.

U Indiji su javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi dana je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax2 = bx.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ax2 = c.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax2 + c = bx.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ax2 + bx = c.

6) “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje metode rješavanja ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabr i al-muqabela. Njegova se odluka, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa ne uzima u obzir nulu. rješenje, vjerojatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Oblici za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu Al-Khwarizmija u Europi prvi put su opisani u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. talijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneseni su u gotovo sve europske udžbenike 14.-17. stoljeća. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulirano je u Europi 1544. godine. M. Stiefel.

Vieta ima opću derivaciju formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16. stoljeću. uzeti u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. zahvaljujući radu Girard, Descartes, Newton i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima suvremeni oblik.

Razmotrimo nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Standardni načini rješavanja kvadratnih jednadžbi iz školskog kurikuluma:

1. Faktorizacija lijeve strane jednadžbe.
2. Metoda odabira punog kvadrata.
3. Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli.
4. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe.
5. Rješenje jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Zaustavimo se detaljnije na rješenju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi koristeći Vietin teorem.

Podsjetimo da je za rješavanje gornje kvadratne jednadžbe dovoljno pronaći dva broja takva da je umnožak jednak slobodnom članu, a zbroj je jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Trebate pronaći brojeve čiji je umnožak 6, a zbroj 5. Ovi brojevi će biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti za jednadžbe s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzimamo prvi koeficijent i množimo ga sa slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi čiji je umnožak - 15, a zbroj - 2. Ti brojevi su 5 i 3. Da bismo pronašli korijene izvorne jednadžbe, dobivene korijene podijelimo s prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rješenje jednadžbi metodom "transfera".

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Pomnožeći oba njegova dijela s a, dobivamo jednadžbu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednadžbe y 2 + by + ac = 0, koja je ekvivalentna zadanoj. Njegove korijene na 1 i na 2 nalazimo pomoću Vietinog teorema.

Na kraju dobivamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a se množi sa slobodnim članom, kao da se na njega "prenosi", stoga se naziva "transferna" metoda. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Prebacimo” koeficijent 2 na slobodni član i zamjenom dobijemo jednadžbu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinom inverznom teoremu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; x 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ako je a + b + c \u003d 0 (tj. zbroj koeficijenata jednadžbe je nula), tada je x 1 \u003d 1.

2. Ako je a - b + c \u003d 0, ili b \u003d a + c, tada je x 1 \u003d - 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Budući da je a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 = 0), tada je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; x 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), zatim x 1 = - 1, x 2 = 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; x 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe. ali je njihova upotreba kompliciranija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Ovo je stara i trenutno zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi, smještena na 83. str. zbirke: Bradis V.M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. - M., Prosvjeta, 1990.

Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbi z2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe prema njezinim koeficijentima.

Krivuljasta skala nomograma izgrađena je prema formulama (slika 1):

Uz pretpostavku OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa slike 1 sličnost trokuta SAN i CDF dobivamo proporciju

odakle, nakon zamjena i pojednostavljenja, slijedi jednadžba z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje točke na zakrivljenoj ljestvici.

Riža. 2 Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednadžbu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor: 8,0; 1.0.

2) Riješite jednadžbu pomoću nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednadžbe s 2, dobivamo jednadžbu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

9. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer.x 2 + 10x = 39.

U originalu je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Razmislite o kvadratu sa stranicom x, na njegovim stranicama su izgrađeni pravokutnici tako da je druga strana svakog od njih 2,5, dakle, površina svake je 2,5x. Rezultirajuća figura se zatim nadopunjuje s novim kvadratom ABCD, popunjavajući četiri jednaka kvadrata u kutovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25

Riža. 3 Grafički način rješavanja jednadžbe x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se predstaviti kao zbroj površina: izvorni kvadrat x 2, četiri pravokutnika (4∙2,5x = 10x) i četiri priložena kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zamijenivši x 2 + 10x brojem 39, dobivamo da je S = 39 + 25 \u003d 64, što implicira da je stranica kvadrata ABCD, t.j. segment AB \u003d 8. Za željenu stranu x izvornog kvadrata dobivamo

10. Rješenje jednadžbi pomoću Bezoutovog teorema.

Bezoutov teorem. Ostatak nakon dijeljenja polinoma P(x) s binomom x - α jednak je P(α) (tj. vrijednost P(x) pri x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), tada je ovaj polinom djeljiv s x -α bez ostatka.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) s (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

Zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednadžbi jednostavno je nužna za rješavanje složenijih jednadžbi, na primjer, frakcijskih racionalnih jednadžbi, jednadžbi viših potencija, bikvadratnih jednadžbi, te u srednjoj školi trigonometrijskih, eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili sve pronađene metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, možemo savjetovati kolege iz razreda da, osim standardnih metoda, rješavaju metodom prijenosa (6) i rješavaju jednadžbe svojstvom koeficijenata (7), budući da su pristupačnije razumijevanju .

Književnost:

1. Bradis V.M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. - M., Prosvjeta, 1990.
2. Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky 15. izd., revidirano. - M.: Prosvjeta, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Povijest matematike u školi. Vodič za učitelje. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosvjeta, 1964.

Upotreba jednadžbi je raširena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućuje rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe koristeći opću formulu, koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula ovisi o stupnju polinoma. Gornja formula prikladna je za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja morate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima više korijena (jednaki korijeni);

* "D" je simetričan polinom u odnosu na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štoviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi, bez obzira na proširenje u kojem su uzeti korijeni.

Pretpostavimo da nam je dana kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Budući da \, onda jednadžba ima 2 korijena. Definirajmo ih:

Gdje mogu riješiti jednadžbu putem diskriminantnog online rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici, a ako imate pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednadžbi nužno mora postojati x na kvadrat. Osim toga, u jednadžbi može biti (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stupnja) i samo broj (slobodni član). I ne smije biti x u stupnju većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

Ovdje a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koji, ali a- sve osim nule. Na primjer:

Ovdje a =1; b = 3; c = -4

Ovdje a =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednadžbama, na lijevoj strani, postoji cijeli setčlanova. x na kvadrat s koeficijentom a, x na prvi stepen s koeficijentom b i slobodan član

Takve kvadratne jednadžbe nazivaju se potpuni.

I ako b= 0, što ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stupnju. To se događa množenjem s nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b i c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednadžbe, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto a ne može biti nula? I umjesto toga zamijenite a nula.) X u kvadratu će nestati! Jednadžba će postati linearna. A radi se drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuna i nepotpuna.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne je jednadžbe lako riješiti. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadanu jednadžbu dovesti u standardni oblik, tj. na pogled:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminirajući. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i brojite. Zamjena sa svojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. A što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće pogreške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se tu treba miješati?), nego zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračun korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa nemoj biti lijen. Za pisanje dodatnog retka trebat će 30 sekundi i broj pogrešaka će naglo pasti. Stoga pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali to se samo čini. Probaj. Pa ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo slikate. Samo će ispasti ispravno. Pogotovo ako primjenjujete praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer s hrpom minusa riješit će se lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li znali?) Da! Ovo je nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Također se mogu riješiti općom formulom. Samo trebate točno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično i s drugim primjerom. Samo nulu ovdje nemamo s, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što se može učiniti s lijeve strane? Možete izvaditi X iz zagrada! Izvadimo ga.

I što od ovoga? A činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Obje odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u izvornu jednadžbu, dobivamo točan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije od opće formule. Napominjem, usput, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako pisati redom x 1- što je manje x 2- ono što je više.

Druga jednadžba se također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. dobivamo:

Ostaje izvući korijen iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem X iz zagrada, ili jednostavnim prijenosom broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema se što vaditi iz zagrada...

Diskriminirajući. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminirajući ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz “odlučite putem diskriminatora” umiruje i umiruje. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Jednostavan je za korištenje i bez problema.) Podsjećam vas na najopćenitiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

A što je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje poseban naziv? Što značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poanta je u ovome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li je korijen dobro ili loše vađen, drugo je pitanje. Važno je što se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Budući da zbrajanje ili oduzimanje nule u brojniku ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o jedno rješenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, s jednostavnim rješenjem kvadratnih jednadžbi, koncept diskriminanta zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i diskriminantna formula nedovoljno. Pogotovo - u jednadžbama s parametrima. Takve su jednadžbe akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili naučeno, što također nije loše.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c. Znaš li kako pažljivo zamijenite ih u formulu korijena i pažljivo broji rezultat. Jeste li razumjeli da je ključna riječ ovdje - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvi prijem . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati izglede a, b i c. Izgradite primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu sa -1. dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebao bi dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, nego -2! slobodan član sa svojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, morate presavijati korijene. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b s suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Bit će manje pogrešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Inače, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, jednadžbu pomnožimo s -1. dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako se ispred x u kvadratu nalazi negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednadžbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Pristaje li sve? Fino! Kvadratne jednadžbe nisu vaša glavobolja. Prva tri su se pokazala, ali ostali nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Pogledaj link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopće ne radi? Tada će vam pomoći odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani po kostima. Prikazivanje glavni greške u rješenju. Naravno, opisana je i primjena identičnih transformacija u rješavanju različitih jednadžbi. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Transformacija potpune kvadratne jednadžbe u nepotpunu izgleda ovako (za slučaj \(b=0\)):

Za slučajeve kada su \(c=0\) ili kada su oba koeficijenta jednaka nuli, sve je slično.

Imajte na umu da \(a\) nije jednako nuli, ne može biti jednako nuli, jer se u ovom slučaju pretvara u:

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Prije svega, morate shvatiti da je nepotpuna kvadratna jednadžba još uvijek, stoga se može riješiti na isti način kao i uobičajena kvadratna jednadžba (kroz). Da bismo to učinili, jednostavno dodamo komponentu koja nedostaje jednadžbi s nultim koeficijentom.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(3x^2-27=0\)
Odluka :

		Imamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu s koeficijentom \(b=0\). Odnosno, jednadžbu možemo napisati u sljedećem obliku:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Zapravo, ovdje je ista jednadžba kao na početku, ali sada se može riješiti kao običan kvadrat. Prvo zapisujemo koeficijente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajte diskriminant koristeći formulu \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Pronađimo korijene jednadžbe pomoću formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapišite odgovor

Odgovor : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(-x^2+x=0\)
Odluka :

		Opet, nepotpuna kvadratna jednadžba, ali sada je koeficijent \(c\) jednak nuli. Zapisujemo jednadžbu kao potpunu.