Formule za lijevanje s potpunim objašnjenjem stupnjeva. Formule redukcije: dokaz, primjeri, mnemotehničko pravilo

Tema lekcije

• Promjena sinusa, kosinusa i tangente kako se kut povećava.

Ciljevi lekcije

• Upoznajte se s novim definicijama i prisjetite se nekih već proučenih.
• Upoznajte se s uzorkom promjena vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta s povećanjem kuta.
• Razvijanje - razvijati učeničku pažnju, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.
• Odgojno - kroz nastavu njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, međusobnog pomaganja, neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Testirajte znanje učenika.

Plan učenja

1. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.
2. Zadaci koji se ponavljaju.
3. Promjena sinusa, kosinusa i tangente kako se kut povećava.
4. Praktična upotreba.

Ponavljanje prethodno proučenog gradiva

Krenimo od samog početka i prisjetimo se što će vam biti korisno za osvježenje pamćenja. Što je sinus, kosinus i tangenta i kojem dijelu geometrije pripadaju ti pojmovi.

Trigonometrija- tako je komplicirano grčka riječ: trigonon - trokut, metro - mjera. Stoga na grčkom znači: mjereno trokutima.

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Trigonometrija.Redukcijske formule.

Formule za lijevanje ne treba učiti, treba ih razumjeti. Razumjeti algoritam za njihov izlaz. Jako je lako!

Uzmimo jedinični krug i na njega stavimo sve mjere stupnjeva (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analizirajmo sin(a) i cos(a) funkcije u svakoj četvrtini.

Zapamtite da gledamo funkciju sin (a) duž osi Y, a funkciju cos (a) duž osi X.

U prvoj četvrtini se vidi da je funkcija sin(a)>0
I funkcija cos(a)>0
Prva se četvrtina može opisati kroz stupnjsku mjeru, kao (90-α) ili (360+α).

U drugom tromjesečju se vidi da je funkcija sin(a)>0, jer je os y pozitivna u toj četvrtini.
Funkcija cos(a) jer je x-os negativna u toj četvrtini.
Druga se četvrtina može opisati kroz stupnjsku mjeru, kao (90+α) ili (180-α).

U trećoj četvrtini vidljivo je da su funkcije grijeh(a) Treća četvrtina se može opisati u terminima stupnjeva kao (180+α) ili (270-α).

U četvrtoj četvrtini se vidi da je funkcija sin(a) jer je y-os negativna u toj četvrtini.
Funkcija cos(a)>0, jer je x-os pozitivna u toj četvrtini.
Četvrta se četvrtina može opisati u terminima stupnjeva kao (270+α) ili (360-α).

Pogledajmo sada same formule redukcije.

Sjetimo se jednostavnog algoritam:
1. Četvrtina.(Uvijek gledaj u kojoj se četvrti nalaziš).
2. Znak.(Za četvrtinu pogledajte pozitivne ili negativne kosinusne ili sinusne funkcije).
3. Ako imate (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada promjene funkcije.

I tako počinjemo rastavljati ovaj algoritam na četvrtine.

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.


Htjeti cos(90-α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (90-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.


Htjeti sin(90-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(360+α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.
2. U prvoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je pozitivan.

Htjeti cos(360+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (360 + α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.
2. U prvoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti sin(360+α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90+α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradama je (90 ° ili π / 2), a zatim se funkcija mijenja iz kosinusa u sinus.
Htjeti cos(90+α) = -sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (90 + α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradama je (90 ° ili π / 2), a zatim se funkcija mijenja iz sinusa u kosinus.
Htjeti sin(90+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(180-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je negativan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti cos(180-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (180-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti sin(180-α) = sin(α)

Na sličan način govorim o trećoj i četvrtoj četvrtini, napravit ćemo tablicu:

Pretplatite se na kanal na YOUTUBE-u i pogledajte video, pripremite se za ispite iz matematike i geometrije s nama.

Definicija. Formule redukcije su formule koje vam omogućuju odlazak trigonometrijske funkcije vrsta prema funkcijama argumenata. Uz njihovu pomoć, sinus, kosinus, tangent i kotangens proizvoljnog kuta mogu se svesti na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta od 0 do 90 stupnjeva (od 0 do radijana). Dakle, formule redukcije omogućuju nam da prijeđemo na rad s kutovima unutar 90 stupnjeva, što je nesumnjivo vrlo zgodno.

Formule lijevanja:

Postoje dva pravila za korištenje cast formula.

1. Ako se kut može predstaviti kao (π/2 ±a) ili (3*π/2 ±a), tada promjene naziva funkcije grijeh na cos, cos na grijeh, tg na ctg, ctg na tg. Ako se kut može predstaviti kao (π ±a) ili (2*π ±a), onda naziv funkcije ostaje nepromijenjen.

Pogledajte sliku ispod, ona shematski pokazuje kada znak treba mijenjati, a kada ne.

2. Znak smanjene funkcije ostaje isto. Ako je izvorna funkcija imala znak plus, onda reducirana funkcija također ima znak plus. Ako je izvorna funkcija imala predznak minus, onda reducirana funkcija također ima predznak minus.

Na slici ispod prikazani su znakovi glavnih trigonometrijskih funkcija ovisno o četvrtini.

Primjer:

Izračunati

Koristimo formule redukcije:

Sin(150˚) je u drugoj četvrtini, iz slike možemo vidjeti da je predznak grijeha u ovoj četvrtini jednak "+". To znači da će gornja funkcija također imati znak "+". Primijenili smo drugo pravilo.

Sada 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ je π/2. Odnosno, imamo posla sa slučajem π / 2 + 60, dakle, prema prvom pravilu, mijenjamo funkciju iz sin u cos. Kao rezultat, dobivamo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lekcija i prezentacija na temu: "Primjena redukcijskih formula u rješavanju problema"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 10. razred
1C: Škola. Interaktivni građevinski zadaci za 7.-10. razred
1C: Škola. Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru za 10.-11. razred

Što ćemo proučavati:
1. Ponovimo malo.
2. Pravila za redukcijske formule.
3. Tablica transformacija za formule redukcije.
4. Primjeri.

Ponavljanje trigonometrijskih funkcija

Dečki, već ste naišli na formule duhova, ali se još nisu tako zvale. Što misliš gdje?

Pogledajte naše crteže. Točno, kada su uveli definicije trigonometrijskih funkcija.

Pravilo za formule redukcije

Uvedemo osnovno pravilo: ako znak trigonometrijske funkcije sadrži broj oblika π×n/2 + t, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada se naša trigonometrijska funkcija može svesti na više običan prizor, koji će sadržavati samo argument t. Takve se formule nazivaju formule duhova.

Prisjetimo se nekih formula:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

ima puno formula duhova, napravimo pravilo po kojem ćemo odrediti naše trigonometrijske funkcije pri korištenju formule duhova:

• Ako znak trigonometrijske funkcije sadrži brojeve oblika: π + t, π - t, 2π + t i 2π - t, tada se funkcija neće promijeniti, odnosno, na primjer, sinus će ostati sinus, kotangens će ostati kotangens.
• Ako znak trigonometrijske funkcije sadrži brojeve oblika: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t i 3π/2 - t, tada će se funkcija promijeniti u srodnu, tj. sinus će postati kosinus, kotangens će postati tangent.
• Prije rezultirajuće funkcije morate staviti znak koji bi konvertirana funkcija imala ako je 0

Ova pravila vrijede i kada je argument funkcije u stupnjevima!

Također možemo napraviti tablicu pretvorbe trigonometrijskih funkcija:

Primjeri uporabe redukcijskih formula

1. Transformirajmo cos(π + t). Naziv funkcije ostaje, t.j. dobivamo cos(t). Zatim, pretpostavimo da je π/2

2. Transformirajte sin(π/2 + t). Naziv funkcije se mijenja, tj. dobivamo cos(t). Nadalje pretpostavimo da je 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Pretvorimo tg(π + t). Naziv funkcije ostaje, t.j. dobivamo tg(t). Nadalje pretpostavimo da je 0

4. Transformirajmo ctg(270 0 + t). Naziv funkcije se mijenja, odnosno dobivamo tg(t). Nadalje pretpostavimo da je 0

Problemi s redukcijskim formulama za samostalno rješenje

Ljudi, pretvorite se koristeći naša pravila:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Spadaju u "trigonometrijski" dio matematike. Njihova je bit dovesti trigonometrijske funkcije kutova u "jednostavniji" oblik. O važnosti njihovog znanja može se mnogo napisati. Postoje 32 ove formule!

Ne brinite, ne morate ih učiti, kao i mnoge druge formule u tečaju matematike. Ne trebate puniti glavu nepotrebnim informacijama, morate zapamtiti "ključeve" ili zakone, a zapamtiti ili izvući željenu formulu neće biti problem. Usput, kad pišem u člancima "... morate naučiti !!!" - to znači da ga je zaista potrebno naučiti.

Ako niste upoznati s formulama redukcije, onda će vas jednostavnost njihovog izvođenja ugodno iznenaditi - postoji "zakon" s kojim je to lako učiniti. I napisat ćete bilo koju od 32 formule za 5 sekundi.

Navest ću samo neke od zadataka koji će biti na ispitu iz matematike, gdje bez poznavanja ovih formula postoji velika vjerojatnost pada u rješenju. Na primjer:

- zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta, gdje je riječ o vanjskom kutu, i zadaci za unutarnji uglovi neke od ovih formula su također neophodne.

- zadaci za izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih izraza; transformacije numeričkih trigonometrijskih izraza; transformacije doslovnih trigonometrijskih izraza.

– zadaci za tangentu i geometrijsko značenje tangenta, potrebna je formula redukcije za tangentu, kao i drugi zadaci.

- stereometrijski problemi, tijekom rješavanja često je potrebno odrediti sinus ili kosinus kuta koji se nalazi u rasponu od 90 do 180 stupnjeva.

A to su samo one točke koje se odnose na ispit. I u samom tečaju algebre postoje mnogi problemi u čijem je rješenju, bez poznavanja formula redukcije, jednostavno nemoguće učiniti.

Do čega to onda vodi i kako nam propisane formule pojednostavljuju rješavanje problema?

Na primjer, trebate odrediti sinus, kosinus, tangentu ili kotangens bilo kojeg kuta između 0 i 450 stupnjeva:

alfa kut se kreće od 0 do 90 stupnjeva

* * *

Dakle, potrebno je razumjeti "zakon" koji ovdje funkcionira:

1. Odredi predznak funkcije u pripadajućoj četvrtini.

Da ih podsjetim:

2. Zapamtite sljedeće:

funkcija se mijenja u kofunkciju

funkcija se ne mijenja u kofunkciju

Što znači pojam - funkcija se mijenja u kofunkciju?

Odgovor: sinus se mijenja u kosinus ili obrnuto, tangenta na kotangens ili obrnuto.

To je sve!

Sada, prema predstavljenom zakonu, samostalno pišemo nekoliko formula redukcije:

Ovaj kut leži u trećoj četvrtini, kosinus u trećoj četvrtini je negativan. Ne mijenjamo funkciju za kofunkciju, jer imamo 180 stupnjeva, što znači:

Kut leži u prvoj četvrtini, sinus u prvoj četvrtini je pozitivan. Ne mijenjamo funkciju u kofunkciju, jer imamo 360 stupnjeva, što znači:

Evo još jedne dodatne potvrde da su sinusi susjednih kutova jednaki:

Kut leži u drugoj četvrtini, sinus u drugoj četvrtini je pozitivan. Funkciju ne mijenjamo u kofunkciju, jer imamo 180 stupnjeva, što znači:

Proradite svaku formulu mentalno ili pismeno i vidjet ćete da nema ništa komplicirano.

***

U članku o rješenju zabilježena je takva činjenica - sinus jednog oštrog kuta u pravokutni trokut jednak je kosinsu drugog oštrog kuta u njemu.