Primjeri trigonometrije. Trigonometrijske jednadžbe

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednakosti, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Načelo uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeće: potrebno je ustanoviti koji se tip zadatka rješava, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, t.j. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, potrebno je imati vještine za izvođenje identične transformacije i računalstvo.

Drugačija situacija se događa sa trigonometrijske jednadžbe. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Po izgled jednadžbe ponekad je teško odrediti njen tip. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu od nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu u "iste kutove";
2. dovesti jednadžbu na "iste funkcije";
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Smatrati osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju kroz poznate komponente.

Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Odluka.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (ako je potrebno, uvedite ograničenja na t).

Korak 3 Zabilježite i riješite algebarska jednadžba.

4. korak Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Odluka.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Zamijeniti zadana jednadžba linearno, koristeći formule redukcije za to:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Rezultirajuću jednadžbu riješite metodama I i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Odluka.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednadžbu u oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednadžbu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Korak 3 Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Odluka.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Korištenje svih vrsta trigonometrijske formule, dovesti ovu jednadžbu u jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Rezultirajuću jednadžbu riješite poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Odluka.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat toga, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi su vrlo važno, njihov razvoj zahtijeva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi vezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeno kod nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada općenito trigonometrijske jednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Odluka:

A) Označimo 3x=t, tada ćemo našu jednadžbu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednadžbe: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Odluka:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći izravno na izračun korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Odluka:

Odlučit ćemo u opći pogled naša jednadžba: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu.
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, opet su pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliki k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Razmotrili smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Riješimo jednadžbu:

Odluka:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo se metodom uvođenja nove varijable, označene: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene, dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratna jednadžba: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, pronađimo njezine korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Odluka:

Upotrijebimo identičnost: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može imati vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednadžba oblika a sin(x)+b cos(x) naziva se homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelimo je s cos(x): Ne možete podijeliti kosinusom ako jest nula, uvjerimo se da nije:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu u isto vrijeme jednaki nuli, dobili smo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti po nuli.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Odluka:

Izvadite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a = 0, naša će jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajd

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe s kvadratnim kosinusom, dobivamo:

Promjenom varijable t=tg(x) dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer #:3

Riješite jednadžbu:
Odluka:

Podijelite obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Izvodimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer #:4

Riješite jednadžbu:

Odluka:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer #:5

Riješite jednadžbu:

Odluka:
Transformirajmo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednadžbu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Nije tajna da uspjeh ili neuspjeh u procesu rješavanja gotovo svakog problema ovisi uglavnom o ispravnosti definicije tipa. zadana jednadžba, kao i o ispravnoj reprodukciji slijeda svih faza njegovog rješenja. Međutim, u slučaju trigonometrijskih jednadžbi uopće nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. No, u procesu određivanja slijeda radnji koje bi nas trebale dovesti do točnog odgovora, možemo naići na određene poteškoće. Idemo shvatiti kako pravilno riješiti trigonometrijske jednadžbe od samog početka.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati izvesti sljedeće točke:

Sve funkcije koje su uključene u našu jednadžbu dovodimo do "istih kutova";
Potrebno je zadanu jednadžbu dovesti na "identične funkcije";
Lijevu stranu zadane jednadžbe razlažemo na faktore ili druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takve jednadžbe potrebno je riješiti u dvije faze. Najprije transformiramo jednadžbu kako bismo dobili njezin najjednostavniji (pojednostavljeni) oblik. Jednadžba: Cosx = a, Sinx = a i slično nazivaju se najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama. Drugi korak je rješavanje rezultirajuće jednostavne jednadžbe. Valja napomenuti da se najjednostavnija jednadžba može riješiti algebarskom metodom, koja nam je dobro poznata iz školskog tečaja algebre. Također se naziva metoda zamjene i zamjene varijable. Uz pomoć redukcijskih formula, prvo trebate pretvoriti, zatim napraviti zamjenu i zatim pronaći korijene.

Zatim, trebate rastaviti našu jednadžbu na moguće faktore, za to trebate pomaknuti sve članove ulijevo, a zatim možete rastaviti na faktore. Sada morate ovu jednadžbu dovesti do homogene, u kojoj su svi članovi jednaki u istom stupnju, a kosinus i sinus imaju isti kut.

Prije rješavanja trigonometrijskih jednadžbi potrebno je prenijeti njegove članove na lijevu stranu, uzimajući ih s desne strane, a zatim izvadimo sve zajedničke nazivnike u zagradama. Svoje zagrade i faktore izjednačavamo s nulom. Naše izjednačene zagrade su homogena jednadžba reduciranog stupnja koja se dijeli sa sin(cos) na najveći stepen. Sada rješavamo algebarsku jednadžbu koja je dobivena u odnosu na tan.

Metoda 2. Druga metoda kojom možete riješiti trigonometrijsku jednadžbu je prijelaz na polovični kut. Na primjer, rješavamo jednadžbu: 3sinx-5cosx=7.

Moramo ići na pola kuta, u našem slučaju to je: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) I nakon toga sve članke svedemo u jedan dio (zbog praktičnosti, bolje je odabrati pravi) i nastavljamo s rješavanjem jednadžbe.

Ako je potrebno, možete unijeti pomoćni kut. To se radi kada trebate zamijeniti cjelobrojnu vrijednost sin (a) ili cos (a), a znak "a" samo djeluje kao pomoćni kut.

proizvod zbrojiti

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe pomoću zbrojnog proizvoda? Metoda poznata kao pretvorba proizvoda u zbroj također se može koristiti za rješavanje takvih jednadžbi. U ovom slučaju potrebno je koristiti formule koje odgovaraju jednadžbi.

Na primjer, imamo jednadžbu: 2sinx * sin3x= cos4x

Ovaj problem moramo riješiti pretvaranjem lijeve strane u zbroj, odnosno:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Ako gore navedene metode nisu prikladne, a još uvijek ne znate kako riješiti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, možete koristiti drugu metodu - univerzalnu supstituciju. Pomoću njega možete transformirati izraz i napraviti zamjenu. Na primjer: Cos(x/2)=u. Sada možemo riješiti jednadžbu sa zadanim parametrom u. I nakon što ste dobili željeni rezultat, ne zaboravite ovu vrijednost prevesti u suprotno.

Mnogim "iskusnim" studentima se savjetuje da se za rješavanje jednadžbi obrate ljudima na internetu. Kako riješiti trigonometrijsku jednadžbu na mreži, pitate se. Za online rješenja problema, možete se obratiti na forume relevantnih tema, gdje vam mogu pomoći savjetom ili u rješavanju problema. Ali najbolje je pokušati se sami snaći.

Vještine i sposobnosti rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važne i korisne. Njihov razvoj zahtijevat će od vas mnogo truda. Mnogi problemi iz fizike, stereometrije itd. povezani su s rješavanjem takvih jednadžbi. A sam proces rješavanja takvih problema podrazumijeva prisutnost vještina i znanja koja se mogu steći proučavajući elemente trigonometrije.

Naučite trigonometrijske formule

U procesu rješavanja jednadžbe možete naići na potrebu korištenja bilo koje formule iz trigonometrije. Možete ga, naravno, početi tražiti u svojim udžbenicima i varalicama. A ako vam se ove formule ubace u glavu, ne samo da ćete uštedjeti živce, već ćete i znatno olakšati svoj zadatak, bez gubljenja vremena na traženje potrebnih informacija. Tako ćete imati priliku razmisliti na najracionalniji način rješavanja problema.

Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu pola kuta, itd.

U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Glavni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Omogućuju vam da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Izlivene formule

Izlivene formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, a također i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam da prijeđete s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nule do 90 stupnjeva.

Opravdanje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.

Formule zbrajanja

Trigonometrijske formule zbrajanja pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (oni se također nazivaju i formule višestrukih kutova) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. kutovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za dvostruko, trostruko itd. kut .

Formule pola kuta

Formule pola kuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju kroz kosinus cjelobrojnog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se pronaći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadajuće stupnjeve dizajnirani su da olakšaju prijelaz s prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse prvog stupnja, ali više kutova. Drugim riječima, dopuštaju da se snage trigonometrijskih funkcija svedu na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna svrha formule zbroja i razlike za trigonometrijske funkcije sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, jer omogućuju faktoriranje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se kroz formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.web stranice, uključujući unutarnji materijali i vanjski dizajn ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.