Oznake i simboli. Točka i linija

Unatoč činjenici da je geometrija jedna od egzaktnih znanosti, znanstvenici ne mogu jednoznačno definirati pojam "prava linija". U samom opći pogled može se dati ova definicija: "Prava crta je pravac duž kojega je put jednaka udaljenosti između dvije točke."

Što je ravna crta u matematici? Definicija ravne u matematici: ravna crta nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera do beskonačnosti.

Osnovni pojmovi geometrije uključuju točku, liniju i ravninu, oni su dati bez definicije, ali definicije drugih geometrijskih oblika dane su kroz te pojmove. Ravnina, kao i ravna crta, primarni je pojam koji nema definiciju. Ovu tvrdnju utvrđuje sljedeći aksiom: ako dvije točke pravca leže u određenoj ravnini, tada sve točke ovog pravca leže u ovoj ravnini. A sama tvrdnja, koja je dokazana, zove se teorem. Izjava teorema obično se sastoji od dva dijela.

Zadatak: gdje je pravac, zraka, segment, krivulja? Vrhovi polilinije (slično vrhovima planina) su točke od kojih polilinija počinje, točke na kojima su spojeni segmenti koji tvore polilinija, točka gdje polilinija završava. Zadatak: koja polilinija je duža, a koja ima više vrhova? Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije. Vrhovi poligona su vrhovi polilinije. Susjedni vrhovi su krajnje točke jedne strane poligona.

Na satovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima duljinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih točaka koje leže na ravnoj liniji između krajeva segmenta.

U nastavku će biti definicije za različite figure osim dva - točke i pravca. Tako ponekad možemo označiti ravnu liniju s dvije velike latiničnim slovima, na primjer, pravac\(AB\), budući da se kroz ove dvije točke ne može povući nijedan drugi pravac. Simbolički zapisujemo segment \(AB\).

Što je točka u matematici?

Teorem: Srednja crta trokuta paralelna je s jednom od njegovih stranica i jednaka polovici te stranice. C. Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravi kut, dijeli trokut na dva slična pravokutni trokut, od kojih je svaki sličan danom trokutu. C. Upisani kut na temelju polukruga je pravi kut. Ovdje su prikupljene glavne definicije, teoremi, svojstva figura na ravnini.

Vektor s koordinatama točke naziva se vektor normale, okomit je na pravu.

U sustavnom izlaganju geometrije kao jedan od početnih pojmova obično se uzima ravna crta, koja je samo posredno određena aksiomima geometrije.

4. Dvije nepodudarne ravne u ravnini ili se sijeku u jednoj točki ili su paralelne. Zraka je dio ravne linije omeđen s jedne strane. Segment je, poput ravne linije, označen jednim slovom ili dva. U potonjem slučaju, ova slova označavaju krajeve segmenta.

Sažetak sata iz matematike

Tema:"Ravno. Oznaka linije»

razred: 1 "G"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:- poznavati pojmove ravnih i neizravnih linija; biti u stanju nacrtati ravnu liniju; znati razlikovati ravne i neizravne linije; biti sposoban prihvatiti i zadržati zadatak učenja; biti sposoban izvoditi odgojno-spoznajne radnje u materijalnom i mentalnom obliku; znati raditi u paru; sposobnost donošenja zaključaka;

Razvijanje:- razvijati zapažanje logično mišljenje, vještine samokontrole; mentalne operacije (analiza, sinteza, generalizacija); razvijati vještinu ispravnog govornog ponašanja;

Njegovanje: vrijednosni stav predmetu, njegovati pažnju, točnost, ustrajnost, marljivost; pozitivan stav prema učenju; želja za stjecanjem novih znanja;

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva

Tehnička podrška: računalo, multimedijski projektor, platno, interaktivna ploča

Oprema:, udžbenik "Matematika 1. razred", radna bilježnica iz matematike

UMC:"Perspektiva"

Datum: 01.10.2016

Trošenje vremena: 45 minuta

vodljivi: Boldueva Ludmila Yurievna

Organiziranje vremena

Ažuriranje znanja

postavljanje ciljeva

Uvod u novi materijal.

Minuta tjelesnog odgoja

Sidrenje

Tjelesni odgoj za oči

Sidrenje

Ishod

Odraz

10. Domaća zadaća

Pozdrav, sjedni.

Prvo, napravimo usmeno brojanje.

Listovi javora (ili bilo koja druga vizualizacija) se pričvršćuju na ploču jedan po jedan, o trošku djece.

Dobro napravljeno!

Sada navedite brojeve u silaznom redoslijedu.

Dobro, bravo!

Dečki, završili smo u državi "Geometrija" i čeka nas točka. (učitelj zakači prvu točku na ploču). Nazovimo to točka A.

Sada ću uz pomoć ravnala povući crtu. Tko zna kako se to zove?

Koja će biti tema naše lekcije?

Što ćemo danas, što ćemo naučiti?

Dobro, bravo!

Gledanje videa.

Dakle, koliko pravaca možemo povući kroz jednu točku?

Otvaramo udžbenik na stranici 50 i gledamo vježbu 1. Ovo pokazuje kako se ravnalom povlači ravna crta kroz jednu točku.

Je li moguće povući pravac kroz točku A?

Nastavljamo, prijatelj nam je došao u posjet. Ovo je točka B. (nastavnik pričvršćuje točku B na ploču)

Gledanje videa.

Koliko se pravaca može povući kroz dvije točke?

Pravo!

Otvaramo radne bilježnice na stranici 38, izvodimo zadatak 1.

Provjera slijetanja. Podsjetite kako se drži olovka.

Zadane su dvije točke A i B. Ravnalom crtamo. Na njemu označavamo točku O. - - Koje ravne imamo?

Kako drugačije možete označiti pravac AB?

Tako je, BA.

(nastavnik izvodi sve radnje na interaktivnoj ploči)

Interaktivna igra na ploči (2)

Ali postoje i neizravne linije, pogledajte drugu sliku u tutorialu. Ovo nisu ravne linije. A na ploči imamo ravnu i neizravnu liniju.

(ploča prikazuje ravnu i neizravnu liniju)

A tko može reći uz pomoć onoga što možemo saznati ravnu liniju ili ne?

Tako je, s ravnalom. Ako se ravnalo poklapa s ravnom linijom, onda je linija ravna, ako ne, onda nije ravna.

Pokušajmo (učitelj primjenjuje ravnalo na 1 ravnu crtu - ravnalo se poklapa, zatim je pravac ravna; primijeniti na drugu - ne podudara se, tada je linija neizravna)

Interaktivna igra na ploči (1)

Natrag na radna bilježnica, broj 2, radimo u paru i onda zajedno provjeravamo. Morate nacrtati ravne linije DE i MK, a zatim povući više linija točke E, M, K. Vidjeti. Razmislite sa svojim kolegom i zapišite nazive ovih redaka.

Provjera obavljenog zadatka (Učitelj crta ravne linije na interaktivnoj ploči, razgovarajući s djecom o pravilnom izvođenju)

Na računalu (prezentacija)

Vraćamo se na radne bilježnice i izvodimo broj 3.

(učiteljica crta s djecom na interaktivnoj ploči)

Gimnastika prstiju:

Prsti.

Jedan, dva, tri, četiri, pet (Stisnite i opustite šake.)

Išli smo u šetnju šumom.

Ovaj prst duž staze, (Prsti su savijeni, počevši od velikog.)

Ovaj prst je na putu,

Ova gljiva prst

Ovaj prst je za maline,

Ovaj prst je izgubljen

Vratio se vrlo kasno.

Ispružili smo prste i sada radimo broj 4.

Pravila slijetanja.

Pa, pokazali su kako držimo olovku? Dobro, bravo!

I posljednja vježba koju ćemo raditi u ovoj lekciji broj 6.

Idemo to riješiti, trebamo saznati tko će od umjetnika nastupiti sljedeći, ako nije na klizaljkama, ne klaun i ne ptica.

Tko odgovara ovom opisu?

Tako je, bravo!

Ovo je kraj naše lekcije s vama.

Što smo danas novo naučili?

Što ste naučili?

Danas su na satu svi aktivno radili, dobro se ponašali i zato ću vam sada dati sunce.

Dečki, dignite ruke, oni koji su sve razumjeli u lekciji, lako su se nosili sa svim zadacima.

A sada oni koji su imali poteškoća.

(A što točno niste shvatili da niste uspjeli?)

Kod kuće, ako želite, možete napraviti broj 7, u udžbeniku. Ovdje se uzorci i brojevi trebaju ponovno nacrtati u bilježnici.

Zdravo, sjedni.

Zajedno s učiteljicom broje listove.

Ravna linija i njezina oznaka

Naučite crtati ravnu liniju

Rad s udžbenikom

Samo jedan.

Izađite i obavite posao

Provedite djecu, uz glazbu

Rad s radnim bilježnicama

Raditi u parovima

Izvedite vježbu

Stezanje i otpuštanje šaka

Savijam prste, počinjem s velikim

Odgovori djece

Naučili smo što je ravna crta, kako se zove.

Naučio kako nacrtati ravnu liniju

Motivacijska osnova aktivnosti učenja(L);

Tvorba značenja (L);

Postavljanje kognitivnog cilja (P);

Kognitivna inicijativa (P);

Predviđanje (P);

obrazovni i kognitivni interes (L);

Tvorba značenja (L);

Voljna samoregulacija (P);

Analiza, sinteza, usporedba,

generalizacija, analogija (P);

Izjava i formulacija

problemi (P);

Uzimajući u obzir različita mišljenja

koordinacija u

suradnja

različiti položaji (K);

Formulacija i argumentacija

njihova mišljenja i stavove u

Točka i linija su osnovne geometrijski oblici na površini.

Drevni grčki znanstvenik Euklid je rekao: “točka” je ono što nema dijelova.” Riječ "točka" u prijevodu iz latinski znači rezultat trenutnog dodira, uboda. Točka je osnova za konstruiranje bilo koje geometrijske figure.

Ravna crta ili samo ravna crta je pravac duž koje je razmak između dviju točaka najkraći. Ravna linija je beskonačna i nemoguće je prikazati cijelu liniju i izmjeriti je.

Točke se označavaju velikim latiničnim slovima A, B, C, D, E itd., a ravne istim slovima, ali malim slovima a, b, c, d, e itd. Ravna linija se može označiti i sa dva slova koja odgovaraju točkama koje leže na njoj. Na primjer, pravac a može se označiti s AB.

Možemo reći da točke AB leže na pravcu a ili da pripadaju pravcu a. A možemo reći da pravac a prolazi kroz točke A i B.

Najjednostavniji geometrijski likovi na ravnini su segment, zraka, izlomljena linija.

Segment je dio pravca koji se sastoji od svih točaka ovog pravca, omeđen s dvije odabrane točke. Ove točke su krajevi segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva.

Zraka ili polupravac je dio pravca koji se sastoji od svih točaka ovog pravca, koje leže s jedne strane njegove zadane točke. Ta se točka naziva početna točka poluprave ili početak zraka. Zraka ima početnu točku, ali nema krajnju točku.

Polupravci ili zrake označavaju se s dva mala latinična slova: početno i bilo koje drugo slovo koje odgovara točki koja pripada polupravu. U ovom slučaju početna točka se stavlja na prvo mjesto.

Ispada da je linija beskonačna: nema ni početka ni kraja; zraka ima samo početak, ali nema kraj, dok segment ima početak i kraj. Stoga možemo mjeriti samo segment.

Nekoliko segmenata koji su međusobno serijski spojeni tako da segmenti (susjedni) koji imaju jednu zajedničku točku nisu smješteni na istoj pravoj liniji predstavljaju izlomljenu liniju.

Polilinija može biti zatvorena ili otvorena. Ako se kraj posljednjeg segmenta poklopi s početkom prvog, imamo zatvorenu izlomljenu liniju, ako ne, otvorenu.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Stranica 1 od 3

§jedan. test pitanja
Pitanje 1. Navedite primjere geometrijskih oblika.
Odgovor. Primjeri geometrijskih oblika: trokut, kvadrat, krug.

2. pitanje. Imenujte osnovne geometrijske oblike na ravnini.
Odgovor. Glavni geometrijski likovi na ravnini su točka i pravac.

3. pitanje. Kako se definiraju točke i linije?
Odgovor. Bodovi su označeni velikim latiničnim slovima: A, B, C, D, .... Prave su označene malim latiničnim slovima: a, b, c, d, ....
Pravac se može označiti s dvije točke koje na njemu leže. Na primjer, linija a na slici 4 može biti označena AC, a linija b može biti označena kao BC.

4. pitanje. Formulirajte osnovna svojstva pripadnosti točaka i pravaca.
Odgovor.Što god da je pravac, postoje točke koje pripadaju ovoj liniji i točke koje joj ne pripadaju.
Kroz bilo koje dvije točke možete povući liniju, i to samo jednu.
Pitanje 5. Objasnite što je odsječak koji ima krajeve u zadanim točkama.
Odgovor. Segment je dio ravne linije koji se sastoji od svih točaka ove ravne linije koje leže između dvije zadane njegove točke. Te se točke nazivaju krajevima segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva. Kad kažu ili napišu: "segment AB", misle na segment s krajevima u točkama A i B.

6. pitanje. Formulirajte glavno svojstvo položaja točaka na ravnoj crti.
Odgovor. Od tri točke na pravoj, jedna i samo jedna leži između druge dvije.
Pitanje 7. Formulirajte glavna svojstva mjernih segmenata.
Odgovor. Svaki segment ima određenu duljinu veću od nule. Duljina segmenta jednaka je zbroju duljina dijelova na koje je podijeljen bilo kojom točkom.
Pitanje 8. Kolika je udaljenost između dvije zadane točke?
Odgovor. Duljina segmenta AB naziva se udaljenost između točaka A i B.
Pitanje 9. Koja su svojstva cijepanja ravnine na dvije poluravnine?
Odgovor. Podjela ravnine na dvije poluravnine ima sljedeće svojstvo. Ako krajevi bilo kojeg segmenta pripadaju istoj poluravnini, tada segment ne siječe pravac. Ako krajnje točke segmenta pripadaju različitim poluravninama, tada segment siječe pravac.

Tečaj koristi geometrijski jezik, koju čine oznake i simboli usvojeni u kolegiju matematike (osobito u novom kolegiju geometrije u srednjoj školi).

Cijela raznolikost oznaka i simbola, kao i veze među njima, mogu se podijeliti u dvije skupine:

skupina I - oznake geometrijskih likova i odnosi među njima;

skupina II oznake logičkih operacija, koje čine sintaktičku osnovu geometrijskog jezika.

Sljedeće je cijeli popis matematičke simbole koji se koriste u ovom kolegiju. Posebna pažnja daje se simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih oblika.

Grupa I

SIMBOLI OZNAČENI GEOMETRIJSKIM LIKOVIMA I ODNOSI IZMEĐU NJIH

A. Označavanje geometrijskih oblika

1. Geometrijski lik je označen - F.

2. Bodovi su označeni velikim slovima latinske abecede ili arapskim brojevima:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Označene su linije proizvoljno smještene u odnosu na ravnine projekcije mala slova latinica:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Linije razine su označene: h - vodoravno; f- frontalni.

Sljedeća oznaka se također koristi za ravne linije:

(AB) - pravac koji prolazi kroz točke A i B;

[AB) - zraka s početkom u točki A;

[AB] - odsječak ravne linije omeđen točkama A i B.

4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Da biste naglasili način na koji je površina definirana, trebali biste navesti geometrijske elemente pomoću kojih je definirana, na primjer:

α(a || b) - ravnina α određena je paralelnim pravcima a i b;

β(d 1 d 2 gα) - površinu β određuju vodilice d 1 i d 2 , generatrisa g i ravnina paralelizma α.

5. Uglovi su naznačeni:

∠ABC - kut s vrhom u točki B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kutni: vrijednost (mjera stupnja) označena je znakom koji se postavlja iznad kuta:

Vrijednost kuta ABC;

Vrijednost kuta φ.

Pravi kut označen je kvadratom s točkom iznutra

7. Udaljenosti između geometrijskih likova označeni su s dva okomita segmenta - ||.

Na primjer:

|AB| - udaljenost između točaka A i B (dužina segmenta AB);

|Aa| - udaljenost od točke A do pravca a;

|Aα| - udaljenosti od točke A do površine α;

|ab| - udaljenost između linija a i b;

|αβ| udaljenost između površina α i β.

8. Za ravnine projekcije prihvaćene su sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 vodoravna projekcijska ravnina;

π 2 -frjuntalna ravnina projekcija.

Prilikom zamjene projekcijskih ravnina ili uvođenja novih ravnina, ove potonje označavaju π 3, π 4 itd.

9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x os x; y je y-os; z - aplicirana os.

Konstantna linija Mongeovog dijagrama označena je s k.

10. Projekcije točaka, pravih, ploha, bilo kojeg geometrijskog lika označene su istim slovima (ili brojevima) kao i original, uz dodatak nadskripta koji odgovara projekcijskoj ravnini na kojoj su dobiveni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije točaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije točaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravaca; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije linija; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije ploha.

11. Tragovi ravnina (površina) označeni su istim slovima kao i horizontalna ili frontalna, uz dodatak indeksa 0α, naglašavajući da te linije leže u ravnini projekcije i pripadaju ravnini (površini) α.

Dakle: h 0α - horizontalni trag ravnine (površine) α;

f 0α - frontalni trag ravnine (površine) α.

12. Tragovi ravnih linija (crta) označeni su velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latinskoj transkripciji) ravnine projekcije koju linija prelazi, s indeksom koji označava pripadnost liniji.

Na primjer: H a - horizontalni trag ravne (crte) a;

F a - frontalni trag ravne (crte) a.

13. Niz točaka, linija (bilo koje slike) označen je indeksima 1,2,3,...,n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.

Pomoćna projekcija točke, dobivena kao rezultat transformacije za dobivanje stvarne vrijednosti geometrijskog lika, označena je istim slovom s indeksom 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometrijske projekcije

14. Aksonometrijske projekcije točaka, pravaca, ploha označene su istim slovima kao i priroda s dodatkom superskripta 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije označene su dodavanjem superskripta 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Kako bi se olakšalo čitanje crteža u udžbeniku, u oblikovanju ilustrativnog materijala korišteno je nekoliko boja, od kojih svaka ima određenu značenje: crne linije (točke) označavaju početne podatke; zelene boje koristi se za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (točke) prikazuju rezultate konstrukcija ili one geometrijske elemente na koje treba obratiti posebnu pozornost.

B. Simboli koji označavaju odnose između geometrijskih likova

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	≡	Utakmica	(AB) ≡ (CD) - pravac koji prolazi kroz točke A i B, poklapa se s pravcem koji prolazi kroz točke C i D
2	≅	Kongruentan	∠ABC≅∠MNK - kut ABC kongruentan je kutu MNK
3	∼	Sličan	ΔABS∼ΔMNK - trokuti ABC i MNK su slični
4	||	Paralelno	α||β - ravnina α je paralelna s ravninom β
5	⊥	Okomito	a⊥b - pravci a i b su okomiti
6		križati	s d - pravci c i d se sijeku
7		Tangente	t l - pravac t tangenta je na pravac l. βα - ravnina β tangenta na površinu α
8	→	Prikazuju se	F 1 → F 2 - lik F 1 se preslikava na lik F 2
9	S	projekcijski centar. Ako središte projekcije nije odgovarajuća točka, njegov položaj je označen strelicom, koji označava smjer projekcije	-
10	s	Smjer projekcije	-
11	P	Paralelna projekcija	p s α Paralelna projekcija - paralelna projekcija na ravninu α u smjeru s

B. Teoretski zapis

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije	Primjer simboličkog zapisa u geometriji
1	M,N	Setovi	-	-
2	A,B,C,...	Postavite elemente	-	-
3	{ ... }	Sastoji se od...	F(A, B, C,... )	F(A, B, C,...) - lik F sastoji se od točaka A, B, C, ...
4	∅	Prazan set	L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente)	-
5	∈	Pripada, je element	2∈N (gdje je N skup prirodni brojevi) - broj 2 pripada skupu N	A ∈ a - točka A pripada pravcu a (točka A leži na pravoj a)
6	⊂	Uključuje, sadrži	N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva	a⊂α - pravac a pripada ravnini α (shvaćenoj u smislu: skup točaka pravca a je podskup točaka ravnine α)
7	∪	Unija	C \u003d A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3) ∪ (4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - izlomljena linija, ABCD je unija segmenata [AB], [BC],
8	∩	Raskrižje mnogih	M=K∩L - skup M je presjek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅- presjek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničke elemente)	a = α ∩ β - pravac a je presjek ravnine α i β i ∩ b = ∅ - pravci a i b se ne sijeku (nemaju zajedničke točke)

Grupa II SIMBOLI KOJI OZNAČAVAJU LOGIČKE OPERACIJE

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	∧	spoj rečenica; odgovara uniji "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su p i q istiniti	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Presjek površina α i β je skup točaka (prava), koji se sastoji od svih onih i samo onih točaka K koje pripadaju i površini α i površini β
2	∨	Disjunkcija rečenica; odgovara uniji "ili". Rečenica (p∨q) istinito kada je barem jedna od rečenica p ili q istinita (tj. ili p ili q ili oboje).	-
3	⇒	Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dvije linije paralelne s trećim, onda su paralelne jedna s drugom.
4	⇔	Rečenica (p⇔q) se razumije u smislu: "ako je p, onda q; ako q, onda p"	A∈α⇔A∈l⊂α. Točka pripada ravnini ako pripada nekom pravcu koji pripada toj ravnini. Vrijedi i obrnuto: ako točka pripada nekoj liniji, koji pripada ravni, onda pripada i samoj ravnini.
5	∀	Opći kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: "za bilo koji x: svojstvo P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbroj vrijednosti njegovih kutova na vrhovima je 180°
6	∃	Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)"	(∀α)(∃a). Za bilo koju ravninu α postoji pravac a koji ne pripada ravnini α a paralelno s ravninom α
7	∃1	Kvantifikator jedinstvenosti postojanja glasi: postoji jedinstveno (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) znači: "postoji jedinstven (samo jedan) x, ima svojstvo Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koja dva razne točke A i B postoji jedan red a, prolazeći kroz ove točke.
8	(px)	Negacija tvrdnje P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). Ako se prave a i b sijeku, onda ne postoji ravnina a koja ih sadrži
9	\	Negativan znak	≠ - odsječak [AB] nije jednak segmentu .a? b - pravac a nije paralelan s pravom b