Kako pronaći točke presjeka parabole s osi. To jest, točka presjeka parabole s osi OY ima koordinate (0; c)

Zadaci za pronalaženje točaka raskrižja bilo koje figure su ideološki primitivne. Poteškoće u njima nastaju samo zbog aritmetike, jer se u njoj prave razne tipkarske pogreške i pogreške.

Uputa

1. Ovaj se problem rješava analitički, stoga je dopušteno uopće ne crtati grafiku ravno i parabole. Često to daje veliki plus u rješavanju primjera, jer se takve funkcije mogu dati u problemu da ih je lakše i brže ne nacrtati.

2. Prema udžbenicima algebre, parabola je dana funkcijom oblika f(x)=ax^2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi, a eksponent a je dobar na nuli. Funkcija g(x)=kx+h, gdje su k,h realni brojevi, definira pravac u ravnini.

3. Točka raskrižja ravno a parabole su univerzalna točka obiju krivulja, stoga će funkcije u njoj poprimiti identične vrijednosti, tj. f(x)=g(x). Ova izjava vam omogućuje da napišete jednadžbu: ax^2+bx+c=kx+h, što će dati vjerojatnost pronalaženja puno točaka raskrižja .

4. U jednadžbi ax^2+bx+c=kx+h trebate sve članove pomaknuti na lijevu stranu i donijeti slične: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Sada ostaje riješiti rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.

5. Svi otkriveni "x-ovi" još nisu rezultat zadatka, jer točku na ravnini karakteriziraju dva realna broja (x, y). Za potpuni zaključak rješenja potrebno je izračunati odgovarajuće “igre”. Da biste to učinili, potrebno je zamijeniti "xes" ili u funkciju f (x) ili u funkciju g (x), čaj za točku raskrižja točno: y=f(x)=g(x). Kasnije ćete pronaći sve univerzalne točke parabole i ravno .

6. Za konsolidaciju gradiva vrlo je važno vidjeti rješenje s primjerom. Neka je parabola dana funkcijom f(x)=x^2-3x+3, a pravac - g(x)=2x-3. Napišite jednadžbu f(x)=g(x), tj. x^2-3x+3=2x-3. Prebacivanjem svih pojmova na lijevu stranu, i donošenjem sličnih, dobivate: x^2-5x+6=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe: x1=2, x2=3. Sada pronađite odgovarajuće "igrače": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Dakle, sve točke su pronađene raskrižja: (2,1) i (3,3).

točka raskrižja ravne se mogu približno odrediti iz grafa. Međutim, često su potrebne točne koordinate ove točke, ili nije potrebno graditi graf, tada je moguće pronaći točku raskrižja poznavajući samo jednadžbe pravaca.

Uputa

1. Neka su dva pravca data općim jednadžbama pravca: A1*x + B1*y + C1 = 0 i A2*x + B2*y + C2 = 0. Točka raskrižja pripada jednoj pravoj liniji i drugoj. Izrazimo iz prve jednadžbe pravca x, dobivamo: x = -(B1*y + C1)/A1. Zamijenimo dobivenu vrijednost u drugu jednadžbu: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Ili -A2B1*y – A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, od y = (A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1). Zamijenite otkrivenu vrijednost u jednadžbu prve ravne: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1 = 0(A1B2 – A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0 Tada je x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).

2. U školskom kolegiju matematike ravne se često daju jednadžbom s kutnim eksponentom, razmotrimo ovaj slučaj. Neka su dva pravca data na ovaj način: y1 = k1*x + b1 i y2 = k2*x + b2. Očigledno, u točki raskrižja y1 = y2, zatim k1*x + b1 = k2*x + b2. Dobivamo da je ordinata točke raskrižja x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Zamijenite x u bilo koju jednadžbu ravne i dobijete y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Slični Videi

Jednadžba parabole je kvadratna funkcija. Postoji nekoliko opcija za sastavljanje ove jednadžbe. Sve ovisi o tome koji su parametri prikazani u stanju problema.

Uputa

1. Parabola je krivulja koja po obliku nalikuje luku i graf je funkcije stepena. Bez obzira koje usporedbe parabola ima, ova funkcija je parna. Parna funkcija je takva funkcija da se, za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije, kada se promijeni predznak argumenta, vrijednost se ne mijenja: f (-x) \u003d f (x) Počnite s najprimitivnija funkcija: y \u003d x ^ 2. Iz njegovog izgleda moguće je zaključiti da raste i za ispravne i za negativne vrijednosti argumenta x. Točka u kojoj je x=0, a ujedno i y = 0, smatra se minimalnom točkom funkcije.

2. Ispod su sve glavne opcije za konstruiranje ove funkcije i njezine jednadžbe. Kao prvi primjer, ispod je funkcija oblika: f(x)=x^2+a, gdje je a cijeli broj Da biste nacrtali ovu funkciju, trebate pomaknuti graf funkcije f(x) za a jedinice. Primjer je funkcija y=x^2+3, gdje os y pomiče funkciju prema gore za dvije jedinice. Dano je funkciji suprotnog predznaka, recimo y=x^2-3, tada se njezin graf pomiče niz y-os.

3. Druga vrsta funkcije kojoj se može dati parabola je f(x)=(x + a)^2. U takvim slučajevima, graf se, naprotiv, pomiče duž apscise (x-osi) za jedinicu. Na primjer, dopušteno je vidjeti funkcije: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. U prvom slučaju, gdje postoji funkcija sa znakom plus, graf se pomiče duž osi x ulijevo, au drugom slučaju udesno. Svi ovi slučajevi prikazani su na slici.

4. Postoje i parabolične ovisnosti oblika y=x^4. U takvim slučajevima, x=const, a y strmo raste. Međutim, to se odnosi samo na parne funkcije parabolečesto su prisutni u fizičkim problemima, na primjer, let tijela opisuje liniju sličnu paraboli. Također pogledajte parabole ima uzdužni presjek reflektora prednjeg svjetla, svjetiljke. Za razliku od sinusnog vala, ovaj graf je neperiodičan i progresivan.

Savjet 4: Kako odrediti točku presjeka pravca s ravninom

Ovaj zadatak je izgraditi točku raskrižja ravno s ravninom je klasik u kolegiju inženjerske grafike i izvodi se metodama nacrtne geometrije i njihovim grafičkim rješenjem na crtežu.

Uputa

1. Razmotrimo definiciju točke raskrižja ravno s privatnom lokacijskom ravninom (slika 1).Prava crta l siječe ravninu frontalne projekcije?. Usmjerite ih raskrižja K pripada i ravno i ravnina, pa zajednicka projekcija K2 lezi na?2 i l2. Odnosno, K2= l2??2, a njegova horizontalna projekcija K1 određena je na l1 pomoću projekcijske spojne linije. Dakle, željena točka raskrižja K(K2K1) se konstruira slobodno bez korištenja pomoćnih ravnina. Točke se definiraju slično raskrižja ravno sa svim vrstama privatnih aviona.

2. Razmotrimo definiciju točke raskrižja ravno s općom ravninom. Na slici 2. u prostoru je dana proizvoljno smještena ravnina? a pravac l. Za definiranje točke raskrižja ravno s općom lokacijskom ravninom, metoda pomoćnih reznih ravnina koristi se sljedećim redoslijedom:

3. Pomoćna rezna ravnina povučena je kroz ravnu liniju l?. Radi lakše konstrukcije, to će biti ravnina projiciranja.

5. Točka K je označena raskrižja ravno l i konstruirana linija raskrižja MN. Ona je željena točka raskrižja ravno i avioni.

6. Primijenimo ovo pravilo za rješavanje određenog problema u složenom crtežu.Primjer. Definirajte točku raskrižja ravno l s ravninom općeg položaja, danom trokutom ABC (slika 3).

7. Pomoćna sekantna ravnina? povučena je kroz pravu l, okomitu na ravninu projekcije?2. Njegova projekcija?2 poklapa se s projekcijom ravno l2.

8. MN linija je u izgradnji. Avion? siječe AB u točki M. Njegova zajednička projekcija M2= ?2?A2B2 i vodoravna M1 na A1B1 označene su duž linije projekcijskog spoja. Ravnina? siječe stranu AC u točki N. Njegova zajednička projekcija je N2=?2?A2C2, vodoravna projekcija N1 na A1C1. Pravac MN pripada objema ravninama u isto vrijeme, pa je stoga njihova prava raskrižja .

9. Određuje se točka K1 raskrižja l1 i M1N1, nakon te točke K2 se gradi uz potporu komunikacijske linije. Ispada da su K1 i K2 projekcije željene točke raskrižja K ravno ja i avioni? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2). Koristeći konkurentske točke M,1 i 2,3, utvrđuje se vidljivost ravno l o danom avionu? ABC.

Slični Videi

Bilješka!
Koristite pomoćnu ravninu prilikom rješavanja problema.

Koristan savjet
Izvršite izračune koristeći detaljne crteže koji odgovaraju zahtjevima problema. To će vam pomoći da se brzo snađete u rješenju.

Dvije linije, ako nisu paralelne i ne podudaraju se, strogo se sijeku u jednoj točki. Pronaći koordinate ovog mjesta znači izračunati bodova raskrižja direktno. Dvije linije koje se sijeku uvijek leže u istoj ravnini, pa ih je dovoljno vidjeti u kartezijanskoj ravnini. Pogledajmo primjer kako pronaći univerzalnu točku linija.

Uputa

1. Uzmite jednadžbe 2 reda, sjetite se da jednadžba pravca u kartezijanskom koordinatnom sustavu, jednadžba pravca izgleda kao ax + y + c \u003d 0, a a, b, c su obični brojevi, a x i y su koordinate točaka. Na primjer, pronađite bodova raskrižja ravni 4x+3y-6=0 i 2x+y-4=0. Da biste to učinili, pronađite rješenje sustava ove 2 jednadžbe.

2. Da biste riješili sustav jednadžbi, promijenite bilo koju od jednadžbi tako da ispred y stoji identičan eksponent. Budući da je u jednoj jednadžbi eksponent ispred y 1, onda ovu jednadžbu primitivno pomnožite s brojem 3 (eksponent ispred y u drugoj jednadžbi). Da biste to učinili, pomnožite svaki element jednadžbe s 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) i dobijete običnu jednadžbu 6x + 3y-12 \u003d 0 . Kad bi eksponenti ispred y bili divni iz jedinstva u obje jednadžbe, obje bi se jednakosti morale pomnožiti.

3. Oduzmite drugu iz jedne jednadžbe. Da biste to učinili, oduzmite od lijeve strane jedne lijevu stranu druge i učinite isto s desnom. Dobijte ovaj izraz: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Budući da se ispred zagrade nalazi znak "-", promijenite sve znakove u zagradama u suprotne. Dobijte ovaj izraz: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Pojednostavite izraz i vidjet ćete da je varijabla y nestala. Nova jednadžba izgleda ovako: -2x+6=0. Prenesite broj 6 u drugi dio jednadžbe, a iz rezultirajuće jednakosti -2x = -6 izrazite x: x = (-6) / (-2). Dakle, dobili ste x=3.

4. Zamijenite vrijednost x=3 u bilo koju jednadžbu, recimo, u drugu i dobijete sljedeći izraz: (2 * 3) + y-4 = 0. Pojednostavite i izrazite y: y=4-6=-2.

5. Rezultirajuće vrijednosti x i y zapišite kao koordinate bodova(3;-2). To će biti rješenje problema. Provjerite vrijednost dobivenu zamjenom u obje jednadžbe.

6. Ako pravci nisu dani kao jednadžbe, već su dani primitivno na ravnini, pronađite koordinate bodova raskrižja grafički. Da biste to učinili, produžite linije tako da se sijeku, a zatim spustite okomice na osi x i y. Koordinate će biti presjek okomica s osi x i y bodova, pogledajte sliku i vidjet ćete da su koordinate bodova raskrižja x \u003d 3 i y \u003d -2, odnosno točka (3; -2) je rješenje problema.

Slični Videi

Parabola je ravna krivulja drugog reda čija je kanonska jednadžba u Kartezijanskom koordinatnom sustavu y?=2px. Gdje je p žarišni parametar parabole, jednak udaljenosti od fiksne točke F, koja se zove fokus, do fiksne linije D u istoj ravnini, koja se zove direktrisa. Vrh takve parabole prolazi kroz predgovor koordinata, a sama krivulja je simetrična oko osi apscise Ox. U školskom tečaju algebre uobičajeno je razmatrati parabolu čija se os simetrije poklapa s ordinatnom osi Oy: x?=2py. A jednadžba je napisana nešto suprotno: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabolu je moguće nacrtati na nekoliko metoda, koje se uvjetno mogu nazvati algebarskim i geometrijskim.

Uputa

1. Algebarska konstrukcija parabole Saznaj koordinate vrha parabole. Izračunajte koordinate duž osi Ox koristeći formulu: x0=-b/(2a), a duž osi Oy: y0=-(b?-4ac)/4a ili zamijenite rezultirajuću vrijednost x0 u jednadžbu parabole y0 =ax0?+bx0+c i izračunaj vrijednost.

2. Na koordinatnoj ravnini konstruirajte os simetrije parabole. Njegova se formula podudara s formulom za x0 koordinatu vrha parabole: x=-b/(2a). Odredi gdje su grane parabole usmjerene. Ako je a>0, tada su osi usmjerene prema gore, ako je a

3. Uzmite proizvoljno 2-3 vrijednosti za parametar x tako da: x0

4. Postavite točke 1', 2' i 3' tako da budu simetrične s točkama 1, 2, 3 oko osi simetrije.

5. Ujedinite točke 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 glatkom kosom linijom. Nastavite liniju gore ili dolje, ovisno o smjeru parabole. Parabola je izgrađena.

6. Geometrijska konstrukcija parabole. Ova se metoda temelji na definiciji parabole kao zajednice točaka jednako udaljenih i od fokusa F i od direktrise D. Stoga prvo pronađite žarišni parametar zadane parabole p=1/(2a).

7. Konstruirajte os simetrije parabole kako je opisano u koraku 2. Na njega stavite točku F s koordinatom duž osi Oy jednakom y \u003d p / 2 i točku D s koordinatom y \u003d -p / 2.

8. Koristeći kvadrat, konstruiraj pravac koji prolazi točkom D, okomito na os simetrije parabole. Ovaj pravac je direktrisa parabole.

9. Uzmite nit duž duljine jednake jednoj od nogu kvadrata. Jedan kraj konca pričvrstite gumbom na vrhu kvadrata na koji se spaja ova noga, a drugi kraj u fokusu parabole u točki F. Postavite ravnalo tako da mu se gornji rub poklapa s direktrisom D. Postavite ravnalo kvadrat na ravnalu, slobodan od gumba s nogom .

10. Postavite olovku tako da svojim vrhom pritisne nit na krak kvadrata. Pomaknite kvadrat duž ravnala. Olovka će nacrtati parabolu koja vam je potrebna.

Slični Videi

Bilješka!
Nemojte crtati vrh parabole kao kut. Njegove se grane spajaju jedna s drugom, glatko se zaokružuju.

Koristan savjet
Prilikom konstruiranja parabole geometrijskom metodom pazite da nit uvijek bude zategnuta.

Prije nego što prijeđemo na traženje ponašanja funkcije, potrebno je odrediti područje metamorfoze razmatranih veličina. Pretpostavimo da se varijable odnose na skup realnih brojeva.

Uputa

1. Funkcija je varijabla koja ovisi o vrijednosti argumenta. Argument je nezavisna varijabla. Granice promjene u argumentu nazivaju se domenom mogućih vrijednosti (ROV). Ponašanje funkcije razmatra se u okviru ODZ-a, jer u tim granicama veza između dviju varijabli nije kaotična, već se pridržava određenih pravila i može se zapisati kao matematički izraz.

2. Razmotrimo proizvoljnu funkcionalnu povezanost F=?(x), gdje? je matematički izraz. Funkcija može imati točke presjeka s koordinatnim osi ili s drugim funkcijama.

3. U točkama presjeka funkcije s osi x funkcija postaje jednaka nuli: F(x)=0. Riješite ovu jednadžbu. Dobit ćete koordinate presječnih točaka zadane funkcije s osi OX. Bit će toliko takvih točaka koliko ima korijena jednadžbe u danom dijelu metamorfoze argumenta.

4. U točkama presjeka funkcije s y-osi, vrijednost argumenta je nula. Posljedično, problem se pretvara u pronalaženje vrijednosti funkcije na x=0. Bit će onoliko točaka presjeka funkcije s osi OY koliko ima vrijednosti zadane funkcije s nultim argumentom.

5. Da biste pronašli točke presjeka zadane funkcije s drugom funkcijom, trebate riješiti sustav jednadžbi: F=?(x)W=?(x). , točke presjeka s kojima se zadana funkcija treba detektirati. Očigledno, u točkama presjeka obje funkcije uzimaju jednake vrijednosti za jednake vrijednosti argumenata. Bit će onoliko univerzalnih točaka za 2 funkcije koliko ima rješenja za sustav jednadžbi u danom području promjene argumenta.

Slični Videi

U točkama presjeka, funkcije imaju jednake vrijednosti za identičnu vrijednost argumenta. Pronaći točke presjeka funkcija znači odrediti koordinate točaka koje su univerzalne za funkcije koje se sijeku.

Uputa

1. Općenito, problem pronalaženja točaka presjeka funkcija jednog argumenta Y=F(x) i Y?=F?(x) na ravnini XOY svodi se na rješavanje jednadžbe Y= Y?, iz činjenice da je pri univerzalna točka funkcije imaju jednake vrijednosti. Vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost F(x)=F?(x), (ako postoje) su apscise točaka presjeka zadanih funkcija.

2. Ako su funkcije zadane jednostavnim matematičkim izrazom i ovise o jednom argumentu x, tada se problem nalaženja presječnih točaka može riješiti grafički. Iscrtajte grafove funkcija. Odredite točke presjeka s koordinatnim osi (x=0, y=0). Postavite još nekoliko vrijednosti argumenata, pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije, dodajte dobivene točke na grafove. Što će se više točaka koristiti za crtanje, to će graf biti točniji.

3. Ako se grafovi funkcija sijeku, odredite koordinate presječnih točaka s crteža. Za provjeru, zamijenite te koordinate u formule koje definiraju funkcije. Ako se matematički izrazi pokažu objektivnim, točke presjeka nalaze se pozitivno. Ako se grafovi funkcija ne sijeku, pokušajte promijeniti veličinu. Napravite veći korak između točaka konstrukcije kako biste odredili u kojem dijelu numeričke ravnine konvergiraju linije grafova. Nakon toga, na identificiranom dijelu raskrižja, izgradite detaljniji graf s finim korakom kako biste točno odredili koordinate točaka raskrižja.

4. Ako je potrebno pronaći točke presjeka funkcija ne na ravnini, već u trodimenzionalnom prostoru, moguće je vidjeti funkcije 2 varijable: Z=F(x,y) i Z?=F?(x ,y). Za određivanje koordinata točaka presjeka funkcija potrebno je riješiti sustav jednadžbi s dva nepoznata x i y na Z= Z?.

Slični Videi

Dakle, glavni parametri grafa kvadratne funkcije prikazani su na slici:

Smatrati nekoliko načina za konstruiranje kvadratne parabole. Ovisno o tome kako je zadana kvadratna funkcija, možete odabrati najprikladniju.

1 . Funkcija je dana formulom .